View
3.022
Download
16
Category
Preview:
Citation preview
11. Siswa mampu memahami limit danTurunan dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah.
- Limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri- Turunan fungsi- Nilai ekstrem dan aplikasinya
- 1 – then must yath now’09
LIMIT
Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai batas) dari f(x) tersebut.
Contoh:
Untuk x mendekati tak berhingga, maka x
af2
akhirnya akan mendekati 0 ditulis :
Hasil yang harus dihindari :
TEOREMA
1. Jika f(x) = c maka
2. Jika dan maka berlaku :
a. c.
b. d.
LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud. Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya. 2. Bila (*) maka usahakan diuraikan. Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut :
(a = konstanta)
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x 0 ) maka sin x x (x <<< kecil sekali ; setara )
PERLUASAN
- 2 – then must yath now’09
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk mengubah fungsi:
cos x = sin (90° - x) cos ax = 1- 2 sin² ax sin ax = 2 sin ax cos ax
ctg x = tg (90° - x) cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
l i m ax m + bx m-1 + .... =x pxn + qxn-1 + ...
untuk m > n ;
untuk m =n ;
0 untuk m < n untuk a > d ;
untuk m =n ;
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOPITALSJika fungsi f dan g terdiferensir pada titik x= a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = maka :
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
2. (jawaban salah !)
Jawaban yang benar : karena variabel berpangkat sama, maka ambil saja koefisiennya
sebagai jawaban! Jadi hasilnya =
3. (jawaban salah !)
Jawaban yang benar : karena variabel pada pembilang pangkat lebih besar dari pangkat variabel penyebut, maka jawabannya =
4. (jawaban salah !)
Jawaban yang benar :
atau langsung gunakan teori Differensial (DALIL L'HOSPITAL)
- 3 – then must yath now’09
5. (jawaban salah !)
Jawaban yang benar langsung gunakan teori Differensial (DALIL L'HOSPITAL) :
6. (jawaban salah !)
Jawaban yang benar : Hilangkan tanda akar dengan mengalikan bentuk sekawan
=
atau langsung gunakan Differensial (DALIL L'HOSPITAL)
7. ingat hal khusus di atas !
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. 3
2
3tan
2sinlim
0
x
xx
2. 00tantanlim
cos
sinlim
cos.sin2
sin.sin2lim
2sin
sin2lim
2sin
2cos1lim 0
000
2
00
xx
x
xx
xx
x
x
x
xxxxxx
3.
atau langsung gunakan DALIL L'HOPITALS
4.
atau langsung gunakan DALIL L'HOPITALS
TURUNAN
- 4 – then must yath now’09
- 5 – then must yath now’09
Dimana ada kemauan, disitu ada jalan
Jawab :a. u = (2x2 - 3) v = 3x - 2 u’ = 4x v’ = 3
f’(x) = u’.v + u.v’ = 4x.(3x – 2) + (2x2 – 3).3 = 12x2 – 8x + 6x2 - 9 = 18x2 – 8x - 9
c. f’(x) = 9.(2x – 5).(x2 – 5x + 6) = (18x – 45). (x2 – 5x + 6)
b. u = (3x2 - 5) v = 2x + 3 u’ = 6x v’ = 2
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
- 6 – then must yath now’09
Contoh :
Jawab :1. a. titik stationer didapat dari f’(x) = 0, atau y’ = 0
y’ = 2x + 1 = 0 2x = -1, x =
b. y’ = 3x2 + 6x - 9 = 0 (3x + 9)(x – 1)= 0, x1 = 3 atau x2 = 1c. silahkan dicoba.
2. a. y’ = 3x2 – 6x = 0 y’’ = 6x – 6 = 0 x = 1 karena y’’ > 0, maka fungsi memiliki titik balik minimumb. silahkan dicoba.
3. a. y’ = 4x3 – 4x y’’ = 12x2 – 4 = 0 x2 = x =
nilai x substitusikan ke y, menjadi :
jika x = , y = nilai maximum
jika x = - , y = - nilai minimum
b. silahkan dicoba.
