CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Giới. CAC PHAN... · của một đại lượng...

Chương V

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

Giới thiệu

I. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

II. Một số luật phân phối của biến rời rạc

III. Biến ngẫu nhiên liên tục

GIỚI THIỆU

1. Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên (hay

còn gọi là biến ngẫu nhiên) là đại lượng mà

trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ

một trong các giá trị có thể có của nó với một

xác suất tương ứng xác định.

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký

hiệu là: X, Y, Z hoặc X1, X2, …, Xn; Y1, Y2,

…, Yn và dùng các chữ x1, x2, …, xn để ký

hiệu các giá trị có thể có (giá trị cụ thể) của

chúng.

GIỚI THIỆU

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là “số chấm

xuất hiện”

Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả

của phép thử nó sẽ nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3,

4, 5, 6 với xác suất tương ứng đều bằng 1/6.

Ví dụ 2: Gọi Y là “số phế phẩm có trong 5 sản phẩm

lấy ra kiểm tra”.

Khi đó Y là đại lượng ngẫu nhiên vì trong kết quả

của phép thử Y sẽ nhận một trong các giá trị 0, 1, 2,

…, 5.

GIỚI THIỆU

2) Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

a. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nếu các giá

trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu

hạn hoặc đếm được.

Ví dụ: Một phân xưởng có 4 máy hoạt động.

Gọi X là: “số máy hỏng trong một ca”.

X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với các giá

trị có thể có là X = 0, 1, 2, 3, 4.

GIỚI THIỆU

b. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục nếu các giá

trị có thể có của nó lấp kín một khoảng trên

trục số.

Ví dụ: Gọi X là “kích thước của chi tiết do

một máy sản xuất ra”, X là đại lượng ngẫu

nhiên liên tục.

GIỚI THIỆU

Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu

diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có

của đại lượng ngẫu nhiên và các xác suất

tương ứng đều được gọi là quy luật phân phối

xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.

Để thiết lập quy luật phân phối xác suất

của một đại lượng ngẫu nhiên ta có thể dùng:

bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác

suất và hàm mật độ xác suất.

I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

a. Bảng phân phối xác suất Giả sử đại

lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một

trong các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn với

các xác suất tương ứng là p1, p2, …, pn. Bảng

phân phối xác suất của X có dạng:

Trong đó các xác suất pi (i = 1, 2, …, n) phải

thoả mãn các điều kiện:

và 0 1iP 1

X x x x

P p p p

Ví dụ 1: Trong hộp có 10 sản phẩm trong đó

có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.

Lập bảng phân phối xác suất của số chính

phẩm được lấy ra.

Giải:

Gọi X là: “số chính phẩm được lấy ra

từ hộp” thì X = 0, 1, 2 với các xác suất

tương ứng:

6 41 2

6 42 2

C CP P X

CP P X

Vậy bảng phân phối xác suất của X là:

15 15 3

Ví dụ 2: Tung con xúc xắc 2 lần. Gọi X là

biến ngẫu nhiên “tổng số nút của 2 mặt”. Lập

bảng phân phối xác suất?

………………………………………………

……………………………………………....

Ví dụ 3: Có 2 hộp, hộp 1 có 10 sản phẩm

trong đó có 4 pp, hộp 2 có 9 sp trong đó có 3

a/ Lấy nn 3 sp trong hộp 1. Gọi X1 là số pp

được lấy ra. Lập bảng ppxs của X1

b/ Lấy nn từ mỗi hộp một sp. Gọi X2 là số pp

có được. Lập bảng ppxs của X2

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Ví dụ 4: Trong 10 sp có 6 sp tốt. Lấy nn lần

lượt không hoàn lại 2 sp.

a/ Lập bảng ppxs của số pp lấy ra?

b/ Lập bảng ppxs của số sp tốt lấy ra?

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

b. Hàm phân phối xác suất (tích lũy)

Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

nhiên X, ký hiệu là F(x) là xác suất để đại

lượng ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ hơn x, với x

là một số thực bất kỳ.

