View
24.250
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
ทฤษฎจ านวนเบองตน (เนอหาตอนท 1)
การหารลงตว และ จ านวนเฉพาะ
โดย
ผชวยศาสตราจารย ดร. ยศนนต มมาก
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
1
สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
สอการสอน เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน มจ านวนตอนทงหมดรวม 7 ตอน ซงประกอบดวย
1. บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน 2. เนอหาตอนท 1 การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ
- ขนตอนวธการหาร - การหารลงตว - จ านวนเฉพาะ
3. เนอหาตอนท 2 ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย - ตวหารรวมมาก - ขนตอนวธของยคลด - จ านวนเฉพาะสมพทธ - ตวคณรวมนอย
4. แบบฝกหด (พนฐาน) 5. แบบฝกหด (ขนสง) 6. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎจ านวน 7. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎบทเศษเหลอของจน
คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบผสอน และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน (การหารลงตว และ จ านวนเฉพาะ) หมวด เนอหา ตอนท 1 (1/2) หวขอยอย 1. ขนตอนวธการหาร 2. การหารลงตว 3. จ านวนเฉพาะ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน
1. สามารถหาผลหารและเศษเหลอทสอดคลองขนตอนวธการหาร 2. เขาใจบทนยามการหารลงตวและสมบตเบองตน 3. เขาใจบทนยามและสามารถยกตวอยางจ านวนเฉพาะ 4. เขาใจขอความของทฤษฎบทหลกมลของเลขคณต
ผลการเรยนรทคาดหวง
ผเรยนสามารถ 1. บอกขอความของขนตอนวธการหารได 2. หาผลหารและเศษเหลอทสอดคลองขนตอนวธการหารได 3. ตรวจสอบการหารลงตวและพสจนสมบตเบองตนได 4. บอกบทนยามและยกตวอยางจ านวนเฉพาะได 5. บอกขอความของทฤษฎบทหลกมลของเลขคณตได 5. เขยนจ านวนเตมบวกมากกวา 1 ทก าหนดใหเปนผลคณของจ านวนเฉพาะได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
3
เนอหาในสอการสอน
เนอหาทงหมด
ทฤษฎจ ำนวนเบองตน
ขนตอนวธการหาร
การหารลงตว
จ านวนเฉพาะ
ตวหารรวมมาก
ขนตอนวธของยคลด
จ านวนเฉพาะสมพทธ
ตวคณรวมนอย
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
4
1. ขนตอนวธการหาร
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5
1. ขนตอนวธการหาร
การสอนเรองทฤษฎจ านวนเบองตน ผสอนควรทบทวนความรเกยวกบสมบตเบองตนของจ านวนเตมใหผเรยนกอน เชน
เซตของจ านวนเตม { , 3, 2, 1,0,1,2, } เซตของจ านวนเตมมสมบตปดส าหรบการบวก การลบ และ การคณ แตไมมสมบตปดส าหรบ
การหาร และใหผเรยนดตวอยางในสอการสอน 2 ตวอยางแรก
เมอผเรยนไดแนวคดในเรองผลหารและเศษเหลอ จากตวอยางขางตนไปแลว ผสอนอาจยกตวอยางการแบงของเพมเตมไดอก ดงน ตวอยาง เศษเหลอทเปนไปไดทงหมดเมอเราแบงสงของจ านวนหนงออกเปน 5 กอง กองละ ๆ ก น แนวตอบ ผสอนยกตวอยางสงของจ านวนตาง ๆ กน เชน 8, 10, 17, 21, 29 แลวน ามาแบงเปนหากอง ใหผเรยนบอกเศษเหลอตาง ๆ ทเปนไปไดทงหมด ซงจะพบวา เศษเหลอทเปนไปไดทงหมดมคาเปน 0, 1, 2, 3 หรอ 4 หลงจากนใหน าผเรยนเขาสบทเรยนเรองขนตอนวธการหาร และ ตวอยาง (1) – (3) จากสอการสอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6
ผสอนใหผเรยนดตวอยางการหาผลหารและเศษเหลอส าหรบจ านวนเตม a และ b ตางๆ ในสอการสอนตอไปน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
7
