Cours de mathématiques économiques

EL Ghali KHAMLICH EL Ghali KHAMLICH

EL Ghali KHAMLICHEL Ghali KHAMLICH

A- Algèbre linéaireA- Algèbre linéaire

- Chapitre I- Chapitre I Calcul matricielCalcul matriciel- Chapitre II- Chapitre II Systèmes Systèmes

linaireslinaires- Chapitre III- Chapitre III DiagonalisationDiagonalisation

B- B- AAnalysenalyse

- Chapitre I- Chapitre I Modélisation Modélisation optimisationoptimisation

- Chapitre II - Chapitre II Suites numériquesSuites numériques

Plan du cours

Matrices:Matrices:

1- Définition :1- Définition :On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des lignes; i = 1,2,3,........,nlignes; i = 1,2,3,........,n j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p

On notera par On notera par MM(n,p) (n,p) l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans IR (les aij ).IR (les aij ).

ni1M a

aaaaaaaa

npnjn2n1

ipiji2i1

2p2j2221

1p1j1211

Chapitre I Calcul matriciel

Remarques:

*Si n = p : la matrice M est dite matrice carrée d’ordre n.

exemple:L’écriture de la matrice carrée d’ordre 3 est:

*Si n = 1 : la matrice M est dite matrice ligne (ou vecteur ligne)

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

11 12 1pa a a

*Si p = 1 : la matrice M est dite matrice colonne (ou vecteur colonne) M=

a a a a

a1 i n

11 12 1j 1p

21 22 2j 2p

i1 i2 ij ip

n1 n2 nj np

11 21 i1 n1

12 22 i2 n2

1j 2j ij nj

1p 2p ip np

a a a a

3- Opérations sur les matrices:3.1-Transposition d’une matrice:

Soit A une matrice de type (n,p). (n lignes et p colonnes)

On appelle transposée de la matrice A; la matrice qu’on note tA telle que :

Remarque:tA est une matrice de type (p,n) (p lignes et n colonnes) c’est à dire: les lignes

deviennent colonnes et les colonnes deviennent lignes.

Exemple:

La matrice transposée est telle que:

3.2-Somme des matrices:On appelle somme de deux matrices A et B de même type (n,p); la matrice C = A + B du type (n,p); telle que: si A = (aij) et B = (bij) alors, C = (cij) et pour chaque

élément cij, on a,

cij = aij + bij , avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.

225104

Exemples:

Soient les deux matrices de type (3,4) suivantes telles que:

La matrice C = A + B du même type que A et B (3,4) sera donnée de la façon suivante:

Propriétés:Soient A, B et C trois matrices du même type (n,p); on a:P1- A + B = B + A et (A + B) + C = A + (B + C)P2- Soit O(n,p) M(n,p) la matrice nulle de M(n,p) avec:

On a A M(n,p) ; A + O(n,p) = O(n,p) + A = A

O(n,p) =

1 7 8 5

0 6 6 3

4 5 1 2

( , )3 4

0 0 0 0

0 0 0 0O

Exemple:Soit la matrice A de type (3,4) donnée par :

et la matrice nulle de type (3,4) donnée par

A + O = O + A = A

P3- L’opposée de la matrice A = (aij) M(n,p) est la matrice (-A) M(n,p) telle que :

(-A) = -(aij) = (-aij) avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p.

Exemple:L’opposée de la matrice

est la matrice - A =

P4- La transposée d’une somme de deux matrices A et B est égale à la somme des transposées tA et tB , autrement dit : t(A+B) = tA + tB

11 12 1j 1p

21 22 2j 2p

i1 i2 ij ip

n1 n2 nj np

a a a a

11 12 1j 1p

21 22 2j 2p

i1 i2 ij ip

n1 n2 nj np

a a a a

224108

612120

101662

3.3-Produit d’une matrice par un scalaire:Soit A M(n,p) ; IR

Exemple:

11 12 13

21 22 23

11 12 13

21 22 23

babababababababababababa

322322221221312321221121

321322121211311321121111

Propriétés: A, B M(n,p) et , IR P1- (A + B) = A + BP2- ( + ) A = A + AP3- ( A) = ( ) AP4- 1.A = AP5- t( A) = tA

3.4-Produit de deux matrices:

Soient deux matrices A et B de types respectifs (2,3) et (3,2) tel que:

et B =

La matrice C qui est le produit de la matrice A par la matrice B est donnée de la façon suivante :

Remarque:Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la 1ère matrice A est égal au nombre de lignes de la 2ème matrice B.