F x P X x

b. Hàm phân phối xác suất

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì

hàm phân phối xác suất F(x) được xác định

bằng công thức:

1 2 2 3

1 2 1 1

p x x x

p p x x xF x

p p p x x x

p p p x x

F(x) P X x f x

Tại giá trị x bất kỳ ta có:

1 1[ ]

x x x x

k k k k

F x P P x x

P x X x F x F x

Giá trị trung bình của X cho bởi

Và phương sai của X là

Căn của phương sai gọi là độ lệch chuẩn

E X X xf (x) x p

X X X i i

D X S x f (x) x X p

Các tính chất của kỳ vọng

Các tính chất của phương sai

Ví dụ 1: Cho BNN X có bảng PPXS:

Kỳ vọng của X là E(X) là:

………………………………………………

……………………………………………...

x 1 2 3

p 0,25 0,25 0,5

Ví dụ 2: Tiến hành bắn 3 viên đạn độc lập. Xác

suất trúng bia của mỗi viên bằng 0,4.

a. Lập bảng phân phối xác suất của số lần trúng

b. Lập hàm phân phối của số lần trúng.

c. Tính trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

d. Tính

1 2 P X

Giải:

a. Gọi X là số lần trúng. X có thể nhận các

giá trị: 0, 1, 2, 3. Với các xác suất tương ứng

0 0.6 0.216

1 0.4. 0.6 0.432

2 0.4 .0.6 0.288

3 0.4 0.064

P P X C

Ta có bảng phân phối xác suất của X:

0 1 2 3

0.216 0.432 0.288 0.064

b. Khi đó ta có hàm phân phối xác suất

0.216 0 1

0.648 1 2

0.936 2 3

Tại giá trị x bất kỳ ta có:

1 1[ ]

x x x x

k k k k

F x P P x x

P x X x F x F x

b. Khi đó ta có hàm phân phối xác suất

0.216 0 1

0.648 1 2

0.936 2 3

Ví dụ 3: Trong hộp có 5 sản phẩm tốt và 4

sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm.

Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm

lấy ra.

a/ Tìm bảng phân phối xác suất của X

b/ Viết hàm phân phối xác suất

c/ Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

của biến ngẫu nhiên X

d/ Tính

[1 3]P X

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Ví dụ 1: Xét biên ngẫu nhiên X với bảng

phân phối xác suất.

15 15 3

Ta có Mod(X) = 1 và Me(X) = 1

Ví dụ 2: Xét biên ngẫu nhiên Y với bảng

phân phối xác suất.

Tìm Mod(Y) và Me(Y)?

0 1 2 3

1/ 8 3 / 8 3 / 8 1/ 8

1/ Một kiện hàng có 3 sp tốt, 2 sp xấu. Lấy

nn từ kiện hàng ra 2 sp.

a/ Lập bảng ppxs của số sp tốt lấy được.

b/ Lập bảng ppxs của số sp xấu lấy được. Từ

đó tính kỳ vọng, phương sai của số sp xấu.

BAI TÂP

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

2/ Bạn có một chùm chìa khóa có 6 chìa,

trong đó có 2 chìa mở được cửa. Bạn thử từng

chìa ( thử xong bỏ ra ngoài) cho đến khi mở

được cửa. Hãy tìm số lần thử trung bình mở

được cửa?

BAI TÂP

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

II. MỘT SỐ LUÂT PHÂN PHỐI CỦA

BIẾN RỜI RẠC

1. Phân phối nhị thức

2. Phân phối siêu bội

3. Phân phối Poisson

1. Luật phân phối nhị thức B(n, p)

Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

X={0, 1, …, n} có phân phối nhị thức nếu tồn

tại xác suất sao cho

ký hiệu là X~B(n, p)

(1 ) , 0,k k n k

k nP P X k C p p k n

Phân phối nhị thức B(n, p)

Ví dụ 1: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động

độc lập, xác suất để trong một ngày mỗi máy

bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.

b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.