ผสอนควรเนนย าผเรยนเกยวกบการจ าขนตอนวธการหาร ดงน ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษเหลอ
และ เศษเหลอมคามากกวาหรอเทากบศนยและนอยกวาคาสมบรณของตวหาร ซงในบางครงผลหารและเศษเหลออาจไมไดมาจากการตงหาร โดยตองปรบคาโดยการจดรปดงแสดงในตวอยางขอ (2) และ (3) และผสอนอาจใหผเรยนท าแบบฝกหดตอไปน
แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 1
จงหาผลหารและเศษเหลอจากการหาร a ดวย b เมอก าหนด a และ b ดงตอไปน
1. 140a และ 15b 2. 373a และ 8b 3. 122a และ 11b 4. 215a และ 12b 5. 504a และ 14b
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
8
ผสอนอาจเพมเตมโดยใหบทนยามของจ านวนคและจ านวนคโดยอาศยขนตอนวธการหารจากการหารจ านวนเตมดวย 2 ดงน
บทนยาม จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน 2a k เมอ k เปนจ านวนเตม
จ านวนเตม a เปนจ านวนค กตอเมอ สามารถเขยน 2 1a k เมอ k เปนจ านวนเตม
ตวอยาง จงแสดงวา ผลคณของจ านวนคสองจ านวนยอมเปนจ านวนค วธท า ให a และ b เปนจ านวนค จะไดวา 2 1a k และ 2 1b เมอ k และ เปนจ านวนเตม ดงนน
(2 1)(2 1)
4 2 2 1
2(2 ) 1
ab k
k k
k k
และ 2k k เปนจ านวนเตม ท าใหเราสรปไดวา ab เปนจ านวนค # หากผเรยนมความสามารถสง ผสอนอาจเพมตวอยางเชงพสจนดงน
ตวอยาง เมอหารจ านวนเตม a ดวย 5 มเศษเหลอเปน 2 จงหาเศษเหลอจากการหาร 4a ดวย 5 วธท า เนองจากเมอหารจ านวนเตม a ดวย 5 มเศษเหลอเปน 2 โดยขนตอนวธการหารเราเขยน a ไดในรป
5 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม ดงนน
4 20 8
4 5(4 1) 3
a q
a q
เพราะวา 4 1q เปนจ านวนเตม ดงนน เศษเหลอจากการหาร 4a ดวย 5 มคาเปน 3 #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9
ตวอยาง ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 3 มคาเปน 0 หรอ 1 วธท า โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 3 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1 หรอ 2 กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 2 2(3 ) 3(3 )a q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 3 จะมเศษเหลอเปน 0 กรณ 2 เศษเหลอเปน 1 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 1a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 2 2 2(3 1) 9 6 1 3(3 2 ) 1a q q q q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 3 จะมเศษเหลอเปน 1 กรณ 3 เศษเหลอเปน 2 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 2 2 2(3 2) 9 12 4 3(3 4 1) 1a q q q q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 3 จะมเศษเหลอเปน 1 จากทง 3 กรณ สรปไดวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 3 มคาเปน 0 หรอ 1 #
แบบฝกหดเพมเตม เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 2
1. จงพสจนวาผลบวกของจ านวนคและจ านวนคเปนจ านวนค 2. จงพสจนวาผลคณของจ านวนคและจ านวนคเปนจ านวนค 3. เมอหารจ านวนเตม a ดวย 6 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอจากการหาร 2 5a ดวย 6 4. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 5 มคาเปน 0,1 หรอ 4
5. ให a เปนจ านวนเตมบวกใด ๆ จงแสดงวา 2( 2)
3
a a เปนจ านวนเตม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
10
2. การหารลงตว
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
11
2. การหารลงตว
