Kinematika Teorija Pitanja

1. Sta je mehanika ? To je nauka o zakonima ravnoteze (mirovanja) i kretanja tijela.proucava kretanja i mirovanja materijalnih tijela kao i uzroke to jest sile usljed kojih nastaju promjene stanja kretanja odnosno mirovanja.Podjela mehanike prema agregatnom stanj materijalnog tijela : mehanika cvrstih tijela,tecnih tijela ili hidromehanika, plinovitih tijela aeromehanika.Mehaniku cvrstih tijela dijelimo na : mehaniku krutog tijela i mehanika deformabilnog tijela . Mehanika krutog tijela ,s obzirom na vrstu proucavanih pojava mozemo podijelit na :statiku,kinematiku i dinamiku....Postoje jos i opsta mehanika i tehnicka mehanika.

2. Sta je kinematika ? to je dio mehanike koji proucava mehanicka kretanja ne uzimajuci u obzir njihove uzroke ,to jest sile ni masu predmeta koji se krecu .proucava dakle kretanja geometrijskih tvorevina:tacke (materijalne tacke),duzine(duzi,stapa),ravni i zapremine (tijela) metodama matematike uz uvodjenje vremena.Dijeli se na kinematiku (materijlne ) tacke i kinematiku krutog tijela.

3. Sta je sistem referencije ? u kinematici se izucavaju mehanicka kretanja to jest uz neprekidnu promjenu vremena izucavamo promjenu polozaja tijela (ili tacke) u odnosu na neko drugo tijelo .to drugo tijelo nazivamo tijelom referencije a koordinatni sistem koji je za njega kruto vezan sistemom referencije .

4. Osnovne jedinice Si sistema ? duzina -l , metar ; masa –m,kilogram ,vrijeme-t,sekunda ,elektricna struja-I,amper ,termodinamicka tepmaratura-T,kelvin ,kolicina materije-n,mol , svjetlosna jacina I v,candela.

5. Nacini definisanja krivolinijskog kretanja tacke – postoje tri ,najvise rasprostranjena nacina definisanja krivolinijskog kretanja tacke i to su : 1) vektorski 2)koordinatni ili analiticki 3) prirodni.

6. Kada se kretanje tacke smatra zadatim (str 3) –kretanje tacke se smatra zadanim ako postoji mogucnost odredjivanja polozaja tacke u svakom trenutku vremena u odnosu na dati (izabrani) sistem referencije.

7. Vektorski nacin definisanja kretanja tacke(str 3) – vektorski nacin narocito je pogodan kod teorijskih razmatranja,dok se analiticki i priroodni nacin prvenstveno upotrebljavaju pri rjesavanju nekih konkretnih (prakticnih zadakata)

8. Sta je vektor polozaja ? –internet - Vektor položaja je usmjerena dužina kojoj je početak u ishodištu sustava a kraj (strelica) "prati" točku dok se giba. Koordinate i vektor položaja često se pišu bez eksplicitne oznake ovisnosti o vremenu, jer se ona kod gibanja i tako podrazumijeva.

9. Zakon kretanja tacke za vektorski nacin definisanja kretanja tacke –str 4a)ZAKON KRETANJA TACKE

Pri kretanju tacke M njen radijus vektor se mijenja u funkciji argumenta (t) i u opcem slucaju on se mijenja kako po intenzitetu tako i po pravcu i smjeru.

Takvu vektorsku velicinu nazivamo vektor funkcijom skalarnog argumenta (t) i oznacavamo

simbolom r→=r

→( t )

10. Vektor brzine pokretne tacke u datom trenutku vremena(str4)

Sa slike vidimo da je r→

1=r→+MM1

______

, odakle je vsr→

=Δr→

Δt . MM1

______

=r→

1−r→+= Δr

→

.

Prema tome, vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke za dati interval vremena Δt, jednak je odnosu prirastaja radius vektora za taj

interval i samog tog vremenskog intervala. v→= lim

Δt→ 0v sr

→= lim

Δt→0

Δr→

Δt

granicna vrijednost kojoj tezi srednja brzina premjestanja pokretne tacke kada Δt→0 nazivamo vektorom brzine tacke u datom trenutku i oznacavamo sa v→. Vektor brzine tacke u datom trenutku dat

je izrazom: v→=d r

→

dt=r

→¿

.Prema tome vektor brzine tacke u datom trenutku jednak je prvom izvodu radius vektora pokretne tacke po vremenu u tom trenutku.

11. Vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke (str 5) -vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke za dati interval vremena Δt jednak je odnosu prirastaja radius vektora za taj interval vremena i samog tog vremenskog intervala .

12. Hodograf vektora brzine- predstavlja geometrijsko mjesto vrhova vektora brzine pokretne tacke nanesenih iz jedne prizvoljne tacke prostora.

a) JEDNACINE HODOGRAFA BRZINEξ=f1'(t), η= f2'(t), ζ=f3'(t),- ove jednacine mozemo posmatrati kao parametarski oblik, da bi se dobio analiticki oblik dovoljno je da se iz tih jednacina eliminise parametar t.

13. Sektorska brzina – c) SEKTORSKA BRZINA-Ako je interval vremena Δt mali onda se prirastaj povrsine Δσ za taj interval moze napisati u obliku (1/2)[r→,∆r→]

odnos izmedu prirastaja povrsine koju prebrise radijus vektor r→ i odgovarajuceg

intervala vremena Δt, predstavlja srednju sektorsku brzinu tj. v→σsr=∆σ→=(1/2)[r

→,∆→/∆t.

vσ→

= limΔt→0

Δσ→

Δt=12

[r , v ]⇒2v→

σ=[r , v ] Dvostruka sektorska brzina tacke u odnosu na neki centar,

jednaka je momentu brzine te tacke u odnosu na isti centar.

14. Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena-

Dijeljenje vektora Δv→sa odgovarajucim intervalom vremena Δt dobijemo

vektor asr

→=

Δ v→

Δt kojeg nazivamo vektorom srednjeg ubrzanja tacke za

dati interval vremena. asr

→=d2r

→

dt 2=r

→¿⋅¿

¿- vektor ubrzanja tacke u datom

trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine tacke po vremenu ili drugom izvodu radius vektora tacke po vremenu. Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena lezi u ravni trajektorije i usmjerene je u stranu zakrivljenosti krivolinijske trajektorije.

Osnovna jedinica za ubrzanje je 1m/s2. kod kretanja gdje su ubrzanja velika kao osnovna mjera se uzima 1km/s2.

15. Jedinica za brzinu –m/s16. Jedinica za ubrzanje – m/s2

17. Koordinatni nacin definisanja kretanja tacke-PODNASLOV ZAKON KRETANJA TACKE

18. Metod Dekartovih pravouglih koordinata –

19. Jednacina trajektorije pokretne tacke – x=f 1(t) ,y==f 2(t), z ==f 3(t) (1.10) ,vrijeme t smatra se parametrom onda te jednacine predstavljaju i parametarske jednacine trajektorije pokretne tacke.Eliminacijom parametra t iz ovih jednacina dobijamo jednacinu trajektorije tacke u koordinatnom (analitickom ) obliku. Tako npr eliminaciijom parametra t iz jednacina 1.10 dobijamo jedan od sljedecih sistema od po dvije jednacine : ϕ (x,y)=0 ψ(x,z)=0 ; ϕ (x,y)=0 λ(y,z)=0 , ψ (z,x)=0 λ(y,z)=0 ; svaki od ovih sistema po dvije jednacine predstavlja trajektoriju tacke kao presjek dvije cilindricne povrsine.trajektoriju tacke mozemo naci i geometrijski,na taj nacin sto koristenjem jednacina kretanja nanesemo niz uzastopnih polozaja poketne tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije pa te polozaje spojimo.

20. Odredjivanje brzine tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim koordinatama (str-13) Pretpostavimo da su nam date jednacine kretanja preko pravouglih Dekartovih koordinata.Ako sa i,j,k oznacimo jedinicne vektore duz osa usvojenog sistema tada se radius vektor pokretne tacke M moze napisati u obliku r=x i+ y j+z k ,gdje su x, y, z projekcij radius vektora na

odgovarajuce ose usvojenog sistema.Jedinicni vektori i , j , k su konstanog pravca i smjera jer pretpostavljamo da su ose Ox,Oy,Oz nepomicne.Vektor brzine u datom trenutku vremena dat je

izvodom njenog radius vektora po vremenu to jest : v=d rdt

=dxdt

i+ dydt

j+ dzdt

k.

