例 1. 变速直线运动的速度

物体作匀速直线运动时 , 有 ，时间路程

速度＝

T

SV 即 这一速度其实是物体走完某一段路程

的平均速度，平均速度记作 V. 由于匀速运动物

.VV 体的速度是不变的，因此

§4－ 1　导数的概念

一、导数概念的引入

由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度 V 不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0). 如何求 V(t

0)? 设一物体作变速直线运动，在 [0, t] 这段时

间内所走路程为 S = S(t). 下求 V(t0)如图

S

S(t0) S(t0+t)

0

设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0) ，在 t0+t

时所走路程为 S(t0+t) ，从而，物体在 [t0, t0+t]

这段时间内所走路程为

S = S (t0+t) S (t0)

物体在 [t0, t0+t] 这段时间内的平均速度为

t

SV

.)( 0 t

SVtV

t 越小，近似值t

S

就越接近精确值 V(t0).

当 t 无限变小时，近似值 t

S

就会无限接近

也就是

tS

tVt

00 lim)(

精确值 V(t0).

ttSttS

t

)()(lim 00

0

例 2. 曲线的切线斜率

　　圆的切线可定义为“与曲线 ( 圆 ) 只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言 . 这一定义是不合适的 . 如 y=x2, x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图

y=x2

0 x

y

又如， y = x3, 如图

又比如， y=sinx, 如图

.sin12

sin1

有无穷多交点与曲线切线，但

处的在作为从直观上看，应以

xyy

xyy

0x

y=x3y

0x

yy=sinx

1

–12

切线的一般定义：如图

设有曲线 C 及 C 上一点M ，在 M 点外任取 C 上一点 N ，作割线 MN ，当点 N 沿曲线 C 趋向点M 时，如果割线 MN 趋向于它的极限位置 MT ，则称直线 MT 为曲线 C 在点M 处的切线 .

TM

x

y

0

N

C

N

下面讨论曲线 C ： y = f (x), 在点 M(x0, y0)

处的切线斜率问题 .

设 N 的坐标为

(x0+x, y0+y), 割

线 MN 的倾角为 ,

切线 MT 的倾角

为 . 如图

T

y=f (x)

M

x

x0 x0+xx

y

0

N

C

y0+y

y0 P

割线 MN 的斜率tgk

当 x0 时 , N 沿 C 趋于 M, MN MT.

从而 . 因此 , tgtg.

T

y=f (x)

M

x

x0 x0+xx

y

0

N

C

y0+y

y0

xxfxxf

)()( 00

MPNP

xy

P

T

y=f (x)

M

x

x0 x0+xx

y

0

N

C

y0+y

y0

所以切线 MT 的斜率：

tgk

xxfxxf

x

)()(lim 00

0

xy

x

0lim

tglim 0

x

P

定义：设 y=f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0) 内有定

义 . 如果当 x0 时，

x

xfxxfxf

x

)()(lim)( 00

00

x

xfxxf

xy

)()( 00

的极限存在 , 则称这个极限值为 f (x) 在

x0 处的导数，记作 f ' (x0), 即

.d

)(ddd

,000 xxxxxx x

xfxy

y 或也可记为

二、导数的定义

x

xfxxfx

)()(lim 00

0存在，则称

f (x) 在 x0 可导 ( 或称 f (x) 在 x0 的导数

存在 ). 否则，称 f (x) 在 x0 不可导 ( 或称

f (x) 在 x0 的导数不存在 ). 特别

，不可导若 )( )()(

lim 00

0

xxfxxf

x

. )( 0 为无穷大的导数在也称 xxf

注 1. 若

;)()(

lim)( 00

00 h

xfhxfxf

h

若记 x=x0+x, 当 x0 时 , x x0,

;)()(

lim)(0

00

0 xx

xfxfxf

xx

特别，取 x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有

.)(

lim)0(0 x

xff

x

注 2. 导数定义还有其他等价形式 ,

注 3. 对于例 1, 有0d

d)()( 00 ttt

StStV

对于例 2, 曲线 y = f (x) 在点 M(x0, f (x

0) 处切线斜率

.dd

)(00 xxx

yxfk

注 4. 由于x

xfxxfxf

x

)()(lim)( 00

00

,)()(

lim)( 00

00 x

xfxxfxf

x

记 称为

f (x) 在 x0 的右导数 .