จากขนตอนวธการหาร เมอน าจ านวนเตม a หารดวยจ านวนเตม 0b จะมเศษเหลอ r โดยท 0 r b ถาเศษเหลอมคาเทากบศนย เรากลาววา b หาร a ลงตว ซงจะศกษารายละเอยดกนในหวขอน
ผสอนควรยำเกยวกบสญลกษณของกำรหำรลงตว “ | ” และ ขอตกลงวำในกำรเขยน
|b a หรอ |b a ใหเขำใจวำตวหำร b ตองไมเทำกบศนย และอำจยกตวอยำงเพอสรำงควำมคนเคยเกยวกบกำรหำรลงตวและไมลงตวแกผเรยนเพมเตมได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
12
ตอไปผสอนอธบายสมบตเบองตนของการหารลงตวในทฤษฎบทตอไปน โดยผสอนควรยกตวอยางประกอบแตละขอและใหผเรยนศกษาบทพสจนเพมเตมจากสอการสอน
ทฤษฎบท ให ,a b และ c เปนจ านวนเตม (1) | 0b , |b b และ 1| a (2) ถา |b a แลว | ( )b a , ( ) |b a และ ( ) | ( )b a (3) ถา |c b และ |b a แลว |c a (4) ถา |b a และ 0a แลว b a (5) ถา |c a และ |c b แลว | ( )c ax by เมอ x และ y เปนจ านวนเตมใด ๆ
เชน 3 | 0 , ( 2) | ( 2) , 1| 25
เชน จำก 3 |15 จะไดวำ 3 | ( 15) , ( 3) |15 และ ( 3) | ( 15)
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
13
เชน ถำ 2 | 6 และ 6 |18 จะไดวำ 2 |18 หรอ ถำเรำม 2 | x และ |x y จะสรปไดวำ 2 | y นนคอ y เปนจำนวนค
เชน 4 |12 จะได 4 12 6 | ( 18) จะได 6 18 18 ( 5) | ( 20) จะได 5 5 20 20
เชน จำก 4 | 8 และ 4 |12 จะสรปไดวำ 4 | (8 12) และ 4 | (8( 3) 12(101)) เปนตน ยงกวำนน ถำ a และ b เปนจำนวนค จะสรปไดวำ ax by จะเปนจำนวนคเสมอ ทกจำนวนเตม x และ y
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
14
ผสอนอาจใชทฤษฎบทขางตนพสจนสมบตของจ านวนเตมเพมเตมดงน
ตวอยาง ให , ,a b c และ d เปนจ านวนเตมซง |a b และ |c d จงแสดงวา |ac bd วธท า สมมตวา |a b และ |c d ดงนน มจ านวนเตม q และ q ทท าให b qa และ d q c ท าให ( )( ) ( )( )bd qa q c qq ac เพราะวา qq เปนจ านวนเตม ดงนน |ac bd # ตวอยาง จงแสดงวา 33 | ( )a a เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ วธท า ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ สงเกตวา 3 2( 1) ( 1)( 1)a a a a a a a โดยขนตอนวธการหาร จะมจ านวนเตม q และ r ซง
3a q r โดยท 0,1r หรอ 2 กรณ 1 0r เราไดวา 3 | a ท าให 3 | ( 1)( 1)a a a กรณ 2 1r นนคอ 3 1a q ท าให 1 3a q ดงนน 3 | ( 1)a สงผลให 3 | ( 1)( 1)a a a กรณ 3 2r นนคอ 3 2a q ท าให 1 3 3 3( 1)a q q ดงนน 3 | ( 1)a สงผลให 3 | ( 1)( 1)a a a
จากทกกรณ เราสรปไดวา 33 | ( )a a #
ตวอยาง จงแสดงวาจ านวนคทไมเทากบศนยหารจ านวนคไมลงตว วธท า ให a เปนจ านวนคทไมเทากบศนย และ b เปนจ านวนค จะไดวา 2a k และ 2 1b เมอ k และ เปนจ านวนเตม สมมตวา a หาร b ลงตว จะไดวา มจ านวนเตม q ซง b qa ท าให 2 1 (2 ) 2( )q k qk ดงนน 1 2( ) 2 2( )qk qk เพราะวา qk เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา 2 |1 ซงเปนขอขดแยงเพราะวา 2 1 เพราะฉะนน จ านวนคทไมเทากบศนยหารจ านวนคไมลงตว #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
15
แบบฝกหดเพมเตม เรอง การหารลงตว
1. จงแสดงวา 9 | 0, 4 | ( 68), 5 | 225, ( 17) | 340, ( 6) | ( 174) 2. จงแสดงวา 8 | ( 14), 12 | 5, ( 7) | 40 3. ก าหนดให ,a b และ d เปนจ านวนเตม
จงพจารณาวาขอความตอไปนถกหรอผดพรอมบอกเหตผลประกอบ ก) ถา 2|d a แลว |d a ข) ถา | ( )d a b และ |d a แลว |d b ค) ถา | (2 )d a b และ | (5 2 )d a b แลว |d a
4. จงแสดงวา ก) ถา |1a แลว 1a ข) ถา |a b และ |b a แลว a b
