View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ΗΥ-110 2019
Διάλεξη 5
Όρια συναρτήσεων στο άπειρο καισυνέχεια συναρτήσεων
ΗΥ-110 2019
Ανακοινώσεις
2
• Φροντιστήριο Παρασκευής 11/10 μετά το τέλος της εκδήλωσης (~4:30)
ΗΥ-110 2019
Συνέχεια
Έστω 𝑐 ∈ ℝ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της 𝑓 𝑥
• Η 𝑓 𝑥 είναι συνεχής στο 𝑐 αν lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐
• Η 𝑓 𝑥 είναι συνεχής από δεξιά στο 𝑐 ανlim𝑥→𝑐+
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐
• Η 𝑓 𝑥 είναι συνεχής από αριστερά στο 𝑐 ανlim𝑥→𝑐−
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐
3
ΗΥ-110 2019
Κριτήρια συνέχειας
Μια συνάρτηση 𝑓 𝑥 είναι συνεχής σε ένα σημείο x = 𝑐αν και μόνο αν (iff)
• Υπάρχει το 𝑓 𝑐 (το c ανήκει το πεδίο ορισμού)
• Υπάρχει το lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 (υπάρχει το όριο στο c)
• lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 (το όριο=με την τιμή της συνάρτησης)
4
ΗΥ-110 2019
Παράδειγμα
• Για ποιες τιμές του x η f(x) δεν είναι συνεχής
5
Ασυνέχεια άλματος Αιρόμενη ασυνέχεια
ΗΥ-110 2019
Παράδειγμα
6
Άπειρη ασυνέχεια
Αιρόμενη ασυνέχεια
Αιρόμενη ασυνέχεια
Ασυνέχεια άλματος
Ασυνέχεια ταλάντωσης
Συνεχής
ΗΥ-110 2019
Συνέχεια και πεδίο ορισμού
Η συνέχεια είναι ιδιότητα της συνάρτησης και πρέπει να ισχύει σε όλο το πεδίο ορισμού της.
7
Συνεχής διότι το 0 δεν ανήκει στο ΠΟ
ΗΥ-110 2019
Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων
Αν οι 𝑓 𝑥 και 𝑔 𝑥 είναι συνεχής στο 𝑥 = 𝑐, τότε και οι ακόλουθοι συνδυασμοί είναι συνεχείς στο 𝑐
• Άθροισμα 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
• Διαφορές 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
• Πολλαπλασιασμοί με σταθερές 𝑘𝑓 𝑥 όπου 𝑘 σταθερά
• Γινόμενα 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥)
• Πηλίκα 𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥)
• Δυνάμεις 𝑓𝑛 𝑥 όπου 𝑛 θετικός ακέραιος (ℤ+)
• Ρίζες 𝑛 𝑓(𝑥) για 𝑛 ∈ ℤ+ και να ορίζεται σε διάστημα που περιέχει το 𝑐
8
ΗΥ-110 2019
Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων
Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
είναι συνεχής διότι lim𝑥→𝑐
𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑐
Αν 𝑃(𝑥) και 𝑄(𝑥) είναι πολυώνυμα, τότε η 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)είναι
συνεχής διότι lim𝑥→𝑐
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)=
𝑃(𝑐)
𝑄(𝑐)για 𝑄(𝑐) ≠ 0
Η ταυτοτική συνάρτηση 𝑓 𝑥 = 𝑥 και οι σταθερές συναρτήσεις 𝑓 𝑥 = 𝑘 είναι παντού συνεχής
9
ΗΥ-110 2019
Συνέχεια σύνθετων συναρτήσεων
Αν η 𝑓 είναι συνεχής στο 𝑐 και η 𝑔 είναι συνεχής στο 𝑓 cτότε η 𝑔 ∘ 𝑓 είναι συνεχής στο 𝑐
Αν lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑏 και η 𝑔 είναι συνεχής στο 𝑏 τότε
lim𝑥→𝑐
𝑔(𝑓 𝑥 ) = 𝑔(𝑏)
10
ΗΥ-110 2019
Παραδείγματα
Να δειχθεί ότι οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχής
• 𝑦1 = 𝑥
• 𝑦2 = 𝑥2 − 2𝑥 − 5
• 𝑦3 =𝑥 ൗ2 4
1+𝑥4
11
ΗΥ-110 2019
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
Αν η 𝑓 𝑥 είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [𝑎, 𝑏]και αν 𝑓(𝑎) < 𝑢 < 𝑓(𝑏) τότε υπάρχει c ∈ [𝑎, 𝑏] για το οποίο 𝑓 𝑐 = 𝑢
Αν 𝑢 = 0 γνωστό ως θεώρημα Bolzano
12
ΗΥ-110 2019
Ρίζες εξίσωσης
Κάθε λύση της εξίσωσης 𝑓 𝑥 = 0 ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης.
