对于一次函数 、反比例函数

我们是如何学习的？

① 先研究一次函数的定义

　②接着研究一次函数图象的画法

　③再研究一次函数的性质

　④最后研究一次函数的应用

想一想

这也是今后我们研究其它函数的方法

① 先研究反比例函数的定义

② 接着研究反比例函数图象的画法

③ 再研究反比例函数的性质

④ 最后研究反比例函数的应用

等价形式： (k ≠0)

x

ky y=kx-1 xy=k

反比例函数 :

x

…y = x6

1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

0

-6

-5

5

6

x

y

1

6

2

3

3

2

4

1.5

5

1.2 1

6-1

-6

-2

-3

-3

-1.5 -2

-4-5

-1.2

-6

-1

…

…

…

y = x6

根据反比例函数 y= 的函数图6

x___

1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

0

-6

-5

5

6

y

x

x

y = x6

y = x6

1 2 3 4 5 6-1-3 -2-4-5-6

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

0

-6

-5

5

6

x

y

1

6

2

3

3

2

4

1.5

5

1.2

6

1

6-1

-6

-2

-3

-3

-1.5 -2

-4-5

-1.2

-6

-1

…

…

…

…

-663 -32 -21.5 -1.51.2 -1.21 -1 ……

y = x6 y =- x

6

2. 你能回顾总结一下反比例函数的图象性质特征吗 ? 与同伴进行交流 .

图象是双曲线 当 k>0时 , 双曲线分别位于第一 , 三象限内 当 k<0时 , 双曲线分别位于第二 , 四象限内 当 k>0时 , 在每一象限内 ,y随 x 的增大而减小 当 k<0时 , 在每一象限内 ,y随 x 的增大而增大 双曲线无限接近于 x 、 y 轴 , 但永远不会与 坐标轴相交

双曲线是中心对称图形 .

形状

位置

增减性

变化趋势

对称性

形 状位 置

增减性

变化趋势

对称性

函数 正比例函数 反比例函数解析式

图象形状

K>0

K<0

位置增减性位置增减性

y=kx ( k≠0 常数 )

( k≠0 的常数 )y =xk

直线 双曲线

一三象限

y 随 x 的增大而增大

一三象限

二四象限

y 随 x 的增大而减小

在每个象限内， y 随 x的增大而增大

比较正比例函数和反比例函数的区别

二四象限

在每个象限内， y 随 x 的增大而减小

y y

y

x

y

x

xx

oo

o o

想一想 下列函数中哪些是正比例函数？ 哪些是反比例函数 ? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

y = 3x-1 y = 2x2 y = 2x3y = x

1

y = 3x y = 32xy = 17

3xy = x1

1 、指出下面的图象中哪一个是反比例函数的图象。

0

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x

① ② ③④

练一练 11

y

x0

函数 的图象在第 ________ 象限 ,

在每一象限内， y 随 x 的增大而 _________.

函数 的图象在第 ________ 象限 ,

在每一象限内， y 随 x 的增大而 _________.

函数 ,当 x>0时 , 图象在第 ____ 象限 ,

y随 x 的增大而 _________.

一、三

二、四

一

减小

增大

减小

yx

30y

x

20y

x

练一练 22

已知反比例函数的图象经过点 A(4,5) , 则函数的解

析式为 ________; 这个函数的图象分别在第

________ 象限 , 在每一象限内， y 随 x 的增大而

_________.

判断 点 B (3,-10), 是否在函数 的图象上 .__

判断 点 C (2,-5), 是否在函数 的图象上 .__

一、三

是

减小

练一练 33

否

30y

x

30y

x

20y

x

4． 1000 米长跑比赛中，速度 h 关于时间 t 的函数的图象大致是（ ） ．

k5.当k>0时，函数 y=kx与y=- 在同一坐标系中的大致图像是( )

x

B

B

如图 , 满足函数 y=k(x-2)和函数 y= (k≠0) 的图像大致是 ( )A ①或③ B ②或③ C ②或④ D ①或④

kx

0

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x

① ② ③ ④

C

练一练 66

　　　　 2 3

1 2 3

( 0) , , ,

.

ky k y y y

xy y y

1若 当x=-3, -2, -1时值为

小刚说

你同意他的观点吗？试说明理由

随堂练习

0 x

y

问 题 探 讨问 题 探 讨

函数 的图象上有三点

（－ 3,y1） , （－ 1,y2） , （ 2,y3） , 则函数值 y1、 y2、 y3 的 大小关系是 _______________;

yy33< y< y11< y< y22

要动动脑筋吆 !