5. จงแสดงวา ถา a เปนจ านวนค แลว 28 | ( 1)a 6. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวาสมาชกในเซต { , 2, 4}a a a ตองมตวทหารดวย 3 ลงตว
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
16
3. จ านวนเฉพาะ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
17
3. จ านวนเฉพาะ
เราทราบมาแลววา ส าหรบจ านวนเตมบวก 1a ใด ๆ จะไดวา 1| a และ |a a โดยอาจมหรอไมมจ านวนเตมบวกอนอกทหาร a ลงตว ในหวขอน เราจะพจารณาจ านวนเตมบวก 1p ซงมเพยง 1 และ p เทานนทเปนจ านวนเตมบวกทหาร p ลงตว ซงเราเรยกวา จำนวนเฉพำะ
ส าหรบจ านวนเตม a และ b ถา |b a จะไดวา ( ) |b a ดงนนเราใหนยามจ านวนเฉพาะดงน
หลงจากผเรยนไดศกษาบทนยามของจ านวนเฉพาะ และ จ านวนประกอบพรอมทงตวอยางจากสอการสอนแลว ผสอนควรใหผเรยนยกตวอยางจ านวนเฉพาะและจ านวนประกอบเพมเตม ทงนผสอนควรย าวา 1 ไมเปนทงจ านวนเฉพาะและจ านวนประกอบ และจากบทนยามเราพจารณาจ านวนเฉพาะทเปนจ านวนเตมบวกเทานน
หำกผเรยนสงสยเกยวกบขอสงเกตของจำนวนประกอบน ผสอนอำจอธบำยวำ ถำ n เปนจำนวนประกอบ แสดงวำ n ยอมมตวหำรทเปนจำนวนเตมบวก d นอกจำก 1 และ n และจำก |d n จะไดวำ d n โดยยกตวอยำงจำนวนประกอบเชน 18 มตวหำรอนทมำกกวำ 1 และนอยกวำ 18 เชน 2,3,9 เปนตน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
18
ในเรองตอมาจะกลาวถงการเขยนจ านวนเตมทมากกวา 1 เปนผลคณของจ านวนเฉพาะ
พรอมทงยกตวอยางการเขยน 700 เปนจ านวนเฉพาะโดยการตงหารสน เพอน าไปสกรณทวไป ซงเรยกวา “ทฤษฎบทหลกมลทำงเลขคณต (Fundamental Theorem of Arithmetic)”
เรำอำจเขยนทฤษฎบทหลกมลทำงเลขคณตในรปสญลกษณไดดงแสดงไวในสอกำรสอน ซงผสอนอำจใหผเรยนกลบไปดตวอยำงกำรเขยน 700 เพอ ผเรยน ภำพ ทฤษฎบทหลกมลทำงเลขคณตชดเจนยงขน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
19
ผสอนอาจเพมเตมทฤษฎบททเกยวกบจ านวนเฉพาะอยางงาย ซงเปนผลจากทฤษฎบทหลกมลทาง
เลขคณตใหผเรยนทมความสามารถสง ดงน ทฤษฎบท A ทกจ านวนเตมบวก 1n จะมจ านวนเฉพาะ p ท |p n พสจน เนองจาก 1n โดยทฤษฎบทหลกมลทางเลขคณต จะไดวา
1 2
1 2rk k k
rn p p p โดยท ip เปนจ านวนเฉพาะ และ ik เปนจ านวนเตมบวก ทก 1, 2, ,i r ดงนน 1 |p n #
ทฤษฎบท B มจ านวนเฉพาะอยเปนจ านวนอนนตตว พสจน สมมตวามจ านวนเฉพาะอย r ตว ไดแก 1 2, , , rp p p ให 1 2 1rN p p p ดงนน 1N โดยทฤษฎบท A จะมจ านวนเฉพาะ p ท |p N เพราะฉะนน 1 2{ , , , }rp p p p ท าใหไดวา 1 2| rp p p p ดงนน จะไดวา 1 2| ( )rp N p p p เพราะฉะนน |1p ซงเปนขอขดแยง จงสรปไดวา มจ านวนเฉพาะอยเปนจ านวนอนนตตว #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
20
ทฤษฎบท C ถา n เปนจ านวนประกอบ แลวจะมจ านวนเฉพาะ p n ท |p n พสจน ให n เปนจ านวนประกอบ ดงนน 1n และ มจ านวนเตม d ซง 1 d n และ |d n เพราะฉะนน มจ านวนเตม 1e ซง n de สมมตวา d n และ e n ดงนน de n ซงเปนขอขดแยง เพราะฉะนน d n หรอ e n โดยไมเสยนยทวไปสมมตวา d n เนองจาก 1d ดงนน มจ านวนเฉพาะ p ท |p d สงผลให |p n เพราะฉะนน p n และ |p n # หมายเหต จากทฤษฎบทขางตนจะไดวา ถาจ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ a ทกจ านวนหาร a ไมลงตว แลวจะไดวา a เปนจ านวนเฉพาะ ตวอยาง จงพจารณาวา 149 เปนจ านวนเฉพาะหรอไม วธท า จ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ 149 169 13 คอ 2,3,5,7 และ 11 และทกตวหาร 149 ไมลงตว ดงนน 149 เปนจ านวนเฉพาะ #