Αν η 𝑓 είναι συνεχής, από το Θ.Ε.Τ. , κάθε διάστημα όπου η 𝑓 αλλάζει πρόσημο, περιέχει (τουλάχιστον) μια ρίζα
Π.χ. Η εξίσωση 𝑥3 − 𝑥 − 1 = 0 έχει μια ρίζα στο [1,2]
Έστω 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 − 1 με 𝑓 1 = −1 και 𝑓 2 = 5
13
ΗΥ-110 2019
Παράδειγμα
Χρησιμοποιώντας το Θ.Ε.Τ να δειχθεί ότι η
2𝑥 + 5 = 4 − 𝑥2 έχει ρίζα
14
ΗΥ-110 2019
Συνεχής επέκταση συνάρτησης
Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 𝑐αλλά υπάρχει το όριο σε αυτό το σημείο, μπορούμε να ορίσουμε μια «επέκταση»
15
𝐹 𝑥 = ቊ𝑓 𝑥 , 𝛾𝜄𝛼 𝑥 𝜎𝜏𝜊 Π. Ο𝐿, 𝛾𝜄𝛼 𝑥 = 𝑐
ΗΥ-110 2019
Παράδειγμα
Για ποια τιμή 𝑔 4 η επέκταση της 𝑔 𝑥 =𝑥2−16
𝑥2−3𝑥−4
είναι συνεχής στο x =4
Για ποιες τιμές των 𝑎 και 𝑏 η
𝑓 𝑥 = ቐ𝑎𝑥 + 2𝑏 , 𝑥 ≤ 0
𝑥2 + 3𝑎 − 𝑏 , 0 < 𝑥 ≤ 23𝑥 − 5 , 𝑥 > 2
είναι συνεχής για κάθε 𝑥
16
ΗΥ-110 2019
Όριο στο/με Άπειρο
17
Αναξίμανδρος ο Μιλήσιος611 π.Χ. - 547 π.Χ.
Georg Cantor1845 – 1918
Ζήνων ο Ελεάτης490 π.Χ. - 425 π.Χ.
ΗΥ-110 2019
Πεπερασμένα όρια καθώς το 𝑥 → ∞
Η 𝑓 𝑥 έχει όριο το 𝐿 καθώς το 𝑥 τείνει στο άπειρο
αν, για κάθε 𝜖 > 0, υπάρχει αντίστοιχος Μ τέτοιος ώστε για κάθε 𝑥 στο πεδίο ορισμού της 𝑓 𝑥
οποτεδήποτε 𝑥 > Μ
18
lim𝑥→∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖
ΗΥ-110 2019
Η 𝑓 𝑥 έχει όριο το 𝐿 καθώς το 𝑥 τείνει στο μείον άπειρο
Αν, για κάθε 𝜖 > 0, υπάρχει αντίστοιχος Ν τέτοιος ώστε για κάθε 𝑥 στο πεδίο ορισμού της 𝑓 𝑥
οποτεδήποτε 𝑥 < Ν
Πεπερασμένα όρια καθώς το 𝑥 → −∞
19
lim𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖
ΗΥ-110 2019
Παραδείγματα
Να δειχθεί ότι
• lim𝑥→∞
1
𝑥= 0 και lim
𝑥→−∞
1
𝑥= 0
Να βρεθούν τα
• lim𝑥→∞
(5 +1
𝑥) και lim
𝑥→−∞(𝜋 3
𝑥2)
Να υπολογιστεί το όριο lim𝑥→∞
( 𝑥 + 9 − 𝑥 + 4)
20
ΗΥ-110 2019
Ακριβής ορισμοί άπειρων ορίων
Η 𝑓 𝑥 τείνει στο άπειρο καθώς το 𝑥 τείνει στο 𝑐
αν για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό Β υπάρχει αντίστοιχο 𝛿 > 0 τέτοιο ώστε
οποτεδήποτε 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿
Η 𝑓 𝑥 τείνει στο μείον άπειρο καθώς το 𝑥 τείνει στο 𝑐
αν για κάθε αρνητικό πραγματικό αριθμό Β υπάρχει αντίστοιχο 𝛿 > 0 τέτοιο ώστε
οποτεδήποτε 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿
21
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = ∞
𝑓 𝑥 > Β
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = −∞
𝑓 𝑥 < Β
Recommended