Понятие вектора

Длиной или модулем Длиной или модулем вектора вектора называется длина отрезка АВ

ВАВАВектор

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или векторомнаправленным отрезком или вектором

АА

ВВ

aa

АВАВ = = АВАВ

Начало Начало векторавектора

Конец Конец векторавектора

АВАВВектор

aaВектор

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевымнулевым

MM

MMMM = 0 = 0

Длина нулевого считается равной нулюДлина нулевого считается равной нулю

MMMMВектор

00Вектор

Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

Назовите векторы, изображенные на рисунке. Укажите начало и конец векторов.

NN

EE

FFAA

ВВ

CC

DD

ЕЕFFВектор

ABABВектор

CDCDВектор

NNNNВектор 00или

Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами (векторными величинами (или коротко векторами)векторами)

ВВ

AA1Н1Н

8 Н8 Н

При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин.

++

EE

Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рисунке изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.

Электрический ток, т.е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции.

На рисунке изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током.

BBН

а п

р а

в л

е н

и е

т

о к

аН

а п

р а

в л

е н

и е

т

о к

а

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

aa

bb cc aa bb

cc aa

cc bb

Коллинеарные, сонаправленные векторыКоллинеарные, сонаправленные векторы

oo aa oo cc oo bb

Нулевой вектор Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

aa

bb ccbbaa

Коллинеарные, Коллинеарные, противоположно направленные векторыпротивоположно направленные векторы

bbcc

АВСD – параллелограмм.

А

В С

D

bbaa

Векторы называются равными, равными, если они сонаправлены и их длины равны.

a a bb==

11

22

ВВA = CDA = CD;; AAВВ = DC = DC;; CCВВ = DA = DA;; AD = BCAD = BC..

О

Найдите еще пары равных векторов. О – точка пересечения диагоналей.

Если точка А – начало вектора , то говорят, что

вектор отложен от точки Авектор отложен от точки А

АА

aaaa

Вектор отложен от точки А Вектор отложен от точки А aaaa

ММ

cc

От любой точки М можно отложить От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , вектор, равный данному вектору , и притом только один.и притом только один.

aa

a a cc==

ccaacca = a =

ММ

aa

nn

ccDD

Отложить вектор, равный aa

11

22

от точки М

от точки D

С

А

В

D

44

33

АВАВ = = 33

ВВC =C = 44

DDСС = = 33

MMАА = = 1,51,5

СВСВ = = 44

АСАС = =

55

55

ММC =C =

M

№ 745 В прямоугольнике АВСD АВ=3см, ВС=4см, точка М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов.

№ 747 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ.

M

N P

Q

MNMN QPQP NMNM PQPQ QMQM PNPN MQMQ NPNP

№ 747 Укажите пары коллинеарных (противоположно направленных) векторов, которые определяются сторонами параллелограмма MNPQ.

M

N P

Q

MNMN PQPQ NMNM QPQP MQMQ PNPN QMQM NPNP

№ 747 Укажите пары коллинеарных (сонаправленных) векторов, которые определяются сторонами трапеции АВСD с основаниями AD и BC.

А

В С

D

СВСВ DADA ВСВС ADADСонаправленные

векторыПротивоположно направленные

векторы

ВСВС DADA СВСВ ADAD

№ 747 Укажите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами треугольника FGH.

F

G

H

Коллинеарных векторов нет

№ 748 В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы. Обоснуйте ответ.

А

В С

D

AAВВ = DC = DC;; ВСВС = D = DА;А; AAОО = = ООCC;;

О

AAСС = = ВВDD..

О

А

В С

D

АВСD – квадрат, АВ = 4. Заполните пропуски:

1. АВ1. АВ ии CD CD – … – …

2. ВС … С2. ВС … СDD, так как … , так как …

3. АО = … 3. АО = …

4. ВО = АО, так как … 4. ВО = АО, так как …

5. СО = СА, так как … 5. СО = СА, так как …

6. DD6. DD … , DD = … … , DD = …

44

44

АВСD – параллелограмм. По данным рисунка найти

А

В С

D

АВАВ

300

6

К

12

= 12

D

O

АВС – равнобедренный треугольник. О – точка пересечения медиан. По данным рисунка найти

А

В

С

DODO

10

= 2

16

8

62

ВВOO = 4

№ 746 АВСD – прямоугольная трапеция.Найти ВВD , CD , ACD , CD , AC

A

B C

D12

5

454500

Решение

13169512

:22

BD

АВDИз

255055

:22

СD

КСDИз

К

5 5

77

74

492575

:22

АС

АВСИз

№ 749 Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы.

M

N L

K

NL = KLNL = KL;;

MS = SNMS = SN;;

MN = KLMN = KL;;

TS = KM;TS = KM;S T

TL = KT.TL = KT.

а) коллинеарные векторы;

б) сонаправленные векторы;

в) противоположные векторы;

г) равные векторы;

д) векторы, имеющие равные длины.

В четырехугольнике АВСD , О – точка пересечения диагоналей. Прямая проходит через точку О и пересекает стороны ВС и АD в точках М и N соответственно.

N

M

mm

О

А

В С

D

АВАВ = DC = DCmm

АВАВ = DC = DC

ВСАВиDCАВ ?!?!ВМ, МС, АВМ, МС, АN, DN, AM, NCN, DN, AM, NC

Среди векторов

найдите

, АВСD – параллелограмм

!! 1100 Если в четырехугольнике две стороны Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.параллелограмм.

ВМ, МС, АВМ, МС, АN, DNN, DN;; AMAM и и NC; NC;

ВМ МС АВМ МС АNN; ; АМ АМ NNСС;; DNDN МС МС;; DN ANDN AN; ; DNDN BM;BM;

MC = ANMC = AN;; AM = NC; AM = NC;

BM = DN BM = DN ;; MC = AN ; AM = NC . MC = AN ; AM = NC .

ПроверкаПроверка