Лекция 14 Матрицы

Анализ комбинаторных алгоритмов

Лекция № 14Матрицы.

Матрицы и векторы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел:

При транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами и наоборот

654321

232221

131211

aaaaaa

A

635241

2313

2212

2111

aaaaaa

AT


Вектором называется одномерный массив чисел.

Стандартной формой вектора принято считать вектор-столбец. При его транспонировании получается вектор-строка.

Вектор i элемент которого равен 1, а остальные равны 0 называют единичным вектором и обозначают ei


На практике часто встречаются квадратные матрицы – размером nxn.

Выделяют ряд видов квадратных матриц:Диагональная матрица – все элементы,

кроме диагональных равны 0, поэтому часто задается вектором диагональных элементов.

Симметрическая матрица удовлетворяет условию A = AT


Единичная матрица (In) – это диагональная матрица диагональ которой заполнена единицами

У верхнетреугольной матрицы элемен-ты под главной диагональю равны нулю.

У нижнетреугольной матрицы элементы над главной диагональю равны нулю.

Матрица перестановки имеет ровно одну единицу в каждой строке и в каждом столбце

Операции над матрицами

Сумма матриц определяется как матрица с элементами равными сумме соответствующих элементов складываемых матриц:

cij = aij+bij

Матрицу с элементами a’ij=-aij называют противоположной A матрицей

Вычитание матрицы B из A определяется как сумма А и матрицы противоположной B.


Умножение матриц осуществимо, если они имеют согласованные размеры, т.е. С = AB, только если число столбцов A совпадает с числом строк в B.

Если A – m x n матрица, B – n x p матрица, то С = AB – m x p матрица с элементами:

n

jjkijik bac

1


Для любых A B C согласованных размеров верны утверждения:A(BC) = (AB)CA(B+C) = AB + AC(A+B)C = AC + BC

При умножении матрицы на единичную согласованного размера, получается сама матрица: AIn= ImA=A


Матрицей обратной к A (n x n) называется A-1, такая что A A-1 = In

Многие матрицы не имеют обратных – они называются необратимыми или вырожденными.

Если обратная матрица существует, то она только одна.


Говорят, что векторы x1,x2,…xn линейно зависимы, если найдется набор коэффициентов с1,c2,…cn, не все из которых равны нулю, для которого c1x1 + c2x2 +… cnxn = 0

Векторы не являющиеся линейно зависимыми называют линейно независимыми.


Столбцевым рангом ненулевой матрицы называется наибольшее число линейно независимых столбцов

Строчным рангом ненулевой матрицы называется наибольшее число линейно независимых строк

Если строчный и столбцевой ранги совпадают их значение называют просто рангом матрицы.

Операции над матрицамиРангом матрицы A (n x m) называется

наименьшее число r, для которого найдутся матрицы B (n x r) и C (r x m), такие что A = BC

Квадратная матрица (n x n) с рангом n называется матрицей полного ранга.

ТеоремаКвадратная матрица имеет полный ранг, тогда и только тогда, когда невырождена.


Минором элемента aij называется матрица A[i,j] (n-1 x m-1), полученная вычеркиванием i строки и j столбца.

Определитель матрицы задается следующей формулой:

1 ),det(...)det()det(1 ,

)det(],1[1]2,1[12]1,1[11

11

nеслиAaAaAa

nеслиaA

nn


Определитель обладает следующими свойствами: Если в какой-либо строке или столбце матрице

стоят одни нули, то определитель равен 0 Если умножить элементы матрицы на некоторое

число, то определитель умножится на это число Если добавить к элементам строки, элементы

другой строки определитель не изменится (аналогично для столбцов)

Определители A и AT равны При перестановке строк или столбцов опреде-

литель меняет знак.


Если A и B квадратные матрицы одинакового размера, то верно что det(AB) = det(A) det(B)

ТеоремаКвадратная матрица A вырождена тогда и только тогда, когда det(A) = 0.

Алгоритм Штрассена

Алгоритм Штрассена умножает две (n x n) матрицы за время nlog7=n2.81

Алгоритм Штрассена действует по принципу «разделяй и властвуй»

hfge

dcba

utsr


Каждая матрица A, B, C разбивается на 4 блока (cм. рис.)