,)()(

lim)( 00

00 x

xfxxfxf

x

记 称为

f (x) 在 x0 的左导数 .

有 , f (x) 在 x0 可导 f (x) 在 x0 的左 , 右

导数存在且相等 .

注 5. 若 y = f (x) 在 (a, b) 内每点可导，则称 f (x)

在 (a, b) 内可导 .

　　此时， x(a, b) 都有唯一确定的值 f '(x) 与

之对应，所以导数是 x 的函数 .称为 y=f (x) 的导函数 ,

.d

)(d ,

d

d ,' ),(

x

xf

x

yyxf 记作

按定义， ). ,()()(

lim)(0

baxx

xfxxfxf

x

，

f ' (x) 就是 x 所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式 .

而 f '(x0) 就是 f '(x) 在 x= x0 处的函数值，即

0)(

)()(lim)( 00

00 xx

xxf

x

xfxxfxf

另外，求 是不变的，时，xx

xfxxfx

)()(lim

0

.x看作常量，变的是

注 6.

.],[)(

)()(,),()(

上可导在则称

存在，和且内可导在若

baxf

bfafbaxfy

用定义求导数一般可分三步进行 .

设 y = f (x) 在点 x 处可导

(1) 求 y=f (x+x) f (x)

(2) 求比值x

xfxxfxy

)()(

(3) 求极限 ).()()(

limlim00

xfx

xfxxfxy

xx

三、求导举例

例 3. 求 y = C ( 常数 ) 的导数 .

解： (1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0

(2) 0

x

y

(3) .0lim0

x

yx

故 (C )' = 0, 即常数的导数为 0.

例 4. 设 y = f (x) = xn. n 为正整数，求 f '(x).

解： (1) y = f (x+x) f (x)

nnnn

nn

nn

nn

n

xxC

xxCxxCxxCx

)(

)()( 33322211

nnn

nn

nn

nn

xC

xxCxxCxxC

)(

)()( 33322211

= (x+x)n xn

(2)

1

2332211

)(

)()(

nnn

nn

nn

nn

xC

xxCxxCxCx

y

(3) .lim)( 111

0

nnn

xnxxC

x

yxf

即 (xn)'= nx n1

比如， (x)'=1, (x2)'=2x, (x3)'=3x2,

一般，对幂函数 y=x, 为实数

有 (x)' = x1

比如 ,1

)1

(2xx

,2)( 32 xx ,3)( 43 xx

, 2

1

2

1)( 2

1

xxx

,

3

1)( 3

2

3

1

xx

例 5. 求 y = sinx 的导数 .

解： (1) y = sin (x+x) sinx

(2)x

xx

xx

y

2

sin)

2cos(2

(3)

2

2sin

)2

cos(lim0 x

xx

xyx

2sin

2

2cos2

xxx

xx cos1cos

即　　 (sinx)' = cosx

类似 (cosx)' = sinx

例 6. 求 y = ax 的导数，其中 a>0, a1.

解： )1( xxxxx aaaay

从而x

aay

xx

x

1lim

0

xax

ax

x

lnlim

0

xa

ax

x

x

1elim

ln

0

.ln aa x

即 (ax)' = axlna

特别，取 a = e, 则 (ex)'= ex

例 7. 求 y=logax 的导数，其中 a>0, a1, x>0,

并求 y|x=1.

解：x

yy

x

0

limx

xxx aa

x

log)(loglim

0

xxx

a

x

)1(loglim

0 axx

x

x ln

1)1ln(

lim0

xx

x

a x

0

limln

1

ax ln

1

即ax

xa ln

1)(log

特别，取 a = e, 则x

x1

)(ln

从而 .ln

1

ln

111 aax

y xx

　　由例 2 知 , 函数 y=f (x) 在 x0 处的导数 f

'(x0) 就是曲线 y = f (x) 在点 M(x0, f (x0) 处切线的斜率，即 k = f '(x0).

))(()( 000 xxxfxfy

法线方程为

).0)(( ),()(

1)( 00

00

xfxx

xfxfy

一般 , 若 f '(x0) 存在 , 则 y=f (x) 在点 M(x0,

f (x0) 处切线方程为

四、导数的几何意义

特别， (i) 当 f '(x0)=0 时，即 k = 0.

