OSCILACIONES

Federico Diano, Javier Fernández, Eduardo Guasch.

“Una barra homogénea de masa m y largo L se encuentra agarrada por uno de sus extremos al punto O fijo, el cual pertenece a una guía por la cual puede deslizar un resorte de constante k y longitud natural nula, de modo que la fuerza que ejerce dicho resorte es siempre horizontal, como se muestra en la figura. Considere que la barra puede pasar sin inconvenientes de un lado a otro de la guía. Entones, la frecuencia de las pequeñas oscilaciones vale":

m

k

L

gpo

2

m

k

L

gpo

3

2

3

m

k

L

gpo

2

3

m

k

L

gpo

3

a)

b)

c)

d)

La principal dificultad de este problema fue visualizar la unión de dos movimientos armónicos formando uno nuevo. Partiendo de la base que es un problema que no se puede llevar a a realidad, ya que su construcción es imposible (no existen resortes de longitud nula, además de otros inconvenientes).

1) Aplicamos Newton a la Barra al variar el ángulo.

2) Estudiamos su torque al variar el ángulo.

3) Del torque despejamos el momento inercial (para una barra).

4) Del momento inercial y con la fórmula del movimiento armónico en función de la posición, despejamos la frecuencia.

Fuerza de PESO (constante)

Fuerza del RESORTE

A CONTINUACIÓN un esquema de cómo varían las fuerzas, con el transcurso del tiempo

1

23 4

5

6

1

2

3 4

5

6

Diagrama de fuerzas que al descomponerlas, podemos despreciar las fuerzas de dirección de la barra, ya que suponemos que la barra no se comprime ni expande.

Torque del peso

Torque del resorte

(T1>T2>T3) (T4<T5<T6) (T1=-T6) (T2=-T5) (T3=-T4)

COMO Torque del punto O es igual a la “fuerza” por distancia del punto O al punto donde se aplica la “fuerza” :

Que siempre tienen el mismo sentido y dirección entre sí.

cos....2.... kLLsenL

sengmI cos...2... 2 kLL

gm

22

2.

12

.

L

mLm

I

cos...2

1.... kLgm

4

.12

. Lm

Lm

0..2

..

3

.

kLgmLm

Lm

kL

Lm

gm

.

3..

..2

..3

m

k

L

g 3.

.2

.3

m

k

L

g 3.

.2

.3

Para θ muy pequeños, sen (θ) = θ

I para una barra:

Simplificando un “L” en cada término:

considerando que para ángulos pequeños, cos θ 1.

La solución a la que llegamos es la opción “b” del problema.

Ө0

Ө

X0 X = (sen(Ө0).L – X0)

X0 = sen(Ө0).L (cuando (L/2).m.g.sen(Ө0) = - k.sen(Ө0).L.cos(Ө0).L)

X0 es la longitud de EQUILIBRIO del resorte

La longitud de equilibrio la despejamos al igualar los torques del resorte y del peso.

k.X

m.g

OBSERVACIÓN: El peso NO VARIA al variar la longitud natural del resorte.

1) La frecuencia del movimiento será igual a la del anteriormente desarrollado, ya que si ajustamos nuestro sistema de referencia podríamos suponer que en el punto de equilibrio, se fija un resorte de longitud natural nula, volviendo a la condición del principio.

2) El punto de equilibrio se verá

desplazado: Y0.y X0.x

[X0 / cos(Ө0/2)]² - X0 ² = Y0

Ө0

X0x

yY0

d

z

Si conocemos la distancia del resorte en un momento (z) y luego variamos esa distancia una determinada longitud (d), se cumple que:

( d/z ) = (L – Lf ) / L entonces

L = Lf / (1 - (d / z))

L

Lf

m

k

zd

Lf

gpo

3

12

3