Bai4_Biendoi_Furier

Chương 3: Chuỗi Fourier và ph ép biếnđổi Fourier liên tục

3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức

3.2 Chuỗi Fourier liên tục

3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục

4-1

Tín hiệu mũ

� Tín hiệu mũ và tín hiệu sin là lớp những tín hiệu đặc biệt quantrọng, chúng tạo thành cơ sở cho những tín hiệu khác.

� Tín hiệu mũ phức có dạng tổng quát

trong đó C và a là những số phức

�Tín hiệu mũ thực (khi C và a là những số thực)

Tăng theo hàm mũ Giảm theo hàm mũ

0

0

>>

C

a

0

0

><

C

a

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-2

Tín hiệu sin

� Tín hiệu sin phức (khi a là số thuần ảo)

� Khi C là số phức có dạng

( ) ( )φωφω

φω

+++== +

tCjtC

eCtx tj

00

)(

sincos

)( 0

� Khi C là số thực

tjCtCtx00

sincos)( ωω += Công thức Euler

12sin2cos20 =±== ± πππω jee jTj

� Tín hiệu sin phức là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ

( ) )()( 0000 txCeeCeCeTtx tjTjtjTtj ====+ + ωωωωvì0

2ωπ=T

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-3

Tín hiệu sin

� Tín hiệu sin thực

)cos()(0

φω += tCtx

trong đó C là số thực, có thể đượcbiểu diễn theo tín hiệu sin phức

{ }

( ))()(

)(

00

0

2

Re)(

φωφω

φω

+−+

+

+=

=

tjtj

tj

eeC

Cetx

Tương tự

{ }

( ))()(

)(

0

00

0

2

Im)sin(

φωφω

φωφω+−+

+

−=

=+

tjtj

tj

eeC

CetC

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-4

Tín hiệu mũ phức

� Khi C và a là những số phức

=)(tx

)(tx

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-5

Hàm mũst

� Hàm mũ e

− trong đó s là tần số phức ωσ js +=

� Do đó

� và

Công thức Euler

� So sánh với công thức Euler

là một tổng quát hóa của hàm trong đó biến tần số

được tổng quát hóa thành biến phức

� Nếu (liên hợp phức) thì

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-6

� Các trường hợp đặc biệt

Hàm mũ

Hằng số

Hàm mũ đơn điệu

Hàm sin

Hàm sin thay đổi theo hàm mũ

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-7

Chương 3: Chuỗi Fourier và ph ép biếnđổi Fourier

3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức

3.2 Chuỗi Fourier liên tục

3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục

• Ý tưởng xuất phát:Tính chất xếp chồng của hệ LTI

• Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

• Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)

• Điều kiện Dirichlet

• Các tính chất chuỗi Fourier (liên tục)

4-8

Ý tưởng xuất ph át: Tính xếp chồng của hệ LTI

Các hàm mũ phức là cáchàm riêng của bất kỳ hệ

LTI nào

giá trị riêng hàm riêng

đúng với tất cả

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-9

Chuỗi Fourier cho tín hi ệu tuần ho àn

( ) ( )x t x t T= + với mọi t

– T nhỏ nhất đgl chu kỳ

Ví dụ: 0( ) cos( )x t A tω θ= + A thực0( ) j tx t Ae ω= A phức 0

2

Tπ

ω=

0( ) jk tkx t Ae ω= k nguyên

0

2 kT

k

πω

=

Xét 0 ( ) j tk

k

x t a e ω∞

=−∞= ∑ Chuỗi Fourier

– tuần hoàn với chu kỳ T – { }ka là các hệ số chuỗi Fourier

– k = 0 thành phần một chiều (DC)

– k = ±1 thành phần cơ bản

– k = ±2 hài thứ hai, …

Chu kỳ cơ bản

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-10

Ví dụ 1: Tín hi ệu sin th ực

0( ) sinx t tω= có thể viết thành 0 01

( ) ( )2

j t j tx t e ej

ω ω−= −

Do đó các hệ số của chuỗi Fourier của nó là

1 11 1

, , 0 12 2 ka a a k

j j−= = − = ≠ ±

� Đồ thị biên độ và góc pha

�

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-11

Ví dụ 2: Tổng các hàm sin th ực

� Xét chuỗi các hàm sin có tần số cơ bản là ω0

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-12

Ví dụ 3: Đáp ứng của hệ LTI

� Hệ LTI có đáp ứng xung

( ) ( ), 0th t e u tαα α−= >

với tín hiệu vào

0

0

0

0

( ) ( )

