Спеціальні класи бінарних відношень

Відношення часткового порядку

1

По росту

2

По розміру

3

За віком

4

За красою

5

6

Відношення часткового порядку

Відношенням часткового порядку на множині A будемо називати

рефлексивне, антисиметричне та транзитивне бінарне відношення на множині A.

1. РефлексивнеxAxRx

2. АнтисиметричнеxRy yRx x=y

3. ТранзитивнеxRy, yRz xRz

7

Приклади відношень часткового порядку

yxxRyDyx ,менше або дорівнює на множині дійсних чисел

Бути нащадком

A,B, ARBAB включення множин

Будемо позначати відношення часткового порядку

8

Приклад часткового порядку

qnqmmnmRqnRmістьтранзитивн

mnnmmnmRnnRmичністьантисиметр

nnnRnістьрефлексивн

,,.3

,,.2

.1

93,92,29,39,26 RRRRR

n R m ⇔ n ділиться націло на m ⇔ n | m

9

Приклад часткового порядку

Ж6 Ж7

Ч8

Ч1 Ж1 Ч2 Ж2 Ч3 Ж3

Ч4 Ж4 Ж5 Ч5

ГЕНЕАЛОГІЧНЕ ДЕРЕВОГрафічне зображення відношення “бути пращуром”Пращур той, до кого по стрілках можна спуститись

10

Множина називається частково впорядкованою,якщо на ній задано відношення часткового порядку

Означення

Хто сильніший кит чи слон

11

12

Мінімальні та максимальні елементи

Нехай А – частково впорядкована множина з відношенням часткового порядку

х – мінімальний елемент, якщо в A не існує меншого за нього елемента крім самого x

y x x=yх – максимальний елемент, якщо в A не існує більшого за нього елемента крім самого x

x y x=y

13

Найменші та найбільші елементи

Нехай А – частково впорядкована множина з відношенням часткового порядку

x – найменший елемент, якщо він менший будь-якого елемента з A

yA x y x – найбільший елемент, якщо він більший будь-якого елемента з A

yA y x

14

Приклад мін., макс., най...6 максимальних елементів

3 мінімальнихелементи

Ж6 Ж7

Ч8

Ч1 Ж1 Ч2 Ж2 Ч3 Ж3

Ч4 Ж4 Ж5 Ч5

15

Ж6 Ч6

Ч7

Ч1 Ж1 Ч2 Ж2 Ч3 Ж3

Ч4 Ж4 Ж5 Ч5

Приклад мін., макс., най...6 максимальних елементів

Наименьший тамінімальний елемент

16

Приклади мін., макс., най...

A,B,A B ABÆ - найменший та мінімальний- найбільший та максимальний{1} {2} {2} {1}

17

Приклади мін., макс., най...

1

2 3 5

4 6

A={1;2;3;4;5;6} x y x ділиться на y⇔ y ділить x

• 1 – найбільший та максимальний• 4,5,6 – мінімальнінайменшого немає

18

Приклади мін., макс., най...

A={1;2;3;4;5;6; ....} x y x ділиться на y• 1 – найбільший та максимальний• найменшого та мінімальних немає

19

Приклади мін., макс., най...

A={2;3;4;5;6; ......} x y x ділиться на y•найбільшого немає•2,3,5,7,… - прості числа - максимальні•мінімальних та найменшого немає

20

Леми про най... елементи

Лема 1В довільній частково впорядкованій множинііснує не більше одного найбільшого (найменшого) елемента

Припустимо, що існує 2 найменших х1 та х2:

x1 – найменш. x1≤x2

x2 – найменш. x2≤x1} антисимx1=x2

21

Леми про най... елементи

Лема 2В частково впорядкованій множині найменший (найбільший) елементє єдиним мінімальним (максимальним)

x1 – найменш. x1≤x2

x2 – мінімальн. } x2 – мінімальн. x1 = x2

Припустимо x1 – найменьш., а x2 – мінімальн.

22

Відношення лінійного порядку

Відношенням лінійного порядку на множині A будемо називати

рефлексивне, антисиметричне, транзитивне та порівняльне бінарне відношення на множині A.

1. РефлексивнеxAxRx

2. АнтисиметричнеxRy yRx x=y

3. ТранзитивнеxRy, yRz xRz

4. Порівняльне x,yAxRy yRx

23

Множина називається лінійно впорядкованою,якщо на ній задано відношення лінійного порядку

Означення

24

Лема 3

В лінійно впорядкованій множині мінімальний (максимальний) елемент єнайменшим (найбільшим)

x0 – мінімальний, xA

x≤x0

x0≤x

В обох випадках x0≤x

x0≤x

в силу порівняльності

оскільки x0 мінімальний x0=x