21. Projekcije vektora brzine na nepomicne ose Dekartovog sistema(str14) --projekcije vektora brzine na nepomicne ose Dekartovog sistema jednake su prvim izvodima odgovarajucih koordinata pokretne tacke po vremenu .poznavanje projekcije vektora brzine na ose Dekartovog sistema moemo naci i intenzitet vektora brzine po formuli :v= | v| =+

√v x2+v y

2+v z2=√ x2+ y2+ z2.

22. Uglovi koje vektor brzine zaklapa sa osama-str-14 - Da bismo odredili pravac vektora v potrebno je naci i uglove koje vektor v gradi s pozitivnim smjerovima koordinatnih

osa .Kosinusi ovih uglova dati su izrazima : cos ∠ ( v , i) = v x

v= x

√ x2+ y2+ z2 , cos ∠ (

v , j) = v y

v= y

√ x2+ y2+ z2 , cos ∠ ( v , k ) =

v z

v= z

√ x2+ y2+ z2 .

23. Odredjivanje ubrzanja tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim kordinatama (str 15)-

Vektor ubrzanja u datom trenutku jednak je izvodu vektora brzine po vremenu tj. asr

→=d v

→

dt=d2r

→

dt2

, kako je radijus vektor dat izrazom to je a→=d2 x

→

dt2i→+d2 y

→

dt 2j→+d2 z

→

dt2k→

gdje su i, j, k –const.

Intenzitet vektora odreden je formulom projekcije brzine: a=√ x2¿⋅¿+ y2

¿⋅¿+ z2

¿⋅¿

¿

¿¿, kosinusi uglova sa pozitivnim smjerovima osa usvojenih sistema su:

cos∠(a→, i→)=

ax

a= x

¿⋅¿

√ x2¿⋅¿+ y2

¿⋅¿+ z2

¿⋅¿

¿

¿¿¿

;

cos∠(a→, j→)=

a y

a= y

¿⋅¿

√ x2¿⋅¿+ y2

¿⋅¿+ z2

¿⋅¿

¿

¿¿¿

cos∠(a→, k→)= isto

24. Pravolinijsko kretanje tacke –(str18) ako za cijelo vrijeme pravolinijkog kretanja intenzitet njegovog vektora ubrzanja ostaje konstantan takvo se kretanje naziva ravnomjerno (jednoliko) promjenjivo pravolinijsko kretanje.Ako se pri tome x i x istog znaka onda je to ravnomjerno ubrzano,a ako su suprotnog znaka ravnomjerno-usporeno pravolinijsko kretanje .

25. Jednacina kretanja tacke u polarnim koordinatama – kada tacka za cijelo vrijeme kretanja ostaje u jednoj ravni vrlo cesto se za odredjivanje polozaja tacke koriste polarne koordinate r i φ,gdje je r rastojanje pokretne tacke od pola O a φ je ugao sto ga obrazuje radius-vektor pokretne tacke OM sa polarnom osom (p) .pri kretanju tacke M njene polarne koordinate r i φ se mjenjaju sa vremenom pa ce jednacine kretanja u ovim sistemima biti date izrazima r=f 1 ( t )φ=f 2(t) .Funkcije f 1 ( t ) i f 2( t) moraju biti jednoznacne,neprekidne i dvaput diferencijabilne.Jednacinu trajektorije tacke u polarnim koordinatama dobijamo eliminacijom parametra t iz gornjih jednacina u obliku r=r(φ ¿.

26. Brzina tacke u datom trenutku u polarnim koordinatama (str 20)

v=vr+ vφ gdje je vr=drdt

r 0 radijalna komponenta vektora

brzine koja je usmjerena u pravcu povecanja radius vektora pokretne tacke i karakterise promjenu tog vektora samo po

intenzitetu a vφ=rdφdt

p0 je transverzalna (cirkularna)

komponenta vektora brzine usmjerena uvijek upravno na radius-vektor pokretne tacke i ima smjer povecanja ugla.Ova komponenta karakterise promjenu radius vektora po pravcu.

