View
801
Download
45
Category
Preview:
Citation preview
UNIVERZITET U SARAJEVU
EKONOSMKI FAKULTET U SARAJEVU
ZAJMOVI PODIJELJENI NA OBVEZNICE
SEMINARSKI RAD
Studij: Menaddžment - DL
Predmet: Kvantitativni modeli u ekonomiji i menadžmentu
Profesor: Selimović dr Jasmina
Studenti: Sumejja Hadžić 69644
Alena Idrizović 70722
Jasmin Planja 68908
Sarajevo, mart 2014.
Sadržaj
UVOD....................................................................................................................................................3
1 OBVEZNICE ISTE NOMINALNE VRIJEDNOSTI, KAMATA SE ISPLAĆUJE POMOĆU
KAMATNIH KUPONA.........................................................................................................................5
1.1 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU PO NOMINALI...................................................................5
1.1.1 Zajam se amortizuje konstantno jednakim otplatama.....................................................5
1.1.2 Zajam se amortizuje konstantno jednakim anuitetima....................................................9
1.1.3 Zajam se amortizuje zaokrugljenim anuitetima............................................................13
1.1.4 Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj
progresiji ......................................................................................................................................20
1.1.5 Zajam se amortizuje pomoću anuiteta koji konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj
progresiji ......................................................................................................................................24
1.2 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S AŽIJOM..........................................................................31
1.3 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S DISAŽIJOM...................................................................37
2 OBVEZNICE RAZLIČITIH NOMINALNIH VRIJEDNOSTI; KAMATA SE ISPLAĆUJE
POMOĆU KAMATNIH KUPONA.....................................................................................................39
3 OBVEZNICE SE AMORTIZUJU POMOĆU ANUITETSKIH KUPONA.................................41
ZAKLJUČAK......................................................................................................................................44
LITERATURA.....................................................................................................................................45
2
UVOD
Zajmovi podijeljeni na obveznice koriste se za pribavljanje sredstava, gdje se zajam dijeli na
više manjih iznosa za koje se izdaje obveznica. Zapravo se radi o pismenoj ispravi kojom se
potvrđuje prijem zajma i izjavljuje da će zajam kao i kamata biti isplaćeni po ugovorenoj
kamatnoj stopi. Obveznice se izdaju samo u okruglim iznosima, apoenima.
Zajmovi mogu biti podijeljeni na obveznice istog i različitog nominalnog iznosa. U prvom
slučaju, kada su obveznice istog nominalnog iznosa , radi se o podjeli na serije koje imaju isti
broj obveznica. Kada se obveznice izdaju u različitim apoenima postoji više grupa različite
nominalne vrijednosti.
Emisiju obveznica možemo izvršiti na direktan ili indirektan način gdje se pod direktnim
načinom izdavanja misli na izdavaoca kao izvršitelja svojih operacija dok se kod indirektnog
načina taj posao povjerava banci. Kako govorimo o emisiji obveznica jako je bitno spomenuti
emisioni kurs koji predstavlja cijenu po kojoj se nude obveznice. Kurs može biti iznad, ispod i
jednak nominalnoj vrijednosti.
Obveznice mogu glasiti na ime ili donosioca. Ako glase na ime znaći da sadrži ime korisnika
dok kod obveznica na donosioca nemamo naznačeno ime korisnika.
Obveznice možemo podijeliti na one u užem smislu koje sadrže sve bitne elemente i one koje
se sastoje od anuitetskih i kamatnih kupona zavisno od amortizacije obveznica.
Ako se amortizacija vrši po unaprijed utvrđenom planu i otkupu dužnik će se odlučiti da
otkupi obveznicu kada to za njega bude najpovoljnije.
Prije nego objasnimo amortizaciju uz kamatne i anuitetske kupone treba istaći da se sam
zajam kao i anuitet sastoje od kamate i otplate. Kamata se obračunava na sve neamortizovane
obveznice a dio anuiteta namijenjen za otplatu može se koristiti za potpunu isplatu nekih
obveznica, čija je količina utvrđena amortizacionim planom. Koje su to obveznice utvrđujemo
pomoću amortizacionog plana i tada se koriste kamatni kuponi za naplatu kamate dok se sama
vrijednost obveznice naplaćuje njenom predajom. O drugom slučaju govorimo kada imaocu
obveznice svakog roka pripada anuitet za svaku obveznice, koji ćemo ostvariti samo uz
anuitetski kupon.
3
Isplaćivanje obveznice se može vršiti po nominali, iznad i ispod nje. Ako se radi o pozitivnoj
razlici govorimo o ažiju dok se negativna razlika naziva disažijo, o čemu ćemo opširnije u
nastavku.
Kamata se može obračunavati dekurzivno i anticipativno. Osvrnut ćemo se samo na naše
pravo, koje dozvoljava i varijabilnu kamatnu stopu uslovljenu uspjehom poslovanja, gdjeo se
kamata obračunava i plaća godišnje dekurzivno.
Kamata i otplata se mogu naplatiti od roka dospijeća do zastarjelosti. Nakon zastarijevanja
imalac obveznice više ne može ostvariti svoja potraživanja. O svemu ovome ćemo u nastavku
opširnije razmatrati.
4
1 OBVEZNICE ISTE NOMINALNE VRIJEDNOSTI, KAMATA SE ISPLAĆUJE
POMOĆU KAMATNIH KUPONA
Zajam je podijeljen na određeni broj obveznica iste nominalne vrijednoti. Kamata se
naplaćuje pomoću kamatnih kupona o njenom dospijeću a glavnica se isplaćuje kada
obveznica bude izvućena za amortizaciju.
1.1 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU PO NOMINALI
Prilikom amortizacije obveznice, njen imalac prima iznos nominalne vrijednosti.
1.1.1 Zajam se amortizuje konstantno jednakim otplatama
Zajam K podijeljen je na m obveznica po N nominalne vrijednosti i tada važi:
K=m*N
Iz koje slijedi:
m= KN
Otplata b se računa :
b=Kn
Broj obveznica za amortizaciju x se računa:
x= bN
ili x=mn
Sobzirom da je obveznica nedjeljiva, b i x mogu biti stvarne ili teorijske veličine.
Kamata se računa na ostatak zajma, ili jednostavnije, izračunamo iznos kamate po obveznici i
pomnožimo s brojem obveznica:
I 0=N∗p100
I n=I 0∗mn−1
5
Primjer 1.
Zajam od 500 000 KM, podijeljen je na obveznice po 500KM, treba amortizovati za 4 godine
jednakim godišnjim otplatama. Kamata se obračunama i plaća godišnje po stopi od 7%. Treba
izraditi i provjeriti amortizacioni plan.
Elementi: K=500 000KM; N=500KM; n=4god; p=7%
Kamata po obveznici:
I 0=500∗7
100=35
Broj emitovanih obveznica:
m=500 000500
=1000
Otplata:
b=5000004
=125 000
Broj obveznica za jednogodišnju amortizaciju:
x=10004
=250
Na kraju prve godine:
a)kamata
I1=m*I0=1000*35=35 000
b)Amortizovane obveznice
x=250
c)otplata
b=125 000
d)anuitet
a1=b+I1=125 000+35 000=160 000
e)neamortizovane obveznice
m1=m-x=1000-250=750
6
Ovako se mogu računati pojedinosti za svaki otplatni period, ali se brže i lakše računa u
samom amortizacionom planu.