Вычисляются 14 матриц (n/2 x n/2): A1 = a B1 = g - h A2 = a + b B2 = h A3 = c + d B3 = e A4 = d B4 = f - e A5 = a + d B5 = e + h A6 = b - d B6 = f + h A7 = a - c B7 = e + g


Рекурсивно вычисляются 7 матриц P:Pi = Ai Bi

Вычисляются четыре блока результирую-щей матрицы:

r = P5+P4-P2+P6u = P5+P1-P3-P7s = P1+P2t = P3+P4

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений

может быть записана в матричном виде

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

............

2211

22222121

11212111

nnnnnn

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.........

..................

2

1

2

1

21

22221

11211


Если матрица A невырождена, то найдется обратная матрица A-1 и вектор x = A-1B будет являться решением.

Если ранг матрицы меньше числа переменных система называется недоопределенной.

Если число уравнений больше числа переменных – переопределенной.


Приведенный метод часто сталки-вается с проблемой вычислительной неустойчивости: вещественные числа хранятся в памяти приближенно и ошибки приближения могут накап-ливаться.

Для того чтобы избежать этого используют LUP – разложение.


Три матрицы L, U, P образуют LUP-разложение матрицы A, если:

PA = LU,причем

L – является нижнетреугольной матрицей c единицами на диагонали.

U – верхнетреугольной матрицейP – матрицей перестановки


Решение системы линейных уравнений можно представить в виде:

PA x = PB или LU x = PB

Таким образом решение системы сводится к решениям двух систем с треугольными матрицами:

Ly = PB и y = Ux


Система Ly = PB имеет вид:

Решения этой системы имеют вид

][2211

]2[2121

]1[1

......

npnnn

p

p

byylyl

byylby

1

1][

i

jjijibi ylby


Система Ux = y имеет вид:

Решения этой системы имеют вид

nnnn

nn

nn

yxu

yxuxuyxuxuxu

......

...

22222

11212111

ii

n

ijjijii uxuyx /

1


void LUPSolve(L,U,Bp,n){for(i=1; i<=n; i++){

sum = 0;for(j=1; j<i j++){

sum += L[i,j]*Y[j];}Y[i]= Bp[i]-sum;

}for(i=n; i>=n; i--){

sum = 0;for(j=i+1; j<=n; j++){

sum += U[i,j]*X[j];}X[i] = (Y[i]-sum)/u[i,i];

}}


1 2 0 2 0.62 3 3 4 -23 5 5 4 24 -1 -2 3.4 -1

3 5 5 4 22 3 3 4 -21 2 0 2 0.64 -1 -2 3.4 -1

3 5 5 4 22 0.6 0 1.6 -3.21 0.4 -2 0.4 -0.24 -0.2 -1 4.2 -0.6


3 5 5 4 21 0.4 -2 0.4 -0.22 0.6 0 1.6 -3.24 -0.2 0.5 4 -0.5

3 5 5 4 22 0.6 0 1.6 -3.21 0.4 -2 0.4 -0.24 -0.2 -1 4.2 -0.6

3 5 5 4 21 0.4 -2 0.4 -0.22 0.6 0 1.6 -3.24 -0.2 -1 4.2 -0.6


3 5 5 4 21 0.4 -2 0.4 -0.22 0.6 0 1.6 -3.24 -0.2 0.5 4 -0.5

3 5 5 4 21 0.4 -2 0.4 -0.24 -0.2 0.5 4 -0.52 0.6 0 1.6 -3.2

3 5 5 4 21 0.4 -2 0.4 -0.24 -0.2 0.5 4 -0.52 0.6 0 0.4 -3


0 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

2 0 2 0.6

3 3 4 -2

5 5 4 2

-1 -2 3.4 -1

*

5 5 4 20 -2 4 -0.2

0 0 4 0.5

0 0 0 -3

1 0 0 0

0.4 1 0 0

-0.2 0.5 1 0

0.6 0 0.4 1

*

=

P

L

A

U


void LUPDecomposition(A,n){ for(i=1; i<=n; i++) pi[i] = i; for(k=1; k<=n; k++){

p=0;for(i=k; k<=n; i++){

if(abs(A[i,k])>p){ p=abs(A[i,k]); k1=i; } if(p=0) error(“Матрица вырождена”); x = pi[k]; pi[k]=pi[k1]; pi[k1]=x; for(i=1; i<=n; i++){ x=A[i,k];A[i,k]=A[i,k1];A[i,k1]=x; } for(i=1; i<=n; i++){ A[i,k]=A[i,k]/A[k,k]; for(j=k-1; j<=n; j++) A[i,j]=A[i,j]-A[i,k]*A[k,j]; }

}}

Data & Analytics

Лекция 14 Матрицы