Giải:

Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một

phép thử, ta có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi

phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng

hoặc không. Xác suất hỏng của mỗi máy đều

bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một

ngày thì X phân phối theo quy luật nhị thức

với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là

X~B(5;0,1)).

a/ Xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng

là xác suất để X = 2

52 0.1 0.9 0.0729P X C

b/ Xác suất để trong ngày có không quá 2

máy hỏng là xác suất để X nhận giá trị trong

khoảng [0, 2]

0.1 0.9 0.59049

0.1 0.9 0.322805

0 2 0.59049 0.32805 0.0729 0.99144

P X P P P

Tính chất:

Nếu X~B(n,p) thì

a/ E(X) = n.p kỳ vọng của X

b/ D(X) = n.p.(1-p) phương sai của X

Định lý:

Nếu X là số lần thành công trong dãy n

phép thử Bernoulli với xác suất thành công p

thì X~B(n,p).

Ví dụ 2. Gia đình có 10 người con. Giả sử xác

suất sinh con trai, con gái là như nhau. Tính

xác suất:

a/ Không có con trai.

b/ Có 5 trai, 5 gái.

c/ Số trai từ 3 đến 7.

d/ Số trai ít nhất là 2.

e/ Số con trai ít hơn gái.

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Ví dụ 3. Xác suất để con gà đẻ trứng trong

ngày là 0.6. Lan nuôi 15 con. Tính xác suất

để trong ngày:

a/ Không có con nào đẻ trứng.

b/ Cả 15 con đẻ trứng.

c/ Có ít nhất 1 con đẻ trứng.

d/ Có ít nhất 2 con đẻ trứng.

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

III. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC

Khi caùc bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc laáy ñuû

nhieàu giaù trò, ngöôøi ta xaáp xæ noù baèng caùc

bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.

Haøm soá ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä

(xaùc suaát) cuûa bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc X

P a X b f (x)dx, a, b ,a b

Hàm mật độ xác suất f(x) của BNN X có tính chất:

1. ( ) 0

2. ( ) 1

f x dx

vaø haøm ñöôïc goïi laø haøm phaân

phoái (tích luõy) cuûa X neáu

F(x) P X x f (t)dt, x

Giaù trò trung bình cuûa X cho bôûi

vaø phöông sai cuûa X laø

Caên cuûa phöông sai goïi laø ñoä leäch chuaån,

E X X xf (x)dx

S x f (x)dx

E X E X

Giá trị mốt của X : Mod(X) = k nếu F(k) đạt cực đại.

và số trung vị của X là

Med(X) = a nếu

1( ) ( )

f t dt f t dt

Độ nghiêng

Độ nhọn

[ ]E X

Ví dụ 1

Cho hàm số

a. Chứng minh f(x) là hàm mật độ

b. Tìm hàm phân phối xác suất F(x)

14 4 1

Giải

a/ Ta có

Do đó f(x) là hàm mật độ xác suất của BNN X

( ) 0f x x

0 1/2 1

( ) 0 4 4 4 0 1f x dx dx xdx x dx dx

Giải

b/ Ta có hàm phân phối xác suất

0 1/2 1

10 4 2 0

10 4 4 4 4 2 1 1

0 4 4 4 0 1 1

dt tdt x x

dt tdt t dt x x x

dt tdt t dt dt x

Ví dụ 2

Cho hàm số

a. Chứng minh f(x) là hàm mật độ

b. Tìm hàm phân phối xác suất F(x)

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Ví dụ 3

Cho BNN X có hàm mật độ xác suất

a. Tìm kỳ vọng của X

b. Tìm phương sai, độ lệch chuẩn của X

x xf x

Giải

a. Kỳ vọng của X

X xf (x)dx

x.0dx x.2xdx x.0dx

Giải

b. Phương sai của X

Độ lệch chuẩn

E X E X

2x f (x)dx

4 1 4 1x .2xdx

9 2 9 18

Ví dụ 4

23 0,1

x xf x

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Ví dụ 5

xe xf x

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Ví dụ 6

Giải

a. Vì f(x) là hàm mật độ nên ta có:

( ) 1 1

kf x dx dx

Giải

b/ Ta có:

3.0 . .0

3 3ln | | ln 3

X E X x f x dx

x dx x dx x dxx

Giải b/ Ta có:

Do đó phương sai:

Độ lệch chuẩn

E X E X

33 ln3

3E X x f (x)dx x dx

3 9 3x 3

Giải c/ Med(X) = a nếu

3 1( )

F X f t dt dtt

1( ) ( )

f x dx f x dx

Các qui luật phân phối

1. Phân phối chuẩn

1.1 Định nghĩa. Biến số ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối chuẩn , nếu hàm mật độ của nó là

Với: = kỳ vọng

= Độ lệnh chuẩn

= 3.14159

e = 2.71828

Ký hiệu: X ~ N(, 2)

f (x) e

Hay nói khác đi

Với mọi

1P a X b e dx

a, b ,a b

1.2. Các đặc số của phân phối chuẩn

Giả sử X có phân phối chuẩn .

