Sistemas de gauss jordan 1

Bachiller:

Jorge Franco Calkitis

C.I: 10.292.157

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Ingeniería Industrial

Cátedra: Algebra LinealSede Barcelona

Profesora: Milagros Maita

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

MÉTODO DE GAUSS

APLICACION DEL METODO DE GAUSS

MÉTODO DE GAUSS-

JORDAN

APLICACIÓN DE GAUSS-

JORDAN

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

El método de Gauss para la resolución de sistemas

de ecuaciones lineales consiste en transformar un

sistema en otro equivalente con forma triangular,

cuya resolución es sencilla.

Para ello se mantiene invariable la primera ecuación

y se sustituyen las siguientes ecuaciones por las que

resultan de eliminar la primera incógnita entre la

primera ecuación y cada una de las restantes

Se mantendrán invariables las ecuaciones por las

que se obtienen de eliminar la segunda incógnita

entra la segunda ecuación y cada una de las

siguientes.

Se continúa así el proceso hasta obtener un sistema

en forma triangular

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

Reducir a forma triangular los siguientes sistemas:

x + y + z = 3

x+ 2y + 3z = 2

x + 4y + 9z = - 2

( m =3, n = 3)

Sobre la matriz del sistema eliminamos la x entre la primera

ecuación y las dos restantes. Para ello:

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

1 1 1 3 1 1 1 3

1 2 3 2 0 1 2 -1

1 4 9 -2 -f1 + f2 0 3 8 -5

-f1 + f3

ahora eliminamos la y entre la segunda y la tercera ecuación,

1 1 1 3 1 1 1 3

1 2 3 -1 0 1 2 -1

0 3 8 -5 -3 / 2 + f3 0 0 2 -2

obtenemos así el sistema equivalente en forma triangular y +

2z = -1

x + y + z = 3

2z = -2

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

-2x + y + z = 1

x – 2y + z = -2 (m = n = 3)

x + y – 2z = 4

-2 1 1 1 -2 1 1 1

1 -2 1 -2 0 -3 3 -3

1 1-2 4 f1 + 2f2 0 3 -3 9 f2 + f3f1 + 2f3

-2 1 1 1

0 -3 3 –3

0 0 0 6

obteniendo el sistema triangular equivalente al original:

-2x + y + z = 1

-3y + 3z = -3

0 = 6

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2x + y +z = 1 (m = 2 n =3)

3x + y – z = 0

efectuando transformaciones:

2 1 1 1 2 1 1 1

3 1 -1 0 -3f1 + 2f2 0 –1 –5 -3

y obtenemos el sistema triangular :

2x + y + z = 1

-y – 5z = -3

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Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas.

Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss.

OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero.

Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’a”.x + b”.y + c”.z = d”

Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo:a.x + b.y + c.z = d

+ e.y + f.z = gh.z = j

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Aplico el método de Jordan:

Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / hResto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h

Queda:a.x + b.y = k

+ e.y = ph.z = j

Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e

Queda:a.x = q x = q / a

e.y = p y = p / eh.z = j z = j / h

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La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?.

Resolución:

Sea N = zyx el número pedido Sea x = la cifra de las unidades.Sea y = la cifra de las decenas.Sea z = la cifra de las centenas.

Tenemos:x+y+z = 14 x + y + z = 14z+y=x x – y – z = 0 xyz=zyx+396 100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

PRESENTACIÓN ECUACIONES LINEALES JORGE LUIS FRANCO CALKITIS

0 – 99 – 198 – 990

El sistema de ecuaciones quedará así:

x + y + z = 14x – y – z = 0 99.x – 99.z = 396

Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes:

1 1 1 141 -1 -1 099 0 -99 396

Aplicando el método de Gauss:

F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1

1 1 1 140 – 2 – 2 – 14

Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda:

1 1 1 14

0 1 1 7

0 1 2 10

A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación.

F3 = F3 – F2

1 1 1 14

0 1 1 7

0 0 1 3

Aplicando el método de Jordan:

A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera:

1 0 0 7 x = 7

0 1 0 4 y = 4

0 0 1 3 z = 3

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