第十六讲 反比例函数

本章内容框架现实世界、其他学科和数学中的问题情境

（反比例函数的经验来源和直观背景）

反比例函数概念

图象与性质

应用

函数概念（成为数学对象，比原型更丰富，更具一般性）

（解决实际问题和满足数学自身发展的要求）

驶向胜利的彼岸

.0,

,,

的反比例函数是的形式那么称为常数

之间的关系可以表示成如果两个变量一般地

xykkx

ky

yx

反比例函数 回顾与思考

11

反比例函数图象的性质 1. 反比例函数的图象是两支曲线，当 k>0 时，图象分别位于第一、三象限；当 k<0 时，图象分别位于第二、四象限 . 2. 当 k>0 时 . 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小；当 k<0时，在每一个象限， y 随 x 的增大而增大 . 3. 因为在 y= k/x(k≠0) 中， x 不能为 0 ， y 也不能为 0 ，所以反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交 . 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P ， Q ，过点 P ， Q 分别作 x 、轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1 ， S2 则 S1 ＝ S2

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点 .

例 1 1. 下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些 ?在其图象所在象限内， y 的值随 x 值的增大而增大的是哪些 ( )

(1)y= (3)y= (2)y= (4)y=-

2. 在函数 y ＝ 的图象上任取一点 P ，过 P 分别作x

轴、 y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少 ?

x3

1

x

2.0x

10x100

7

x

3

例 2 1. 一个圆台物体的上底面积是下底面积的 ，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是 200 Pa ，倒过来放，对桌面的压强是多少 ?2. 一定质量的 CO2 ，当体积 v ＝ 5 米3 时 . 它的密度 ρ ＝ 1.98 千克／米 3 ，求 (1)ρ 与 v 的函数关系式；(2) 当 v=9 米 3 时，求 CO2 的密度 .

4

1

课堂练习 1. 对于函数 y= ，当 x>0 时， y_______0 ，这

部分图象在第 ______ 象限；对于 y ＝ - ，当

x<0 时， y____0 ，这部分图象在第 _____ 象限 .

2. 函数 y= 的图象在第 ____ 象限内，在每一

个象限内， y 随 x 的增大而 ______.3. 根据下列条件，分别确定函数 y ＝ 的表达式(1) 当 x=2 时， y ＝ -3 ；(2) 点 (- ， - ) 在双曲线 y ＝ 上 .

x

2

x

2

x

10

x

k

x

k

3

12

1

x

k

课后作业 （一）、复习题 A 组 （二）、活动与探究 反比例函数图象与矩形的面积 若点 A 是反比例函数 y= (k≠0) 图象上的任意一点，且 AB 垂直于 x 轴，

垂足为 B ， AC 垂直于 y 轴，垂足为 C, 则矩形面积 SABOC= ｜ k ｜ . 如图 (1).x

k

1. 如图 (2) ， P 是反比例函数 )y= (k≠O) 图象上的

一点，由 P 点分别向 x 轴， y 轴引垂线，得阴影部分 ( 矩形 ) 的面积为 3 ，则 这个反比例函数的表达式 ______.2. 如图（ 3 ）过双曲线 y= 上两点 A 、 B 分别作x

轴， y 轴的垂线，若矩形 ADDC 与矩形 BFOE 的面积分别为 S1,S2, 则 S1 与 S2 的关系是 _____.

x

k

x

k

补充练习一提高从函数的图象中获取信息的能力

驶向胜利的彼岸

回顾与思考

33

驶向胜利的彼岸

x

y

o x

y

o

x

ky

x

ky

说一说 ,当你看到下面的图象时 ,你能从中知道些什么 ?

x

y

ox

ky

bkxy

x

y

o x

y

o

y=kx+b y=kx+b

补充练习二

2. 函数 y=ax-a 与 在同一条直角坐标系中的图象可能是 :

思维慎密

做一做55

驶向胜利的彼岸

x

y

o x

y

o x

y

o x

y

o

(1) (2) (3) (4)

0 ax

ay

复习题 (C) 组做一做 77

驶向胜利的彼岸x

是谁先摘到“金牌”

:1

.4

,1

.3,1

.2,1

.1.2

的图象依次是

表示关系式

xy

xy

xy

xy

x

y

o x

y

o x

y

o x

y

o

(1) (2) (3) (4)

精心选一选

3. 已知甲 ,乙两地相距 skm, 汽车从甲地匀速行驶到乙地 .如果汽车每小时耗油量为 aL, 那么从甲地到乙地的总耗油量 y(L) 与汽车的行驶速度 v(km/h) 的函数图象大致是 ( ).

驶向胜利的彼岸x

耗油过程中的数学独立思考

o

(1) (2) (3) (4)

V(km/h)

Y/L

o V(km/h)

Y/L

o

V(km/h)

Y/L

o V(km/h)

Y/L

请“图象”帮忙 人均产量中的数学

4. 某村的粮食总产量为 a(a 为常数 ),设该村粮食的人均产量为 y(吨 ), 人口数为 x(人 ), 则 y与 x之间的函数图象大致是 ( ).

做一做 99

驶向胜利的彼岸

(1) (2) (3) (4)

x/人

Y/ 吨

o o o o

Y/ 吨 Y/ 吨 Y/ 吨

x/人

x/人

x/人

面积计算中的函数补充练习三

5. 已知圆柱的侧面积是 10πcm2, 若圆柱底面半径为 rcm, 高为 hcm, 则 h与 r的函数图象大致是 ( ).

做一做 1010

驶向胜利的彼岸

o

(1) (2) (3) (4)

r/cm

h/cm

o r/cm

h/cm

o

r/cm

h/cm

o r/cm

h/cm

函数 正比例函数 反比例函数解析式图象形状

K>0

K<0

位置增减性

位置增减性

y=kx ( k≠0 ) ( k 是常数 ,k≠0 )y = xk

直线 双曲线一三象限

y 随 x 的增大而增大

一三象限

y 随 x 的增大而减小

二四象限

二四象限

y 随 x 的增大而减小

y 随 x 的增大而增大

填表分析正比例函数和反比例函数的区别