Педагогічна студія

Розвиток логічного мислення з метою формування

математичної компетентності учнів

Никто не может стать человеком,

если его не обучать

Ян Амос Коменский

Математична компетентність –

це спроможність особистості бачити та застосовувати математику в реальному житті, розуміти зміст і метод математичного моделювання, будувати математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати отримані результати, оцінювати похибку обчислень.

Математичні компетентності

1.Процедурна компетентність – уміння розв’язувати типові математичні задачі.2. Логічна компетентність – володіння дедуктивним методом доведення та спростування тверджень. 3. Технологічна компетентність – володіння сучасними математичними пакетами (пакети символьних перетворень, електронні таблиці (Excel).4. Дослідницька компетентність – володіння методами дослідження практичних та прикладних задач математичними методами.5.Методологічна компетентність – уміння оцінювати доцільність використання математичних методів для розв’язання практичних та прикладних задач.

Компоненти математичної компетентності:

• мотиваційний – внутрішня мотивація, інтерес;

• змістовний – комплекс математичних знань, умінь та навичок;

• дійовий – навички навчальної праці (самостійність, самооцінка, самоконтроль).

Логічна компетентністьНеобхідно:

• володіти і використовувати на практиці понятійний апарат дедуктивних теорій (поняття, визначення понять; висловлювання, аксіоми, теореми і їх доведення, тощо);• відтворювати дедуктивні доведення теореми та доведення правильності процедур розв’язань задач;• здійснювати дедуктивні обґрунтування правильності розв’язання задач та шукати логічні помилки у неправильних дедуктивних міркуваннях;• використовувати математичну та логічну символіку на практиці.

Логічне мислення – це вищий Логічне мислення – це вищий ступінь пізнання, процес ступінь пізнання, процес

відображення обвідображення об’’єктивної єктивної реальності, що дає знання про реальності, що дає знання про властивості, зввластивості, зв’’язки, відносини язки, відносини між предметами, які оточують між предметами, які оточують

людину.людину.

Мислення – це творчий пізнавальний процес

обов’язковість

посильність

заохочення

інтенсивність

емоційність

постійність

Принципи розвитку логічного мислення

ПРИНЦИПИ

Класифікація:• загальноосвітні цілі (людина повинна знати

основні математичні науки, володіти методами пізнання світу)

• практичні цілі (людина має вміти рахувати, вимірювати, обчислювати, користуватися вимірювальними та обчислювальними приладами)

• виховні цілі (в людини має бути розвинута логіка суджень, вона має вміти знайти оптимальне чи раціональне вирішення проблеми, вона має виховувати в собі риси наполегливості, мати лаконічну і аргументовану мову)

Послідовність формування логічних прийомів

Вміння виділяти властивості

Вміння виділяти множину властивостей Вміння

виділяти основоположну властивість для

даного класу об’єктівВміння знаходити підставу для порівняння

Вміння виділяти необхідні і достатні ознаки Вміння

встановлювати наслідки з приналежності до

даного поняттяВміння виконувати

дії підведення під поняттяВміння визначати

відношення між родовими і видовими поняттями

Вміння класифікувати

Особливості

• Цілеспрямованість• Властивість відображати реальність в

узагальнених образах і поняттях• Властивість до опосередкованого

відображення дійсності• Тісний зв’язок процесів мислення з мовою, що

робить можливим словесну передачу думок між людьми

• Бажання творчого перетворювання дійсності

Місце логічних задач у навчанні математики

ЗАДАЧІ

Усний рахунок

Позакласна робота

Резервний час

Олімпіади

Домашні завдання

Завдання *

на к/р

Прийоми логічного мислення Рішення нестандартних задач

Форми роботи над задачею робота над розв'язаною задачею розв’язування задач різними способами правильно організований спосіб аналізу

задачі – з питання чи від даних до питання уявлення ситуації, описаної в задачі самостійне складання задач учнями розв’язування задач з відсутніми чи зайвими даними пояснення готового розв’язку задачі зміна питання задачі

Розв'язання

2182cos5sin12 2 ууxxРозв'яжіть рівнянняРозв'яжіть рівняння

3) Рівняння має розв'язки, якщо обидві частини = 13.3) Рівняння має розв'язки, якщо обидві частини = 13.

