• 3.匀变速直线运动的位移与时间的关系

※ 了解“微元”法的基本思想

※理解由“ v－ t”图象中，用“面积”法求位移

※※掌握匀变速直线运动的位移公式，会用公式分析计算 .

• 猎豹在起跑之后三秒就能达到一百公里的时速，但它的耐力不行，最高速度只能维持 100 米左右．而健壮的羚羊同样风驰电掣般逃避，只要在这个距离内不被抓住，就能成功摆脱厄运．

• 由于受到多种因素的影响，猎豹在这短短的三秒内的运动规律也比较复杂，但我们忽略某些次要因素后，可以把它们看成匀变速直线运动．匀变速直线运动是一种理想化的运动模型．那么这种运动的位移与时间又有什么样的关系呢？

• 这一节我们就来探究这个问题．

• 1．做匀速直线运动的物体在时间 t内的位移 x＝ ，在速度图象中，位移对应着边长为 的一块 的面积，如图中画 的部分．

vtv 和 t 矩形

斜线

• 2．同样，我们也可以利用匀变速直线运动的

• 来求位移．做匀变速直线运动的物体，在时间 t内的位移的数值

速度图线下方 的面积 (如下图 )

速度图线

等于梯形 OAPQ

• 3．用上面 2中所述的方法可推得匀变速直

线运动的位移与时间的关系式 .

• (1)利用匀变速 v－ t图象求位移大小• 在匀变速直线运动中，由加速度的定义容易得速度的变化量 Δv＝ a·Δt，只要时间足够短，速度的变化就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移．

• 如图所示，甲图中与 Δt对应的每个小矩形的面积就可以看做 Δt时间内的位移．如果把每一小段 Δt内的运动看做匀速直线运动，则各矩形面积之和等于各段 Δt时间内做匀速直线运动的位移之和．时间 Δt越短，速度变化量 Δv就越小，我们这样计算的误差也就越小．当 Δt→0时，各矩形面积之和趋近于 v－ t图象下面的面积．

(2)位移公式

由图知，当时间分割得足够小时，折线趋近于直线 AP，

设想的运动就代表了真实的运动，这样可求出匀变速直线

运动在时间 t 内的位移，它在数值上等于梯形 OAPQ 的面

积．

梯形 OAPQ的面积为 S＝12(OA＋PQ)×AR

把面积及各线段换成所代表的物理量，得到位移公式

x＝12(v0＋v)t

把 v＝v0＋at代入得：x＝v0t＋12at

2

• 在一演示实验中，一个小球在斜面上滚动，小球滚动的距离 x和小球运动过程中经历的时间 T之间的关系如表所示 .

T(s) 0.25 0.5 1.0 2.0 ……x(cm)

5.0 20 80 320 ……

• 由表可以初步归纳出小球滚动的距离 x和小球滚动的时间 T的关系式分别为

• ( )

• A． x＝ kT B． x＝ kT2

• C． x＝ kT3 D．无法判断• 答案： B

在匀变速直线运动中，对于某一段时间 t，其中间时刻

的瞬时速度 vt2＝v0＋a×

12t＝v0＋

12at，该段时间的末速度 v

＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公

式整理加工可得 v－＝xt＝

v0t＋12at

2

t ＝v0＋12at＝

2v0＋at2 ＝

v0＋v0＋at2 ＝

v0＋v2 ＝vt

2.

即有 v－＝v0＋v

2 ＝vt2

• 故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值．

特别提醒：

(1)该规律的成立条件是匀变速直线运动．

(2)常用变形是 x＝ v－·t＝v0＋v

2 ·t，符合条件时可直接使

用．

• 某市规定，卡车在市区内行驶，速度不得超过 40km/h.一次，一卡车紧急刹车后 (如图所示 )，经 1.5s停止，量得路面车痕长 9m，则该车 ________违章 (填“已”或“未” )．假定卡车刹车后做匀减速运动，可知其行驶速度高达 ________km/h.

• 答案：已； 43km/h

解析：利用v＝xt＝

vo＋vt2 得

91.5＝

v0＋02 ，解出 v0＝

12m/s＝43km/h

• 骑自行车的人以 5m/s的初速度匀减速地上一个斜坡，加速度的大小为 0.4m/s2，斜坡长 30m，骑自行车的人通过斜坡需要多少时间？

解析：由位移公式 x＝v0t＋12at

2，代入数据得：

30＝5t－12× 0.4t2，解之得：t1＝10s，t2＝15s.

• 为什么通过 30m 的斜坡用了两个不同的时间？将 t1＝ 10s 和 t2＝ 15s 分别代入速度公式 v ＝ v0

＋ at计算两个对应的末速度， v1＝ 1m/s 和 v2

＝－ 1m/s. 后一个速度 v2＝－ 1m/s 与上坡的速度方向相反，与实际情况不符，所以应该舍去．实际上， 15s 是自行车按 0.4m/s2的加速度匀减速运动速度减到零又反向加速到 1m/s 所用的时间，而这 15s 内的位移恰好也是 30m

