روش های انتگرال گیری عددی

های انتگرال گیریروش

. ریدوشما در پایان این آموزش می توانید درک مناسبی از روش های انتگرال گیری بدست آ. دپیشنهاد می شود قبل از مشاهده این آموزش، مروری بر مبحث انتگرال ها داشته باشی

1n,...,1,0i,hx,x 1ii

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

1n,...,1,0i,hx,x 1ii

1,...,1,0,1 nihxx iin

abh

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

=>

این شما در پایان. در این ویدئو آموزشی به بررسی مبحث انتگرال گیری عددی در درس محاسبات عددی می پردازیم

زش، پیشنهاد می شود قبل از مشاهده این آمو. آموزش می توانید درک مناسبی از روش های انتگرال گیری بدست آورید. مروری بر مبحث انتگرال ها داشته باشید

هر گاه برای محاسبه انتگرال . قبل از بررسی روش های انتگرال گیری عددی، به مرور این مبحث می پردازیم

𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥تگرال تابع اولیه موجود نباشد و یا تابع بصورت جدولی از مقادیر ارائه گردد نیاز به استفاده از روش ان

.را به صورت روبه رو بدست آوردhبگیریم، آنگاه می توان hاگر بازه ی انتگرال را برابر . گیری عددی می باشد

p(x)را با یک چند جمله ای مانند f(x)هرگاه برای حل این گونه مسائل جدولی از مقادیر ارائه گردد، می توان تابع .تخمین زد به نحوی که به جای محاسبه ی انتگرال تابع رو به رو، به حل انتگرال این چند جمله ای پرداخت

بنابراین . با استفاده از دانسته هایی که از قسمت درون یابی می دانیم، می توان این چند جمله ای را به فرم روبه رو نوشتد حال اگر به جای انتگرال مشخص شده، عبارتی مانن. را به صورت رو به رو نوشتp(x)می توان انتگرال چند جمله ای

Ak را، به فرم مشخص شده در نظر بگیریم، می توان حاصل نهایی انتگرال را بصورت 𝒌=𝟎𝒏 𝑨𝒌𝒚𝒌نوشت.

وش روش ذوزنقه و روش سیمپسون، دو روش متداول در انتگرال گیری عددی می باشند که در ادامه به بررسی هر دو ر. خواهیم پرداخت

.جهت بررسی روش ذوزنقه، این مثال را بررسی می کنیم

ت؟ مطلوب است محاسبه انتگرال داده شده با استفاده از اطالعات جدول مقادیر که بصورت رو به رو تعریف شده اس.در نظر بگیرید0.1،0.05، 0.2را برابر با hمقادیر

به دست می آوریم و به ایجاد یک سری ذوزنقه می xi+1و xiرا در نقاط fدر ایـن روش، چند جمله ای درونیاب تابع

و fiعده ی پردازیم و با یک چند جمله ای مرتبه یک انتگرال را جایگزین می نماییم، در این شکل مساحت ذوزنقه ای به قا

fi+1 و ارتفاعh را محاسبه می نماییم.

که تقریبی از مقدار انتگرال در روش ذوزنقه است، قرار T(h)و در نهایت می توان انتگرال تابع موردنظر را برابر با

.فرم این تابع را مشاهده می کنید. داد

همانطور . در روش ذوزنقه استفاده می کنیمT(h)برای حل این مثال از تابع معادل . حال به حل مثال ذکر شده می پردازیم

های موجود تعداد hبراساس هر یک از . های مختلف حل می کنیمhکه در صورت مسئله بیان گردید، مسئله را به ازای

و جدول موجود در صورت سوال بدست می آیدhتمامی این تقسیم بندی ها براساس مقادیر . تقسیم بندی تغییر می کند

بدست می = 0.15hو 2جهت بررسی روش سیمپسون، مقدار انتگرال مثال قبل را این بار با جدول مقادیر جدید و با

=f(x)همچنین در راهنمایی سوال آمده است که با در نظر گرفتن . آوریم 𝑥 مقدار تخمین زده شده را با مقدار واقعی ،