( ) ( )

jkk

k

jk

y t a H jk e

H jk h e d

ω

ω τ

ω

ω τ τ

∞

=−∞∞

−

−∞

=

=

∑

∫

0 0 0( ) ( )0

0 000 0

( ) .jk jk jkH jk e e d e ejk jk

ω τ α ω τ α ω τατ α αω α τ αα ω α ω

∞ ∞ ∞− − + − +−= = = − =

+ +∫ ∫

� Ta có

� Tín hiệu ra

0

2

2

( ) ,jk tk

k

y t c e ω

=−= ∑

trong đó

0( )k kc a H jkω=

0

1 10 0

2 20 0

1,

1 1( ) ( )2 2,

2 2( ) ( )4 4, 2 2

c

j jc c

j j

j jc c

j j

α α α αα ω α ω

α α α αα ω α ω

−

−

=

− += =

+ +

+ −= =

+ +

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-13

Chuỗi Fourier cho tín hi ệu thực

� Với tín hiệu thực, ta luôn có k ka a∗− =

do đó có thể viết

( ) ( )0 0 0 00 0

1 1

( ) jk t jk t jk t jk tk k k k

k k

x t a a e a e a a e a eω ω ω ω∞ ∞

− −∗−

= == + + = + +∑ ∑

(Để chứng minh, tìm liên hợp phức của x(t), ký hiệu là x*(t), với chú ý rằng x(t)=x*(t))

kjk ka A e θ= 0 0

1

( ) 2 cos( ) k kk

x t a A k tω θ∞

== + +∑

k k ka B jC= + 0 0 01

( ) 2 ( cos sin )k kk

x t a B k t C k tω ω∞

== + −∑

� Một số cách biểu diễn khác

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-14

Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực� Ví dụ

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-15

Xác định các hệ số chuỗi Fourier

1) nhân với

2) tích phân trong chu kỳ

1) nhân với

2) tích phân trong chu kỳ

Ở đây chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ)

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-16

⇓

(Phương trìnhtổng hợp)

(Phương trìnhphân tích)

Cặp chuỗi Fourier liên tục

⇓Tiếp tục …

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-17

Ví dụ 1: Tín hi ệu sin th ực

� Các hệ số chuỗi Fourier được xác định như sau

0

0 0

0

(1 ) ( 1 )

1(sin )

1 1

2 2

jk tk T

j k t j k t

T T

a t eT

e dt e dtjT jT

ω

ω ω

ω

− − −

=

= −

∫

∫ ∫

� Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1

Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1

Do đó ta có

1 11 1

, , 0 12 2 ka a a k

j j−= = − = ≠ ±

0 ( ) sin x t tω=

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-18

Ví dụ 2: Sóng vuông tuần ho àn

Với k = 0

Với k ≠ 0

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-19

Một số chuỗi Furier có ích

0 0

00

1 ( ) , ( ) jk t jk t

k k Tk

x t C e C x t e dtT

ω ω∞

−

=−∞= =∑ ∫

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-20

Một số chuỗi Furier có ích

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-21

Điều kiện Dirichlet

Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối trong một chu kỳ

Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gianhữu hạn, x(t) có hữu hạncác cực đại và cực tiểu

Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãnđiều kiện 2

Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gianhữu hạn, x(t) có hữu hạncác điểm không liên tục

Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãnđiều kiện 3

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-22

Các tính chất của chuỗi Fourier

� Dịch thời gian

� Nhân

� F.S. của dãy xung

� Quan hệ Parseval

� Đáp ứng ở chế độ xác lập của các hệ LTI với các tín hiệu tuần hoàn

− Hàm truyền

− Các hệ số chuỗi Fourier đầu ra của hệ LTI

là

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-23

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-24