View
84
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
Спеціальні класи бінарних відношень. Функціональні відношення. Функціональні відношення. F AB - функціональне відношення. (x,y 1 ),(x,y 2 ) F y 1 =y 2. Для будь-якого x A існує не більше одного y B , що (x,y) F. y однозначно визначається по F та x y=F(x). - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Спеціальні класи бінарних відношень
Функціональні відношення
1
2
Функціональні відношення
FAB - функціональне відношення
Для будь-якого xA існує не більше одного yB,
що (x,y)F
(x,y1),(x,y2)F y1=y2
y однозначно визначається по F та xy=F(x)
3
Функціональні відношення і функції
yx F
FAB - функціональне відношення F для довільного x однозначно
визначає y, такий що (x,y)F
Цей y позначається F(x)Оскільки це робиться для довільного xA,
можна записатиBAFабоBA F :,
Залежність між y та x, яка визначається функціональним відношенням F
називається функцією (відображенням) F
4
Функціональні відношення і функції
• Функціональне відношення для довільної пари xA, yB визначає, чи належить ця пара даному відношенню (так, true), чи не належить (ні, false).
• Функція по xA визначає (обчислює) yB
5
Області відправлення та прибуття
BAF :Область відправлення Може не співпадати з областю визначення
Область прибуттяМоже не співпадатиз областю значень
6
Образи та прообрази
Нехай - функ.відношенняF A B
F A B A BF:
образ x
( , ) ( )x y F y F x
прообраз y
7
Образи та прообрази
Образом множини CA будемо називати множину
всіх образів елементів множини CF(C)={yB|cC F(c)=y}
Нехай FAB - функціональне відношення
Прообразом множини DB будемо називати множину
всіх прообразів елементів множини DF-1(D)={xA|dD F(x)=d}
8
Приклади образів та прообразів
;;:2xf
)1;0[))1;1((],1;0[])1;1([ ff
})1({},1;1{})1({ 11 ff
9
Обернена функція
FAB - функціональне відношення (F:A→B – функція)
Якщо обернене відношення F-1BA також є функціональним відношенням, тоце відношення визначає деяку функцію,
яку будемо називати оберненою до F
функцією і позначати F-1:B → A
Обернена функція
10
yxy
yxxyx lg10
33
y = x2
y = sin xне маютьобернених}
11
Лема про добуток функціональних відношень
Добуток функціональних відношень є функціональним відношенням,
Якщо FAB та GBC – функц. відношення,то F◦GAC – також функц. відношення
F:A→B, G:B→C »»» F◦G:A→C
12
Доведення лемиFAB, GBC, F◦GAC(x,z)F◦GyB (x,y)F, (y,z)G
(x,z1),(x,z2)F◦Gy1 (x,y1)F, (y1,z1)G; y2 (x,y2)F, (y2,z2)G(x,y1)F, (x,y2)F; (y1,z1)G, (y2,z2)G в силу функціональності F y1=y2, (y1,z1)G, (y2,z2)G (y1,z1)G, (y1,z2)G z1=z2 в силу функціональності G
13
Добуток функціональних відношень і суперпозиція функцій
FAB, GBC, F◦GAC – функц. відношення,F:A→B, G:B→C, F◦G:A→CF:xA→yB, G:yB→zC, F◦G:xA→zCy=F(x), z=G(y)z=G(F(x))F◦G:A→C »»» z=G(F(x))
Функцію, що відповідає добутку функціональних відношень F◦G, будемо називати суперпозицією відповідних функцій z=G(F(x))
14
Класифікація відображеньF:AB
Ін’єкція«відображення в»
Сюр’єкція«відображення на»
Бієкція«взаємно однозначне відображення»
F a F a a a( ) ( ' ) '
F A B( )
δF=A та ін’єкція і сюр’єкція одночасно
15
Співвідношення для відображень
)()(.6)()(.5
)()()(.4
)()()(.3
)()()(.2)()()(.1:
11
111
111
1
BfAfBACfCf
DfCfDCf
DfCfDCf
BfAfBAfBfAfBAf
існуєXYfфункціяОбернена
f: XY, A,BX, C,DY
16
Доведення 1
)()()(),(
,),(),()(
BfAfyBfyAfyBxAxxfy
BAxxfyBAfy
17
)()()(),(
,),(),()(
BfAfyBfyAfyBxAxxfy
BAxxfyBAfy
Чи можна обернути доведення 1
не можна
18
Приклад до п.1
)1;0()()()()1;0()()(
)1;0()(),1;0()()(,
)0;1(),1;0(,:2
BfAfBAfBfAf
BfAfBAfBABADDx
19
Доведення 3
DCyxfyDCfx ),()(1
)(),( 1 CfxCyxfy
)()( 11 DfCfx )(),( 1 DfxDyxfy
)()( 11 DfCfx
20
Доведення 3
)()( 11 DfCfx
CyxfyCfx ),()(1
)(),( 1 DCfxDCyxfy
DyxfyDfx ),()(1
)(),( 1 DCfxDCyxfy
21
Доведення 5
)()(
,,),()(
11
1
CfxCfx
yCyCyyyCyxfyCfx
CyxfyCfx ),()(1
22
Доведення 5
CyxfyCfxCfx ),()()( 11
)(
,
),(),(
1
1
Cfx
yCyCy
CyxfyCfx
Доведення 6
23
y f(A) ∊ ⇒ y=f(x), x A ∊ ⇒ ⇒ y=f(x), x B ∊ ⇒ y f(B)∊
AB f(A) f(B)
24
Зауваження до твердження 1Якщо f – ін'єкція, тоf(A∩B)=f(A) ∩ f(B)
f(A∩B)f(A) ∩ f(B) – вже доведеноДоведемо, що <пр.част.> <⊂ лів.част.>
y f(A) ∩ f(B)∊ y=f(x⇒ 1),x1 A, y=f(x∊ 2),x2 B∊ ⇒в силу ін'єктивності x1=x2 ⇒
y=f(x1),x1 A, x∊ 1 B y=f(x∊ ⇒ 1),x1 A∩B ∊ ⇒y f(A∩B)∊
Якщо f ін'єкція, то f(A\B)=f(A) \ f(B)
25
y∊ f(A\B)⇒ y=f(x), y=f(x),x A, x∊ ∉B⇒
а) y∊f(B), x∉B, ⇒ x∉B, y=f(x), y=f(x’),x’∊B⇒ в силу ін'єктивності ⇒x=x’ ⇒ x∉B, x∊B⇒ неможливо
б) y∉f(B), y=f(x), x A, ∊ ⇒ y∊f(A), y∉f(B) ⇒
y∊f(A) \ f(B)
Якщо f ін'єкція, то f(A\B)=f(A) \ f(B)
26
y∊ f(A)\f(B)⇒⇒ y∊ f(A), y∉f(B) ⇒ y=f(x),x A∊ , y∉f(B)
а) x∊B, y=f(x),x A, y∊ ∉f(B) ⇒y∊f(B), y∉f(B) ⇒ неможливо
б) x∉B, y=f(x),x A, ∊ ⇒ y=f(x),x A\B∊ ⇒ yf(A\
B)
Recommended