C = A.B = =

(2,3) (3,2) (2,2)

11 1 1

a b a b a b

i ik ip

n nk np

k kj kq

p pj pq

kj ikk

kj nkk

Cas général:

Soit A = (aij) une matrice de type (n,p) et B = (bij) une matrice de type (p,q), on appelle

produit de la matrice A par la matrice B: la matrice C = (cij) de type (n,q) défini par :

C = A.B ; avec 1 i n et 1 i q et

; A(n,p) . B(p,q) = C(n,q)

cij = babababa pjipjijikj

..............2211

1 ou encore

Applications:

1- Soit A = et B =

La matrice produit C = A.B =

Propriétés:P1- Soit A M(n,p) et B M(p,q). (A.B) existe, mais en général si q n, (B.A) n’existe pas.a- Si n = q, on a A(n,p). B(p,n) = C(n,n) matrice carrée ; et

B(p,n). A(n,p) = D(p,p) matrice carrée

b- Supposons maintenant qu’on a p = q = n , on a pas forcément C = D (A.B = B.A)

114729

Exemple:

Soient les deux matrices A et B suivantes:

et B =

Calculer les produits: A.B et B.A et conclure.

Et B.A =

P2- Le Produit A.B = O n’implique pas que A = O ou B = O, en effet:

= O3 ;

A.B = alors que A O3 et A O3

P3- [(A(n,p)). (B(p,n))]. (C(q,r)) = (A(n,p)). [(B(p,n)) .(C(q,r))]On dit que le produit matriciel est associatif.P4- [(A(n,p)) + (B(n,p))]. (C(p,q)) = (A(n,p)).(C(p,q)) + (B(n,p)]. (C(p,q))On dit alors que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.P5- t(A.B) = tB. tA

3.5-Matrices particulières: 3.5.1-Matrice carrée:

On appelle matrice carrée d’ordre n, toute matrice A ayant n lignes et n colonnes.

ni1A a

aaaaaaaa

nnnjn2n1

iniii2i1

2n2j2221

1n1j1211

a11, a22, a33, ......., aii, ........., ann sont les termes de la diagonale principales de la matrice A.

3.5.2-Matrice diagonale: On appelle matrice diagonale d’ordre n, toute matrice dont les éléments en dehors de sa diagonale principale sont nuls : c’est à dire , aij = 0 si i j.

3.5.3-Matrice triangulaires: a- On appelle matrice triangulaire supérieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessous de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:

a a a a

a1 i n

1 j na

11 12 1j 1n

22 2j 2n

tel que si i j0

b- On appelle matrice triangulaire inférieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessus de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire:

a1 i n

1 j na

n1 n2 nn

tel que si i j0

Propriété: Si A et B sont deux matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) d’ordre n alors, (A + B) et (A.B) sont aussi des matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures).

Exemples:1) Soient les matrices triangulaires supérieures A et B suivantes:

et B =

Calculer : (A + B) et (A.B).

et A.B =

Les matrices A + B et A.B sont bien des matrices triangulaires supérieures

A + B =

3.5.4-Matrice unitaire:

On appelle matrice unitaire, une matrice diagonale d’ordre n notée In dont les éléments

qui forment la diagonale principale sont unitaires : c’est à dire , aii = 1.

Si A est une matrice carrée d’ordre n : A.In = In.A = A

A et I

1 6 0 2

1 4 1 5

3 3 9 6

4 2 7 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Exemple:Soit A une matrice carrée d’ordre 4 et I4 la matrice unitaire d’ordre 4 tel que:

Calculer A.I et I.A.

A.I = I .A =

3.5.5-Matrice symétrique: On dit que la matrice carrée a d’ordre n est symétrique si tA = A, c’est à dire que :

aij = aji avec, i = 1,2,3,......,n et j = 1,2,3,......,n

Exemple:Soit A une matrice tel que:

; donner la matrice tA, que peut-on déduire?

Propriétés:

P1- Si A et B sont deux matrices symétriques, alors (A+B) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et tB = B et que t(A+B) = tA + tB = A + B.Donc (A + B) est une matrice symétrique.P2- Si A est une matrice symétrique et IR, alors (A) est une matrice symétrique.En effet: on sait que tA = A et que tA = tA = A.Donc (A) est une matrice symétrique.P3- Si A et B sont deux matrices symétriques, la matrice (A.B) n’est pas nécessairement une matrice symétrique.En effet: t(AB) = tB .tA = B.A, or en général A.B B.A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

Or t Aa a a

11 21 31

12 22 32

13 23 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33

4.5.6-Matrice antisymétrique:On dit que la matrice carrée A est antisymétrique si tA = -A, c’est à dire que: aij = -aji

Remarque:Soit A une matrice carrée d’ordre 3 donnée comme suit:

A est antisymétrique si tA = -A tA + A = O3.

