4.Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina

Matematika

Sistemi linearnih jednačina

Gausov metodKramerov metodKroneker-Kapelijeva teoremaHomogeni sistem jednačinaMatrični metod za rješavanje sistema

linearnih jednačina

Gausov metod

Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rješenje ili se ustanovi da sistem nema rješenja.

Primjer 1.

Kramerov metod

Primjer 2.

(x, y, z) = (1, 2, 3)

Kroneker-Kapelijeva teorema

Ako je n broj nepoznatih, tada: Sistem je saglasan i ima jednoznačno rješenje ako je

rang(A) = rang(Ap) = n Sistem je saglasan i ima beskonačno mnogo rješenja ako je

rang(A) = rang(Ap) < n Sistem je protivrječan i nema rješenja ako je

rang(A) < rang(Ap)

Primjer 3.

Homogeni sistem linearnih jednačina

U homogenom sistemu je b1 = b2 =…= bm = 0 . Homogeni sistem je uvijek saglasan, jer je rang(A) = rang(Ap) Homogeni sistem ima samo trivijalno rješenje X1 = X2 = .......= Xn =0 ako

i samo ako je rang( A) jednak broju nepozantih n . Homogeni sistem ima i netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang( A)

manji od broja nepozantih n .

Napomena: Prethodni stav o saglasnosti i broju rješenja homogenog sistema je posledica Kroneker-Kapelijeve teoreme.

Primjer 4.

Matrični metod za rješavanje sistema linearnih jednačina

Primjer 5.