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MULTIPLICACION Y DIVISION
DE POLINOMIOS
Polinomios
Propiedad de exponentes
Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes.
Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces:
1era ley: bn * bm = bn+m Cuando se multiplican bases iguales se
suman exponentes.
2da ley: 𝑏𝑛
𝑏𝑚 = 𝑏𝑛−𝑚 Cuando se dividen bases iguales se
restan exponentes.
Propiedades de exponentes (cont)
Ejemplo:
32 ∙ 33 =
En general,
3 ∙ 3 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35
Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios se realiza de
la siguiente manera:
Se multiplican los coeficientes numéricos
Si la parte variable de los términos tiene la
misma variable, su producto va a tener la misma
variable con un exponente nuevo que es la suma
de los exponentes de los términos.
Ej: (2x2)(3x4) = (2)(3)(x2x4) =6x6
Si la parte variable de los términos tiene variables
diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro,
sin cambiar.
Ej: (-5x3)(3y2) = (-5)(3)(x3y2) = -15x3y2
Ejemplos- Multiplicación de monomios
4x2(2x4y)
= (4)(2)(x2x4)y
= 8x(2+4)y
= 8x6y
-2y3(3y4z5)
= (-2)(3)(y3y4)z5
= -6y(3+4)z5
= -6y7z5
Ejemplos- Multiplicación de
monomios
a) 5x6y6 (-4x4y)
= (5)(-4)(x6 x4)(y6 y)
= -20x(6+4)y(6+1)
= -20x10y7
b) -2a4b3c6(ab2c5)
= -2(a4 a)(b3 b2 )(c6c5)
= -2 a(4+1)b(3+2)c(6+5)
= -2a5b5c11
Multiplicación de un monomio
por un polinomio.
Les recordamos la ley distributiva :
a(b+c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
Ejemplos:
a) x(2x3 + 45)
= x(2x3) + 45x
= 2x4 + 45x
b) 2a2 (-3b3 – 12)
= 2a2 (-3b3) – 2a2(12)
= -6a2b3 – 24a2
Multiplicación de un monomio
por un polinomio.
Ejemplo:
c) 5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)
= (5)(2)(y2y3) – (5)(5)(y2)(y2) + (5)(9)y2
+ (-2)(4y2) – (-2)(3y)
= 10y5 – 25y4 +45y2 +(-8y2) – (-6y)
= 10y5 – 25y4 + 37y2 + 6y
Multiplicación de
binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos
veces:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc + bd
Esto equivale a multiplicar cada término de un
binomio por cada término del otro binomio.
Al final, simplificar términos semejantes, si
existen.
Ejemplos • (2x + 3)(4x2 – 5)
= 2x(4x2 – 5) + 3(4x2 – 5)
= 8x3 - 10x + 12x2 – 15
• (x – 5)(2 – x)
= x(2 – x) – 5(2 – x)
= 2x – x2 – 10 + 5x
= -x2 + 7x – 10
• (2x2 – 5)(x2 – 9)
= 2x2 (x2 – 9) – 5(x2 – 9)
= 2x4 – 18x2 – 5x2 + 45
= 2x4 – 23x2 + 45
Diferencia de cuadrados
a) (2x + 1) (2x – 1)
= 2x (2x – 1) +1 (2x – 1)
= 4x2 – 2x + 2x – 1
= 4x2 – 1
b) (7 + 3y)(7 – 3y)
= 7(7 – 3y) + 3y(7 – 3y)
= 49 – 21y + 21y – 9y2
= 49 – 9y2
Diferencia de cuadrados En los ejemplos anteriores vemos que se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos. Al multiplicar estos binomios el resultado es un binomio de la forma
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2
A este resultado se le conoce como una diferencia de cuadrados.
Diferencia de cuadrados
a) (x + 1) (x – 1)
Usando la fórmula anterior
= x2 – 1
b) (7x + 4)(7x – 4)
Usando la fórmula anterior
= (7x)2 – 42 = 49x2 – 16
Otros ejemplos (4x2 – 1)2
= (4x2 – 1) (4x2 – 1)
= 4x2 (4x2 – 1)– 1(4x2 – 1)
= 16x4 – 4x2 – 4x2 + 1
= 16x4 – 8x2 + 1
• (10 – 2x)2
= (10 – 2x)(10 – 2x)
= 10(10 – 2x) – 2x(10 – 2x)
= 100 – 20x – 20x + 4x2
= 100 – 40x + 4x2
Otros ejemplos – cont. • (4x – 1)(3x + 1)
= 4x(3x + 2)– 1(3x + 1)
= 12x2 + 8x – 3x – 1
= 12x2 + 5x – 1
• (1 – 2x)(2 – x)
= 1(2 – x) – 2x(2 – x)
= 2 – x – 4x + 2x2
= 2 – 5x + 2x2
Multiplicación - ejercicios
Multiplicación - ejercicios
División de un
polinomio entre un monomio
• Cuando dividimos un polinomio entre un
monomio, aplica la propiedad distributiva,
además de la regla de exponentes.
c
b
c
a
c
ba
)(
2da ley: 𝑏𝑛
𝑏𝑚 = 𝑏𝑛−𝑚 Cuando se dividen bases iguales se restan exponentes.
División de un
polinomio entre un monomio Se divide cada término del polinomio entre el
monomio.
x
)xxx(
2
262 234
x
x
x
x
x
x
2
2
2
6
2
2 234
xxx 23 3
= 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑
𝟐𝒙𝒚+
𝟏𝟔𝒙𝟒𝒚𝟐
𝟐𝒙𝒚−
𝟖𝒙𝒚
𝟐𝒙𝒚
= 𝒙𝒚𝟐 + 𝟖𝒙𝟑𝒚 − 𝟒
propiedad distributiva
propiedad de exponentes
División de un
polinomio entre un monomio
= 9𝑎3𝑏3
9𝑎2𝑏−
36𝑎2𝑏
9𝑎2𝑏−
45𝑎4𝑏2
9𝑎2𝑏
= 𝑎𝑏2 − 4 − 5𝑎2𝑏
= 12𝑥8𝑦6
6𝑥2𝑦2+
96𝑥5𝑦4
6𝑥2𝑦2−
72𝑥2𝑦2
6𝑥2𝑦2
= 2𝑥6𝑦4 + 16𝑥3𝑦2 − 12
División – cont.
= −42𝑥6
14𝑥2−
70𝑥4
14𝑥2+
98𝑥2
14𝑥2
= −3𝑥4 − 5𝑥2 + 7
= −24𝑎4𝑏2
−6𝑎𝑏+
36𝑎3𝑏
−6𝑎𝑏−
48𝑎2𝑏
−6𝑎𝑏
= 4𝑎3𝑏 − 6𝑎2 + 8𝑎
Práctica: División
Simplificar
Solución:
9
1242
x
x
9
1242
x
x
3
4
x
Factorizamos
Numerador y
denominador
Simplificamos asumiendo que x
es siempre diferente de 3
)x)(x(
)x(
33
34
Simplificar
Solución:
23
222
3
xx
xx
23
222
3
xx
xx
2
12
x
)x(x
)x)(x(
)x(x
12
12 2
)x)(x(
)x)(x(x
12
112
Factorizamos
Numerador y
denominador
Simplificamos asumiendo que x
es siempre diferente de 1
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