RADICALES. RADICALES La radicación es la operación inversa a la potenciación: POTENCIACIÓN...

RADICALES

RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación:

POTENCIACIÓN RADICACIÓN

Si212 144 2 144 12

Entonces

Índice de la Raíz

RadicalPotenci

a

Exponente

BaseCantidad

Subradical

Raíz Cuadrad

a

2? 144

? 144

RADICALES

En la potenciación se conocen la base y el exponente, y se halla la potencia.

En la radicación se conocen el índice de la raíz y la cantidad subradical, y se halla la raíz.

Haciendo una relación entre las dos operaciones se tiene:

Potenciación Radicación

Exponente Índice de la raíz

Base Raíz

Potencia Cantidad subradical

RADICALES

n a b nb a

IMPORTANTE: Si n es par, entonces 0 0a y b

Definición de la Raíz n-ésima

Si n es un entero positivo , entonces la raíz n-ésima principal de a se define así:

1

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

n nna b a b 9 4 9 4

n

nn

a ab b

16 1625 25

m mnn a a3 6729 729

nn a a si n es impar 33 5 5

23 3 3 nn a a si n es par

¡PRECAUCIÓN

9 4 9 4 3 2 5

a b a b

9 4 13

EJEMPLOS

Resolver:

16

3 125 33 5 5

4116

44

1

2

12

9 36 25 70

No está definida en los Reales

EJEMPLOSResolver:

18 25 72 18 25 72

29 2 5 36 2

2 23 2 5 6 2

2 23 2 5 6 2

3 5 6 2 2

23 5 6 2

90 2 180

Descomponer en factores

Propiedad 1

Expresar como potencia, los

factores posibles

Propiedad 1

Resolver radicales

Multiplicar

EXPONENTES RACIONALES

Para definir exponente racional o, lo que es lo mismo, exponente fraccionario, debemos hacer uso de los radicales:

1n na a

La potenciación y radicación conserva en los racionales, las mismas propiedades definidas para el conjunto numérico de los Enteros.

EXPONENTES RACIONALES

En forma General se puede definir:

1 1p

ppp qq q qa a a a

1 1 pp

p pqq q qa a a a

EJEMPLOS

Resolver:

2

383 28 233 2 3 62

2

2 4

3x x

11 2

3 2x x

11 232x

17 22x

7

4x

EJEMPLOS

Resolver:

16 3 3

14 2 2

x y

x y

6 3

3 3

4 2

2 2

x y

x y

2 1

2 1

x y

x y

2 2 1 1 x y

0 0x y 1

EJEMPLOS

Determinar el dominio de la siguiente expresión:

3xxEl denominador

sería cero si x = 3

Para obtener una raíz cuadrada es necesario que

0x

tan , min / 0 3Por lo to el do io es x x y x

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

En ocasiones resulta útil eliminar el radical del denominador de una expresión. Para esto, se multiplica tanto numerador como denominador por una expresión adecuada. A este procedimiento se le denomina “Racionalización de Denominadores”

1

51 5

5 5

2

5

5 5

5

En realidad multiplicamos la cantidad por 1, con lo que no se altera su valor

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

3

1

x

3 2

3 3 2

1 x

x x

3 2

3 3

x

x

3 2xx

En general, si el denominador es de la forma con m<n, entonces al multiplicar el numerador y el denominador por racionalizamos el denominador

mn a

n mn a

RACIONALIZACIÓN DE NUMERADORES

El mismo procedimiento descrito anteriormente, se puede utilizar para racionalizar los numeradores.

3 xx

3 23

3 2

x xx x

3 2

3 2

x x

x x

3 3

3 2

x

x x

3 2

x

x x

3 2

1

x

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

Algunos cocientes contienen denominadores de la forma o de la forma ; estos denominadores se pueden racionalizar, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: y respectivamente.

a b a b

a ba b

Observe que el conjugado de la suma de dos términos, corresponde a la diferencia de los mismos términos; y de igual manera el conjugado de la diferencia, corresponde a la suma

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

Ejemplo:

1

x yRacionalizar el denominador de la siguiente expresión:

1 x y

x y x y

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado

2 2

x y

x y

x y

x y

1

RACIONALIZACIÓN DE NUMERADORES

Ejemplo:

Racionalizar el numerador de 2 2

a ba b

2 2

a b

a b

22

2 2

a b

a b a b

a b

a b a b a b

1

a b a b

2 2

a b a b

a b a b

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado

1