Universidade de São PauloEscola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Departamento de Ciências ExatasLCE0212 - Estatística Aplicada às Ciências dos Alimentos

Prof.: Izabela Regina C. de Oliveira

6a Lista de exercícios - Distribuições de probabilidade discretas

1) Considere ninhadas de n = 3 filhotes de coelhos. Construir o espaço amostral considerandoos nascimentos de fêmeas e machos utilizando um diagrama de árvore e considerar os eventosnascer macho e nascer fêmea como equiprováveis.

a. Sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X;b. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos por meio da distribuição de probabilidadeconstruída:

i. nascimento de exatamente duas fêmeas.ii. nascimento de pelo menos um macho.iii. nascimento de pelo menos duas fêmeas.iv. nascimento de no máximo uma fêmea.

c. Encontre a esperança e a variância dessa variável aleatória;d. Suponha que você faça uma amostragem de 500 ninhadas de 3 filhotes. Em quantos, emmédia, você espera encontrar com exatamente 1 fêmea?

2) Considere nascimentos de n = 4 filhotes de coelhos de um determinada raça. Nesta raça háum distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo X a ocorrência de fêmease utilizando a distribuição binomial obter:

a. a distribuição de probabilidade de X;b. a média e variância da variável aleatória X com distribuição binomial;c. o número esperado de ninhadas em uma amostra de 1.000 ninhadas de tamanho n = 4 paracada valor da variável aleatória X.

3) Numa lâmina verificou-se que existiam em média 4 bactérias/cm2. A lâmina foi subdivididaem 600 quadrados de 1 cm2. Qual é o modelo probabilístico adequado para modelar a ocorrên-cia de bactérias por cm2, supondo que a distribuição espacial segue um padrão aleatório? Emquantos dos 600 quadrados, em média, você espera encontrar no máximo 1 bactéria? Qual é aprobabilidade de se encontrar mais de 2 bactérias por centímetro quadrado? Qual é a probabili-dade de não encontrar bactérias em um quadrado tomado aleatoriamente destes 600 quadrados?

4) Uma plantação de tomate possui em média 2 galhas de M. incógnita por planta. Qual éa probabilidade de que uma planta amostrada desta população não possua galha? Suponha

que o modelo Poisson é apropriado para modelar a ocorrência de galhas de nematóide. Qual éa probabilidade de que em uma amostra de tamanho n = 5 plantas, as 5 não apresentem galhas?

5) Num certo ano o Instituto Brasileiro do Meio Ambiente e dos Recursos Naturais Renováveis(IBAMA) registrou, numa área de reserva do litoral catarinense, 18 mortes de golfinhos.

a. Qual é a probabilidade de, num determinado mês do próximo ano, ocorrerem menos de duasmortes?b. Qual é a probabilidade de, num determinado semestre do próximo ano, ocorrerem duasmortes?

6) O modelo de Poisson pode ser considerado como limite da distribuição binomial, isto é, paravalores de n grande e p pequeno, verifica-se a seguinte aproximação:(

n

x

)px(1− p)n−x ∼=

e−λ × λx

x!,

com x = 0, 1, 2, . . . , n e parâmetro λ = np, a média da distribuição binomial. Para saber se aaproximação é boa, uma recomendação prática é verificar se a desigualdade np ≤ 10 é válida.Baseando nessa aproximação, considere o problema a seguir.

Uma fábrica de conservas produz, continua e cadenciadamente, cerca de 2330 latas de sar-dinha em molho de tomate por período de 8 horas de laboração e em média cerca de 7 latas sãodefeituosas. Qual a probabilidade de encontrarmos 3 latas defeituosas num lote de n = 1000

latas adquiridas daquela fábrica? Qual a probabilidade de ocorrerem até duas latas defeituosasnesse lote de 1000 latas?

7) Uma empresa comercializa garrafas de vinho de 1 litro. Supõe-se, no entanto, que 40%

dessas garrafas contém realmente uma menor quantidade de líquido do que o volume indicadono rótulo. Tendo adquirido 6 dessas garrafas, qual a probabilidade de:

a. Duas delas conterem menos de um litro?b. No máximo 2 conterem menos de um litro?c. Pelo menos 2 conterem menos de um litro?d. Todas conterem menos de um litro?e. Todas conterem o volume indicado no rótulo?f. Represente a distribuição de probabilidades da variável em questão.

8) Uma fábrica de embalagens, utilizadas para determinado produto alimentar, sabe que emcada 1000 produz 20 defeituosas. a. Qual é a probabilidade de um cliente ao comprar 100 em-balagens receber todas sem defeito? b. Qual a probabilidade de receber, nessa mesma compra,pelo menos 3 embalagens defeituosas?

Gabarito1. Ω = (FFF ), (FFM), (FMF ), (FMM), (MFF ), (MFM), (MMF ), (MMM)a.

x 0 1 2 3P (X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8

b.i. P (X = 2) = 0, 3750

b.ii P (X ≤ 2) = 0, 8750

b.iii P (X ≥ 2) = 0, 50

b.iv P (X ≤ 1) = 0, 50

c. E(X) = 1, 5 e V ar(X) = 0, 75

d. Em, aproximadamente, 188 ninhadas.

2. a.

x 0 1 2 3 4P (X = x) 0,0198 0,1318 0,3296 0,3662 0,1526

b. 0,9375c. Os números esperados (NE) de ninhadas para cada situação são apresentados na tabela aseguir.

x 0 1 2 3 4P (X = x) 0,0198 0,1318 0,3296 0,3662 0,1526

NE 20 132 330 366 153

3. O modelo probabilístico adequado é o modelo Poisson, assim X ∼ Poisson(λ = 4). Onúmero esperado de quadrados com no máximo 1 bactéria é ≈ 55; P (X > 2) = 0, 7619;P (X = 0) = 0, 0183 (1,83%).

4. 0,1353 e 0,000045 (0,0045%)

5. a. 0,5578 b. 0,0050

6. a. 0,2240 b. 0,4232

7. a. 0,3104b. 0,54432c. 0,76672

d. 0,004096e. 0,046656

f.

x 0 1 2 3 4 5 6P (X = x) 0,046656 0,186624 0,31104 0,27648 0,13824 0,036864 0,004096

8. a.0,1326 b. 0,3233