Khi đó X có các đặc số

Kỳ vọng:

Phương sai:

2X N ;

Ví dụ 1

Ở tỉnh A, chiều cao nam thanh niên là một

biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với

a/ Chọn ngẫu nhiên một nam thanh niên ,tính

xác suất để người này có chiều cao từ 160

đến 164 cm .

b/ Tính tỷ lệ thanh niên cao trên 160cm .

cmcm 4,158

Giải

Gọi X là chiều cao của nam thanh niên

Ta có hàm mật độ

Giải

21 158164

1160 164 0.24

P X e dx

21 158

1160 0.308

P X e dx

1.3. Phân phối chuẩn chuẩn tắc

( Phân phối Gauss)

Biến số ngẫu nhiên X có phân phối

chuẩn với gọi là có phân phối

chuẩn chuẩn tắc, ký hiệu X ~N (0;1) , khi đó

hàm mật độ xác suất của X là

( hay còn gọi là Hàm Gauss)

f (x) e , x

1.4. Mệnh đề

Mệnh đề 1.

Cho biến số ngẫu nhiên X~N(0,1). Ta có

i/ Trung bình

ii/ Phương sai

Mệnh đề 2.

Nếu và

2X N ; X

Y N 0;1

Chú ý

i/ Caùc xaùc suaát lieân quan ñeán phaân phoái chuaån

ñöôïc tính baèng caùch quy veà phaân phoái

Gauss N(0,1). Cuï theå, neáu thì baèng

caùch xeùt , ta coù . Do ñoù, vôùi

ta coù

2X N ; X

Y N 0;1

a bP a X b P Y

a, b ,a b

ii/ Haøm Gauss laø haøm soá chaün (nghóa laø

f(-x) = f(x)), lieân tuïc treân R.

Ngöôøi ta ñaõ laäp baûng giaù trò cuûa haøm

Gauss, trong ñoù ghi caùc giaù trò f(x) treân

ñoaïn [0;3,99].

Khi x > 3,99, haøm Gauss giaûm raát chaäm,

do ñoù ta xaáp xỉ:

x 3.99, f x f 3.99 0.0001

Ví duï: Tra baûng giaù trò haøm Gauss ta coù:

f(1,14) ≈ 0,2083;

f(-2,15) = f(2,15) ≈ 0,0396.

f(-6,12) = f(6,12) ≈ f(3,99) ≈ 0,0001.

1.5. Hàm Laplace

Hàm laplace là hàm số xác định trên R

định bởi:

1(x) e dt

1.5. Hàm Laplace

Hàm Laplace là hàm số lẻ (nghĩa

là liên tục trên R.

Người ta đã lập bảng giá trị của hàm

Laplace, trong đó ghi các giá trị trên

đoạn [0; 5].

Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do

đó ta xấp xỉ:

x 5, x 5 0.5

x x y x

Ví dụ: Tra bảng giá trị hàm Laplace ta có:

1.14 0.37286

2.15 2.15 0.48422

6.12 6.12 5 0.5

1.6. Công thức tính XS của PP chuẩn

Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân

phối chuẩn . Khi đó, xác suất để

X lấy các giá trị thuộc [a;b] là:

Trong đó là hàm Laplace

2X N ;

b aP a X b

Chú ý

Trong đó là hàm Laplace

2X N ;

1i / P X a

1ii / P X a

Ví dụ 2

Giaû söû raèng chieàu cao ngöôøi ta coù phaân

phoái chuaån . Tính tyû

leä soá ngöôøi coù chieàu cao trong khoaûng töø

150cm ñeán 170cm.