AMORTIZACIONI PLAN
Zajma od 500 000 KM
Na kraju godine
Neamortizovane obveznice m (2-4)
Kamata I, 7% (2*I0)
Amortizovane obveznice x
Otplata b, ( 4*N)
Anuitet a (5+3)
1 2 3 4 5 60 10001 750 35 000 250 125 000 160 0002 500 26 250 250 125 000 151 2503 250 17 500 250 125 000 142 5004 0 8 750 250 125 000 133 750 2500 87 500 1000 500 000 587 500
Kontrola:
a) Zbir amortizovanih obveznica treba biti jednak broju emitovanih obveznica
( 1000=1000)
b) Zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (500 000=500 000)
c) Zbir anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata
( 500 000+87 500=587 500)
d) Posljednji ostatak neamortizovanih obveznica treba da bude jednak broju obveznica
koje se amortizuju svakog perioda ( 250=250)
e) Kamata na zbir neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka zbiru kamata
( 2500*35= 87 500)
Ukoliko želimo izračunati broj neamortizovanih obveznica za konkretan perion
obračuna koristimo formulu:
mk=x (n−k )
gdje je k broj minulih perioda a mk broj neamortizovanih obveznica.
Primjer2.
7
Zajam od 100 000 KM podijeljen na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati za: a)7 i b)9
godina jednakim godišnjim otplatama. Treba izračunati stvarni iznos otplate i stvarni broj
obveznica za jednogodišnju amortizaciju.
a) K= 100 000; N=1000; n=7;
m= 100 000 : 1000=100
8
b= 100 000 : 7 = 14 285,7143
x= 14 285,7143 : 1000=14,2857
Godina Broj obveznica za amortizaciju
Ostatak obveznice
1 14 0,28572 14 0,2857
0,57143 14 0,2857
0,85714 14+1=15 0,2857 1,14285
140,1428
0,2857 0,4285
6 14 0,2857 0,7142
7 14+1=15 0,2857 0,9999
Možemo i direktno računati broj neamortizovanih i amortizovanih obveznica u određenom
roku, na primjer te veličine na kraju 5 godine za prošli šrimjer:
m5= 14,2857(7-5)= 28,5714
Budući da je obveznica nedjeljiva neamortizovane obveznice zaokružujemo na viši iznos a to
je 29, odnosno da je ostatak duga 29 000KM. Ako se traži broj amortizovanih obveznica onda
se zaokružuje na niže. U ovom primjeru na dan petog izvačenja: 14,2857*5= 71,4285 što
znači 71.
b) K= 100 000; N=1000; n=9
m= 100 000:1000= 100
b= 100 000:9= 11 111,1111
x= 11 111,1111:1000=11,1111
U ovom slučaju možemo odmah vidjeti da će prvih osam godina stvarni broj otplaćenih
obveznica biti 11 a devetu godnu 12, zato što je 0.1111*9= 0.9999, što nam dodaje stvarnu
obveznicu na zadnjoj godini.
9
1.1.2 Zajam se amortizuje konstantno jednakim anuitetima
Ukoliko se zajam amortizuje konstantno jednakim anuitetima za računanje teorijskog anuiteta
koristimo formulu:
a= KVnp
Za računanje teorijske otplate (b1) koristimo formulu:
B1= a-I1
Primjer:
Zajam od 500 000 KM, podijeljen na obveznice po 500 KM, treba amortizovati u toku 5
godina jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se obračunava i isplaćuje godišnje po 4%.
Treba izraditi amortizacioni pla,.
K= 500 000
N= 500
n= 5
p=4%
Koristit ćemo iste formule kao iz prethodnog primjera uz neke promjene koje će biti
naznaćene.
broj emitovanih obveznica (m)
m= 1000
kamata po obveznici
I0= N*i =20
Prije nego pristupimo izradi plana treba izračunati opšti teorijski anuitet:
a=KV 45= 112 313,55
Stanje na kraju prve godine: 1. Teorijski anuitet ( jednak je
opštem anuitetu)
a= 112 313,55
10
2. Kamata (I1)
I1= m*I0= 1000*20= 20 000
3. Teorijska otplata (b1)
b1=a1-I1= 112 313,55-20 000=
92 313,56
4. Teorijski broj obveznica za
amortizaciju (x1)
x1= b1/N= 184,62
5. Amortizovane obveznice
Za amortizaciju obveznice
uzimamo cio broj jer se dio
obveznice ne može
amortizovati.
x1'=184
6. Stvarna otplata (b1')
b1'= x1'*N= 92 000
7. Neamortizovane obveznice (m1)
m1= m-x1'= 816
8. Stvarni anuitet (a1')
Radi se o iznosu koji dužnik
treba obezbijediti za svoje
obaveze.
a1'= b1'+I1= 112 000
9. Ostatak anuiteta s kamatom (o1)
jeste razlika između teorijskog i
stvarnog anuiteta,koju treba
ukamatiti .
a1= 112 212,55
a1'= 112 000,00
313,55 neiskorištena
razlika
I1'= 12,54 ( 313,55*0,04)
o1= 326,09
Stanje na kraju druge godine:
1. Teorijski anuitet (a2)
jeste zbir opšteg anuiteta
i ostatka anuiteta s
kamatom prethodne
godine.
a= 112 313,55
o1= 326,09
a2= 112 639,64
2. I2= 16 320
3. b2= 96 319,64
4. x2= 192,63928
5. x'2=192
6. b'2= 96 000
7. m2=624
8. a'2= 112 320
9. a2= 112 639,64
a'2=112 320,00
o2=319,64*1,04= 332,4256
Posljednje tri godine radimo po istom principu kao i do sada. Sve izračunate elemente ćemo
prikazati amortizacionom planu.
11
AMORTIZACIONI PLAN
Za zajam od 500 000 KM
Obveznice Ostatak anuitetaNa kraju godine
Neamo-rtizovane obveznice(2-3)
Amortizovane obveznice
Kamata, 6% (d)(2*I0)
Otplata(3*N)
Stvarni anuitet(5+4)
Iznos S kamatom (7*r)
1 2 3 4 5 6 7 8
0 10001 816 184 20 000 92 000 112
000313,55 326,09
2 624 192 16 320 96 000 112 320
319,64 332,42
3 424 200 12 480 100 000 112 480
165,97 172,61
4 216 208 8 480 104 000 112 480
6,15 6,39
5 216 4 320 108 000 112 320
3080 1000 61 600 500 000 561 600
805,31 837,51
Za provjeru tačnosti plana trebaju biti zadovoljeni sljedeći uslovi:
1. Zbir amortizovanih obveznica treba da bude jednak broju emitovanih obveznica
(1000=1000)
2. Zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (500 000=500 000)
3. Posljednja količina neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka posljednjoj
količini amortizovanih obveznica ( 216=216)
4. Zbir stvarnih anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata
( 500 000+61 600= 561 600).
5. Zbir kamate treba da bude jednak kamati na zbir neamortizovanih obveznica
( 3080*20=61 600)
6. Proizvod sume ostatka anuiteta i dekurzivnog kamatnog faktora treba da bude
jednak zbiru ostatka anuiteta s kamatom ( 805,31*1,04=837,5)
Za direktno utvrđivanje broja neamortizovanih obveznica npr. na kraju 2 godine koristi
se formula:
12
m2=112313,55∗IV 4
3
500=624
Za direktno utvrđivanje broja obveznica za amortizaciju koristi se formula:
x1=¿m (V ¿¿ pn−i)¿¿
x1=1000 (V 45−0,04 )=184,6271
X2= 184,6271*1.04= 192,0122
X3=192,0122*1,04=199,6926
X4=199,6926*1,04= 207,6803
X5=207,6803*1,04=215,9875
Na osnovu teorijskih ćemo utvrditi stvarne količine obveznica za amortizaciju svakog
perioda.