SOAL LATIHANLIMIT
1. = ....
A. C. 0 D.
- 7 – then must yath now’09
B. E.
2. = ....
A. -2 C. 1 D. 2B. -1 E. 3
3. = ....
A. - C. D.
B. - E. 2
4. = ....
A. - C. - D.
B. - E.
5. = ...
A. - C. D. 0
B. E. 1
6. = ....
A. 6 C. 8 D. 10B. 7 E. 16
7. Nilai = ....
A. –2 D. 2B. –1 E. 4C. 1
8. Nilai = ....
A. –4 D. 1B. 1 E. 4C. 0
9. = ....
A. 0 D. 2
B. E. 4
- 8 – then must yath now’09
C.
10. = ....
A. C. D.
B. 0 E. 3
11. = ....
A. –2 D. 2B. –1 E. 4C. 0
12. = ....
A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3
13. = ....
A. 0 C. D.
B. E.
14. = , maka nilai a + b = ....
A. –2 D. 2B. –1 E. 3C. 1
15. = ....
A. D.
B. E. a + bC. 0
TUGAS INDIVIDU
Berikut ini adalah soal – soal limit yang saya ambil
dari soal Ujian Nasional tahun 2000 s.d. 2007
Materi Pokok : Limit Aljabar
1. Nilai
a. – 8
b. – 6
- 9 – then must yath now’09
c. 6
d. 8
e.
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
2. Nilai
a.
b.
c. 0
d.
e.
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
3. Nilai dari
a. – 2
b. 0
c. 1
d. 2
e. 4
Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004
4. Nilai dari
a. 0
b. ¼
c. ½
d.
e.
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
5. Nilai
a. – ½
b. – ¼
c. 0
d. ¼
e. ½
- 10 – then must yath now’09
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
6. Nilai dari
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12
e. 15
Soal Ujian Nasional Tahun 2003
7. Nilai
a. – 3
b. – 2
c. – ½
d. 0
e.
Soal Ujian Nasional Tahun 2002
8. Nilai
a. – 1
b. 0
c. 1
d. 2
e.
Soal Ujian Nasional Tahun 2001
9. Nilai
a. 2
b. 0
c. – 1
d. – 2
e. – 3
Soal Ujian Nasional Tahun 2000
Materi Pokok : Limit Trigonometri
10. Nilai
a. – 4
b. – 2
- 11 – then must yath now’09
c. 1
d. 2
e. 4
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
11. Nilai dari
a. ½
b.
c.
d. 2
e. 3
Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004
12. Nilai dari
a. – 4
b. – 6
c. – 8
d. – 16
e. – 32
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
13.
a. 0
b.
c.
d. 1
e. 3
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
14. Nilai dari
a. – ½
b. – ¼
c. ¼
d.
- 12 – then must yath now’09
e.
Soal Ujian Nasional Tahun 2003
15. Nilai
a. – 2
b. – 1
c. 0
d. ½
e. 2
Soal Ujian Nasional Tahun 2002
16. Nilai
a. – 1
b. 0
c. 1
d. 2
e.
