Distribución binoial, bernoulli

DISTRIBUCIÓN BERNOULLI Y

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLILa distribución de Bernoulli de parámetro p es el modelo más simple de probabilidad.

Se aplica a situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad p (éxito) y la

ausencia de este mismo atributo con probabilidad q=1-p (fracaso), como en el lanzamiento

de una moneda. Que puede dar como resultado cara o cruz.

Recíprocamente, todo experimento aleatorio que sólo admite dos resultados posibles,

(uno llamado por costumbre éxito y el otro fracaso) se llama ensayo de Bernoulli y lleva

obviamente a la distribución de Bernoulli.

Por ejemplo:

Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.

La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.

En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.

Su formula es:

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en

lanzar una moneda al aire y considerar la variable aleatoria

X=(Número de caras obtenidas), en cuyo caso X=0 si q=1/2, y X=1 si

p=1/2

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

FUNCIÓN DE DENSIDADEn un experimento de Bernoulli se denomina éxito al suceso en estudio, P, y

fracaso a su contrario, q .

A este suceso le asociamos la variable aleatoria, X, definida como el número

de éxitos al realizar el experimento. Es decir,

p)1X(Psi1

p1q)0X(Psi0)p(BX

EJEMPLO DE LA UTILIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BERNOULLI

Experimento Lanzar un dado y que salga 5

X = # de veces que sale un 5.

Al lanzar un dado tenemos 6 posibilidades resultados el espacio muestral es de

S=(1,2,3,4,5,6)

Se considera éxito sacar un 5 entonces la probabilidad es de P=1/6

Se considera fracaso a no sacar un 5 entonces q= 1-P = 1-(1/6) = 5/6

La probabilidad de que salga un 5 viene definida en que x =1 (éxito)

P(x=1) = (1/6)1 * (5/6)1-1 = 1/6 = 0.16

Y x=0 (fracaso)

P(x=0) = (1/6)0 * (5/6)1-0 = 5/6 = 0.83

DISTRIBUCIÓN BINOMINAL

Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad

de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la

variable aleatoria.

La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos

(expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la

variable aleatoria discreta es elnúmero de éxitos en una muestra compuesta por n

observaciones.

Propiedades

-La muestra se compone de un número fijo de observaciones n

-Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente

excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una

persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los

eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces

ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso.

-La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de

una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación

se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.

- La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n

Se define por la formula:

Cuando n es mayor. Cuando n es menor.

Función de distribución:

x

k

knk qpk

nxF

0

)(

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

P=0.3 Éxito

q=0.7 Fracaso

x

k

knk qpk

nxF

0

)(

Esta expresión es el coeficiente binomial, "n sobre k", o el número de modos posibles de

obtener k éxitos en n observaciones. Los coeficientes binomiales forman las filas del triángulo

de Pascal y se puede calcular usando factoriales:

1QPQP)!kn(!k

!n)xX(P knk

Ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?. k es el número

de aciertos. En este ejemplo k igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como

son 6 aciertos, entonces k=6), n es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10, P es la

probabilidad de éxito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda. Por lo tanto P=0,5. Entonces,

205.05.05.0)!610(!6

!10)6X(P 6106

Luego, P(x=6) = 0,205, es decir, se tiene una

probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al

lanzar 10 veces una moneda.

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

¿Cómo utilizar la tabla de la distribución Binomial?

Supongamos que lanzamos al aire una moneda trucada. Con esta moneda la

probabilidad de obtener cara es del 25%. La probabilidad que salga cruz será, pues, del

75%. Lanzamos la moneda 3 veces de manera consecutiva. Si queremos calcular la

probabilidad de que observemos 2 caras o menos nos fijamos en la tabla:

localizamos n=3, k=2, p=0.25

Y buscamos la intersección: 0.1406

Tabla de la distribución Binomial