第第 1717 章 反比例函数章 反比例函数

知识回顾：知识回顾：

1.1. 反比例函数的意义反比例函数的意义 ..

2.2. 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质 ..

3.3. 利用反比例函数解决实际问题利用反比例函数解决实际问题 ..

什么是反比例函数？什么是反比例函数？

忆一忆：忆一忆：

一般地，函数 （一般地，函数 （ kk 是常数， 是常数， kk ≠0≠0 ）叫反）叫反比例函数比例函数 ..

x

ky

1kxy kxy

小试牛刀：小试牛刀：

1.1. 下列函数中，哪些是反比例函数？下列函数中，哪些是反比例函数？

xy

8⑴⑴ ⑵⑵ ⑶⑶

⑷⑷ ⑸⑸

24

1 xy

xy

2

3

18 xy 32

1

x

y

小试牛刀：小试牛刀：

2.2. 写出下列问题中的函数关系式，并指出它们是什写出下列问题中的函数关系式，并指出它们是什 么函数？么函数？

⑴⑴ 当路程当路程 ss 一定时，时间一定时，时间 tt 与平均速度与平均速度 vv 之间的关系之间的关系 ..

⑵⑵ 质量为质量为 mm((kgkg)) 的气体，其体积的气体，其体积 vv((mm33)) 与密度与密度 ρρ((kg/kg/mm33)) 之间的关系之间的关系 ..

v

st 反比例函数反比例函数

反比例函数反比例函数m

V

小试牛刀：小试牛刀：

3.3. 若 为反比例函数，则若 为反比例函数，则 mm ＝＝ ______ .______ .1

2

mxy

4.4. 若 为反比例函数，则若 为反比例函数，则 mm ＝＝ ______ .______ .

2)1( mxmy

要注意系数哦！要注意系数哦！

22

-1-1

反比例函数的图象和性质：反比例函数的图象和性质：1.1. 反比例函数的图象是 反比例函数的图象是 ；；双曲线双曲线

2.2. 图象性质见下表：图象性质见下表：k>0 k<0

图

象性

质

x

ky

当 k＞ 0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内， y随 x的增大而减小。

当 k＜ 0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内， y随 x的增大而增大。

做一做：做一做：1.1. 函数 的图象在第函数 的图象在第 ____________ 象限，当象限，当 x<0x<0 时，时，

yy 随随 xx 的增大而的增大而 ______ .______ .

2.2. 双曲线 经过点 双曲线 经过点 (( －－ 3 3 ，， ______ ).______ ).

3.3. 函数 的图象在二、四象限内，函数 的图象在二、四象限内， mm 的取值的取值

范围是范围是 ______ .______ .

4.4. 若双曲线经过点若双曲线经过点 (( －－ 3 3 ，， 2)2) ，则其解析式是，则其解析式是 ______.______.

xy

5

xy

3

1

x

my

2

一、三一、三减小减小

19

mm<2<26x

y＝

5.5. 函数 与 在同一条直函数 与 在同一条直

角坐标系中的图象可能是角坐标系中的图象可能是 ______________ ：：

做一做：做一做：aaxy 0 a

x

ay

DD

xx

yy

o xx

yy

o xx

yy

oo xx

yy

o

A. B. C. D.A. B. C. D.

做一做：做一做：

6.6. 已知点已知点 A(-2,A(-2,yy11),B(-1,),B(-1,yy22) C(4,) C(4,yy33)) 都在反比都在反比

例函数 的例函数 的 图象上图象上 ,, 则则 yy11 、、 yy22 与与 yy33

的大小关系的大小关系 (( 从大到小从大到小 ))

为为 ____________ . ____________ .