从而切线平行于

x 轴 . 因此，法线垂直于 x 轴 .如图

切线方程： y = f (x0).

法线方程： x = x0.

y=f (x)

0 x

y

M

f (x0)

x0

(2) 当 f '(x0)=( 不存在 ). 即 k = tg =. 故 2

从而切线垂直于 x 轴，而法线平行于 x 轴 .

切线方程： x = x0.

法线方程： y = f (x0).

如图 , 单位圆在 (1, 0) 处切线方程 : x = 1.

法线方程 : y = 0.

0x

y

1–1

又如图

由于在原点 (0,0) 处 ,

x

y

0

32

xy

xfxf

fx

)0()(lim)0(

0

x

xfx

)(lim

0

xx

x

32

0lim ( 不存

在 )从而切线方程 : x=0, 法线方程 : y = 0.

例 8. 求过点 (2, 0) 且与曲线 y=ex 相切的直线方程 .解：由于点 (2, 0) 不在曲线 y=ex 上，故不能直接

用公式 y f (x0) = f '(x0)(x x0).

由于 (ex)'=ex, 处切线方程为故点 ),( 00

xex

).( 000 xxeey xx

因切线过点 (2, 0), 代入 , 得 )2( 000 xee xx

得 x0 = 3. 所求切线为 y e3 = e3(x3)

定理 . 若 y=f (x) 在 x0 可导，则 y=f (x) 在 x0 必连续 .

证： 因 f (x) 在 x0 可导，即 .)(lim 00

存在xfx

yx

五、可导与连续的关系

由极限与无穷小量的关系，有

).0(0.)( 0 时当，其中

xxfx

y

或 . )( 0 xxxfy

故 .0] )([limlim 000

xxxfyxx

定理的逆命题不成立，即 , 若 y=f (x) 在 x0 连

续， y=f (x) 在 x0 不一定可导 .

.0032

不可导连续，但在在如 xxxy

例 . 讨论 f (x)=| x | 在 x=0 处的可导性和连续性 .

解：由于 )0(0||lim)(lim00

fxxfxx

故 | x | 在 x=0 连续 .

但 |x| 在 x=0 不可导 . 因 f (x)=|x|=

x, x≥0

x, x<0

)0(fx

fxfx

)0()0(lim

0 x

xfx

)(lim

0

x

xx

0lim =1

)0(f而x

fxfx

)0()0(lim

0 x

xfx

)(lim

0

x

xx

0lim = 1

由于左、右导数不相等 , 故 |x| 在 x=0 不可导 .

如图

一般 , 函数在尖点 ( 角点 ) 处不可导 .

x

y

0

y = |x|

x

y

0

32

xy

定理 1. 设函数 u=u(x),v=v(x) 在点 x 处可导，则

)0)(()(

)( ),()( ),()( xv

xv

xuxvxuxvxu

均在 x 处可导 .

且 , )()(])()([ )1( xvxuxvxu

)()()()(])()([ )2( xvxuxvxuxvxu

)(

)()()()()

)(

)( ( )3(

2 xv

xvxuxvxu

xv

xu

§4 – 2 　求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则

证： (1) 记 y=u (x)±v(x)

从而 , )]()([)]()([ xvxuxxvxxuy

)]()([)]()([ xvxxvxuxxu

vu

从而xv

xu

xy

xxx

000limlimlim

)()(])()([ xvxuxvxu 即

)()( xvxu

(2) 要证 )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu

记 , )()( xvxuy ),()( xuxxuu

. )()( xvxxvv

)])][[ uvvvuu

)()()]()([ xvxuxxvxxuy 有

vuuvvu

故 vxu

xv

uxu

vxy

因 u 、 v 可导 , 从而连续 , 故当 x 0 时 , V0.

)(limlimlimlim 0000

vx

u

x

vu

x

uv

x

yxxxx

故

)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu 即

vuvu

2)( )3(

v

vuvu

v

u

证略

定理中的 (1) 、 (2) 都可推广到有限多个的情形 .

