JEDNAČINA PRAVE

Begzada Kišić

Osnovni zadaci analitičke geometrije su :

- nacrtati liniju čija je jednačina data

- naći jednačinu date linije.

Postoje razni oblici jednačine prave u zavisnosti

od toga čime je ona određena.

Eksplicitni (glavni) oblik

Položaj prave u koordinatnom sistemu jednoznačno je određen:

- uglom α koji prava zatvara (gradi) sa

pozitivnim smjerom ose x i

- odsječkom n koji prava odsijeca na osi y.

Ako posmatramo jednu pravu i znamo ugao α i odsječak n naš zadatak je odrediti njenu jednačinu.

Uzećemo proizvoljnu tačku date prave M(x,y).

Veza između koordinata x i y predstavljaće jednačinu date prave.

U pravouglom trouglu imamo ugao α pa primjenom trigonometrije dobijamo:

x

nytg

xtgny

nxtgy

o, ,ktg

(1) nxky

Jednačina (1) : y=kx+n predstavlja eksplicitni ili glavni oblik jednačine prave.

Da bi neka tačka pripadala datoj pravoj njene

koordinate moraju zadovoljiti jednačinu prave.

Parametri k i n su za datu pravu konstante i od njih zavisi položaj prave u koordinatnom sistemu.

Specijalni slučajevi

Primjer 1. Napisati jednačinu prave koja sa osom x

gradi ugao α=60˚, a na osi y odsijeca

odsječak n=-2.

Rješenje: Tražena jednačina u eksplicitnom obliku

je y=kx+n pri čemu je:

360tgk

2x3y

Segmentni oblik

Položaj prave jednoznačno je određen odsječcima (segmentima) koje prava odsijeca na koordinatnim osama.

Postoji samo jedna prava koja na osi x odsijeca odječak m, a na osi y odsijeca odsječak n.

Treba odrediti jednačinu te prave.

Kod sličnih trouglova stranice su proporcionalne pa je:

yn:yx:xm xyyn xm

xyxymynxmn (-mn): / mnmynx

(2) 1n

y

m

x

Jednačina (2) predstavlja segmentni oblik jednačine prave.

Primjer 2. Nacrtaj grafik prave čija je

jednačina

Rješenje: Datu jednačinu možemo napisati

u obliku:

.1y3

x

.11

y

3

x

Zaključujemo da data prava odsijeca na koordinatnim osama odsječke n=1 i m=3.

Implicitni (opći) oblik

Svaka linearna jednačina: ax+by+c=0 (3)

sa dvije nepoznate predstavlja jednačinu

prave u implicitnom obliku.

Implicitni oblik možemo prevesti u eksplicitni oblik

b

cn ,

b

ak

b

cx

b

ay

0b: / caxby

0cbyax

Takođe implicitni oblik možemo prevesti u segmentni oblik

b

cn ,

a

cm

1

bcy

ac

x

(-c): / -cbyax

0cbyax

Primjer 3. Data je jednačina prave u implicitnom obliku 2x-3y+6=0. Odredi njen koeficijent pravca k i odsječke m i n koje ona odsijeca na koordinatnim osama.

Rješenje: Da bismo odredili parametre k, m i n moramo jednačinu prave napisati u eksplicitnom i segmentnom obliku.

06y3x2

(-3):/ 6x2y3

2x3

2y

2n ,3

2k

06y3x2 )b

16

y3

6

x2

6) (-: / 6y3x2

12

y

3

x

2n ,3m

a)

Sad kad znamo odsječke lako je nacrtati pravu.

Zaključak:

Da bismo napisali jednačinu date prave moramo iskoristiti podatke da odredimo njene parametre.

Ako odredimo koeficijent pravca k i odsječak n na osi y možemo je napisati u eksplicitnom obliku. Ako izračunamo njene odsječke m i n na

koordinatnim osama možemo je napisati u segmentnom obliku.

Svaki oblik jednačine prave možemo transformisati u ostale oblike.

Zadaci:

1. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(6,-4) i na osi x odsijeca odsječak 3. 2. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(3,-7) i na koordinatnim osama odsijeca jednake odsječke. 3. Prava prolazi kroz tačku M(-5,4) i sa koordinatnim osama gradi trougao površine P=5. Odredi njenu jednačinu. 4. U jednačini 2x-(5p-2)y-3=0, odrediti parametar p tako da grafik prave sa osom x gradi ugao α=45˚.

HVALA NA PAŽNJI!