Game theory

***

Berkaitan dengan permasalahan Pengambilan Keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik.

Pihak-pihak:

1. individu vs individu

2. perusahaan vs perusahaan

3. organisasi vs organisasi

4. negara vs negara

Persaingan yang terjadi dapat berupa persaingan yang saling menghacurkan misalnya perang harga, pesaingan secara fair memperebutkan pertumbuhan pasar atau pangsa pasar, atau persaingan dengan berkolusi membentuk kartel atau monopoli.

Beberapa contoh persaingan duopoli:

Dua orang pencuri bekerjasama melakukan suatu pencurian. Saat sedang beraksi, kedua pencuri tersebut tertangkap polisi.

Oleh polisi kedua pencuri tersebut diperiksa secara terpisah. Dengan berbagai bukti yang ada dari berbagai kejahatan yang pernah dilakukan oleh keduanya polisi melakukan penawaran sebagai berikut:

Kepada masing-masing pencuri polisi menyatakan bahwa dengan berbagai bukti yang ada, saya siap mengirimmu ke penjara selama 1 tahun.

Saya ingin mengajukan penawaran. Jika mengaku akan saya atur agar kamu dihukum 3 bulan sementara temanmu 10 tahun. Tetapi jika kalian berdua mengaku maka masing2 dihukum 5 tahun. Ditabelkan berikut:

A 5 thn

5 thn

B 10 thn

3 bln

C 3 bln

10 thn

D 1 thn

1 thn

Men

gak

u

Tid

ak

M

en

gak

u

PE

NC

UR

I 1

PENCURI 2

Mengaku Tidak

Mengaku

Kasus: Dilema Narapidana

Data empiris menunjukkan bahwa jika dilema narapidana dilakukan berulang-ulang, maka orang akan cenderung kooperatif/bekerjasama

Perkembangan strategi kooperatif dalam persaingan berlaku strategi tit-for-tat (balasan setimpal)

Strategi tit-for-tat:

-bila anda berlaku baik pada saya, maka sayapun akan baik pada anda, dan sebaliknya

-lakukanlah kepada orang lain sebagaimana anda ingin diperlakukan, namun sepanjang mereka berlaku sama

Untuk mempertinggi keuntungan, dua perusahaan yang bersaing dalam pasar melakukan kolusi sehingga harga jual produk menjadi tinggi. Hal ini tentu merugikan masyarakat dan melanggar undang2 anti monopoli perdagangan.

Matriks payoff kolusi ditunjukkan tabel berikut:

Ekuilibrium Nash (Kolusi vs tidak Kolusi)

Harga tinggi Harga normal

Harga tinggi

A $150

$100

B $200

–$20

Harga normal C –$30

$150

D* $10

$10

PT. P

PT. Q

*Ekuilibrium Nash, D adalah strategi dominan Q

Ekuilibrium Nash – terjadi jika tidak ada

pemain yang dapat memperbaiki hasilnya dengan strategi tertentu dari lawan

Disebut juga strategi non-kooperatif karena masing-masing pihak memilih strateginya tanpa bersekongkol dan memilih strategi terbaik bagi dirinya tanpa mempertimbangkan pihak manapun

*****

Klasifikasi game theory:

-berdasar jumlah pemain: two-person game, n person game

-berdasar jumlah keuntungan/kerugian: zero-sum game, constant-sum game, non-zero-sum game

-berdasar jumlah strategi yang digunakan: 2 x 2, 2 x n, atau m x n

Basis analisis: Matriks Payoff

Asumsi dasar pada teori permainan:

1. Setiap pemain bersifat rasional

2. Setiap pemain secara aktif mencoba menaikkan kemenangan masing-masing

3. Penentu strategi dalam permainan adalah baris

Satu jari Dua jari

Satu jari $1,000 $−1,000

Dua jari $−1,000 $1,000

Strategi Kolom

Str

ateg

i B

aris

Permainan Odds and Evens

K1 K2 K3

B1 4 4 10

B2 2 3 5

B3 3 4 7

Strategi Dominan

Strategi Kolom S

trat

egi

Bar

is

Strategi mana yang dipilih??, apa kriterianya?? Strategi Dominan

Strategi B3 lebih dominan dibandingkan strategi B2, strategi B1 lebih dominan dibandingkan dengan strategi B3 walaupun pada kolom K2 sama-sama mendapatkan nilai 4.

Karena strategi B1 lebih dominan dibanding dua strategi yang lain, maka pemain baris pasti akan memilih strategi B1, sehingga permainan ini dinamakan permainan dengan strategi dominan.

K1 K2 K3

B1 4 4 10

B2 2 3 1

B3 6 5 7

Strategi Kolom S

trat

egi

Bar

is

Tanpa dominan, Strategi mana yang dipilih?? dan apa kriterianya??

K1 K2 K3 Min

baris

B1 4 4 10 4

B2 2 3 1 1

B3 6 5 7 5

Maks

kolom

6 5 10

MINIMAKS

M A K S I

M I N

MAKSIMIN=MINIMAKS →Saddle Point, dan 5 adalah nilai permainan

Pada permainan Two-person zero-sum game, jika terdapat saddle point, maka untuk menyelesaikannya digunakan strategi murni.

Strategi murni artinya setiap pemain mempunyai posisi terbaik dengan memilih satu strategi atau strategi tunggal

Jika pada permainan Two-person zero-sum game tidak terdapat saddle point, maka untuk menyelesaikannya digunakan strategi campuran atau lebih dari satu strategi

K1 K2 K3 Min

baris

B1 0 −2 2 −2

B2 5 4 −3 −3

B3 2 3 −4 −4

Maks

kolom

5 4 2

MINIMAKS

M A K S I

M I N

MAKSIMIN ≠ MINIMAKS, tdk ada Saddle Point

Permainan seperti ini disebut tidak stabil karena setiap pemain (B dan K) sulit memilih strategi tertentu.