如， (u+v+w) = u+v+w

(uvw) = uvw+uvw+uvw

推论：若 f (x) 在 x 处可导， c 为常数，则 c

f (x) 在 x 处可导，且

)())(( xfcxcf

例 1. 求 y = x2+5sinx 的导数

解： )sin5( 2 xxy

)sin5()( 2 xx

xx cos52

例 2. 求 y = ax cos x 的导数

解： )cos( xay x

)(coscos)( xaxa xx

xaxaa xx sincosln

例 3. 求 x

y

1

1 的导数

解： )1

1(

xy

2)1(

)1()1()1(

x

xx

2)1(2

1

xx

2)1(2

1

xx

)(

)()

)(

1(

2 xf

xf

xf

一般 , 其中 f (x) 可导 , f (x)

0

例 4. 求 y = tgx 的导数

解： )tg( xy )cos

sin(

x

x

x

xxxx2cos

)(cossincos)(sin

x

xx

2

22

cos

sincos

x2cos

1 x2sec

xx 2sec)tg( 故

类似 xx 2csc)ctg(

例 5. 求 y = secx 的导数

解： )(sec xy )cos

1(

x

x

x2cos

)(cos

x

x2cos

sin

xx tgsec

即

类似

xxx tgsec)(sec

xxx ctgcsc)(csc

比较公式

xxxx sin)(cos , cos)(sin

xxxx 22 csc)ctg( , sec)tg(

xxxxxx ctgcsc)csc( , tgsec)sec(

我们知道 .xx cos)(sin xx 2cos)2(sin , 问？

)cossin2()2(sin xxx

)sin(cos2 22 xx

x2cos2

x2cos

这是因为 sin2x 是复合函数，不能直接用前面的公式求导数

定理 2. 若 u=(x) 在 x 处可导，而 y=f(u) 在对应点 u=(x) 处可导，则复函数 y=f [(x)] 在 x 处可导，且

x

u

u

y

x

y

d

d

d

d

d

d

证：记 从而),()( xxxu

)()( ufuufy

)]([)]([ xfxxf

二、复合函数的求导法则

由于 y=f (u) 在点 u 可导，从而 u

y

u

yu d

dlim

0

存在

故

u

y

u

y

d

d0lim

0

u其中

0 u且 )d

d ( 无定义否则

u

y

u

y

)0( d

d uuu

u

yy 从而

从而当 u=0 时，有 y=f (u+ u)f (u)=0 ，上式右端也为 0.

规定：当 u=0 时， =0 ，

总有

从而

uuu

yy

d

d

)0( d

d

xx

u

x

u

u

y

x

y

)(limdd

dd

dd

,0 0 x

uxu

uy

xy

xx

得令x

u

u

y

d

d

d

d

x0 时， u0( 可导必连续 ) ，而当 u0时 0.

0d

dlimlim

00

x

u

x

uxx

故

公式也可写成 )()())]([ ( xufxf xux

公式还可推广到多次复合的情形 .

如 y = f (u) ， u = (v), v = g(x), 则

x

v

v

u

u

y

x

y

d

d

d

d

d

d

d

d

例 6. 求 y = sin2x 的导数

解： y = sin2x 是由 y = sinu ， u = 2x 复合而成

按公式

xux

u

u

yy 2cos22cos

d

d

d

d

例 7. 求 y = (3x2+1)100 的导数解： y = u100 ，而 u = 3x2+1

由公式x

u

u

yy

d

d

d

d

xu 6 100 99

992 )13(600 xx

例 8. yxayxy 求 )2( ,sin )1( 222

解： xuu y sin )1( 2 而

x

u

u

yy

d

d

d

d 故 xu cos2 xx cossin2

22 )2( xauuy 而

x

u

u

yy

d

d

d

d 故 )2(

2

1x

u

22 xa

x

例 9. xeyxyxy )3( sinln )2( ,tg )1( 2

2ctg )4(

xy

解： )tg( )1( 2 xy )(sec 222 xx xx 2sec 22

22sec2 xx

)sin (ln )2( xy )(sinsin

1 xx

xx

xctg

sin

cos

的导数 .