• 在本题中，由于斜坡不是足够长，用 10s 的时间就到达坡顶，自行车不可能倒着下坡，从此以后自行车不再遵循前面的运动规律，所以 15s 是不合题意的．

• 答案： 10s

• 点评：由位移公式 x＝ v0t＋ at2，求时间 t，由于解的是一个一元二次方程，因此会有两个解，这两个解不一定都有意义，解出后一定要进行讨论．

• 由静止开始做匀加速运动的汽车，头一秒内通过 0.4m路程，有以下说法：

• ①第 1s末的速度为 0.8m/s

• ②加速度为 0.8m/s2

• ③第 2s内通过的路程为 1.2m

• ④前 2s内通过的路程为 1.2m

• 其中正确的是 ( )

• A．①②③ B．②③④• C．①②③④ D．①②④• 答案： A

解析：设加速度为 a，则由 x＝12at

2得 a＝2xt2＝0.8m/s2

所以第 1秒末速度 v1＝a·1＝0.8(m/s)

第 2秒内通过路程为

x2＝12a·2

2－12a·1

2＝1.2(m)

故①、②、③正确，④错误，即 A选项正确，其余均

错误.

• 一个滑雪的人，从 85m长的山坡上匀变速直线滑下 (如下图所示 )，初速度是 1.8m/s，末速度是 5.0m/s，他通过这段山坡需要多长时间？

解析：滑雪的运动可以看作是匀加速直线运动，可以

利用匀变速直线运动的规律来求，已知量为初速度 v0，末

速度 vt和位移 x，待求量是时间 t，我们可以用不同的方法

求解．

解法Ⅰ ：利用公式vt＝v0＋at①和 x＝v0t＋12at

2②求解．

由①式得v0＝vt－at代入②式得 x＝vtt－12at

2③将②式

与③式相加得 2x＝v0t＋vtt所以，需要的时间

t＝2x

vt＋v0＝

2× 85m5.0m/s＋1.8m/s

＝25s

解法Ⅱ ：利用平均速度的公式

v＝v0＋vt

2 和 x＝vt求解．

平均速度v＝v0＋vt

2 ＝1.8m/s＋5.0m/s

2 ＝3.4m/s

由 x＝vt得，需要的时间 t＝xv＝

85m3.4m/s＝25s.

答案： 25s

点评：由基本公式 vt＝v0＋at、x＝vot＋12at

2 及 x＝

v0＋vt2 t组成的三个涉及五个量即 v0、vt、a、x、t的公式，

但每个公式中只涉及四个量，故在应用时要注意题中不涉

及什么量而选择相应的公式．上面解法中，解法Ⅱ 比较简

便．

如图所示，2006 年我国自行研制的“ 枭龙” 战机

04在四川某地试飞成功．假设该战机起飞前从静止开始做

匀加速直线运动，达到起飞速度 v所需时间为 t，则起飞

前的运动距离为

( )

A．vt

B.vt2

C．2vt

D．无法确定

答案： B

解析：起飞前战机做匀变速直线运动，所以平均速度

v－＝v2，由 x＝ v－t得：x＝

vt2 .

• 要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道．求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．有关数据见表格 .

启动加速度 a1 4m/s2

制动加速度 a2 8m/s2

直道最大速度 v1 40m/s

弯道最大速度 v2 20m/s

直道长度 s 218m

某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先

由静止加速到最大速度 v1＝40m/s，然后再减速到 v2＝

20m/s，t1＝v1

a1＝……；t2＝

v1－v2

a2＝……；t＝t1＋t2.

你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计

算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确

结果．

解析：该位同学的解法不合理．

加速到直道最大速度所用的时间为

t1＝v1

a1＝

404 s＝10s

通过的位移为 s1＝12a1t

21＝200m

减速到弯道最大速度 v2所用的时间为

t2＝v1－v2

a2＝

40－208 s＝2.5s

通过的位移为 s＝v1t2－12a2t

22＝75m

总的位移为 s1＋s2＝200m＋75m＝275m>218m，所以

这种解法是错误的．

正确解法：

设摩托车先加速到一个较大的速度 vm，然后减速到

v2，加速用的时间为 t′ 1，通过的位移为 s′ 1，减速用的

时间为 t′ 2，通过的位移为 s′ 2.

由题意得 vm＝a1t′ 1，vm＝v2＋a2t′ 2

s′ 1＝12a1t′

21，s′ 2＝vmt′ 2－

12a2t′

22，s′ 1＋s′ 2＝s

• 代入数据解得• t′1 ＝ 9s ， t′2 ＝ 2s ， s′1 ＝ 162m ， s′2 ＝ 56

m ， vm＝ 36m/s

• 所以最短时间为 t＝ t′1＋ t′2＝ 11s.

• 2008年 9月 25日，中国用长征运载火箭成功地发射了“神舟七号”卫星，下图是某监测系统每隔 2.5s拍摄的关于起始加速阶段火箭的一组照片，已知火箭的长度为 40m，现在用刻度尺测量照片上的长度关系，结果如图所示，请你估算火箭的加速度 a和火箭在照片中第 2个像所对应时刻的瞬时速度大小 v.

• 答案： 8m/s2 ； 42m/s

• 解析：从照片上可得，刻度尺的 1cm 相当于实际长度 20m. 量出前后两段位移分别为 4.00cm 和 6.50cm ，对应的实际位移分别为 80m 和130m ，由 Δx＝ aT2 可得 a＝ 8m/s2 ，再根据这 5 秒内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可得照片中第 2 个像对应的速度 v ＝ 42m/s.

• 通过图象认识物体运动规律，是我们处理物理问题的重要方法．读图象要首先搞清物理意义，再根据图象物理量的变化确定物体运动规律．