2y2 – 8y + 21 = 13,у2 – 4у + 4 = 0,у = 2

Рішення нестандартних задач Форми роботи над задачею

роботи над розв'язаною задачею розв’язування задач різними способами правильно організований спосіб аналізу

задачі – з питання чи від даних до питання уявлення ситуації, описаної в задачі самостійне складання задач учнями розв'язування задач з відсутніми чи зайвими даними пояснення готового розв’язку задачі зміна питання задачі

Прийоми логічного мислення

1) метод оцінювання

Знайти область значень функції

2) графічний

х

у

Знайти область значень функції


робота над розв'язаною задачею розв’язування задач різними способами правильно організований спосіб аналізу задачі – з питання чи від даних до питання уявлення ситуації, описаної в задачі самостійне складання задач учнями розв’язування задач з відсутніми чи зайвими даними пояснення готового розв’язку задачі зміна питання задачі


Кенгуру-мама та Кенгуру-тато мають трьох маленьких доньок-кенгуру. Кожна дівчинка-кенгуру

має двох братиків-кенгуру. Скільки всього членів нараховує родина Кенгуру?

Кенгуру-тато

Кенгуру-мама

доньки-кенгуру

брати-кенгуру

Всього 7 членів родини


роботи над розв'язаною задачею розв’язування задач різними способами правильно організований спосіб аналізу задачі – з питання чи від даних до питання уявлення ситуації, описаної в задачі самостійне складання задач учнями розв’язування задач з відсутніми чи зайвими даними пояснення готового розв’язку задачі зміна питання задачі


Задачі на рух

8

7


складання різних виразів за даними задачі і пояснення, що означає той чи інший вираз

використання прийому порівняння задач та їхніх рішень

запис двох рішень на дошці: правильного й неправильного

закінчити рішення задачі яке питання і яка дія зайві в розв’язанні задачі складання аналогічної задачі зі зміненими даними розв’язування зворотніх задач

Форми роботи над задачею

3 3 годгод

3 год3 год

S-S-??


II спосіб: 3∙(60 + 40) + 10 =

Нетрадиційні уроки Доведення теорем Порівняння

Дьєрдь Пойа: “Ви повинні порівнювати спостереження й іти за аналогіями…”

Аналогія С. Банах: “Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями”

Аналіз Синтез Розв’язування задач різними способами







Нетрадиційний урок

Тема. З любов’ю до рідного міста (всі дії з десятковими дробами)Мета: формувати і закріпити вміння та навички розв’язувати вправи на всі дії з десятковими дробами; розвивати навички усної лічби; виховувати любов до рідного краю.Обладнання: математичне лото, кросворд-розминка; картки-відповіді.

І. Кросворд-розминка.

(На дошці написані завдання, які учні усно виконують у довільному порядку, а результат записують до кросворду)

1. Нічого (Нуль)2. 0,2 : 0,04 (П’ять)3. Арифметична дія (Ділення)4. Частина площини, обмежена колом (Круг)5. 1,25·80:5 (Двадцять)6. 2000·0,05 (Сто)7. Компонент додавання (Доданок)8. 64∙0,5∙0,25 (Вісім)

1

2

4

5

3

6

8

7

Учитель.

Ключове слово кросворду – “Лянгасов”.

Учасник Великої Вітчизняної війни, командир танка. В листопаді 1943р. його танк один із перших увірвався в м. Фастів, визволяючи наше місто від німецько-фашистських загарбників. В жорстокому бою танк Лянгасова загорівся, відважний воїн загинув. Йому було присвоєно звання Героя Радянського Союзу, посмертно. В його честь неподалік від нашої школи, на перехресті вулиць Героїв Прикордонників та Кірова встановлено пам’ятний знак. Його іменем названа одна із вулиць нашого міста на Завокзаллі.

ІІ.Естафета.

Учитель. Знайшовши значення виразу, ви зможете дізнатися ім’я одного з героїв козацького руху на Україні і зокрема у нашому місті.

Учні по черзі виконують біля дошки дії і шукають результат, який дістали серед записаних на картках чисел. На протилежному боці карток написано літери.

0,37 2,08 4,9 2,45 6,4 Й І А Л П

Після завершення роботи учням потрібно

розставити результати в порядку спадання, повернути картки і прочитати слово “Палій”.