)( )3( xey )( xe x xe

)2

ctg( )4( xy )

2ctg(

2ctg2

1 x

x

)2

()2

csc(

2ctg2

1 2 xx

x)

2

1(

2ctg2

2csc2

x

x

2csc

24

1 2 xxtg

例 10. 求 y = x ， (x>0, 实数 ) 的导数解： y = e lnx

)( ln xey )ln(ln xe x

xx

1

1 x

例 11. 求 y = sinnxsinnx 的导数， n 为常数 .解： )sin(sin xnxy n

)(sinsinsin)(sin xnxxnx nn

)(sinsinsin)(cossin 1 xxnnxnxnxx nn

xxnxnnxxn nn cossinsincossin 1

)cossincos(sinsin 1 xnxnxxxn n

xnxn n )1sin( sin 1

定理 3. 若 x=(y) 在某区间 Iy 内严格单调 , 可导 ,

(y) ≠0, 则它的反函数 y=f (x) 在对应区间 Ix 内也可导 , 且

)(

1)(

yxf

证：由于 x=(y) 在 Iy 内严格单调、连续 . 从而它的反函数 y=f (x) 存在 , 并在 Ix 内有相同的单调性 , 同时 , y=f (x) 在 Ix 内连续 .

)(

1)(

yxf

即

yxx

y

y

x

0

0lim

1lim下证

三、反函数求导法则

x∈Ix, 给改变量 x0, 相应的函数 y=f (x) 有改变量 0)()( xfxxfy

由于 x = (y) 和 y = f (x) 互为反函数，

)()( yxxfy 故

)()( ， yyxxxxfyy 由从而

即， )()( yyyx

即 x 也就是函数 x=(y) 的改变量 .

yxx

y

1

有

因 y=f (x) 连续，故当 x0 时， y0 ，且 (y) 0

x

yxy

x

0

lim)( 故

yx

y

0lim

1

)(

1

y

yxx

y

dd1

d

d 或

例 11. 证明 )11( 1

1)sin arc(

2

x

xx

证： y=arc sinx 是 x=siny 的反函数 . x=siny在

)2

,2

(

内单调，可导，且 (siny)=cosy 0, )2

,2

(

y

所以在对应区间 (1,1) 内，有

)(sin

1)(arcsin

yx

ycos

1

y2sin1

1

21

1

x

)11( 1

1)(arccos

2

x

xx类似

例 12. 证明 21

1) tgarc(

xx

证： y=arc tgx 是 x=tg y在

)2

,2

(

上的反函数

x=tg y 在 )2

,2

(

内单调，可导，且

.0sec)tg( 2 yy

)tg(

1) tg(arc

yx从而

y2sec

1

y2tg1

1

211x

21

1)arcctg(

xx

类似

例 13. 设 yax

aaaxy 求,0,arccos22

解： )cos arc()( 22 x

aaaxy

)(

)(1

1)2(

2

12

222 x

a

xa

axax

222

2

22

1||

xax

xa

ax

x

=

,22

22

axx

ax

,22

22

axx

ax

当 x > 0 且 | x | > a时

当 x < 0 且 | x | > a 时

=

axx

ax

,

22

axaxx

ax

,22

22

P106 ~ P107P106 ~ P107

四、导数公式表

说明：公式 12x

x1

)||(ln

(1) 当 x > 0 时，x

xx1

)(ln)||(ln

(2) 当 x < 0 时， 0|| xx

))(ln()||(ln xxx

xx

1)(

1

综合 (1) 、 (2)有

)0( 1

)||(ln xx

x

公式 17

因为

xx ch)sh(

)2

()sh(

xx eex ])()[(

2

1 xx ee

)]1()([21 xx ee

类似得公式 18

xee xx

ch2

例 14. . )1ln(arch

),1ln(arsh

2

2

的导数

求

xxxy

xxxy

)1ln( 2xxy

12

21

1

122 x

x

xx

,1

12

x

.1

1)arsh(

2

xx即

.1

1)arch( ,

2

xx同理

解 :

例 15. 设sinx, x 0ex1, 0 < x ln32x2, ln3 < x

求 f (x) 的导数 , 并指出 f (x) 的不可导点 .

解 : 当 x < 0 时 , f ' (x) = (sinx)' = cosx.

当 0 < x < ln3 时 , f ' (x) = (ex1)' = ex.