0 x

y

已知圆柱的侧面积是 10πcm2, 若圆柱底面半径为

rcm, 高为 hcm,则 h与 r 的函数图象大致是 ( ).

o

(A) (B) (C) (D)

r/cm

h/cm

o r/cm

h/cm

o

r/cm

h/cm

o r/cm

h/cm

练一练 66

C

1 、已知反比例函数 y= 的图象在第一、

三象限， 则一次函数 y= -kx+4 经过第

象限

—kx

一、二、四

随堂练习

练习、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于 A 、 B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围是（　　）．

A 、 x ＜－ 1 　　　　　 B、 x ＞ 2C 、－ 1 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 2 D 、 x ＜－ 1或 0 ＜ x ＜ 2

B

练一练

观察函数 的图象 ,当 x=-2时 ,y= ___ ,当 x<-

2 时 ,y 的取值范围是 _____ ; 当 y -1﹥ 时 ,x 的取值

范围是 _________ .

xy

2 -1

-1<y<0

X<-2或 x>0

x

1

如图，点 P是 x轴正半轴上一个动点，过点 P作 x轴的垂

线 PQ交双曲线 y＝ 于点 Q，连结 OQ，点 P沿 x轴正方向运动时， Rt QOP△ 　 　的面积（ ）．A 　、逐渐增大 B 　、逐渐减小C 　、保持不变 D、无法确定

C

与反比例函数有关的面积

24 、（ 10 分）如图，已知反比例函数 y ＝－ 与

一次函数 y ＝ kx＋ b 的图象交于 A 、 B 两点，且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是－ 2 ．

x

8

求：（ 1 ）一次函数的解析式；（ 2 ）△ AOB 的面积．

24 、（ 1 ）由已知易得 A （－ 2 ，4 ）， B（ 4 ，－ 2 ），代入 y ＝ kx＋ b 中，求得 y ＝－ x ＋ 2 ；（ 2 ）当 y ＝ 0 时， x ＝ 2 ，则 y ＝－ x ＋ 2 与 x 轴的交点 M（ 2 ， 0 ），即 |OM|＝ 2 ，于是 S△AOB＝S△AOM＋ S△BOM＝ |OM|·|yA|＋ |OM|·|yB|＝×2×4＋×2×2＝ 6 ．

.1

,2

1

b

k

,02

,1

bk

b

如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线 AB和双曲线．直线 AB 与双曲线的一个交点为点C ， CD⊥x 轴于点 D ， OD＝ 2OB＝ 4OA＝ 4 ．求一次函数和反比例函数的解析式．

O

y

C

D Bx

A

解：由已知 OD＝ 2OB＝ 4OA＝ 4 ，得 A （ 0 ，－ 1 ）， B （－ 2 ， 0 ），D （－ 4 ， 0 ）．设一次函数解析式为 y ＝ kx+b ．　

则一次函数解析式是　　　 .12

1 xy

点 C 在一次函数图象上，当时，，即　 C （－ 4 ， 1 ）．x

my

xy

4

反比例函数与一次函数的综合运用

综合应用若两工厂 A 、 B 在一条河的同侧，以河边为 x 轴，建立直角坐标系，现要在河边建一个水泵站 P ，分别直接向 A 、 B 两厂供水，则水泵站 P 应建在何处？才能使所用的水管最短？写出点 P 的坐标。

··

A (1,1)

B (4,2)

·A’ (1,-1)-1

1

2

0

y

21

x

3 4·P (2,0)

 （ 1 ）当 k>0 时，函数图象的两个分支分别在第一，三象限内，在每个象限内，自变量 x 逐渐增大时， y 的值则随着逐渐减小。

（ 2 ）当 k<0 时，函数图象的两个分支分别在第二，四象限内，在每个象限内，自变量 x 逐渐增大时， y 的值也随着逐渐增大。（ 3 ）图象的两个分支都无限接近于 x 轴和 y轴， 但不会与 x 轴和 y 轴相交。

x

y

P

O A

B已知反比例函数y= ， P 为函数图象上的一点，过 P做 x 、 y 轴的垂线段。

9x

思考题

1 、这样围成的矩形OAPB 的面积为多少？

2 、矩形面积跟什么有关？你发现其中的规律了吗？

面积为9

跟 K 有关，矩形面积等于 K

问 题 探 讨问 题 探 讨

在平面直角坐标系内，从反比例函数y=k/x（ k＞ 0 ））的图象上的一点分别作坐标轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形的面积是 12 ，请你求出该函数的解析式。

P(m,n)

Ao

y

x

BP(m,n)

Ao

y

x

B

S 矩形 = k

思 考

一个反比例函数的图象在第二象限，如图，点 A 是

图象上任意一点， AM x⊥ 轴于点 M， O 是原点，如

果△ AOM 的面积为 3 ，求这个反比例函数的解析式。

x

y

oM

A

例 4 　若点（ ）、 、都在反比例函数的图象上，则的 ( )

(A ) ( B )

(C ) ( D)

231 yyy 312 yyy

321 yyy 132 yyy

1,2 y ),1( 2y ),3( 3yD

课堂小结：

请大家围绕以下几个问题小结本课内容：1 、反比例函数的图象是什么样子的？ 它与正比例函数的图象有什么不同？ 2 、反比例函数的性质是什么？ 它与正比例函数有什么共同点和不同点？3 、在本节课练习中你运用了哪些数学思想和方法？