2X N 160 cm ;100(cm)

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Ví dụ 3

Troïng löôïng cuûa moät loaïi saûn phaåm laø

ñaïi lượng ngaãu nhieân coù phaân phoái chuaån

vôùi troïng löôïng trung bình 50kg vaø phöông

sai 100kg2. Moät saûn phaåm ñöôïc xeáp vaøo

loaïi A neáu coù troïng löôïng töø 45kg ñeán 55kg.

Tính tỷ leä saûn phaåm loaïi A cuûa loaïi saûn

phaåm treân.

…………………………………………………

………………………………………………....

Giải

Chú ý

Cho biến số ngẫu nhiên X~B(n,p) . Nếu đồ

thị của hàm mật độ f của nó tương đối đối

xứng qua đường thẳng x = np thì X được xấp

xỉ bởi phân phối chuẩn

Trong ứng dụng, xấp xỉ trên có hiệu

quả khi np ≥ 5 và nq ≥ 5 .

2X N ;

2, 1np npq np p

Chú ý

Khi np < 5 hay nq < 5 thì đồ thị của hàm

mật độ tương ứng sẽ lệch và lúc đó, nếu n

tương đối lớn (chẳng hạn n > 50),

ta xấp xỉ X bằng phân phối Poisson với

np 5np

1.7. Ñònh lyù Moivre-Laplace

Cho X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù

phaân phoái nhò thöùc X ~ B(n,p). Giaû söû raèng

n khaù lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 cuõng khoâng

quaù gaàn 1 (thoâng thöôøng 0,1 ≤ p ≤ 0,9). Khi

ñoù coù theå xaáp xỉ X baèng ñaïi löôïng ngaãu

nhieân Y coù phaân phoái chuaån: X ≈ Y, trong

ñoù Y ~N(μ,σ2)

vôùi μ = np, npq = σ (q = 1-p) nghóa laø:

2 11 2

1/ 0,1,2,...

ka P X k f k

k kb P k X k

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Giới. CAC PHAN... · của một đại lượng...

Documents

XÁC SUẤT VÀ NHỮNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI …...Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2012-2014 Các phương pháp định lượng Bài đọc

Bài 5: Phân phối xác suất (tt)...Bài toán 1: tính xác suất • Bài toán: cho một/khoảng giá trị của X, tìm xác suất nhỏ hơn, lớn hơn hay trong khoảng

XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG 3. CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC … · 2015. 5. 30. · XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG 3.CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP

Phân phối điện áp thấp - giaphanco.com.vn · bảng phân phối điện áp thấp • công suất ... dÂy dẪn mỀm cÔng suẤt mẠch rẼ cÁch ĐiỆn mẠch rẼ

Trao đổi trực tuyến tại - mientayvn.commientayvn.com/Toan/Tai_lieu/Logo/Tai_lieu_toan_3/ok_xac_suat_thong_ke... · Biến cố ngẫu nhiên, phân phối xác suất được

Phân phối độc quyền bởi WINTECH

PHÂN TÍCH NGÀNH SẢN XUẤT VÀ PHÂN PHỐI ĐIỆN

Phân phối chuẩn N(, 2 )

Bạn cần tìm nhà phân phối! chúng tôi cung cấp nhà phân phối cho bạn

phối trộn các loại phân vô cơ phối trộn các loại phân vô cơ

Bộ đề thi môn Xác suất thống kê»™-đề-thi-môn-Xác-suất...2 Dùng định lý tích phân Laplace . Tra bảng phân phối chuẩn tắc với lưu ý: Φ ( −1)

phân phối cocacola

CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Qui luật phân phối xác suất thường gặp

BÀI 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT …

Bài 3 Các phân phối xác suất thường gặp

Bạn cần tìm nhà phân phối Mỹ phẩm! chúng tôi cung cấp nhà phân phối cho bạn

Máy biến áp phân phối Chương trình máy biến áp phân phối ... · pha và ba pha, loại treo cột và trọn bộ công suất từ 15 kVA đến 10 MVA, điện

Ngành Phân phối Bán lẻ Công ngh - MBS...Ngành Phân phối Bán lẻ Công ngh. Giải pháp kinh doanh chuyên biệt. Ngành Phân phối –Bán lẻCông nghệ. Báo

Phân phối sản phẩm