Intenzitet vektora brzine dat je sljedecim izrazom : v= √vr2+vφ

2= √( drdt )2

+( dφdt )2

.U specijalnom

slucaju kada se radius vektor mijenja samo po intenzitetu u pitanju je pravolinijsko kretanje i

tada postoji samo radijalna komponenta tj cirkularna je jednaka nuli vφ=rdφdt

=0 pa je vektor

brzine odredjen izrazom v=vr=drdt

r 0 .drugi specijalni slucaj je kada radius vektor zadrzava

konstantan intenzitet r=const tada je kretanje po kruznici i naziva se kruzno kretanje .u ovom

slucaju radijalna komponenta je jednaka nuli vr=drdt

r 0 ,pa je vektor brzine odredjen izrazom :

v=vr=¿ vφ=dφdt

p0.

Ubrzanje tackeu datomtrenutku u polarnimkoordinatama- Vektor ubrzanja moze se predstaviti u

obliku zbira dvije komponente: radijalne (ar

→) i cirkularne (aϕ

→) koje su date izrazima:

ar

→=[ d2rdt2

−r ( dϕdt )2 ]r0→

, aϕ

→=[ d2ϕdt 2

−2 drdt

dϕdt ] ρ0→

. Intenzitet vektora mozemo napisati u obliku

a=√ar2+aϕ2 .

28. Zakon kretanja tacke u prirodnim koordinatama (str 24) –Prirodni nacin definisanja kretanja tacke primjenjuje se u slucaju kada nam je poznata trajektorija tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije. Ta trajektorija moze biti prava ili prostorna kriva linija.

U tom smislu pretpostavimo da se tacka M krece po prostornoj krivoj u odnosu na izabrani sistem referencije Oxyz.

Pri kretanju racke M po trajektoriji (s) se mijenja u funkciji vremena (t) tj. s=f(t)-jednacina kretanja tacke po datoj trajektoriji.

29. Veza izmedju koordinatnog kretanja tacke za slucaj Dekartovih koordinata (str25) –Slucaj Dekartovoih koordinata-ako je kretanje tacke definisano preko Dekartovih koordinata u obliku x = f 1(t), y = f 2(t), z = f 3(t). Onda je za prelaz na prirodni nacin neophodno odrediti 1) jednacinu

trajektorije tacke ,2) polozaj tacke A (x A, y A , zA,),3) zakon kretanja duz trajektorije . jednacinu trajektorije odredicemo eliminacijom parametra t iz jednacina kretanja,dok koordinate tacke A mozemo odrediti uvrstavajuci u jednacine kretanja t=0 .iz diferencijalne geometrije je poznato

da se element luka trajektorije ds moze napisati u obliku ds = ±√d x2+d y2+d z2 gdje znak plus

oznacava povecanje koordinate a s minus smanjenje. Integriranjem ove jednacine dobijamo

zakon kretanja ∫s0

s

ds=± ∫0

1

√d x2+d y2+d z2 ili s=s0∫0

1

√ x2+ y2+ z2dt gdje su x = f ' 1(t) , y = f ' 2

(t) ,z = f ' 3(t) , prvi izvodi jednacina kretanja po vremenu.Ako bi se tacka kretala duz neke prave u tom slucaju ocigledno je da se koordinatni nacin svodi na prirodan.

30.Brzina tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama – kod vektorskog nacina definisanja kretanja definisali smo srednju brzinu u obliku:

vsr→

=Δr→

Δt , gdje je Δt vrijeme premjestanja. vsr→

=Δr→

ΔsΔsΔt -

predstavlja izraz za srednju brzinu, gdje je Δs duzina luka MM1.

vektor brzine tacke u datom trenutku moze se napisati u obliku v→=Δs→

Δtτ0→

, gdje je s=f(t) zakon kretanja tacke.

31. Ubrzanje tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama -

vektor ubrzanja tacke u datom trenutku je potpuno odreden jednacinom kretanja

s=f(t) i poluprecnikom R a→=dvτdt

τ 0→

+vτ2

Rk

n0→

.

. vidimo da vektor ubrzanja predstavlja zbir dva vektora:

a→

τ=dvτdt

τ 0→

i

an

→=

vτ2

Rk

n0→= v2

Rk

n0→

.

a→

τ=dvτdt

τ 0→=d2 s

dt2τ0→

;an

→=

vτ2

Rk

n0→= v2

Rk

n0=( dsdt )2 n0

→

Rk

→

-sto predstavlja tangencijalno i normalno ubrzanje tacke.

tenzitet vektora ubrzanja dat je izrazom: a=√( dvrdt )

2

+( vτ2

Rk)2

.