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
21
ตอไป ผสอนอาจพดถงการหาจ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ n เมอก าหนดจ านวนเตมบวก
n มาให โดยอาศยทฤษฎบท C วธการนเรยกวา ตะแกรงเอรำทอสเทนส (Sieve of Eratosthenes) ซงมขนตอนดงน
1. ให 1 2 32, 3, 5, , kp p p p เปนจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ n 2. เขยนจ านวนเตมตงแต 2 ถง n 3. วงกลม 1 2p แลวลบจ านวนเตมทกตวในขอ 2. ทหารดวย 2 ลงตว ยกเวน 2 4. วงกลม 2 3p แลวลบจ านวนเตมทกตวในขอ 2. ทหารดวย 3 ลงตว ยกเวน 3 5. วงกลม 3 5p แลวลบจ านวนเตมทกตวในขอ 2. ทหารดวย 5 ลงตว ยกเวน 5
ท าเชนนตอไปเรอยๆ จนถง kp “จำนวนเตมบวกทเหลออยจะเปนจำนวนเฉพำะทงหมดทนอยกวำหรอเทำกบ n ”
ตวอยาง จงหาจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 100 วธท า จ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 100 10 คอ 2,3,5 และ 7 เขยนจ านวนเตมตงแต 2 ถง 100 แลวลบจ านวนทหารดวย 2,3,5 และ 7 ลงตวทไมใชตวมนเอง จะไดจ านวนทเหลออยคอจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 100
2 3 5 7
11 13 17 19
23 29
31 37
41 43 47
53
4 6 8 9 10
12 14 15 16 18 20
21 22 24 25 26 27 28 30
32 33 34 35 36 38 39 40
42 44 45 46 48 49 50
51 52 54 55 56 57 58 60
62 63 64 65 66 68 69 70
72 74 75 76 77 78 80
81 82 84 85 86 87 88 90
91 92 93
59
61 6
94 95 9
7
71 73 79
6 98
8
9
3 89
97 9 100
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
แบบฝกหดเพมเตม เรอง จ านวนเฉพาะ
1. จ านวนตอไปนจ านวนใดบางเปนจ านวนเฉพาะ จ านวนใดบางเปนจ านวนประกอบ
73, 207, 503, 1023, 1499, 2011, 2525 2. จงเขยนจ านวนตอไปนในรปผลคณของจ านวนเฉพาะ
604, 925, 4022, 8259, 10101, 10! 3. ให n เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา ถา 3 1n เปนจ านวนเฉพาะ แลว 1n 4. ให n เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา ถา 4 2 1n n เปนจ านวนเฉพาะ แลว 1n 5. จงหาจ านวนเฉพาะทงหมดทนอยกวาหรอเทากบ 200
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
23
สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
24
สรปสาระส าคญประจ าตอน
สาระส าคญของทฤษฎจ านวนเบองตน (ตอนท 1) ประกอบดวยเนอหาหลกทผสอนควรย าแกผเรยนทงหมด 4 เรองคอ
ผสอนอำจยำกำรจำขนตอนวธกำรหำรงำย ๆ วำ “ตวตง = (ตวหำร ผลหำร) + เศษเหลอ” โดยทเศษเหลอจะตองมคำมำกกวำหรอเทำกบศนยและนอยกวำคำสมบรณของตวหำร และในกรณทกำรหำรมเศษเหลอเปนศนย เรำกลำววำเปน “กำรหำรลงตว” ผสอนอำจยำเกยวกบสญลกษณอกครงวำ กำรหำรลงตวใชสญลกษณ “ | ” ไมใช “ / ”
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
25
3. 4.
ผสอนทบทวนนยำมของจำนวนเฉพำะ และ จำนวนประกอบ พรอมทงยกตวอยำงกำรเขยนจำนวนเตมบวกทมำกกวำ 1 เปนผลคณของจำนวนเฉพำะ โดยอำจยกตวอยำงทมควำมซบซอนยงขน เชน 3 4 231752 2 3 7 หรอ 44733 3 13 31 37 เปนตน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
26
เอกสารอางอง
1. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรำยวชำเพมเตมคณตศำสตร เลม 1 ชนมธยมศกษำปท 4 – 6 กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพฯ: สถาบนฯ.
2. สเทพ จนทรสมศกด. (2533). ระบบจำนวน. กรงเทพฯ: หางหนสวนจ ากดพทกษการพมพ.