5,15,0:)4,0:832,02,3:184,1(

Учитель. Палій Семен Пилипович (справжнє прізвище Гурко) – полковник фастівський (білоцерковський), керівник боротьби селянства і козацтва на Правобережжі України проти польської шляхти в кінці XVII на початку XVIII століття. Заснував Фастівський полк. В цей час Фастів набув значного політичного, економічного і культурного розвитку. До сьогодні в місті збереглися Палієві вали (між п’ятим і шостим пляжами) – тодішні укріплення, які захищали населення від ворогів. В його честь вже в теперішні дні встановлено пам’ятний камінь та хрест. На цьому місці планується встановити пам’ятник Семену Палію.

ІІІ. Математичне лото.

Учні виконують самостійну роботу парами. Кожна пара дістає картки-завдання та картки-

відповіді,на зворотному боці яких написано літери. Картки-завдання

0,12:2+4,1∙2=0,308:0,14+1,08=7,224:0,301-18,6=120-7,2:0,6=19,56:(3,2+4,95)=(19,85+4,65):5=(7,6-1,7∙3,4):9,1=

Картки-відповіді 8,26 3,2 5,4 108 2,4 4,9 0,2 Р Н О Т Д Я А

Учні після завершення роботи порівнюютькартку-завдання з карткою-відповіддю,

розташовують числа впорядку спадання і читають слово “троянда”.

Учитель. “Троянда” – назва ансамблю зразкового аматорського бального танцю міського Палацу

культури.Неодноразовий лауреат та переможець обласних конкурсів, учасник найрізноманітніших концертів,

які проводяться в місті, області. Його відвідують учні

різнихшкіл міста, в тому числі і нашої.






Розв'язати рівняння декількома способами6sinxcosx-4cos2x=5

1) Введення допоміжного кута

.,45

4arcsin

2

1

;,25

4arcsin

22

;,22

2

;12sin

;12cossin2sincos

;12cos5

42sin

5

3

;sin5

4;cos

5

3

;52cos42sin3

Znnx

Znnx

Znnx

x

xx

xx

нехай

xx

6sinxcosx-4cos2x=5

2) Як однорідне

.,3

;3

;096

,0cos

;0cos9cossin6sin

;0cossin5sincos4cossin6

2

2

22

2222

Znnarctgx

tgx

tgxxtg

маємоxнаподілимо

xxxx

xxxxxx

Розв'язати рівняння декількома способами

3) Універсальна тригонометрична підстановка

.,3

;3

;3

;096

;055446

;051

14

1

23

;,2;1

1

1

12cos

;1

2

1

22sin

;52cos42sin3

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

Znnarctgx

tgx

y

yy

yyy

y

y

y

y

Znnxy

y

xtg

xtgx

y

y

xtg

tgxx

нехай

ytgxxx


I спосіб II спосіб

1) 12·2 = 24 (км) - ?2) 18·2 = 36 (км) - ?3) 24 + 36 = 60 (км)

- ?4) 90 – 60 = 30 (км) - ?

1) 12 + 18 = 30 (км/год) - ?2) 30·2 = 60 (км) - ?3) 90 – 60 = 30 (км) - ?

Методи розв'язування логічних задач

Метод таблицьМетод графівКруги ЕйлераМетод міркуваньМетод блок-схемМетод перебору

Розмовляють троє: Бєлокуров, Чернов і Рижков. Брюнет сказав Бєлокурову: «Цікаво, що один із нас - світлий, другий – брюнет, а третій – рудий, але ні в кого колір волосся не відповідає прізвищу». Який колір волосся має кожен з хлопців?

Розв ̕язання

Бєлокуров

Чернов Рижков

світлий

брюнет

рудий

--

--+ -

+ -+

Відповідь: Бєлокуров - рудий, Чернов - світлий,

Рижов - брюнет

Метод таблиць


Червоний, синій, жовтий і зелений олівці лежать в чотирьох коробках по 1 шт. Колір олівця відрізняється від кольору коробки. Відомо, що зелений олівець лежить в синій коробці, а червоний не лежить в жовтій.У якій коробці лежить кожний олівець?


Метод графів

Ч

С

З

Ж

Ч Ч Ч

С С С

З З З

ЖЖЖ

ЗАДАЧІ НА ПЕРЕТИН АБО ОБ’ЄДНАННЯ МНОЖИН

Круги Ейлера — геометрична схема,

за допомогою якої можна зображувати

відношення між підмножинами

для наочного уявлення

Леонард Эйлер


Круги Ейлера

6Заселений острів

Стиляги

69 5Заселений

острівСтиляги

Круги Ейлера


Деякі учні з нашого класу люблять ходити в кіно. Відомо, що 15 учнів дивилися фільм «Обитаемый остров», 11 учнів – фільм «Стиляги», з них 6 дивилися і «Обитаемый остров», і «Стиляги». Скільки учнів дивилися тільки фільм «Стиляги»?