Soal Ujian Nasional Tahun 2001
17. Nilai
a. 3
b. 1
c. 0
d. – 3
e. – 6 Soal Ujian Nasional Tahun 2000
TURUNAN
1. Jika garis y = -x menyinggung kurva y = a + , di
kuadran IV, maka nilai a sama dengan …A. -2 D. 2B. -1 E. 3C. 1
2. Garis y = 4x + 1 menyinggung kurva y = ax2 + bx di titik berabsis 2. Dengan demikian nilai b yang memenuhi adalah …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3
3. Garis yang menyinggung kurva y = ½ x2 + 2x + ½ membentuk sudut 450 dengan sumbu x positif. Persamaan garis singgung tersebut adalah …
- 13 – then must yath now’09
A. y = x – 1 D. y = x + 2B. y = x E. y = ½ x + 2C. y = x + 1
4. Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 2x + 1 yang sejajar dengan garis 2x – y + 7 adalah …A. y = 2x – 1 D. y = -2x – 1 B. y = 2x – 2 E. y = -2x – 2 C. y = 2x – 3
5. Persamaan garis singgung kurva y = 2x2 + x + 1 yang tegak lurus dengan garis x + 5y + 7 = 0 adalah …A. y = 5x – 1 B. y = 5x C. y = 5x + 1
D. y = - x +
E. y = - x –
6. Sebuah kurva mempunyai persamaan y = x2 + ax + b. Garis y = 2x menyinggung kurva di titik (2, 4). Dengan demikian nilai b = …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3
7. Kurva y = a + melalui titik A(4, 8). Garis
singgung kurva di titik A tegak lurus dengan garis 2x + y – 1 = 0. Dengan demikian nilai (a + b) sama dengan …A. -14 D. 7B. -2 E. 12C. 2
8. Kurva y = 2x2 – 3x + 1 bersinggungan dengan garis y = 5x – 5. Persamaan garis normalnya adalah …A. 5x – y = 0B. x – 5y – 1 = 0 C. x + 5y – 1 = 0D. x – 5y + 23 = 0 E. x + 5y – 27 = 0
9. Diketahui kurva y = 3x2 – 2x + 4 dan garis normalnya adalah x + 4y – 21 = 0. Garis singgung yang bersesuaian adalah …A. y = 4x – 1B. y = 4x + 1
C. y = ¼ x +
D. y = -¼ x -
E. y = -4x + 9
- 14 – then must yath now’09
10. Gradien garis singgung kurva y = x3 + 3x – 1 sama dengan 6. Jika titik singgung dilalui oleh parabola y = x2 + 2 maka ordinat titik singgung sama dengan …A. -5 D. 5B. 2 E. 11C. 3
11. Persamaan garis singgung kurva y = 3x + pada
titik singgung (1, 2) adalah …A. y = 2x D. y = 4x – 2 B. y = 2x – 4 E. y = 4x – 6 C. y = 4x
12. Kurva y = a - bersinggungan dengan garis y = ¼
x + 7. Dengan demikian nilai a sama dengan …
A. 7 D.
B. E.
C.
13. Jika kurva y = bersinggungan dengan garis
y = bx – 2 di titik berabsis 1 maka nilai a = …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3
14. Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 3x2 + 3x + 1 pada titik (2, 27) adalah …A. y = 27x - 27B. y = 27x + 27C. y = 27xD. y = 3x – 27E. y = 3x + 21
15. Misal titik potong garis y = 2x + 1 dengan y = 3x – 5 merupakan titik singgung kurva y = x3 – 6x2 dengan demikian gradien garis g sama dengan …A. 6 D. 56B. 36 E. 72C. 42
16. Misal garis singgung kurva y = 2x2 + sejajar
dengan garis 2x – y + 7 = 0. Persamaan garis singgung tersebut adalah …A. 2x – y + 1 = 0 B. 2x – y + 2 = 0C. 2x – y + 3 = 0D. X – 2y + 1 = 0E. X – 2y + 2 = 0
17. Garis singgung kurva y = x2 + 2x + 1 tegak lurus dengan garis 4y – x – 12 = 0. Dengan demikian persamaan garis singgung kurva tersebut adalah …
- 15 – then must yath now’09
A. y + 4x + 16 = 0 B. y + 4x – 16 = 0C. y – 4x + 16 = 0D. 4y + x – 16 = 0E. 4y + x + 16 = 0
18. Garis g : ax + b dan garis h : y = 2x + 7 saling sejajar. Garis g menyinggung kurva y = x - x. Nilai a + b = …A. -2 D. 6B. 0 E. 8C. 2
19. Misal parabola y = x2 + 3x + b bersinggungan dengan garis y = mx + 1. Jika titik singgungnya terletak pada sumbu simetri parabola y = x2 – 2x + 7, maka nilai b = …A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3
20. Persamaan garis singgung di titik dengan x = 2 pada
kurva y = adalah ...