当 ln3 < x 时 , f ' (x) = (2x2)' = 4x.

f (x) =

考虑分段点 x = 0, ln3 处的导数 .

x

fxff

x

)0()0(lim)0(

0 x

fxfx

)0()(lim

0

x

xx

sinlim

0= 1 ( 当 x 0 时 , f (x) = sinx)

x

fxff

x

)0()0(

lim)0(0 x

e x

x

1lim

0

= 1 ( 当 0 < x ln3 时 , f (x) = ex1)

由于 f ' (0) = f '+(0) = 1, 故 f '(0) = 1.

由于当 0<x ln3 时 , f (x) = ex1. 当 ln3< x

时 , f (x) = 2x2. 故 f (ln3) = eln31 = 2. 从而

x

fxff

x

)3(ln)3(lnlim)3(ln

0

x

xx

2)3(ln2lim

2

0

所以 f (x) = ln3 处不可导 .

综合 , f ' (x) =

cosx, x<0

1, x=0

ex, 0 < x < ln3

4x, ln3 < x

不存在 , x = ln3.

或由,)3(ln22lim)(lim 22

)3(ln)3(ln

xxf

xx

,2)1(lim)(lim)3(ln)3(ln

x

xxexf

知 f (x) 在 x = ln3 处不连续 , 故必不可导 .

例 16. 求常数 a, b 的值 , 使x2 + 2x + 3, x 0ax + b, x > 0 在 (, +) 内可导 .

解 : 由于可导必连续 , 故要使 f (x) 可导 , 必先使 f (x) 连续 .由于 f (0) = 3

.3)3(

lim)0()(

lim)0(00

ax

xa

x

fxff

xx

.22)(

lim)0()(

lim)0(2

00

x

xx

x

fxff

xx

故 a = 2, b = 3 时 , f (x) 在 (, +) 可导 .

,3)(lim0

xfx

.)(lim0

bxfx

得 b = 3.

f (x) =

以前所接触到的函数通常是 y=f (x) 的形式 ,

即左边是 y , 而右边是一个不含 y 的表达式 .

如 xeyxxy x tg ,sinln 1

我们称为显函数

根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现 .

五、隐函数求导法则

比如，给二元方程

y3+2x21=0

任给一个 x ，都可根据上面的方程，解出

唯一的一个 y 来．即，任给一个 x 都有唯一的一

个 y 与之对应，因此 , y 是 x 的函数 .称 y 为由方程

y3+2x21=0 所确定的隐函数 .

定义：设有二元方程 F(x, y)=0 ，如果对任意

的 xIx , 存在唯一的 y 满足方程 F(x,

y)=0, 则称方程 F(x, y)=0 在 Ix 上确定

了一个隐函数 y = y(x).

有些隐函数很容易表成显函数的形式 .

如，由 y3+2x21=0 ，解得 .213 2xy

　　把一个隐函数化为显函数的形式，称为

隐函数的显化 .

有些隐函数不一定能显化或者很难显化 .

如 yx siny=0 (0< <1), e y = xy

　　下面介绍不必显化，就能直接求出隐函

数导数的方法 .

例 17. 求 e y+xy2e=0 所确定的隐函数 y=y(x) 的导数y'.

解： (1) 方程两边同对 x 求导 .注意到 y 是 x 的函数 ,

ey, y2 都是 x 的复合函数 .

e yy' + y2 + 2xy y' = 0

(2) 解出 y'. (ey+2xy )y' = y2

故 .2e

2

xy

yy

y

例 18. 求由 y5 +2y –x –3x7 = 0 所定隐函数 y = y

(x) 在 x = 0 的导数 y (0).

解 : (1)两边同时对 x 求导 , 注意到 y 是 x 的

函数 . y5 是 x 的复合函数 .

从而 5y4 · y + 2y –1–21x6 = 0

(2) 解出 y ,25

1214

6

y

xy

(3) 注意到在原方程中 , 当 x=0 时 , y=0. 代入得

21

)0( y

例 19. .)323

,2(1916

22

处切线方程在点求 yx

解 : .233

2

yxyk切线斜率

(1) 方程两边同对 x 求导 , 注意 y 是 x 的函数 .