Kada je dvdt

>0 kretanje je ubrzano a aτ

→i v→

imaju isti smjer

a kada je dvdt

<0 kretanje je usporeno a aτ

→i v→

imaju suprotan predznak.

32. Ravnomjerno pravolinijsko kretanje tacke – ako je za cijelo vrijeme kretanja tacke

ar=0 i an=0 ,odnosno a= 0 . odakle slijedi da je d vr

dt= d2 sd t 2

= 0 i v2

Rk

=0 odnosno v=|v|= |dsdt

|=

const i Rk=∞. tacka se krece ravnomjerno i pravolinijski.to znaci da je pri ovakvom kretanju vektor brzine tacke konstantan vektor tj. (konstantnog je pravca,smjera i intenziteta).ovo je najjednostavniji slucaj kretanja tacke.

33. Neravnomjerno pravolinijsko kretanje tacke (str -33) – ako je za cijelo vrijeme kretanje tacke

ar≠0 a an=0 odakle slijedi da je v2

Rk

=0 i d vr

dt= d2 sd t 2

≠0.onda je v=|v|= |dsdt

|≠ const a Rk=∞

u tom slucaju tacka se krece neravnomjerno i pravolinijski .u ovom slucaju kretanja vektor ubrzanja a pada u pravac vektora brzine v i ima isti ili suprotan smjer od vektora

v sto zavisi od predznakad vr

dt .intenzitet ubrzanja a jednak je apsolutnoj vrijednosti izvoda

d vr

dt ili

d2 sd t 2

tj a = | a|= |d vr

dt| =|

d2 sd t 2

∨¿.

s obzirom na sve do sada recemo vidimo da tangencijalno ubrzanje karakterise promjenu intenziteta vektora brzine .ako pri ravnomjernom kretanju tacke u nekom trenutku

tangencijalno ubrzanje postaje jednako nuli tj. ar=d vr

dt=0 ocigledno da je u tom trenutku

intenzitet brzine tacke ima minimalnu ili maksimalnu vrijednost.

34. Ravnomjerno krivolinijsko kretanje tacke –ako je za cijelo vrijeme kretanje tacke tangencijalna

komponenta njenog ubrzanja ar=0 a normalna an=0 ,tj. d vr

dt = 0 i

v2

Rk

≠0onda setacka krece

ravnomjerno i krivolinijski.u ovom slucaju vektor ubrzanja za cijelo vrijeme kretanja tacke

usmjeren je u pravcu glavne normale putanje tacke a njegov intenzitet je a=an= v2

Rk

.odavde

vidimo da normalna komponenta ubrzanja tacke karakterise promjenu vektora brzine po

pravcu .zakon ravnomjernog krivolinijskog kretanja tacke tada dobijamo iz : a = d2 sd t 2

=0odakle je

dsdt

=v0 pakonacno imamo s=s0+v0 t . gdje je v0 pocetna brzinaas0 krivolinijskakoordinatatacke u trenutku t=0. Ako je unekom trenutku pri ravnomjernomkrivolinijskom kretanjutacke njeno ubrzanje

jednako nuli tj a = an=¿= v2

Rk

=0 onda to znaci da u tom trenutku pokretna tacka prolazi kroz

prevojnu tacku njene trajektorije (Rk=∞)

35. Ravnomjerno promjenjivo krivolinijsko kretanje tacke –ako je za cijelo vrijeme kretanja

ax=const , aan≠0 , tj . ako jedvdt

= d2 sd t 2

=consti v2

Rk

≠0onda je Rk=0.tada se intenzitet brzine

mjenja po zakonu v=v0+ar t gdje je v0 pocetna brzina tacke .ovakvo kretanje tacke nazivamo ravnomjerno –promjenjivo krivolinijsko kretanje tacke .zakon ovakvog kretanja dat je

jednacinom : s=s0+v0t+ 12

ar t2 gdje je s0 krivolinijska koordinata pokretne tacke u trenutku

t=0 .