Permainan seperti ini dapat diselesaikan dengan mixed-strategy yaitu dengan menetapkan probabilitas tertentu dalam memilih strategi yang akan dijalankan

Misal:

xi : probabilitas pemain B memilih strategi i (i=1, 2, 3, …, m)

yj : probabilitas pemain K memilih strategi j (j=1, 2, 3, …, n)

m dan n adalah banyaknya strategi yang dapat dipilih pemain B dan K.

Solusi dari strategi campuran tetap dengan kriteria maksimin dan minimaks.

Pemain B: memilih xi yang memaksimumkan ekspektasi payoff terkecil suatu kolom (maksimin)

Pemain K: memilih yi yang dapat meminimumkan ekspektasi payoff terbesar suatu baris (minimaks)

K1: y1 K2: y2 Kn: yn

B1: x1 a11 a12 a1n

B2: x2 a21 a22 a2n

Bm:

xm

am1 am2 amn

B

K

Secara matematis:

Pemain B akan memilih xi yang menghasilkan:

m

i

m

i

m

i

iiniiB xaxaxamaksv1 1 1

1211 ,...,,min

Secara matematis:

Pemain K akan memilih yi yang menghasilkan:

n

j

n

j

n

j

jmjjjjjK yayayamaksv1 1 1

21 ,...,,min

Jika xi dan yi berkorespondensi dengan solusi optimum, maka VB=VK dimana nilai yang diperoleh sama dengan nilai optimum permainan.

Jika xi* dan yj* adalah solusi optimum bagi kedua pemain, maka setiap elemen payoff aij akan dihubungkan dengan probabilitas (xi*, yj*). Maka nilai ekspektasi optimum permainan adalah:

m

i

n

j

jiij yxav1 1

***

*****

Permainan 2 x n digambarkan sbb:

y1 y2 yn

x1 a11 a12 a1n

x2=1−x1 a21 a22 a2n

Berdasarkan strategi murni K, maka espektasi payoff (EP) untuk B adalah:

Strategi murni K Ekspektasi payoff B

K1

K2

Kn

(a11−a21) x1 + a21

(a12 −a22) x1 + a22

(a1n −a2n) x1 + a2n

Hal ini menunjukkan bahwa EP B bervariasi secara linier terhadap x1. B harus memilih nilai x1 yg memaksimumkan EP minimumnya

Contoh:

K1 K2 K3

B1 0 −2 2

B2 5 4 −3

Permasalahan tidak mempunyai saddle point, diselesaikan secara grafis

Berdasarkan strategi murni K, maka espektasi payoff untuk B adalah:

Strategi murni K Ekspektasi payoff B

K1

K2

K3

0x1 + 5(1−x1) = 5−5x1

−2x1 + 4(1−x1)= 4−6x1

2x1 − 3(1−x1)=−3+5x1

Ketiga ekspektasi payoff tersebut digambarkan dalam bentuk grafik sbb.

x1 0

1

Ekspektasi payoff

5

3

-3

K1

K2

K3

MAKSIMIN

Maksimin ekspektasi payoff:

vB = maks { min (5-5x1), (4-6x1), (-3+5x1}

vB = maks { min (4-6x1), (-3+5x1)}

Titik potong dicari secara aljabar:

4 – 6x1 = −3 + 5x1

x1*=7/11 dan x2*= 4/11

vB = v* = −3 + 5x1 = −3 + 5(7/11) = 2/11

Selanjutnya:

v* = ∑∑aij xi yj atau

y1*(5-5x1) + y2*(4-6x1) + y3(−3+5x1) = 2/11 (1)

y1* + y2* + y3* = 1 (2)

Persamaan (5-5x1) tidak melewati titik maksimin, yang berkorespondensi dengan y1*, maka y1*=0, sehingga y2* + y3* = 1 atau y3*=1−y2* disubstitusikan ke persamaan (1):

Untuk x1 = 0 → 4y2* − 3y3* = 2/11

x1 = 1 →−2y2* + 2y3* = 2/11

maka : y2* = 5/11 dan y3* = 6/11

Dengan demikian, solusi optimum untuk kedua pemain adalah:

- pemain B: (x1, x2) = (7/11, 4/11)

- pemain K: (y1, y2, y3) = (0, 5/11, 6/11)

Dengan nilai permainan v* = 2/11

Karena y1*=0, maka y2* + y3* = 1 atau y3*=1−y2* , maka expected payoff untuk pemain K (kolom) ditunjukkan pada tabel:

Berdasarkan strategi murni B, maka espektasi payoff untuk K adalah:

Strategi murni B Ekspektasi payoff K

B1

B2

−2y2* + 2(1 −y2*)=2 −4y2*

4y2* −3(1−y2*)=−3 + 7y2*

Ketiga ekspektasi payoff tersebut digambarkan dalam bentuk grafik sbb.

y2 0

1

Ekspektasi payoff

5

3

-3 B1

B2 MINIMAX

Titik potong kedua garis memberikan hasil:

2−4y2* = −3 + 7y2* atau

y2*=5/11 dan y3*=6/11

Sehingga (y1*, y2*, y3*) = (0, 5/11, 6/11)

K1 K2 K3

B1 2 1 3

B2 4 3 2

Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut

K1 K2 K3

B1 1 2 3

B2 2 0 3

Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut

K1 K2 K3

B1 2 4 6

B2 3 1 5

Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut

K1 K2 K3

B1 2 0 3

B2 3 4 1

Tentukan solusi dari permainan Two-Person Zero-Sum game berikut