092

8 yy

x

(2)y

xy

16

9

(3) 当 x=2 ， 时， 323y

323

2169

2332

yxy

4

3

(4) 切线方程

)2(4

33

2

3 xy

或 03843 yx

设参数方程

),(tx

),(ty ),( t

确定了平面上一条曲线，从而也就确定了

y 是 x 的函数 ( 当是一一对应时 )

六、参数方程求导法则

设 ,)(),,( ),(

),(单调若 txx

ty

tx

x=(t), y=(t) 可导 , (t) 0, 则

.)()(

dd

tt

xy

事实上 , 因 x=(t) 单调 , 可导 , 且 (t) 0.

从而存在反函数 t =–1(x), 可导 , 且有 .)(

1))(( 1

tx

另外 , 因 t =–1(x), 故 y=(t) =(–1(x)) 是 x

的复合函数 .

从而 , .)()(

))(()(dd 1

tt

xtxy

例 20. 求由摆线的参数方程

)cos1(

)sin(

ay

ax

所确定的函数 y = y(x) 的导数 ).0(dd a

xy

解 :))sin(())cos1((

dd

aa

xy

cos1sin

例 21. 求星形线 ).0(4sin

cos3

3

a

ay

ax处的切线方程在

解 : .42

,42

22

,4

3

ayaax

时当

4dd

xy

k切线斜率

故)cos(

)sin(dd

3

3

a

axy

)sin(cos3

cossin32

2

tg

.14

tg k故

)42

(42

axay 切线方程

.022

ayx或

有时常要求幂指函数或带连乘积的函数的导数 .

)100)(99()2)(1(,1sin xxxxyxy x 如

这时可两端取对数 , 再利用隐函数的求导思想

和方法来求导 , 称为取对数求导法 .

七、取对数求导法

例 22. .10 , 1sin xxy x 其中的导数求

解 : 求幂指函数的导数 , 通常可用对数求导法 .

两边取对数 , 注意到 y > 0, x > 0

xxy ln1sinln

两边对 x 求导 , 注意到 y 是 x 的函数 , 从而 lny 是 x 的复合对数 .

xx

xxxy

y

1sin121

1cos)(ln1

从而

x

xxx

xyy

121cosln1sin

xxx

xx

x x

121cosln1sin1sin

解 ( 二 ) ： xxy 1sin xxe ln1sin

xxx

xx

ey xx

121cosln1sin

ln1sin

xxx

xx

x x

121cosln1sin1sin

由于对 y=f (x)两端取对数时要求 y >0.

这限制了对数求导法的应用范围 . 应想办法去掉这种限制 .

两边取绝对值 , 再取对数 .

|)(|ln|)(|ln|)()(|ln||ln xgxfxgxfy

设 y = f (x)g(x). 其中 f (x),g(x) 均非 0

且在点 x 处可导。

(i) 当 y > 0 时 , yy

yy xx 1)(ln)||(ln

(ii) 当 y < 0 时 ,

yy

yy

yy xx

1)(

1))(ln()||(ln

yy

yy x 1)||(ln,0, 有时当即

同理 , 当 f (x), g(x) 不等于 0 时 ,

)()(

1)|)(|(ln ),(

)(1

)|)(|(ln xgxg

xgxfxf

xf

.|)(|ln|)(|ln||ln 两边求导从而对 xgxfy

得 )()(

1)(

)(11

xgxg

xfxf

yy

即

)(

)(1

)()(

1xg

xgxf

xfyy

注意 : 对数求导法只能求使 y0 的 x 处的

导数 . 若要求使 y=0 的 x 处的导数 ,

则须另想办法 .

例 23. .)100()2)(1( 1002 的导数求 xxxy

解 : 可用对数求导法求导数 .

|)100()2)(1(|ln21

ln 1002 xxxy

|100|ln|2|ln|1|ln21 1002 xxx

两边对 x 求导 , y 是 x 的函数 .

100

100

2

21

1211

100

99

2 x

x

x

xx

yy

故

100

100

2

21

121

100

99

2 x

x

x

xx

yy

例 20.

).0( ,

,)()2)(1()()2)(1(

)(

f

nnxxxnxxxx

xfy

求自然数

为其中设

解 : 由于 f (0) = 0. 不能用对数求导法 .

)0(f x

fxfx

)0()(lim

0

xnxxxnxxxx

x

1)()2)(1()()2)(1(

lim0

)()2)(1()()2)(1(

lim0 nxxx

nxxxx

nn

nn

)1(!

!)1(