)0( kx

ky

yy

xxo-1-1

yy1yy22AA

BB

-2-2

4

CCyy33yy3 3 ＞＞ yy11 ＞＞yy22

议一议：议一议：

已知点已知点 PP 是是 xx 轴正半轴上的一个动点，过点轴正半轴上的一个动点，过点 PP作作 xx 轴的垂线轴的垂线 PAPA 交双曲线 于点交双曲线 于点 AA ，过点，过点 AA 作作AB⊥yAB⊥y 轴于轴于 BB 点。在点点。在点 PP

xy

3

运动过程中，矩形运动过程中，矩形 OPABOPAB的面积是否发生变化？的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若不变，请求出其面积；若改变，试说明理由。若改变，试说明理由。

A

O P x

y

B

KK 的几何意义：的几何意义：过双曲线 上一点过双曲线 上一点 P(m,n)P(m,n) 分别作分别作 xx 轴，轴， yy 轴的垂线，垂足分轴的垂线，垂足分别为别为 AA 、、 BB ，则 ，则 SS 矩形矩形 OAPBOAPB

)0( kx

ky

.P(m,n)

Ao

y

x

B

=OA·AP=|m| ·|n|=|k|

.P(m,n)

.P(m,n)

如图如图 ,, 点点 PP 是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点 ,, 过点过点

PP 分别向分别向 xx 轴、轴、 yy 轴作垂线轴作垂线 ,, 若阴影部分面积为若阴影部分面积为

12,12, 则这个反比例函数的关系式是则这个反比例函数的关系式是 __________ __________ 。。

变式一：变式一：

x

y

oM

Np

12x

y＝

如图所示，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于 A 、 C 两点，过 A 作 x 轴的垂线交 x轴于 B ，连接 BC. 若△ ABC 面积为 S, 则 ______

变式二：变式二：

(A)s=1 (B) (A)s=1 (B) s=s=22

(C)1<S<2 (D)(C)1<S<2 (D) 无法确定无法确定

xy

1

AA

)0( kkxy

1. 1. 如图：一次函数的图象 与反比例函数如图：一次函数的图象 与反比例函数 交于交于 M(2M(2 ，， m)m) 、、 N(-1N(-1 ，， -4)-4) 两点两点 ..（（ 11 ）求反比例函数和一）求反比例函数和一 次函数的解析式；次函数的解析式；（（ 22 ）根据图象写出反比）根据图象写出反比 例函数的值大于一例函数的值大于一 次函数的值的次函数的值的 xx 的取的取 值范围值范围 ..

baxy

x

ky

综合运用：综合运用：

MM （（ 22 ，， mm））

2200-1-1

NN （（ -1-1 ，， -4-4 ））

yy

xx

综合运用：综合运用：

MM （（ 22 ，， mm））

2200-1-1

NN （（ -1-1 ，， -4-4 ））

yy

xx

（（ 11 ）求反比例函数和一次函数的解析式；）求反比例函数和一次函数的解析式；解解 :: （（ 11 ）∵点）∵点 NN （（ -1-1 ，， -4-4 ）在反比例函数图象上）在反比例函数图象上

∴∴k=4,k=4,又∵点又∵点 MM （（ 22 ，， mm ）在反比例函数）在反比例函数 图象上图象上

∴∴m=2 ∴Mm=2 ∴M （（ 22 ，， 22 ））∵∵ 点点 MM 、、 NN 都在都在 y=ax+by=ax+b 的图象上的图象上

∴∴y= 2x-2y= 2x-2

∴∴ xy

4

∴∴ 22 ba

4 ba

解得解得 2a

2b

综合运用：综合运用：yy

xx2200-1-1

NN（（ -1-1，， --44））

MM（（ 22，， mm））

（ 2 ）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围 .

（（ 22）观察图象得：）观察图象得：当当 x<-1x<-1或或 0<x<20<x<2时，反比例函数的时，反比例函数的值大于一次函数的值大于一次函数的值值 ..

综合运用：综合运用：

综合运用：综合运用： 2.2. 某商场出售一批进价为某商场出售一批进价为 22 元的贺卡，在市场营销中发现此元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价商品的日销售单价 x(x( 元元 )) 与日销售量与日销售量 y(y( 个个 )) 之间有如下关系：之间有如下关系：

x （元） 3 4 5 6 ……

y （个） 20 15 12 10 ……

（（ 11 ）猜想并确定在赢利的条件下）猜想并确定在赢利的条件下 yy 与与 xx 之间的函数关系式。之间的函数关系式。

（（ 22 ）设经营此贺卡的销售利润为）设经营此贺卡的销售利润为 ww 元，试求出元，试求出 ww 与与 xx 之之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价最高不能超过过 1010 元，请你求出当销售单价元，请你求出当销售单价 xx 定为多少时，才能使获利定为多少时，才能使获利最大？最大？

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