Глава 2 . ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Глава 2.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

§1. Векторы. Основные определения.

Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, масса, объем и т.д.), называются скалярными.

Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называются векторными. Векторные величины геометрически изображаются с помощью векторов.

Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Если A

начало вектора, В

его конец, то вектор

обозначается АВ

)(АВ

или а

).(а

Длиной вектора называется расстояние между началом и концом этого вектора и обозначается

.АВ

A

B

AB

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается

.0

Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается

.е

Векторы a

и b называются коллинеарными, если они

лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;

записывают а .b

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

�� ��

��

Два вектора называются равными, если они а) коллинеарны, б) одинаково направлены,в) имеют одинаковые длины.

Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством параллельного переноса (это следует из определения равенства векторов).

Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

����

��

𝑃1

𝑃2

§2. Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимаюта) произведение вектора на число,б) сложение и вычитание векторов.

Произведением вектора а

на число R называется вектор ,a удовлетворяющий следующим

условиям:

а) длина вектора а

равна произведению модуля числа

на длину вектора :а ;аа

б) вектор а

коллинеарен вектору :а

направление

а

совпадает с направлением вектора ,а

если

,0

и противоположно ему, если .0

Пример. a

a2

a2-

Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо по правилу параллелограмма.

Правило треугольников.

Пусть а

и b

два произвольных вектора. Возьмем

произвольную точку O

и построим вектор .aOA От точки А отложим вектор .bAB Вектор ,OB

соединяющий начало первого вектора с концом второго,

называется суммой векторов a

и :b

.baOB

a bbb

a

a+bО

А

В

b

Правило параллелограмма.

Пусть а

и b

два произвольных вектора. Возьмем

произвольную точку O

и построим векторы aOA

и .bOB

Суммой двух векторов aOA

и bOB

называется вектор OC

диагонали параллелограмма

,OACB построенного на векторах aOA и .bOB

b

a

a+bО

a bbb

A

C

B

Сумму трех и более векторов можно находить по правилу замыкания ломаной:

Чтобы найти сумму векторов ,,...,, 21 naaa

нужно конец вектора 1a

совместить с началом вектора

,2a

конец вектора 2a

– с началом вектора 3a

и т.д.,

пока не дойдем до вектора .na

Тогда суммой naaa ...21

будет вектор,

идущий из начала вектора 1a

в конец вектора .na

Разностью двух векторов a b и называется такой

вектор ,c

который нужно сложить с вектором ,b

чтобы получить вектор ,a

т.е.

.acbcba

Чтобы построить вектор ,bac

нужно

параллельным переносом перенести векторы a b и

к общему началу, и тогда вектор bac

будет

выходить из конца вектора b

в конец вектора .a

a

О

bbb

с=a - b

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах

a ,b и одна направленная диагональ является

суммой векторов, а другая – разностью.

a

О

bbb

с=a - b

a+b

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. Сложение векторов коммутативно:

abba2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трех векторов выполняется условие

cbacba )()(

a

bbb

C

O

A B

C

3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего:

aa 04. Вектор

a1 называется противоположным вектору

a и обозначается .

a5. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора:

aa16. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.

)()( aa

7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел, т.е.

aaa )(

8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов, т.е.

baba )(

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях над векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.

§3. Проекция вектора на ось.

Осью называется всякая прямая, на которой указано направление.

Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

М

М1 X

Углом между вектором

AB или равным ему вектором

и осью Ox называется угол , на который нужно

повернуть кратчайшим образом полуось Сx, до совмещения

ее с вектором

Область изменения угла : 0

��𝐷

.

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝛼𝑂 𝑋

Проекцией вектора AB

на ось Ох называется число,

обозначаемое ABпрОх

и равное ,cosAB

где

– угол между вектором AB

и осью Ох, т.е.

по определению

.cos ABABпрОх

Геометрически проекция вектора AB

на ось Ох равна

длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если 20

(рис.1), и со знаком «–», если 2

При 2

отрезок CD превращается в точку и

.0ABпрОх

(рис.2).

О XС

А

В

В1

DРис.1

О XСD

В

АВ

1

Рис.2

CDABпрОх

CDABпрОх

1. При умножении вектора

AB на число m,

его проекция на ось умножается на то же число.

Свойства проекции вектора на ось.

ABпрmABmпр ОхОх

2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме

проекций составляющих на ту же ось:

CDпрABпрCDABпр ОхОхОх

§4. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система

координат.

Базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятых в определенном порядке.

Теорема. Если на плоскости выбран базис ,, 21 ee

то любой вектор a

этой плоскости можно разложить по

векторам 21,ee и такое разложение единственно:

.21 eyexa

𝑒1

𝑒2

x

y

��

Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в этом пространстве, взятых в определенном порядке.