3. อจฉรา หาญชวงศ. (2542). ทฤษฎจำนวน. กรงเทพฯ: โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
27
ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
28
แบบฝกหดระคน
1. จงหาผลหารและเศษเหลอจากการหาร 2345a ดวย 157b 2. จงแสดงวาผลบวกของจ านวนคสองจ านวนยอมเปนจ านวนค 3. จงหาจ านวนสมาชกในเซต {201,202, ,300} ทหารดวย 4 ลงตว 4. ถา |bc ac และ c เปนจ านวนเตมโดยท 0c จงแสดงวา |b a 5. ถา | ( )m a b และ | ( )m c d จงแสดงวา | ( )m ac bd 6. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ จงแสดงวา 23 | (2 7)a a 7. จงตรวจสอบวา 229 เปนจ านวนเฉพาะหรอไม เพราะเหตใด 8. จงเขยน 4028 ในรปผลคณของจ านวนเฉพาะ 9. ให n เปนจ านวนเตมบวก จงแสดงวา ถา 4 4n เปนจ านวนเฉพาะ แลว 1n 10. จ านวนเตมบวกทงหมดทหาร 210 ลงตว มทงหมดกจ านวน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
29
ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
30
เฉลยแบบฝกหด
เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 1
1. 9, 5q r 2. 46, 5q r 3. 12, 10q r
4. 18, 1q r 5. 36, 0q r
เฉลยแบบฝกหด
เรอง ขนตอนวธการหาร ชดท 2
1. ให a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนค
จะไดวา 2a k และ 2 1b เมอ ,k เปนจ านวนเตม
ดงนน 2 (2 1) 2( ) 1a b k k
เพราะวา k เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา a b เปนจ านวนค
2. ให a เปนจ านวนค และ b เปนจ านวนค
จะไดวา 2a k และ 2 1b เมอ ,k เปนจ านวนเตม
ดงนน 2 (2 1) 2(2 )ab k k k
เพราะวา 2k k เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา ab เปนจ านวนค
3. เนองจากเมอหารจ านวนเตม a ดวย 6 มเศษเหลอเปน 3
โดยขนตอนวธการหารเราเขยน a ไดในรป 6 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม
ดงนน 2 5 2(6 3) 5 12 11a q q
ซงจดรปไดเปน 2 5 6(2 1) 5a q
เพราะวา 2 1q เปนจ านวนเตม ดงนน เศษเหลอจากการหาร 2 5a ดวย 6 มคาเปน 5
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
31
4. โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 5 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1, 2, 3 หรอ 4
กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 5a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2 2(5 ) 5(5 )a q q ดงนนเมอหาร 2a ดวย 5 จะมเศษเหลอเปน 0
กรณ 2 เศษเหลอเปน 1 เราสามารถเขยน a ไดในรป 5 1a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2 2 2(5 1) 25 10 1 5(5 2 ) 1a q q q q q
ดงนนเมอหาร 2a ดวย 5 จะมเศษเหลอเปน 1
กรณ 3 เศษเหลอเปน 2 เราสามารถเขยน a ไดในรป 5 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2 2 2(5 2) 25 20 4 5(5 4 ) 4a q q q q q
ดงนนเมอหาร 2a ดวย 5 จะมเศษเหลอเปน 4
กรณ 4 เศษเหลอเปน 3 เราสามารถเขยน a ไดในรป 5 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2 2 2(5 3) 25 30 9 5(5 6 1) 4a q q q q q
ดงนนเมอหาร 2a ดวย 5 จะมเศษเหลอเปน 4
กรณ 5 เศษเหลอเปน 4 เราสามารถเขยน a ไดในรป 5 4a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2 2 2(5 4) 25 40 16 5(5 8 3) 1a q q q q q
ดงนนเมอหาร 2a ดวย 5 จะมเศษเหลอเปน 1
จากทง 5 กรณ สรปไดวา เศษเหลอจากการหาร 2a ดวย 5 มคาเปน 0,1 หรอ 4
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
32
5. โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 3 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1 หรอ 2
กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2
2( 2) 3 ((3 ) 2)(9 2)
3 3
a a q qq q
เปนจ านวนเตม
กรณ 2 เศษเหลอเปน 1 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 1a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2
2( 2) (3 1)((3 1) 2)(3 1)(3 2 1)
3 3
a a q qq q q
เปนจ านวนเตม