STVARNE KOLIČINE OBVEZNICA ZA AMORTIZACIJU
n Teorijski broj obveznica
Stvarni broj obveznica
Ostatak
1 184,6271 184 0,62710,0122 0,6926 1,4417
2 192,0122 1923 199,6926 199+1=200
4 207,6803 207+1=208 0,44170,6803 1,122
5 215,9875 215+1=216 0,1220,9875
1000
AMORTIZACIONI PLAN
Na kraju
Neamortizovane obveznice
Amortizovane obveznice
Kamata Otplata Stvarni anuitet
13
godine1 2 3 4 5 60 10001 816 184 20 000 92 000 112 0002 624 192 16 320 96 000 112 3203 424 200 12 480 100 000 112 4804 216 208 8 480 104 000 112 4805 216 4 320 108 000 112 320
3080 1000 61 600 500 000 561 600
Broj neamortizovanih obveznica na kraju druge godine možemo izračunati po formuli:
m2=184,6271 (III 44−III 4
1 )=623,3606
Stvarni broj neamortizovanih obveznica zaokružuje se na više. Iz toga slijedi da stvarni broj
iznosi 624.
1.1.3 Zajam se amortizuje zaokrugljenim anuitetima
Iako danas postoje tehnička sredstva i bezgotovinsko plaćanje koja nam olakšavaju izračun
svih faza amortizacije zajma kad je anuitet podijeljen na stote dijelove valute, ipak se u nekim
slučajevima koriste zaokrugljeni anuiteti. Anuiteti mogu biti zaokrugljeni na više načina:
a) Anuitet se izražava postotkom od zajmab) Neposrednim isticanjem iznosa anuitetac) Ugovaranjem na koji način se treba zaokrugliti anuitet dobijen pomoću V tablice
složenih kamata
Ovo ćemo ilustrovati jednostavnim primjerima:
a) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati godišnjim dekurzivnim anuitetima čiji je pojedinačni iznos 25% zajma.
a=0.25∗100 000=25 000
b) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati godišnjim dekurzivnim anuitetima po 25 000 KM.
a=25 000
c) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati u toku 5 godina godišnjim dekurzim anuitetima zaokrugljenim na više na započetu hiljadu, kamataiznosi 7% i obračunava se i plaća godišnje.
a=K∗V pn=100 000∗V 7
5=24389,06a=25 000
Za izračun teorijskog anuiteta (a) i teorijskog anuitetskog ostatka (ao) mogu se koristiti obrasci
koji se koriste i kod pojedinačnog zajma:
14
K=a IV pn−1+ao II p
n
ao=(K−a IV pn−1 )∗I p
n ili ao=K I pn−a III p
n−1
Amortizacioni plan se može raditi za svaku godinu pojedinačno ili direktnim putem.
Primjer:
Zajam od 2 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM. Ovaj zajam treba
amortizovati godišnjim 20% anuitetima. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 7% (d).
Izvučene obveznice se plaćaju po nominali. Treba izraditi amortizacioni plan.
Elementi računa:
K= 2 000 000; N= 1000; n= 5; p=7% (d); p'=20%
Broj emitovanih obveznica (m)
m= K : N= 2 000 000 : 1000= 2000
Kamata po obveznici (I0)
I0=N * I= 1000 * 0,07= 70
Teorijski zaokrugljeni anuitet (a)
a= 2 000 000 * 0,25= 500 000
Broj anuiteta (vrijeme amortizacije n)
IV pn =K
aIV 7
n=2 000 000500 000
=4
4<n<5
Zajam se amortizuje sa 5 anuiteta.
Teorijski anuitetski ostatak (ao)
15
ao=(K−a IV pn−1 )∗I p
n=(2000 000−500 000 IV 74 )I 7
5=429 733,9607
a) Izrada pomoću teorijskih anuiteta
Stanje na kraju prve godine:
1. Teorijski anuitet (a1)
a1 = a = 500 000
2. Kamata (I1)
I1 = m * I0 = 2000 * 70= 140 000
3. Teorijska otplata (b1)
b1 = a1 – I1 = 500 000 – 140 000 = 360 000
4. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x1)
x1 = b1 : N = 360 000 : 1000 = 360
5. Amortizovane obveznice (x1')
x1' = 360
6. Stvarna otplata (b1')
b1' = x1' * N = 360 * 1000 = 360 000
7. Neamortizovane obveznice (m1)
m1 = m - x1' = 2000 – 360 = 1640
8. Stvarni anuitet (a1')
a1'= b1' + I1= 360 000 + 140 000 = 500 000
9. Ostatak anuiteta s kamatom (o1)
o1 = a1 – a1' = 500 000 – 500 000 = 0
Stanje na kraju druge godine:
1. Teorijski anuitet (a2)
a2 = a + o1 = 500 000
2. Kamata (I2)
I2 = m1 * I0 = 1640 * 70= 114 800
3. Teorijska otplata (b2)
b2 = a2 – I2 = 500 000 – 114 800 = 385 200
4. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x2)
x2 = b2 : N = 385 200 : 1000 = 385,2
5. Amortizovane obveznice (x2')
x2' = 385
6. stvarna otplata (b2')
b2' = x2' * N = 385 * 1000 = 385 000
7. Neamortizovane obveznice (m2)
m2 = m1 – x2' = 1640 – 385 = 1255
8. Stvarni anuitet (a2')
a2'= b2' + I2= 385 000 + 114 800 = 499 800
9. Ostatak anuiteta s kamatom (o2)
a2 = 500 000a2' = 499 800o2 = 200 * 1, 07 = 214
Na kraju treće godine:
1. Teorijski anuitet (a3)
a3 = a + o2 = 500 214
Kamata (I3)
I3 = m2 * I0 = 1255 * 70= 87 850
2. Teorijska otplata (b3)
b3 = a3 – I3 = 500 214 – 87 850 = 412 364
3. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x3)
x3 = b3 : N = 412 364 : 1000 = 412,364
4. Amortizovane obveznice (x3')
16
x3' = 412
5. stvarna otplata (b3')
b3' = x3' * N = 412 * 1000 = 412 000
6. Neamortizovane obveznice (m3)
m3 = m2 – x3' = 1255 – 412 = 843
7. Stvarni anuitet (a3')
a3'= b3' + I3= 412 000 + 87 850 = 499 850
8. Ostatak anuiteta s kamatom (o3)
a3 = 500 214a3' = 499 850o3 = 364 * 1, 07 = 389,48
Na kraju četvrte godine:
1. Teorijski anuitet (a4)
a4 = a + o3 = 500 389,48
Kamata (I4)
I4 = m3 * I0 = 843 * 70= 59 010
2. Teorijska otplata (b4)
b4 = a4 – I4 = 500 389,48 – 59 010 = 441
379,48
3. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x4)
x4 = b4 : N = 441 379,48 : 1000 =
441,37948
4. Amortizovane obveznice (x4')
x4' = 441
5. stvarna otplata (b4')
b4' = x4' * N = 441 * 1000 = 441 000
6. Neamortizovane obveznice (m4)
m4 = m3 – x4' = 843 – 441 = 402
7. Stvarni anuitet (a4')
a4'= b4' + I3= 441 000 + 59 010 = 500 010
8. Ostatak anuiteta s kamatom (o4)
a4 = 500 389,48a4' = 500 010o4 = 379 * 1, 07 = 406,04
Na kraju pete godine:
1. Teorijski anuitet (a5)
a0= 429 733,96 (anuitetski ostatak)o4= 406, 04a5 = 430 140
Kamata (I5)
I5 = m4 * I0 = 402 * 70= 28 140
2. Teorijska otplata (b5)
b5 = a5 – I5 = 430 140 – 28 140 = 402 000
3. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x5)
x5 = b5 : N = 402 000 : 1000 = 402
4. Amortizovane obveznice (x5')
x4' = 402
5. stvarna otplata (b5')
b5' = x5' * N = 402 * 1000 = 402 000
6. Neamortizovane obveznice (m5)
m5 = m4 – x4' = 402 – 402 = 0
7. Stvarni anuitet (a5')
a5'= b5' + I4= 402 000 + 28 140 = 430 140
8. Ostatak anuiteta s kamatom (o5)
17
a5 = 430 140a5' = 430 140o5 = 0
AMORTIZACIONI PLANza zajam od 2 000 000 KM
Na kraj
u god.