36. Odredjivanje brzine tacke u ortogonalnim krivolinijskim koordinatama (str -38) - pri kretanju tacke krivolinijske koordinate se mijenjaju u funkciji vremena .vektor polozaja pokretne tacke

dat je izrazom r=r (t) = r (q1 , q2 , q3¿.Brzina tacke je v=d rdt

= δ rδ q1

q1+δ rδ q2

q2+δ rδ q3

q3.U

slucaju ortogonalnih krivolinijskih kordinata projekcije vektora brzine v na koordinate ose su: vq1=L1q1 , vq2=L2q2 , vq3=L3 q3 . a intenzitet v = √vq12+vq2

2+vq32 =

√L12 q12+L22 q22+L32 q3237. Odredjivanje ubrzanja tacke u ortogonalnim krivolinijskim koordinatama –

Translatorno kretanje tijela i obrtanje tijela oko stalne ose

1. Translatorno kretanje tijela-translatornim kretanjem tijela nazivamo takvo kretanje tijela kod koga proizvoljna prava, kruto vezana za tijelo, ostaje, za cijelo vrijeme kretanja, paralelna svom pocetnom poozaju

2. Permanentno translatorno kretanje – kada se brzine pojedinih tacaka tijela medjusobno jednake u svakom trenutku vremena t,onda takvo kretanje nazivamo permanentnim

translatornim kretanjem . (poluga AB vrsi permanentnu translaciju.Osobine permanentnog kretanja : putanje svih tacaka tijela su konvergentne krive linije,brzina bilo koje tacke tijela ,u svakom trenutku vremena jednaka je brzini ishodista O pokretnog sistena tj. Brzine tacaka tijla medjusobno su jednake u bilo kom trenutku vremena,ubrzanje svih tacaka tijela medjusobno su jednaka u bilo kom trenutku vremena.

3. Trenutno translatorno kretanje tijela -d rdt

=d r0dt

ili vM=V 0 ,kada je jednacina za bilo koje dvije

tacke tijela zadovoljena samo u odredjenom trenutku t =t1 takvo kretanje nazivamo trenutnim

translatornim kretanjem. (poluga vrsi trenutnu translaciju.) 4. Kruzno(obrtno) kretanje tijela –

Ugona brzina i ugaono ubrzanje tijela kod obrtnog kretanja -- Srednja ugaona brzina tijela ωsr=∆φ/∆t a

ugaona brzina tijela je: ω= lim

Δt→0

ΔϕΔt

=dϕdt

=ϕ¿

-jedinica je rad/s ili 1/s ili s-1.

Kada se tijelo obrce suprotno od obrtanja kazaljke na satu, tada ugao φ raste pa je dφ/dt>0 a u suprotnom ugao φ se smanjuje pa je dφ/dt<0, tako da predznak ugaone brzine tijela pokazuje na koju

stranu se tijelo obrce. Srednje ugaono ubrzanje εsr=∆ω/∆t, a ugaono ubrzanje: ε= lim

Δt→0

ΔωΔt

=dωdt -

jedinica je rad/s2 ili 1/s2 ili s-2.

Obrtanje je ubrzano ako ω i ε imaju isti predznak i usporeno kada su im predznaci razliciti.

Brzina i ubrzanje tacke tijela koje vrsi obrtno kretanje -

vτ=Rω-ovu brzinu nazivamo linearnom brzinom.

Intenzitet vektora linearne brzine v→ jednak je: v=R|ω| gdje je |ω|-apsolutna

vrijednost ugaone brzine.Tangencijalno ubrzanje: aτ=

dvτdt

=Rε, a

an=v2

Rk

=R2ω2

Rk

=Rω2

Predstavalj normalno ubrzanje gdje je Rk=R. Intenzitet tangencijalnog ubrzanja je: |aτ|=R|ε| a intenzitet

vektora |an|=Rω2. intenzitet vektora ubrzanja je: a=√an2+aτ2=R√ε2+ω4

Ugao β kojeg gradi vektor a sa radiusom MO1 tg β=

|aτ|an

=|ε|ω2 .

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela kao vektor

Vektorski nacin odredjivanja brzine i ubrzanja tacke tijela koje vrsi obrtno kretanje -Vektor brzine v→ mozemo napisati u obliku:

v→=[ω→ , r

→] (Ojlerova formula), tj. vektor brzine bilo koje tacke tijela, koje se

obrce oko nepommicne ose jednak je vektorskom proizvodu vektora ugaone

brzine tijela i radijus vektora tacke koja prolazi iz proizvoljno odabrane tacke na osi

obrtanja.v→=d r

→

dt=[ω→ , r

→]. Izraz za ubrzanje: a

→=[ε→ , r→]+ [ω→ , r

→]. Intenzitet

ubrzanja je: a=√aτ2+an

2=R√ε2+ω4