Задача: "Обитаемый остров" и "Стиляги"

Вадим , Сергій і Михайлик

вивчають різні іноземні мови: китайську, японську і арабську. На запитання, яку мову вивчає кожний з них, один відповів: "Вадим вивчає китайську, Сергій не вивчає китайську, а Михайло не вивчає арабську".Виявилось, що у цій відповіді тільки одне твердження правильне, а два інших хибні. Яку мову вивчає кожен із хлопців?


Метод міркувань

1. Вадим вивчає китайську

2. Сергій не вивчає китайську

3. Михайло не вивчає арабську

Якщо правильне твердження 1, то правильне і 2, оскільки хлопці вивчають різні мови. Протиріччя з умовою, отже, тверження 1 хибне.

Якщо правильне твердження 2, то 1 і 3 повинні бути хибними. Тоді виходить, що ніхто не вивчає китайську. Протиріччя з умовою, тому твердження 2 теж хибне.

Якщо правильне твердження 3, то 1 і 2 – хибні. Отже, Вадим не вивчає китайську, китайську вивчає Сергій.

Маємо три твердження:

Відповідь: Сергій - китайську мову, Михайло - японську, Вадим - арабську

Види логічних задач

• Задачі, які розв'язуються з кінця

• Задачі на переливання та зважування

• Задачі на розвиток просторової уяви

• Задачі на знаходження закономірностей

• Задачі – софізми

• Задачі на розфарбування

• Буквенні і числові ребуси

Відповідь. 7 – шукане число.

Я задумав число, помножив його на два,додав три і отримав 17. Яке число я задумав?Розв'язання:

17 – 3 = 14 – число до додавання 3.

14 : 2 = 7 – шукане число.


Задачі, які розв’язуються з кінця

Три шальки А, В, С розміщені в порядку зростання

маси предметів, що на них лежать. Де слід розмістити шальку D, щоб зберігся даний

порядок?

\ / \ / \ / \ / A B C DПорівнюючи фігури на шальках А та В, робимо висновок,

що фігура легша за фігуру

Порівнюючи фігури на шальках В та С, отримуємо, що фігура важча за фігуру

Тому фігури на шальці D важчі за фігури з шальки А, але легші за фігури з шальки В.Шальку D слід розмістити між А та В

Задачі на зважування



Як можна поділити трикутник на три рівних за площею трикутники?

Задачі на розвиток просторової уяви

Перекладіть чотири сірники

так, щоб утворилося

три квадрати



Фігура складається з 8 сірників.

Заберіть два сірники так, щоб вийшло три квадрати



Розташуйте фішки на лініях малюнка так, щоб на кожному колі та на кажній з чотирьох прямих

було по дві фішки

Види логічних задачЗадачі на розвиток просторової уяви

Знайди закономірність і продовж ряд

2, А, 4, Б, 6, В, …, …, … .

15, 8, 13, 6, 11, …, …, …, … .

8 Г 10

-7 +5 -7 +5

4 9 2 7


Задачі на знаходження закономірностей

6

2

12

4

248

48?16

Вставте число замість знака питання

Види логічних задачЗадачі на знаходження закономірностей

25:2516:16 1:1251:116 2516

2544 Де помилка?Де помилка?

Розподільну властивість множення не можна переносити на ділення.Розподільну властивість множення не можна переносити на ділення.

Відповідь


Задачі - софізми

Я стверджую, що4 · 4 = 25!

І це зможу довести!!!

Я стверджую, що4 · 4 = 25!

І це зможу довести!!!

Яку найменшу кількість клітинок потрібно додатково зафарбувати, щоб отримана картинка мала вісь симетрії ? Замалюй їх. Розглянемо всі чотири можливі осі симетрії

Задачі на розфарбування


Фарбуємо 3

клітинки

Фарбуємо 2

клітинки

Фарбуємо 5

клітинки

Фарбуємо 3

клітинки

Види логічних задачРебуси

Скажи мені — і я забуду,

покажи мені — і я запам´ятаю,

зацікав мене — і я навчуся.

Design

Педагогічна студія