OBVEZNICE
Kamata(2 * I0)
Otplata(3 * N)
Stvarni anuitet(5+4)
OSTATAK ANUITETA
Neamor-tizovane
(2-3)
Amorti-zovane
Iznos S kamato
m(7*r)
1 2 3 4 5 6 7 80 20001 1640 360 140 000 360 000 500 000 0 02 1255 385 114 800 385 000 499 800 200 2143 843 412 87 850 412 000 499 850 364 389,484 402 441 59 010 441 000 500 010 379 406,045 0 402 28 140 402 000 430 140 0 0 6 140 2000 429 800 2 000 000 2 429 800 943 1009,52
Plan je dobro urađen ako se konačnom kontrolom potvrde sljedeći uslovi:
1. zbir amortizovanih obveznica treba da bude jednak broju emitovanih obveznica (2000=2000)
2. zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (2 000 000 = 2 000 000)3. posljednja količina neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka posljednoj
količini amortizovanih obveznica (402 = 402)4. zbir stvarnih anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata
(2 429 800 = 2 000 000 + 429 800)
5. zbir kamate treba da bude jednak kamati na zbir neamortizovanih obveznica
(429 800 = 6 140 * 70)
6. proizvod sume iznosa ostatka anuiteta i dekurzivnog kamatnog faktora treba da bude jednak zbiru ostatka anuiteta s kamatom ( 1009,52 = 943 * 1,07)
Kada je poznat anuitet, anuitetski ostatak, kamatna stopa i broj amortizacionih perioda,
ostatak duga se može računati po obrascu:
Rm=a IV pn−m−1+a0 II p
n−m
18
Ako ovaj izraz podijelimo sa N, dobit ćemo obrazac za računanje teorijskog broja
neamortizovanih obveznica:
mk=aN
IV pn−k−1+
a0
NII p
n−k
Ovaj broj treba zaokružiti na cijeli i to samo naviše pa će se dobiti stvarni broj
neamortizovanih obveznica (mk').
Broj neamortizovanih obveznica u urađenom primjeru nakon trećeg izvlačenja je:
m3=500 000
1000IV 7
5−3−1+ 429 733,961000
II75−3=842,6360
m3=843
b) izrada plana direktnim utvrđivanjem broja obveznica za amortizaciju
Za izradu plana direktnim načinom uvrđivanja broja obveznica za omortizaciju koristimo
sljedeći obrazac:
m=x1 (1+ I II pn−2 )+xn
Bilo koja veličina iz ove jednadžbe se može izračunati ako su ostale poznate. Tako je:
x1=m−xn
(1+ III pn−2 )
Sređivanjem jednadžbe dobivamo:
x1=(m−xn ) (V pn−1−i)
U našem primjeru:
x1=(2000−402 ) (V 74−0,07)=359,92 360
Poslije toga se utvrđuju teorijske količine obveznica za amortizaciju u ostalim periodima:
19
x1 = 360
x2 = x1 * r = 360 * 1,07 = 385,2
x3 = x2 * r = 385,2 * 1,07 = 412,164
x4 = x3 * r = 412,164 * 1,07 = 441,01548
1598,37948
x5 = 401,62052 = 2000 – 1598,37948
Teorijski broj obveznica za amortizaciju posljednjeg perioda (xn) može se računati direktno iz
prethodnog obrazca.
Način utvrđivanja stvarnog broja obveznica za amortizaciju se računa kao i u prethodnim
podnaslovima:
n Teorijski broj obveznica
Stvarni broj obveznica Ostatak
1 360 360 0,0002 385,2 385 0,2003 412,164 412 0,164 0,3644 441,01548 441 0,01548 0,379485 401,62052 401+1 0,62052 1
2000 2000 0
Nakon dobivanja ove tabele sa stvarnim brojem obveznica za amortizaciju izradimo
amortizacioni plan popunjavajući ga kao i u ranijim primjerima.
1.1.4 Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj
progresiji
Kod zajma koji se amortizuje anuitetima koji konstanto rastu ili opadaju po aritmetičkoj
progresiji, prvi teorijski anuitet izračunavamo po obrascu:
a1=KV pn ±
100 dp
1−n(V pn− p
100)
20
Ostale anuitete računamo dodavanjem odnosno oduzimenjem razlike (d) kao i iznos
ukamaćenog ostatka :
ak=a1± (k−1 )d+ok−1
Primjer:
Zajam od 4 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM. Amortizacija se vrši 4
godine godišnjim anuitetima koji konstantno : 1. Rastu 2. Opadaju za 100 000 KM.Kamata je
7%.Treba izraditi amortizacioni plan.
K=4 000 000
N=1000
n=4
p=7%
d=100 000
Broj emitovanih dionica
m= 4000
Kamata po obveznici
I0= 70
a) Izrada plana pomoću teorijskih anuiteta
Izračunat ćemo teorijski anuitet koji raste po prethodno navedenoj formuli:
a1 = 1 039 358,79
Nakon što smo dobili iznos teorijskog anuiteta pristupamo računanju stanja u naredne četiri
godine po formulama koje smo već ranije koristili.
Stanje na kraju prve godine
a1= 1 039 358,79
I1= 280 000
b1= 759 358,79
x1 = 759,35879
x'1 =759
21
b'1 = 759 000
m= 3241
a'1 = 1 039 000
o1 = 358,79*1,07= 383,9
Stanje na kraju druge godine
U ovom slučaju anuitet računamo po drugoj formuli
ak=a1± (k−1 )d+ok−1
Uvršavanjem u ovu formulu dobit ćemo da je teorijski anuitet treće godine 1 139 742,69.
I2= 226 870
b2 =912 872,69
x2 = 912,87269
x'2 =912
b'2 =912 000
m2= 2329
a'2= 1 138 870
02 = 872,69*1,07= 933,77
Istim postupkom ćemo nastaviti i za preostale dvije godine. Sve to ćemo kompletirati
amortizacionim planom kao i do sada.