.مقایسه نماییم

𝑎 در روش سیمپسون انتگرال 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 با یک چند جمله ای مرتبه دوم در فاصله[xi,xi+2] تقریب زده می شود و

.بصورت فرمول رو به رو تعریف می گردد

لذا مي نماییم،[xi,xi+2]چند جمله اي درجه دوم را جایگزین تابع فوق در بازه در این روش برای به دست آوردن تقریب،

. زوج باشد تا بتوان فرمول رو به رو را بدست آوردكه تعداد تقسیم بندي هاي موجود است nباید

را hحال همانطور که مشخص است، در صورت سوال .می باشیمs(h)برای حل مثال، نیازمند به جایگذاری مقادیر در

جایگزین می کنیمs(h)انتخاب کرده و سپس در 2برابر

قدار رو به حال اگر انتگرال را با توجه به مقدار فرض شده برای تابع اصلی در صورت سوال، محاسبه نماییم، برابر با م. رو می شود، که بسیار نزدیک به مقدار محاسبه شده با استفاده از روش سیمپسون است

.در آموزش بعدی به بررسی خطای روش های انتگرال گیری می پردازیم

آموزش، می توانید متن و فیلم این رایگانجهت مشاهده :آدرس زیر مراجعه کنید به

http://minidars.ir/?p=403

هر گاه برای حل این گونه مسائل جدولی از مقادیر ارائه گردد، می توان بصورت زیر رفتار کرد

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

هر گاه برای حل این گونه مسائل جدولی از مقادیر ارائه گردد، می توان بصورت زیر رفتار کرد

p x = 𝑘=0𝑛 𝑦𝑘 Lk x dx

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

:که می دانیم

هر گاه برای حل این گونه مسائل جدولی از مقادیر ارائه گردد، می توان بصورت زیر رفتار کرد

p x = 𝑘=0𝑛 𝑦𝑘 Lk x dx

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

:که می دانیم

𝐴𝑘

𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑘=0

𝑛

𝑦𝑘 𝐿𝑘 𝑥 =

𝑘=0

𝑛

𝑦𝑘 𝑎

𝑏

𝐿𝑘 𝑥 𝑑𝑥

هر گاه برای حل این گونه مسائل جدولی از مقادیر ارائه گردد، می توان بصورت زیر رفتار کرد

p x = 𝑘=0𝑛 𝑦𝑘 Lk x dx

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

:که می دانیم

𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑘=0

𝑛

𝑦𝑘 𝐿𝑘 𝑥 =

𝑘=0

𝑛

𝑦𝑘 𝑎

𝑏

𝐿𝑘 𝑥 𝑑𝑥

𝐴𝑘 =

𝑎

𝑏

𝑥 − 𝑥0 …(𝑥−𝑥𝑘−1)(𝑥−𝑥𝑘+1)…(𝑥−𝑥𝑛)𝑥𝑘−𝑥0 …(𝑥𝑘−𝑥𝑛)

𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛

𝐴𝑘

هر گاه برای حل این گونه مسائل جدولی از مقادیر ارائه گردد، می توان بصورت زیر رفتار کرد

p x = 𝑘=0𝑛 𝑦𝑘 Lk x dx

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

:که می دانیم

𝑎

𝑏

𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏

𝑘=0

𝑛

𝑦𝑘 𝐿𝑘 𝑥 =

𝑘=0

𝑛

𝑦𝑘 𝑎

𝑏

𝐿𝑘 𝑥 𝑑𝑥 = 𝒌=𝟎

𝒏

𝑨𝒌𝒚𝒌

𝐴𝑘 =

𝑎

𝑏

𝑥 − 𝑥0 …(𝑥−𝑥𝑘−1)(𝑥−𝑥𝑘+1)…(𝑥−𝑥𝑛)𝑥𝑘−𝑥0 …(𝑥𝑘−𝑥𝑛)

𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛

𝐴𝑘

روش های انتگرال گیری عددی

روش ذوزنقهTrapezoidal Numerical Integration

روش سیمپسون

Simpson's rule

مثال روش ذوزنقه

عریف مطلوب است محاسبه انتگرال داده شده با استفاده از اطالعات جدول مقادیر که بصورت زیر ت(در نظر بگیرید0.1،0.05، 0.2را برابر با hمقادیر )شده است؟

I= 0.10.3𝑓 𝑥 𝑑𝑥

x Y = f(x)

0.1 1.10517

0.15 1.16183

0.2 1.22140

0.25 1.28403

0.3 1.34986

𝑥0 = 𝑎𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5

n

abh

𝑥5 = 𝑏

𝑓(𝑥)

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =ℎ

2(𝑓𝑖 + 𝑓𝑖+1)

روش ذوزنقه

𝑥0 = 𝑎

nn

b

affff

hhTdxxf 110 2...2

2)(~)(

𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5

n

abh

𝑥5 = 𝑏

𝑓(𝑥)

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =ℎ

2(𝑓𝑖 + 𝑓𝑖+1)

روش ذوزنقه

:راه حل

nn

b

affff

hhTdxxf 110 2...2

2)(~)(

:h=0.2به ازای

I=0.2

2𝑓 0.1 + 𝑓 0.3 = 0.24550

:h=0.1به ازای

I=0.1

2𝑓 0.1 + 2𝑓(0.2) + 𝑓 0.3 = 0.24486

:h=0.05به ازای

I=0.05

2[𝑓 0.1 + 2𝑓 0.15 + 2𝑓 0.2 + 2𝑓 0.25 + 𝑓 0.3 ] = 0.24469

مثالی برای روش سیمپسون

مطلوب است محاسبه انتگرال داده شده با بهره گیری از جدول مقادیر زیر؟

(در نظر بگیرید = 0.15hو 2مقدار تقسیم بندی ها را برابر با)

=f(x)اگر بدانیم تابع :راهنمایی 𝑥مقدار تخمین زده را با مقدار واقعی مقایسه نمایید.

I= 0.10.3𝑓 𝑥 𝑑𝑥x Y = f(x)

1 1.00000

1.05 1.02470

1.10 1.04881

1.15 1.07238

1.20 1.09545

1.25 1.11803

1.30 1.14018

روش سیمپسون

𝑎 در این روش𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥با یک چند جمله ای مرتبه دوم در فاصله انتگرال[xi,xi+2]تقریب زده می شود

2i1ii

x

xff4f

3

hdx)x(f

2i

i

روش سیمپسون

𝑎 در این روش𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥با یک چند جمله ای مرتبه دوم در فاصله انتگرال[xi,xi+2]تقریب زده می شود

:با فرض زوج بودن تعداد تقسیم بندی ها

2i1ii

x

xff4f

3

hdx)x(f

2i

i

)42...2424(3

)()( 12432100

nnn

x

xffffffff

hhSdxxf

n

راه حل

)42...2424(3

)()( 12432100

nnn

x

xffffffff

hhSdxxf

n

:h=2با فرض

I=0.15

3[f(1)+4f(1.15)+f(1.3)]=0.321485

راه حل

)42...2424(3

)()( 12432100

nnn

x

xffffffff

hhSdxxf

n

:n=2با فرض

I=0.15

3[f(1)+4f(1.15)+f(1.3)]=0.321485

=f(x)مقدار واقعی انتگرال با فرض 𝑥:

I= 11.3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥

1

2𝑑𝑥 =2

3𝑥3

2=0.321489

آموزش، می توانید متن و فیلم این رایگانجهت مشاهده :آدرس زیر مراجعه کنید به

http://minidars.ir/?p=403

انتگرال گیری عددیخطای

. ریدآوشما در پایان این آموزش می توانید درک مناسبی از روش های انتگرال گیری بدست . دپیشنهاد می شود قبل از مشاهده این آموزش، مروری بر مبحث انتگرال ها داشته باشی

روش های انتگرال گیری

آموزش های دیگر مینی درس