Теорема. Если в пространстве выбран базис ,,, 321 eee

то любой вектор a

этой плоскости можно разложить

по векторам 321 ,, eee,

и такое разложение единственно:

.321 ezeyexa

При этом коэффициенты zyx ,,

в данном разложении

называют координатами вектора a

в базисе 321 ,, eee

и записывают

zyxa ,,

или zyxa ,,

. Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства.

1. При умножении вектора zyxa ,,

на число R

все его координаты умножаются на это число:

.,, zyxa

2. При сложении (вычитании) векторов 111 ,, zyxa

и 222 ,, zyxb

складываются (вычитаются) их

соответствующие координаты:

.,, 212121 zzyyxxba

3. Вектор 111 ,, zyxa

коллинеарен вектору

,,, 222 zyxb т.е. ba ||

, если выполняется условие

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x ,,, 212121 zzyyxx

или

где

некоторое число.

4. Вектор a

равен вектору b

, если их

соответствующие координаты равны:

111 ,, zyxa =

.

,

,

,,

21

21

21

222

zz

yy

xx

zyxb

Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность фиксированной точки О и базиса

.,, 321 eee

.

Точка О называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов осями координат.

𝑒1

𝑒2𝑒3

𝑂 𝑋

𝑌𝑍

Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY осью

ординат, прямая ОZ осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Вектор OM

для произвольной точки М называют ее

радиус-вектором.

Координаты радиуса-вектора точки М по отношению к

началу координат называют координатами точки М в рассматриваемой системе координат. Первая координата называется абсциссой, вторая ординатой, третья аппликатой.

Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице. На плоскости ортонормированный базис принято обозначать

),1,0(),0,1( ji

в пространстве ).1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( kji

Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат.

�� ��

��

𝑋

𝑌

𝑍

Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки

Тогда по правилу треугольника

),,( 1111 zyxM и ),,( 2222 zyxM .

1221 OMOMMM

𝑀 1

𝑀 2

𝑶

𝑀 1

𝑀 2

����

��

𝑋

𝑌

𝑍

Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их соответствующие координаты, имеем

),,,( 12121221 zzyyxxMM

т.е. если заданы координаты начала и конца вектора, то чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующей координаты его конца вычесть координату начала.

А длина вектора 21MM

определяется по формуле

.212

212

21221 zzyyxxMM

Для точек ),,(),,( 222111 yxMyxM

заданных на плоскости,

последняя формула примет вид

.212

21221 yyxxMM

В частности, ;1001 222 i

аналогично, .1,1 kj

Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора

),,( zyxa

равны соответственно проекциям вектора на

оси координат:

.

,

,

aпрz

aпрy

апрx

Oz

Oy

Ох

��

𝑥

𝑦

𝑂

Пусть даны точки ),,( 111 zyxA и ),,,( 222 zyxBи пусть точка ),,( zyxM

лежит на отрезке

AB

и делит этот отрезок в отношении ,.MBAM

т.е.

§ 5. Деление отрезка в данном отношении.

𝐴 𝑀 𝐵

Тогда координаты точки М вычисляются по формулам

деления отрезка в данном отношении

.1

,1

,1

21

21

21

zzz

yyy

xxx

При 1

точка M

делит отрезок AB

пополам и последние формулы принимают вид

,2

,2

,2

212121 zzz

yyy

xxx

т.е. координаты середины отрезка равны полусумме

соответствующих координат его концов.

Пример. Даны три последовательные вершины параллелограмма

).4,4,6(),1,2,3(),3,2,1( CBA

Найти его четвертую вершину

D и точку O

пересечения его диагоналей.

Решение.

𝐴 𝐵

𝐶𝐷

𝑂

Пусть

).,,(),,,( OOODDD zyxOzyxD

Тогда

).3,2,3(

),3),2,1(

BC

zyxAD DDD

Поскольку ABCD параллелограмм, то

.

33

,22

,31

D

D

D

z

y

x

BCAD

Отсюда получаем .6,0,4 DDD zyx

Для нахождения координат точки O

воспользуемся

формулами координат середины отрезка :AC

5,32

43

2

12

42

2

5,32

61

2

CAO

CAO

CAO

zzz

yyy

xxx

§6. Скалярное произведение векторов.

Углом между двумя векторами называется наименьший

угол между этими векторами, приведенными к общему началу.

Угол между векторами а и b символически

записывают ,,

ba причем .,0

ba

��

��

,,

ba

Скалярным произведением двух векторов называется

число, равное произведению длин этих векторов на

косинус угла между ними:

.,cos

bababa

Скалярное произведение принято обозначать

ba

или или ba

.,ba

Скалярное умножение обладает следующими свойствами.