AMORTIZACIONI PLANZajma od 4 000 000 KM
Obveznice Ostatak anuitetaNa
kraju godin
e
Neam. obveznic
e
Amortizovane obveznice
Kamata,7%
Otplata
Stvarni
anuitet
Iznos S kamato
m
1 2 3 4 5 6 7 80 40001 3 241 759 280 000 759
0001 039 000
358,79 383,90
2 2 329 912 226 870 912 000
1 138 870
872,69 933,77
3 1 252 1 077 163 030 1 077 1 240 262,56 280,93
22
000 0304 1252 87 640 1 252
0001 339 640
10 822 4000 757 540 4 000 000
4 757 540
1494,04
1 598,6
Za računanje neamortizovanih obveznica direktnim putem koristimo formulu:
mk=(a 1± kd )
NIV p
n−k ±100d
Np[IV p
n−k− (n−k ) II pn−k ]
b) Izrada plana direktnim utvđivanjem broja obveznica za amortizaciju
Ako anuiteti rastu:
Teorijski broj obveznica na kraju prvog perioda ćemo dobiti na osnovu sljedećeg obrasca:
x1=4000 (V 74−0,07 )−100∗100 000
1000∗7¿
Dalje računamo : x2 = x1 r+d', gdje je d'=dN
=100
X2 = 912,513
X3 =1076,3897
X4= 1251,7370
Sada možemo izračunati stvarne količine obveznica za amortizaciju
n Teorijski broj obveznica
Stvarni broj obveznica
ostatak
1 759,3587 759 0,35872 912,5138 912 0,51383 1076,3897 1076+1=1077 0,3897 1,26224
1251,7370 1251+1=12520,26220,7370 1,0000
4000,0000 4000 0,0000
23
Ukoliko anuiteti opadaju
Teorijski broj obveznica ćemo dobiti na isti način samo što će se mijenjati predznaci :
x1=4000 (V 74−0,07 )+ 100∗100 000
7000[1−4 (V 7
4−0,07)]=1042,466097
X2 =x1 r- d' = 1015,438
X3 =986,518
X4 = 955, 574
Na osnovu teorijskog ponovno računamo stvarni broj obveznica:
n Teorijski broj obveznica
Stvarni broj obveznica
ostatak
1 1042,466 1042 0,4662 1015,438 1015 0,4383 986,518 986+1=987 0,518 1,4224
955,574 955+1=9560,4220,574 1,000
4000,0000 4000 0,0000
1.1.5 Zajam se amortizuje pomoću anuiteta koji konstantno rastu (opadaju) po
geometrijskoj progresiji
Teorijski anuitet za prvi amortizacioni period se računa po obrascu koji se koristio za
računanje prvog anuiteta pojedinačnog zajma:
a1=Krn (r−q )rn−qn ili a1=K
rn (q−r )qn−rn
u zavisnosti od toga da li je vece r ili q.
U ostale teroijske anuitete uklućuje se iznos ukamaćenog ostatka anuiteta:
a2 = a1 * q + o1
24
a3 = a2 * q + o2 = a1 * q2 + o2
a4 = a3 *q + o3 = a1 * q3 + o3
. . . . . . . . . . . .
ak = a1 * qk-1 + ok-1
Iz poznate relacije
a1=b1+ I 1
slijedi da je
b1=a1−I 1
pa kad uvedemo zamjenu, to će biti
b1=Krn (r−q )rn−qn − Kp
100
b1=K [ r n (r−q )r n−qn − p
100 ] ilib1=K [ rn (q−r )qn−rn − p
100 ]
Diobom ovih jednadžbi sa N se dobiva teorijski broj obveznica za amortizaciju:
x1=m [ r n (r−q )r n−qn − p
100 ] ili x1=m [ r n (q−r )qn−r n − p
100 ]Teorijske otplate se računaju:
b1 = a1 – I1 = a1 + Ki = a1 - Ki
b2 = a2 – I2 = a2 + (K – b1) i = a1 q – Ki + b1i
b3 = a3 – I3 = a3 + (K – b1 –b2 ) i = a1 q – Ki + b1i + b2i
b4 = a4 – I4 = a4 + (K – b1 – b2 – b3 ) i =a1q – Ki + b1i + b2i + b3i
25
Kvantitativni odnos dvije vremenski sukcesivne otplate se može izračunati:
1. b2 – b1 = a1q – Ki + b1i – a1 + Ki
b2 = b1r + a1 (q – 1)
2. b3 – b2 = a1q – Ki + b1i + b2i – a1q – Ki + b1i
b3 = b2r + a1 (q – 1) q
3. b4 – b4 = a1q – Ki + b1i + b2i + b3i - a1 q – Ki + b1i + b2i
b4 = b3r+ a1 (q – 1) q2
Na osnovu utvrđenih odnosa može se izvesti opći odnos:
bk=bk−1r+a1 (q−1 ) qk−2
Dijeljenjem ove jednadžbe sa N dobivamo obrazac za direktno računanje teorijskog broja
obveznica za amortizaciju krajem svakog prerioda:
xk=xk−1 r+a1(q−1)qk−2 N−1
Primjer:
Zajam od 2 000 000 KM podijeljen na obveznice po 1000 KM treba amortizovati za 4 godine
godišnjim anuitetima koji konstantno (1) rastu (2) opadaju za 10%. Kamata se obračunava i
plaća godišnje po 8% (d). Treba izraditi amortizacioni plan.
Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; s = 10%; p = 5% (d); r = 1,05
Broj emitovanih obveznica (m)
m= K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000
Kamata po obveznici (I0)
I0 = N * i = 1000 * 0,05 = 50
Količnik (q)
26
(1 ) q=1+ s100
=1+ 10100
=1,1
(2 ) q=1− s100
=1− 10100
=0,9
a) izrada plana pomoću teorijskih anuiteta
Zbog toga što će postupak izrade plana biti jasan i objašnjen izradom samo jedne varijante
(anuitet raste ili opada) izradit ćemo samo plan amortizacije zajma anuitetima koji rastu.
a1=Krn (q−r )qn−rn =1 000000
1,054 (1,1−1,05 )1,14−1,054 =244 476,4299
Stanje na kraju prve godine:
1. Teorijski anuitet (a1)
a1 = 244 476,4299
Kamata (I1)
I1 = m * I0 = 1000 * 50 = 50 000
2. Teorijska otplata (b1)
b1 = a1 – I1 = 244 476,4299 – 50 000 = 194
476,4299
3. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x1)
x1 = b1 : N = 194 476,4299 : 1000 =
194,4764299
4. Amortizovane obveznice (x1')
x1' = 194
5. stvarna otplata (b1')
b1' = x1' * N = 194 * 1000 = 194 000
6. Neamortizovane obveznice (m1)
m1 = m – x1' = 1000 – 194 = 806
7. Stvarni anuitet (a1')
a1'= b1' + I1= 194 000 + 50 000 = 244 000
8. Ostatak anuiteta s kamatom (o1)
a1 = 244 476,4299a1' = 244 000o1 = 476 * 1, 05 = 500,251395
Stanje na kraju druge godine:
1. Teorijski anuitet (a2)
a2 = a1*1,1 + o1 = 244 476,4299 * 1,1 +
500,251395 = 269 424,3243
Kamata (I2)
I1 = m1 * I0 = 806 * 50 = 40 300
2. Teorijska otplata (b2)
b2 = a2 – I2 = 269 424,3243 – 40 300 = 229
124,3243
3. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x2)
27
x2 = b2 : N = 229 124,3243 : 1000 =
229,1243243
4. Amortizovane obveznice (x2')
x1' = 229
5. stvarna otplata (b2')
b2' = x2' * N = 229 * 1000 = 229 000
6. Neamortizovane obveznice (m2)
m2 = m – x2' = 806 – 229 = 577
7. Stvarni anuitet (a1')
a2'= b2' + I2= 229 000 + 40 300 = 269 300
8. Ostatak anuiteta s kamatom (o2)
a2 = 269 424,3243a2' = 269 300o2 = 124,3243 * 1, 05 = 130,54051
Stanje na kraju treće godine:
1. Teorijski anuitet (a3)
a3 = a1*1,12 + o2 = 244 476,4299 * 1,1 +
130,54051 = 295 947,0202
2. Kamata (I3)
I3 = m2 * I0 = 577 * 50= 28 850
3. Teorijska otplata (b3)
b3 = a3 – I3 = 295 947,0202 – 28 850 = 267
097,0202
4. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x3)
x3 = b3 : N = 267 097,0202 : 1000 =
267,0970202
5. Amortizovane obveznice (x3')
x3' = 267
6. stvarna otplata (b3')
b3' = x3' * N = 267 * 1000 = 267 000
7. Neamortizovane obveznice (m3)
m3 = m2 – x3' = 577 – 267 = 310
8. Stvarni anuitet (a3')
a3'= b3' + I3= 267 000 + 28 850 = 295 850
9. Ostatak anuiteta s kamatom (o3)
a3 = 295 947,0202a3' = 295 850o3 = 97,0202 * 1, 05 = 101,87121
Na kraju četvrte godine:
9. Teorijski anuitet (a4)
a4 = a1 * 1,13 + o3 = 244 476,4299 * 1,13 +
101,87121 = 325 499,999 325 500
Kamata (I4)
I4 = m3 * I0 = 310 * 50= 15 500
10. Teorijska otplata (b4)
b4 = a4 – I4 = 325 500 – 15 500 = 310 000
11. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x4)
x4 = b4 : N = 310 000 : 1000 = 310
12. Amortizovane obveznice (x4')
x4' = 310
13. stvarna otplata (b4')
b4' = x4' * N = 310 * 1000 = 310 000
14. Neamortizovane obveznice (m4)
m4 = m3 – x4' = 310 – 310 = 0
15. Stvarni anuitet (a4')
a4'= b4' + I3= 310 000 + 15 000 = 325 500
28
16. Ostatak anuiteta s kamatom (o4)
a4 = 325 500
a4' = 325 500o4 = 0
AMORTIZACIONI PLANzajma od 1 000 000 KM
Na kraj
u god.