กรณ 3 เศษเหลอเปน 2 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม
จะได 2 2
2( 2) (3 2)((3 2) 2)(3 2)(3 4 2)
3 3
a a q qq q q
เปนจ านวนเตม
จากทง 3 กรณ สรปไดวา 2( 2)
3
a a เปนจ านวนเตม
เฉลยแบบฝกหด
เรอง การหารลงตว
1. 0 0 9, 68 ( 17) 4, 225 (45) 5, 340 ( 20) ( 17), 174 29 ( 6) 2. 14 ( 2) 8 2, 5 0 12 5, 40 ( 5)( 7) 5 3. ก) ผด เชน 24 | 6 แต 4 | 6
ข) ถก เนองจาก | ( )d a b และ |d a โดยทฤษฎบทขอ (5) จะไดวา | ( )d a b a ดงนน |d b ค) ถก เนองจาก | (2 )d a b และ | (5 2 )d a b โดยทฤษฎบทขอ (5) จะไดวา | ((2 )( 2) (5 2 ))d a b a b ดงนน |d a
4. ก) สมมตวา |1a โดยทฤษฎบทขอ (4) 1a จากทฤษฎบทขอ (1) เราไดวา 1| a ดงนน โดยทฤษฎบทขอ (4) จะได 1 a เพราะฉะนน 1a ท าใหไดวา 1a ข) สมมตวา |a b และ |b a โดยทฤษฎบทขอ (5) เราไดวา a b และ b a ดงนน a b ท าใหไดวา a b
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
33
5. สมมตวา a เปนจ านวนค ดงนน 2 1a k เมอ k เปนจ านวนเตม เพราะฉะนน 2 2 21 (2 1) 1 (4 4 1) 1 4 ( 1)a k k k k k เนองจาก k เปนจ านวนเตม ท าใหไดวา k หรอ 1k ตองเปนจ านวนค ดงนน ( 1)k k เปนจ านวนค นนคอ ( 1) 2k k q เมอ q เปนจ านวนเตม ท าใหไดวา 2 1 8a q เพราะฉะนน 28 | ( 1)a
6. โดยขนตอนวธการหาร เมอหาร a ดวย 3 จะมเศษเหลอทเปนไปไดคอ 0, 1 หรอ 2 กรณ 1 เศษเหลอเปน 0 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3a q เมอ q เปนจ านวนเตม นนคอ 3 | a กรณ 2 เศษเหลอเปน 1 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 1a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 2 (3 1) 2 3 3 3( 1)a q q q นนคอ 3 | ( 2)a กรณ 3 เศษเหลอเปน 2 เราสามารถเขยน a ไดในรป 3 2a q เมอ q เปนจ านวนเตม จะได 4 (3 2) 4 3 6 3( 2)a q q q นนคอ 3 | ( 4)a จากทง 3 กรณ สรปไดวา มสมาชกในเซต { , 2, 4}a a a ทหารดวย 3 ลงตว
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
34
เฉลยแบบฝกหด เรอง จ านวนเฉพาะ
1. 73, 503, 1499, 2011เปนจ านวนเฉพาะ และ 207, 1023, 2525 เปนจ านวนประกอบ
2. 2 2604 2 151, 925 5 37, 4022 2 2011, 8259 3 2753, 8 4 210101 3 7 13 37,10! 2 3 5 7
3. เมอ 1n เราไดวา 3 1 2n เปนจ านวนเฉพาะ
เนองจาก 3 21 ( 1)( 1)n n n n
สมมตวา 1n จะได 1 2n และ 2 1 2n n
ดงนน 3 1n ไมเปนจ านวนเฉพาะ เมอ 1n
4. เมอ 1n เราไดวา 4 2 1 3n n เปนจ านวนเฉพาะ
เนองจาก 4 2 2 21 ( 1)( 1)n n n n n n
สมมตวา 1n จะได 2 1 2n n และ 2 1 2n n
ดงนน 4 2 1n n ไมเปนจ านวนเฉพาะ เมอ 1n
5. โดยใชวธตะแกรงเอราทอสเทนส เราไดวา จ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ 200 คอ
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,
107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
35
เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 14q และ 147r
2. ให a และ b เปนจ านวนค
จะไดวา 2a k และ 2b เมอ ,k เปนจ านวนเตม
ดงนน 2 2 2( )a b k k
เพราะวา k เปนจ านวนเตม ท าใหสรปไดวา a b เปนจ านวนค
3. เนองจ านวนท 4 หารลงตวสามรถเขยนไดในรป 4k เมอ k เปนจ านวนเตม
สมมตวา 4 {201,202, ,300}k ดงนน 201 4 300k
ท าใหไดวา k ตองเปนจ านวนเตมโดยท 50.25 75k
เพราะฉะนนในเซต {201,202, ,300} มจ านวนเตมท 4 หารลงตวทงหมด 25 ตว
4. สมมตวา |bc ac และ c เปนจ านวนเตมโดยท 0c
ดงนน มจ านวนเตม q ซง ac qbc
เนองจาก 0c จะไดวา a qb เพราะฉะนน |b a
5. สมมตวา | ( )m a b และ | ( )m c d
ดงนน a b mk และ c d m เมอ ,k เปนจ านวนเตม
ท าใหไดวา ac bc mkc และ bc bd bm
เพราะฉะนน ( ) ( )ac bc bc bd mkc bm
นนคอ ( )ac bd m kc b
เพราะวา kc b เปนจ านวนเตม ดงนน เราสรปไดวา | ( )m ac bd
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
36
6. ให a เปนจ านวนเตมใด ๆ
โดยขนตอนวธการหาร จะมจ านวนเตม q และ r ซง 3a q r โดยท 0,1r หรอ 2
กรณ 1 0r เราไดวา 3a q ท าให 2 2(2 7) 3 (2(3 ) 7)a a q q ดงนน 23 | (2 7)a a