P2- Si A et B sont deux matrices antisymétriques, alors la matrice (A.B) n’est pas forcément antisymétrique.En effet: t(A.B) = tB .tA + = (-B) (-A) = (B.A) -(A.B) généralement

II- Déterminants des matrices:A chaque matrice A on fait correspondre un nombre réel, appelé déterminant de la matrice, et noté det A, ou encore A . Ce nombre s’obtient à partir des règles de calculs suivantes:

1- Déterminant d’ordre 2:Soit la matrice A donnée comme suit:

Le déterminant de A est donné de la façon suivante:

= a11.a22 - a12.a21

det A = 11 12

a a a a

a1 i n

11 12 1j 1n

21 22 2j 2n

i1 i2 ii in

n1 n2 nj nn

Exemple:

Soit la matrice A=

2- Déterminant d’ordre n:Soit A une matrice d’ordre n tel que:

12; calculer son déterminant.

Det A = 11

Définitions:

D1- On appelle mineur de l’élément aij, le déterminant Mij d’ordre (n-1) obtenu à

partir du déterminant de A en supprimant dans ce déterminant la ième ligne et la jème colonne.

Exemple:

Soit A la matrice tel que: A =

Déterminer les mineurs M32, M22, et M33

= 2 M22 = = 2 M33 = = 9

D2- On appelle cofacteur de l’élément aij, le nombre Aij = (-1)i+j Mij

Exemple:

Pour la même matrice A, déterminer les cofacteurs A32 et A21

A32 = (-1)3+2 M32= -2 A21 = (-1)1+2 M21= 1

D3- Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est égal à la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) par son cofacteur.

Si on développe le déterminant suivant la ligne n° i, on a :

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 +........... + ainAin =

Si on développe le déterminant suivant la colonne n° j, on a : det A = a1jA1j + a2jA2j + a3jA3j +........... + anjAnj =

Remarques:R1- Les deux relations précédentes sont identiques. Le déterminant d’ordre n ne change pas de valeur quelle que soit la ligne ou la colonne suivant laquelle le développement est effectué.R2- Dans chaque cas, on est ramené au calcul de n déterminants d’ordre (n-1). On applique la même règle pour calculer chacun d’eux et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à des déterminants d’ordre 2.R3- Pour le calcul de déterminant d’une matrice, il convient de choisir la ligne ou la colonne qui contient un maximum de termes nuls (des zéros).

Exemple:Soit la matrice A tel que:

calculer la déterminant de A en le développant suivant:1) la 3ème colonne.2) la 1ère ligne.Que peut-on conclure?

1.det A = 0 - 1 + 1

2. det A = 2

+ 0 = -13

Cas particuliers :le déterminant d’une matrice d’ordre n diagonale, diagonale supérieure, diagonale inférieure est égal au produit des termes constituant sa diagonale principale.

Det A = a11.a22.a33. ..............ann =

Exemple:Soit A une matrice diagonale d’ordre 4 tel que: Calculer le déterminant de .

Det A = 21

• 3- Propriétés:• P1- Si les éléments d’une colonne dans une matrice sont

tous nuls, alors le déterminant de cette matrice est nul.• P2- Si dans une matrice une colonne est multipliée par un

scalaire , alors son déterminant est multiplié par ce même scalaire.

• Application:

• A = et B =

• Calculer les déterminants des matrices A et B:• Det A = -13 et det B = -26

Remarques:R1- Si A est une matrice d’ordre 3, alors la matrice A =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a pour déterminant: det (A) = det A = 3 det A.

R2- Généralement, si A est une matrice d’ordre n, alors: det (A) = n det A

• Propriété: Un déterminant ne change pas de valeur si aux éléments d’une colonne on ajoute les éléments d’une autre colonne multipliés par le même nombre

• • Exemple:• Calculer les déterminants des matrices A et B suivantes:

• A = et B =

• • Que peut-on déduire?• Det A = det B = -4

Chapitre II Systèmes linéaires

Chapitre III Diagonalisation

Exercices d’applicationExercices d’application

Corrigé des exercices

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