Obveznice
Kamata 5%(2*I0)
Otplata(3*N)
Stvarni anuitet(5+4)
Ostatak anuiteta
Neamortizovane
(2-3)
Amortizovane
Iznos S kamatom
(7*r)1 2 3 4 5 6 7 80 1 000
1 806 194 50 000 194 000 244 000 476,4299
500,251395
2 577 229 40 300 229 000 269 300 124,3243
136,4051
3 310 267 28 850 267 000 295 850 97,0202 101,87121
4 0 310 15 500 310 000 325 500 0 0
2693 1000 134 650 1 000 000 1 134 650 697,7744
732,66312
Kontrola se vrši na isti način kao i kod prethodnih primjera.
Na osnovu obrasca
Rm=a1qm∗rn−m−qm−n
rn−m (r−q )ili Rm=a1
qm∗qn−m−r m−n
qn−m (q−r )
koji je izveden kod amortizacije pojedinačnog zajma anuitetima koji konstantno rastu
(opadaju), dijeljenjem sa N dobivamo obrazac za izračunavanje teoretskog broja obveznica za
amortizaciju:
Rm
N=mk
mk=
a1 qk
N∗r n−k−qn−k
rn−k (r−q )ilimk=
a1 qk
N∗qn−k−rn−k
rn−k (q−r )
u zavisnosti da li je r > q ili q > r.
Zaokrugljivanjem ovog broja, i to samo naviše, dobiva se broj neamortizovanih obveznica.
29
a0 = 244 476,4299
Obrazac ćemo provjeriti na zadnjem primjeru:
m3=
244 476,4299∗1,13
1000∗1,14−3−1,054−3
1,054−3 (1,1−1,05 )=309,9029792 310
Ovaj broj se poklapa sa onim u amortizacionom planu.
b) Izrada plana direktnim utvrđivanjem broja obveznica za amortizaciju
Kod ovog načina izrade plana ne pojavljuje se anuitetski ostatak što znači da će plan imati
manje kolona. Budući da se ništa drugo neće primijeniti, mi ćemo izračunati samo teorijski
broj obveznica za amortizaciju rastućim i opadajućim anuitetima.
Elementi: K = 1000 000; N = 1000; n = 4; s = 10%; p = 5%; m= 1000
x1=m [ r n (r−q )rn−qn −i ] ili x1=m [ rn (q−r )
qn−rn −i ](1) Anuiteti rastu
x1=1000[ 1,054 (1,1−1,05 )1,14−1,054 −0,05 ]=194,4764299
Godišnji prirast anuiteta po obveznici računamo:
a1 (q−1 )N
=244 476,4299 (1,1−1 )
1000=24,44764299
Teorijske anuitete za ostale periode računamo:
x1 =194,4764299
x2 = x1 * r + 24,44764299 = 194,4764299 * 1,05 + 24,44764299 = 228,6478944
x3 = 228,6478944 * 1,05+ 24,44764299 * 1,1 = 266,972748489
30
x4 = 266,972748489 * 1,05 + 24,44764299 * 1,12 = 309,9030339314
Stvarni broj obveznica za amortizaciju računamo na osnovu teorijskih:
n Teorijski broj obveznica Stvarni broj obveznica
Ostatak
1 194,4764299 194 0,47642992 228,6478944 228+1 0,6478944 1,1243243
0,12432433 266,972748489 266+1 0,972748489 1,097072789
0,0970727894 309,9030339314 309+1 0,9030339314 1,0001067204
0,000106720401 000 1000 0
(2) Anuiteti opadaju
Teorijski broj obveznica:
x1=1000[ 1,054 (1,05−0,9 )1,054−0,94 −0,05]=275,92760181
a1=Krn (r−q )rn−qn =1000 000
1,054 (1,05−0,9 )1,054−0,94 =325 927,6018
325 927,6018 (0,9−1 )1000
=−32,5928
Teorijske anuitete za ostale periode računamo:
x1 =275,9276
x2 = x1 * r – 32,5928 = 275,9276 * 1,05 – 32,5928 = 257,1312
x3 = 257,1312* 1,05- 32,5928 * 0,9 = 240,6542
x4 = 240,6542 * 1,05 – 32,5928 * 0,92 = 266,2867
n Teorijski broj obveznica
Stvarni broj obveznica
Ostatak
31
1 275,9276 275 0,92762 257,1312 257+1 0,1312 1,0588
0,05883 240,6542 240 0,6542 0,713
0,7134 266,2867 266+1 0,2867 0,99971
00 0 0
1.2 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S AŽIJOM
Jedan od načina da zajmotražac poveća atraktivnost svojih obveznica jeste da ih prilikom
amortizacije isplaćuje iznad nominalne vrijednosti. Razlika između nominalne vrijednosti i
isplaćenog iznosa se naziva ažija. Ažija može biti izražena u apsolutnom iznosu ili postotku.
Pored plaćanja nominalnog iznosa s ažijom, on plaća i kamatu, ali samo na nominalni iznos
duga po ugovorenoj kamatnoj stopi. Zato, možemo reći da je anuitet zbir otplate, kamate po
ugovorenoj stopi i ažije na amortizovane obveznice. Ako se ažija za period k obilježi sa Ak
onda je:
ak=bk+ I k+ Ak
Svi modeli zajma podijeljenog na obveznice se mogu javiti i kod obveznica koje se isplaćuju
a ažijom, mi ćemo se dotaći primjera amortizacije zajma konstantno jednakim otplatama i
uraditi primjer amortizacije zajma konstantno jednakim anuitetima.
Kod amortizacije zajma jednakim otplatama dovoljno je uraditi primjer prvog perioda da se
sazna kako se radi amortizacioni plan.
Primjer:
Zajam od 1 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati u toku 4
godine jednakim godišnjim otplatama. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 5% (d).
Obveznice se isplaćuju sa 200 KM ažije po jednom komadu.
Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; p =5%; α=200
Broj emitovanih obveznica (m):
32
m = K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000
Otplata (b):
b = K : n = 1 000 000 : 4 = 250 000
Broj obveznica za jednogodišnju amortizaciju (x):
x = b : N = 250 000 : 1000 = 250
Kamata po obveznici (I0):
I0 = N * i = 1000 * 0,05= 50
Iznos ažije na zajam (A):
A= m* α = 1000 * 200 = 200 000
Na kraju prve godine:
1. Kamata
I1 = m * I0 = 1000 * 50 = 50 000
2. Amortizovane obveznice
x=250
3. Otplata
b1 = x * N = 250 * 1000 = 250 000
4. Ažija
A1 = x * α = 250 * 200 = 50 000
5. Anuitet
a1 = b1 + I1 + A1 = 250 000 + 50 000 + 50
000 = 350 000
6. Neamortizovane obveznice
m1 = m – x = 1000 – 250 = 750
Amortizacioni plan ovog modela otplate zajma će se razlikovati od plana amortizacije
jednakim otplatama po nominali u tome što će imati dodatnu kolonu, ažiju. Konačna kontrola
je proširena sa dva nova uslova:
a) zbir ažije treba biti jednak ažiji na zajamb) zbir anuiteta treba biti jednak sumi zbirova otplata, kamate i ažije
Kod zajma koji se amortizuje jednakim anuitetima, anuitet se računa kao i kod prethodnih
modela pomoću izvedenog obrasca:
33
a=K V pn
Kada dužnik preuzme obavezu da osplaćuje i ažiju, iznos što se treba amortizovati tijekom
perioda nije K nego K+A, kojeg ćemo obilježavati sa K'. Iznos kamate ostaje isti jer se ona
isplaćuje na nominalni iznos duga, bez ažije, po ugovorenoj kamatnoj stopi. Ista kamata od
sad veće glavnice ( K+A) dobiva se primjenom ekvivalentne stope (p'). To znači da je
K∗p100
= K '∗p '100
iz koje je
p'= K∗pK '
također imamo i jednakost
p'= N∗pN '
gdje je N' oznaka za iznos obveznice s ažijom.
Novi obrazac za računanje anuiteta je
a=K ' V p 'n
Primjer:
Zajam od 1 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati u toku 4
godine jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 5% (d).
Obveznice se isplaćuju sa 200 KM ažije po jednom komadu.
Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; p =5%; α=200
N' = N + α = 1000 + 200 = 1200
m = K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000
A = m * α = 1000 * 200 = 200 000
K' = K + A = 1 000 000 + 200 000 = 1 200 000
34
ili K' = m * N' = 1000 * 1200 = 1 200 000
p'= Np
N '=1000∗5
1200=4,1667
I 0=Np100
=1000∗5100
=50
a) Izrada plana pomoću teorijskih anuiteta
a=K' V p'
n
a=1 200 000V 4,11674 =1200 000
1,0416674 (1,041667−1 )1,0416674−1
a=331 887,8034
Na kraju prve godine:
1. Teorijski anuitet (a1)
a1 = a = 331 887,8034
2. Kamata (I1)
I1 = m * I0 = 1000 * 50 = 50 000
3. Otplata s ažijom (b1+A1)
b1+A1 = a1 – I1 = 331 887,8034 – 50 000 =
281 887,8034
4. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x1)
x1 = (b1+A1) : N' = 281 887,8034 : 1200 =
234,9065
5. Svarni broj obveznica za amortizaciju (x1')
x1' = 234
6. Stvarna otplata (b1')
b1 = x1' * N = 234 * 1000 = 234 000
7. Ažija (A1)
A1 = x1' * α = 234 * 200 = 46 800
8. Stvarni anuitet (a1')
a1' = b1' + I1 + A1 = 234 000 + 50 000 + 46
800 = 330 800
9. Broj neamortizovanih obveznica (m1)
m1 = m – x1' = 1000 – 234 = 766
10. Anuitetski ostatak (o1)
a1 = 331 887,8034a1'= 330 800o1 = 1087,8034 * 1,041667 = 1133,1289
Na isti način računamo i sve ostale
periode.
b) izrada plana direktnim utvrđivanjem teorijskog broja obveznica za amortizaciju
35
Broj obveznica za amortizaciju u jednom periodu treba računati pomoću ekvivalentne stope
jer se pomoću nje računa i anuitet. Teorijski broj obveznica:
x1=m(V p'
n − p '
100 )
x1=1000(V 4,16674 −4,1667
100 )=1000[ 1,0416674 (1,041667−1 )1,0416674−1
−0,041667 ]x1=¿234,9062
x1 = 234,9062
x2 = x1 * r = 234,9062 * 1,041667 = 244,6940
x3 = x2 * r = 244,6940 * 1,041667 = 254,8897
x4 = x3 * r = 254,8897 * 1,041667 = 265,5102
Stvarni broj obveznican Teorijski proj
obveznicaStvarni broj obveznica Ostatak
1 234,9062 234 0,90622 244,6940 244+1 0,6940 1,6002
0,60023 254,8897 254+1 0,8897 1,4899
0,48994 265,5102 265+1 0,5102 1,00011,0000
01000 10000 0
Kad se utvrdi koliko se obveznica stvarno amortizuje svakog perioda, ostali elementi se
računaju aritmetički.
Na kraju god.
Obveznice Kamata 5%
(2*I0)
Otplata(3*N)
Ažija(3*α)
Stvarni anuitet(4+5+6)
Neamortizovane(2-3)
Amortizovane
1 2 3 4 5 6 70 10001 766 234 50 000 234 000 46 800 330 8002 521 245 38 300 245 000 49 000 332 3003 266 255 26 050 255 000 51 000 332 0504 0 266 13 300 266 000 53 200 332 500 2553 1000 127 650 1 000 000 200 000 1 327 650
36
Konačna kontrola:
a) Zbir amortizovanih obveznica jednak broju emitovanih ( 1000 = 1000)b) Zbir otplata jednak iznosu zajma ( 1 000 000 = 1 000 000 )c) Posljednja količina neamortizovanih obveznica jendnaka posljednjoj količini
amortizovanih obveznica ( 266 = 266)d) zbor stvarnih anuiteta jednak zbiru sume otplata, sume kamata i sume ažija
(1 327 650 = 1 000 000 + 127 650 + 200 000)
e) zbir ažije jednak ažiji na zajam ( 200 000 = 200 000)
Ostatak duga izražen brojem neamortizovanih obveznica može se izračunati pomoću obrasca:
mk=x1 (III p 'n−1−III p '
k−1 )
Rezultat je teorijski broj neamortizovanih obveznica. Stvarni broj ćemo dobiti
zaokrugljivanjem ovog broja ali samo naviše. Izračunat ćemo teorijski broj neamortizovanih
obveznica iz posljednjeg primjera na kraju drugog perioda:
m2=234 ( III4,16673 −III 4,1667
1 )
m2=234 [ 1,041667 (1,0416673−1 )1,041667−1
−1,041667 (1,041667−1 )
1,041667−1 ]m2=520,3998954
Stvarni broj neamortizovanih obveznica na kraju drugog perioda je 521, što se poklapa sa
iznisim u amortizacionom planu.
1.3 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S DISAŽIJOM
Disažija predstavlja razliku između nominalnog i iznosa kojim se obveznice stvarno isplaćuju.
- Osnovica za računanje anuiteta (K') jeste razlika između zajma i ukupne disažije
odnosno :
37
K'= K – D
- Ekvivalentna kamatna stopa se računa po obrascu:
P'= Np/ N' gdje je N' iznos kojim se obveznica efektivno isplaćuje.
Iz ovog zaključujemo da se anuitet račuma po formuli:
a=( K−D )V p 'n
Prikazat ćemo to na konkretnom primjeru:
Zajam od 1 000 000 KM, podijeljen je na obveznice po 1000 KM i treba ga amortizovati za 4
godine jednakim godišnjim anuitetima.Kamata iznosi 3,61%, a obveznice se isplaćuju po 361
KM.