1. Скалярное умножение коммутативно:

.abba

2. Для любого вектора скалярный квадрат равен квадрату

модуля: .

22aaaa

Из последнего равенства следует

.2

aa

3. Скалярное произведение равно нулю, если сомножители

ортогональны или хотя бы один из них равен нулю:

aba 0 b

или 0a

или .0b

4. Скалярное умножение обладает свойством

ассоциативности относительно скалярного множителя:

).()()( bababa 5. Скалярное умножение дистрибутивно относительно

сложения:

.)( cabacba

Пример 1. Найти длину вектора ,2 bac

если

.3

,,4,3

baba

Решение.

.2816

2

143494

,cos44

442

22

2222

bbabaa

bbaabacc

Пример 2. Найти угол между векторами a и ,bесли вектор ba 2

перпендикулярен вектору ba 45

и .1ba

Решение.

ba 2 ba 45 ,0452 baba

.

3,

2

1,cos03,cos6

8,cos658,cos65

8410584105

424525452

22

2222

bababa

babbabaa

bbabaabbaaba

bbbaabaababa

Пример 3. Вычислить скалярное произведение ,ba

если ,23,2 qpbqpa

где qp, единичные

векторы, а угол между ними равен .3

Решение.

.5,4

2

1412

3cos1626

234623222

22

qpqqpp

qpqqppqpqpba

Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы

своими координатами:

111 ,, zyxa и 222 ,, zyxb Тогда скалярное произведение можно вычислять по формуле:

.212121 zzyyxxba

Приложения скалярного произведения в геометрии.

1. Проекция векторов на ось.

Рассмотрим рис.1.

О a

b

А

В

a С

Рис.1

Спроектировав вектор b

на вектор a

, получим

.,cos

babOCbпрa

Поэтому

a

babпрbпрabababa

aa

bпрa

,cos

или

.,cosb

baaпрaпрbbaabba

bb

aпрb

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно

модулю одного из них, умноженному на проекцию второго

вектора на первый.

2. Угол между векторами.

Из определения скалярного произведения следует, что

.0,0,,

baba

babaсos

Если векторы заданы своими координатами в

ортонормированном базисе:

111 ,, zyxa и ,,, 222 zyxb то последнюю формулу можно переписать так:

.,2

22

22

22

12

12

1

212121

zyxzyx

zzyyxxbaсos

3. Направляющие косинусы векторов.

Направление вектора zyxa ,,

определяется углами

,,,

образованными вектором a

с положительными направлениями осей OzOyOx ,,

соответственно (или вектором a

с векторами

kji ,,

соответственно). Косинусы этих углов называются

направляющими косинусами этого вектора.

Найдем их.

,1

001,coscos

222222 zyx

x

zyx

zyx

ia

iaia

,1

010,coscos

222222 zyx

y

zyx

zyx

ja

jaja

.1

100,coscos

222222 zyx

z

zyx

zyx

ka

kaka

Таким образом,

.cos,cos,cos222222222 zyx

z

zyx

y

zyx

x

Направляющие косинусы связаны соотношением

.1coscoscos 222

Косинусы углов, образованных вектором и осями координат Ox, Oy, Oz, называются направляющими косинусами этого вектора.

Пример. Даны вершины треугольника

).1,2,1(),1,1,5(),3,2,3( CBA

:ABC

Вычислить внутренний угол при вершине А.

Решение. Внутренний угол при вершине А это угол

между векторами AB .AC и

Так как ),4,4,2(),2,1,2( ACAB то

.9

4

63

8

4)4()2(2)1(2

42)4()1()2(2,cos

222222

ACAB

ACABACAB

Следовательно, .749

4arccos,

ACAB

Пример. Вычислить угол между вектором )1,0,1( a

и осью .OxРешение. Угол между вектором a

и осью Ox

это

угол между вектором a

и вектором :)0,0,1(i

.2

1

1)1(01

1

,coscos,cos

222

iaOxa .222 zyx

x

Следовательно, .42

1arccos,

Oxa

§7. Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов

cba ,,

называется правой, если из конца вектора с

кратчайший поворот от первого вектора a

ко второму

вектору b

виден против хода часовой стрелки.

В противном случае тройка cba ,,

называется левой.

Z

k

Z

kX

X

Y

Y

i i

j j

Правая система координат Левая система координат

Векторным произведением векторов a и bназывается вектор, обозначаемый bac

и удовлетворяющий следующим трем условиям:

1) ;,sin

bababa

2) c ,a

c ;b 3) упорядоченная тройка cba ,, правая.

Важно:

Результатом векторного произведения является вектор.

��

��

��× ��

��× ��

Свойства векторного произведения:

1) От перестановки множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль, т.е.

abba

2) Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то векторное произведение изменит знак, т.е.

baba

)(

3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.