กรณ 2 1r นนคอ 3 1a q
ท าให 2 2 2(2 7) (3 1)(2(3 1) 7) 3(3 1)(6 4 3)a a q q q q q ดงนน 23 | (2 7)a a
กรณ 3 2r นนคอ 3 2a q
ท าให 2 2 2(2 7) (3 2)(2(3 2) 7) 3(3 2)(6 8 5)a a q q q q q
ดงนน 23 | (2 7)a a
จากทกกรณ เราสรปไดวา 23 | (2 7)a a
7. จ านวนเฉพาะทนอยกวาหรอเทากบ 229 256 16 คอ 2,3,5,7,11 และ 13
และทกตวหาร 229 ไมลงตว ดงนน 229 เปนจ านวนเฉพาะ
8. 24028 2 19 53 9. เมอ 1n เราไดวา 4 4 5n เปนจ านวนเฉพาะ
เนองจาก 4 2 24 ( 2 2)( 2 2)n n n n n
สมมตวา 1n จะได 2 2 2 2n n และ 2 2 2 2n n
ดงนน 4 4n ไมเปนจ านวนเฉพาะ เมอ 1n
10. เนองจาก 210 2 3 5 7
ดงนน ถา | 210m จะไดวา 2 3 5 7a b c dm เมอ 0 , , , 1a b c d
เพราะฉะนน ตวหารของ 210 มทงหมด 16 ตว คอ
1, 2, 3, 5, 7, 2 3, 2 5, 2 7, 3 5, 3 7, 5 7, 2 3 5, 2 3 7, 2 5 7, 3 5 7, 2 3 5 7
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
37
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
38
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
เรอง ตอน
เซต บทน า เรอง เซต
ความหมายของเซต
เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต
เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร
การใหเหตผล
ประพจนและการสมมล
สจนรนดรและการอางเหตผล
ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย
สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง
จ านวนจรง
บทน า เรอง จ านวนจรง
สมบตของจ านวนจรง
การแยกตวประกอบ
ทฤษฏบทตวประกอบ
สมการพหนาม
อสมการ
เทคนคการแกอสมการ
คาสมบรณ
การแกอสมการคาสมบรณ
กราฟคาสมบรณ
สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน
สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม
สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ
ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
39
เรอง ตอน
ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ
อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน
ฟงกชนเบองตน
พชคณตของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส
ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
เลขยกก าลง
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
ลอการทม
อสมการเลขชก าลง
อสมการลอการทม
ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต
อตราสวนตรโกณมต
เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย
ฟงกชนตรโกณมต 1
ฟงกชนตรโกณมต 2
ฟงกชนตรโกณมต 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย
สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน
ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน
การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร
การหาคาสดขด
ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม
ล าดบ
การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต
ลมตของล าดบ
ผลบวกยอย
อนกรม
ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
40
เรอง ตอน
การนบและความนาจะเปน .
บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน
การนบเบองตน
การเรยงสบเปลยน
การจดหม
ทฤษฎบททวนาม
การทดลองสม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เนอหา
แนวโนมเขาสสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสสวนกลาง 3
การกระจายของขอมล
การกระจายสมบรณ 1
การกระจายสมบรณ 2
การกระจายสมบรณ 3
การกระจายสมพทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสมพนธระหวางขอมล 1
ความสมพนธระหวางขอมล 2
โปรแกรมการค านวณทางสถต 1
โปรแกรมการค านวณทางสถต 2
โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย
ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส
การถอดรากทสาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบองทยดหดได
Recommended