Elementi:
K= 1 000 000, N=1000,
n= 4, p= 3,61% i N'= 361
m=1000 p'=3% prema prethodnoj
formuli
Ukupna disažija se računa po obrascu:
D=m(N-N')= 639 000
I o=Np100
=36,1
I1= m*Io= 36 100
Ukupni anuitet po spomenutoj formuli iznosi :
a= 98579,01005
Količina emitovanih obveznica se može izračunati na dva načina:
1. x1=a−I 1
N '=173,07205
38
Ili
2. x1=m(V p'
n − p '
100 )=1000∗0,23697208=236,97205
r=1+ p '100
=1,05
X1=236,97205
X2 = x1*r= 245,52674
X3= 254,39025
X4=263,57373
1000
2 OBVEZNICE RAZLIČITIH NOMINALNIH VRIJEDNOSTI; KAMATA SE
ISPLAĆUJE POMOĆU KAMATNIH KUPONA
Vrlo često se u praksi dešava slučaj korištenja zajmova različite nominale. Tokom odluke o
broju grupa obveznica treba se uvažavati iznos zajma kao i finansijska snaga potencijalnih
povjerilaca.
Primjer:
Zajam od 2 000 000 KM podijeljen je na 2000 obveznica po 500 KM, 3000 obveznica po
200KM i 4000 obveznica po 100KM. Zajam se amortizuje 4 godine po kamati od 5%.
Elementi:
K= 2 000 000 KM, a= 2000 N1=500KM, b=3000 N2= 200KM, c=4000 N3=100KM, n=4 i p=
5%
I GRUPA
K1 = 2000*500= 1 000
000
II GRUPA
K2=3000 * 200= 600 000
III GRUPA
K3=4000*100=400 000
39
Prvo ćemo izračunati teorijski broj svake grupe obveznica za amortizaciju:
I GRUPA
a) a=1 000 000 V 64=282 011,83
b) I 1=K1∗i=50 000
c) x1=a−I 1
N1
=464,02366 ili x1=a (V pn−i )=464 , 02366
II GRUPA
a) a=K2V pn=169207,098
b) I2= 30 000
c) y1=a−I2
N2
=666 , 03549 ili y1=b (V pn−i )=666,03549
III GRUPA
a) a=K3 V pn=112804,732
b) I3= 20 000
c) z3=a−I 3
N3
=928,04732 ili z3=c (V pn −i)=928,04732
Naravno, za svaku grupu ćemo izračunati stvarni broj obveznica:
n Teorijski broj obveznica
Stvarni broj obveznica
ostatak
I GRUPA1 464,0240 464 0,02402 487,2252 487 0,22523 511,5870 511 0,5870
40
4 537,1664 537+1=538 0,1664 1,00002000,0000 2000
II GRUPA1 696,0360 696 0,03602 730,8380 730 0,83803 767,3800 767+1=768 0,3800 1,2540
4805,7500 805+1=806
0,25400,7500 1,000
3000.0000 3000 0,0000
III GRUPA1 928,0473 928 0,04732 974,4500 974 0,45003 1023,1730 1023 0,17304 1074,3320 1074+1=1075 0,3320 1,0000
4000,0000 4000 0,0000
AMORTIZACIONI PLAN
Na kraju godine
Dug Kamata 5%
Amortizovane obveznice
Stvarna otplata
Stvarni anuitet
500 200 100
0 2 000 0001 1 536 000 100 000 464 696 928 464 000 564 0002 1 049 100 76 800 487 730 974 486 900 563 7003 537 700 52 455 511 768 1023 511 400 563 8554 - 26885 538 806 1075 537 700 564 585
5 122 800 256 140 2000 3000 4000 2 000 000 2 256 140
Za provjeru plana trebaju biti zadovoljeni sljedeći uslovi:
1. Zbir stvarnih otplata jednak je iznosu zajma
2. Posljednja otplata jednaka je posljednjem ostatku duga
3. Zbir svake grupe obveznica jednak je broju obveznica iste nominale
4. Zbir svih otplata i kamata jednak je zbiru anuiteta
41
5. Kamata na zbir ostatka duga jednaka je zbiru kamata 5122 800∗5
100=256140
3 OBVEZNICE SE AMORTIZUJU POMOĆU ANUITETSKIH KUPONA
Specifičnost ovog načina otplate zajma je taj što se svaka obveznica amortizuje u svakom
periodu, preko anuitetskih kupona, do njene potpune amortizacije. On plaća i kamatu, na
neotplaćeni iznos obveznice po ugovorenoj stopi. Anuitet čine otplata i kamata. Imalac
obveznice prima iznos anuiteta kada dužniku preda anuitetski kupon, a može se realizirati sve
do zastarjelosti.
Način izrade amortizacionog plana kod ovog modela je kao i kod pojedinačnog zajma, jer je
sa matematičke strane, svaka obveznica kao pojedinačni zajam. Uradit ćemo primjer za
ilustrovanje.
Primjer:
Zajam od 7 000 000KM je podijeljen na 4000 obveznica po 1000 KM, 5000 po 500 KM i
2500 obveznica po 200 KM nominalne vrijednosti. Zajam treba amortizovati za 4 godine
jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se plaća godišnje po 5% (d). Obveznice se isplaćuju
po nominali. Anuiteti se realizuju anuitetskim kuponima. Koliki je anuitet za zajam i kakva je
njegova struktura?
Elementi: K = 7 000 000; f = 4000; N1 = 1000; g = 5000; N2 = 500; h = 2500; N3 =200;
p = 5%
a=K V npa=7 000 000∗V 5
4a=1 974 082,81
Ovim anuitetom se godišnje isplaćuje f+g+h=11 500 anuitetskih kupona, po jedan kupon
svake emitovane obveznice.
Pošto se obveznice isplaćuju po nominali, anuitet po obveznici iznosi:
42
a1=N1V pn=1000∗V 5
4=282,01183a2=N2V pn=500∗V 5
4=141,005915
a3=N3V pn=200∗V 5
4=56,402366
a anuitet za grupu obveznica:
4000 * 282,01183 =1 128 047,32
43
5000 * 141,005915 = 705 029,575
2500 * 56,402366 = 141 005,915
Ukupno 1 974 082,81
Budući da je svaka obveznica s matematičkog gledišta poseban zajam i ona može imati svoj
amortizacioni plan. Uradit ćemo radi ilustracije primjer plana amortizacije za obveznicu od
1000 KM.
AMORTIZACIONI PLAN
Redni broj
kupona
Glavnica Otplata Kamata 5% Iznos anuitetskog kupona
1 1000 232,12 50 282,122 767,88 243,73 38,39 282,123 524,15 255,91 26,21 282,124 268,24 268,24 13,41 282,12
2560,27 1000 128,01 1128,48
Razlike koje se pojavljuju na decimalnim mjestima kod poređenja suma elemenata su se
pojavile zbog zaokrugljivanja decimalnih brojeva na dva mjesta radi preglednije tabele.
Kontrola se vrši postupcima kao i u prethodnim primjerima.
44
ZAKLJUČAK
Sa stajališta zajmotrašca, emitenta obveznica, vrlo je važno uskladiti model vraćanja zajma sa
svojim finansijskim mogućnostima i planovima. Razlike između pojedinih modela su
značajne i imaju veliki uticaj na financijske tokove kompanije.
Također, sa stajališta investitora, zajmodavca, različiti modeli vraćanja zajma podijeljenog na
obveznice daju različite novčane prilive tijekom vremena, te treba ih znati prepoznati i
uskladiti sa svojim inicijalnim željama i potrebama pri investiranju.
45
LITERATURA
Branko Trklja (2008.) Finansijska matematika, treće izdanje, Sarajevo: Ekonomski fakultet u
Sarajevu Izdavačka djelatnost
46
Recommended