A. 5x + 2y – 28 = 0B. x + 2y – 20 = 0C. 5x – 2y – 8 = 0D. x – 2y + 16 = 0E. 2x – y + 5 = 0
TUGAS INDIVIDU
1. Sebuah benda berputar pada sumbunya. Pada waktu t setiap jari-jari roda itu sudah menjalani sudut sebesar = 72t – 3t2. Laju perubahan kecepatan sudutnya ...F. selalu makin tinggiG. selalu makin rendahH. makin tinggi hanya pada t < 12I. makin rendah hanya pada t > 12J. paling tinggi pada t = 24
2. Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan membentuk segitiga di kuadran pertama dengan luas terkecil adalah ...
K. y – 3 = (x – 2)
L. y – 3 = - (x – 2)
- 16 – then must yath now’09
M. y – 3 = (x – 2)
N. y – 3 = - (x – 2)
O. y – 3 = (x – 2)
3. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t
diberikan oleh fungsi s(t) = - t3 + 3t2 – 5t.
Kecepatan tertinggi mobil dicapai pada waktu t = ...P. 5 D. 2Q. 4 E. 1R. 3
4. Diketahui f(x) = 3x2 – 5x + 2 dan g(x) = x2 + 3x – 3. Jika h(x) = f(x) – 2 g(x), maka h1(x) adalah ...S. 4x - 8 D. 2x - 11T. 4x - 2 E. 2x + 1U. 10x - 11
5. Jika f(x) = , maka f1(x) = ...
V. 8x - -
W.8x - +
X. 8x - -
Y. 8x - -
Z. 8x - +
6. Grafik dari y = = x3 - x2 + 2x mempunyai garis
singgung mendatar pada titik singgung ...
AA.
BB.
CC. dan
DD. dan
EE. dan
- 17 – then must yath now’09
7. Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung
kurva y = tan x di titik adalah ...
FF. y = - + + 1
GG. y = - + - 1
HH. y = - - - 1
II. y = - - - 1
JJ. y = - + + 1
8. Seekor semut merayap pada bidang X0Y. Pada saat t ia berada di titik x(t), y(t) dengan x(t) = t dan y(t) = t2 – 4t + 5. Semut itu akan berjarak minimum ke sumbu x pada saat jarak semut itu dari sumbu y sama dengan ...KK. 2 D. 5LL. 3 E. 6 MM. 4
9. Sebuah roda berputar mengelilingi titik pusatnya. Sudut simpangan setiap titik pada roda tersebut pada waktu t dirumuskan sebagai berikut :
besar sudut pada waktu
kecepatan sudutnya sama dengan nol adalah ...NN. 198 D. 75OO. 195 E. 50 PP. 190
10. Nilai ekstrim fungsi f(x) = (x – 2) (x – 1)2 dicapai pada ...QQ. x = -1 dan x = -2RR. x = 1 dan x = 2
SS. x = -1 dan x =
TT. x = 1 dan x =
UU. x = -1 dan x = -
11. Jika y = 2 cos 3x cos x, maka = …
A. 4 sin 4x + 2 sin 2xB. -4 sin 4x - 2 sin 2xC. 4 cos 4x + 2 cos 2xD. -4 cos 4x – 2 cos 2xE. -2 sin 2x – sin x
12. Jika y = sin , maka y1 = …
- 18 – then must yath now’09
A. - D.
B. E. -
C.
13. Jika f(x) = , maka = …
A. C. ½ D. 1
B. ¼ E. 2
14. Jika f(x) = (sin 2x – cos 2x)2, maka f1(x) = ...A. -2 cos 2x D. -4 cos 4xB. -2 sin 2x E. -8 cos 4xC. -2 cos 4x
15. Jika f(x) = , maka f1(x) = ...
A. -2 cot x.cosec2 xB. 2 cot x. cosec2 xC. -2 tan x .sec2 xD. 2 tan x .sec2 xE. 2 cos 2x
- 19 – then must yath now’09
Recommended