)()( или ) ()( babababa

4) cbcacba

5) Векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, либо сомножители коллинеарны:

00 aba или 0b или ba ||

0aa6)

7) Рассмотрим векторное произведение ортов:

Рассмотрим произведение ji

Z

k

X

Yi

jО

А D

В

,0ii ,0jj 0kk

Параллелограмм, построенный на ji

и

площадь которого равна единице.

ji

перпендикулярен векторам ji

и

и образует с ними правую тройку. Следовательно, произведение

ji

есть квадрат ОАDB,

Вектор

есть единичный вектор, направленный по оси OZ, т.е.

kji

Аналогично находим, что jikikj

,

Переставив множители, получим

kij

ijk

jki

Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:

i

j

k

i

k

j

j

k

i k

j

i

0

0

0

Пусть векторы ba

и заданы своими координатами:

,,, 111 zyxa

.,, 222 zyxb

Тогда ,111 kzjyixa

kzjyixb

222 Перемножим эти два вектора:

kzjyixkzjyixba

222111

kkzzjkyzikxz

kjzyjjyyijxy

kizxjiyxiixx

212121

212121

122121

kxyyxjzxxziyzzy

iyzjxzizykxyjzxkyx

212121212121

212121212121

Полученную формулу можно представить в виде определителя:

.22

11

22

11

22

11

222

111 yx

yxk

zx

zxj

zy

zyi

zyx

zyx

kji

ba

Приложение векторного произведения к геометрии

1. Площадь параллелограмма построенного на векторах

ba

и равна модулю векторного произведения:

baSпарал

2. Площадь треугольника построенного на векторах

ba

и равна половине модуля векторного произведения:

baS

2

1

Пример.

Найти площадь параллелограмма построенного на векторах

,32 kjia

kjib

532

Решение:

,baSпарал

kjikji

kji

ba

4365910

532

321

3111 222 baSпарал

Таким образом,

.1,1,1 ba

Значит

Пример. Найти вектор ,x если известно, что он

перпендикулярен к векторам )3,2,1(),1,3,2( ba

и удовлетворяет условию ,10cx

где .72 kjic Решение. Так, как вектор x

перпендикулярен к

плоскости векторов a

и ,b

а вектор ba

также перпендикулярен к плоскости этих векторов по

определению, то отсюда следует, что .|| bax

Имеем

).1,5,7(57

321

132 kji

kji

ba

Так, как ,|| bax

то координаты этих векторов

пропорциональны, т.е. .),,5,7( Rx

Тогда

.11010

7107)7,2,1(),5,7(

cx

Таким образом, ).1,5,7(x

§8. Смешанное произведение трёх векторов.

Смешанным произведением векторов cba ,,

называется число, обозначаемое cba

и определяемое

как скалярное произведение вектора ba

и вектора :c

.cbacba Результатом смешанного произведения является число.

Свойства смешанного произведения.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической

перестановке трех его векторов-сомножителей:

.bacacbcba 2. Смешанное произведение меняет знак на

противоположный при перестановке любых двух

векторов-сомножителей:

.

,

,

cbaabc

cbabca

cbacab

3. Смешанное произведение не меняется при перемене

местами знаков векторного и скалярного умножения:

).()( cbacba

4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно

нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

bacba ,0

и с компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть заданы векторы

).,,(

),,,(

),,,(

333

222

111

zyxc

zyxb

zyxa

Тогда

.

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cba

Некоторые приложения смешанного произведения.

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если ,0cba

то cba ,,

правая тройка;

если же ,0cba

то cba ,,

левая тройка.

2. Установление компланарности векторов.

Векторы cba ,,

компланарны .00

333

222

111

zyx

zyx

zyx

cba

3. Определение объемов пространственных фигур.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах

ba,

и ,c вычисляется по формуле:

.cbaV дапарал

Объем треугольной призмы, построенной на векторах

ba,

и ,c вычисляется по формуле:

.2

1cbaVпризмы

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

ba,

и ,c вычисляется по формуле:

.6

1cbaVпирамиды

Пример. Даны векторы

.42,3,2 kjibkibkjia

Выяснить ориентацию тройки векторов .,, cbaРешение. Составим и вычислим смешанное произведение :cba

018)2(102

13

11

42

132

412

103

121

cba

cba ,,

левая тройка векторов.

Пример. Найти объем треугольной пирамиды, вершинами

которой являются точки

).2,7,3(),3,2,6(),5,3,2(),1,0,2( DCBAРешение.

,6

1ADACABVпирамиды

,1,7,1,2,2,4,4,3,0 ADACAB

.98104626423

71

244

11

243

171

224

430

ADACAB

Тогда .3

4998

6

1пирамидыV