ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2- ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΘΕΩΡΙΑ -ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΛΗΡΕΣ!!!

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : XATZOΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ

1.2 Μνλώλπκα

ΟΡΟΛΟΓΙΑ

Αιγεβξηθή παξάζηαζε ιέγεηαη κηα

έθθξαζε, πνπ δειώλεη κηα ζεηξά πξάμεσλ

κεηαμύ αξηζκώλ, νξηζκέλνη από ηνπο νπνίνπο

παξηζηάλνληαη κε γξάκκαηα (κεηαβιεηέο).

Αξηζκεηηθή ηηκή ηεο αιγεβξηθήο

παξάζηαζεο, ιέγεηαη ν αξηζκόο πνπ

πξνθύπηεη, αλ αληηθαηαζηήζνπκε ηηο

κεηαβιεηέο κε ζπγθεθξηκέλνπο αξηζκνύο θαη

κεηά εθηειέζνπκε ηηο πξάμεηο.

(Η εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ γίλεηαη ζύκθσλα

κε ηε γλσζηή πξνηεξαηόηεηα ησλ πξάμεσλ )

Μηα αιγεβξηθή παξάζηαζε ζα ιέγεηαη:

Άξξεηε, όηαλ πεξηέρεη κεηαβιεηή θάησ από

ζύκβνιν ηεηξαγσληθήο ξίδαο

Κιαζκαηηθή, όηαλ πεξηέρεη γξάκκα ζε

παξνλνκαζηή

Αθέξαηα, όηαλ δελ είλαη νύηε άξξεηε νύηε

θιαζκαηηθή

ΜΟΝΩΝΤΜΑ

Μνλώλπκν νλνκάδνπκε θάζε αιγεβξηθή

παξάζηαζε, πνπ πεξηέρεη κόλν

πνιιαπιαζηαζκό κεηαμύ αξηζκώλ θαη

κεηαβιεηώλ.

Σε θάζε κνλώλπκν ινηπόλ ππάξρεη κόλν

έλαο αξηζκεηηθόο παξάγνληαο. Ο

παξάγνληαο απηόο γξάθεηαη πξώηνο θαη

ιέγεηαη ζπληειεζηήο ηνπ κνλσλύκνπ. Όινη

νη άιινη παξάγνληεο (κεηαβιεηέο),

απνηεινύλ ην θύξην κέξνο ηνπ κνλσλύκνπ.

Π.ρ. ζην -5ρ3ς , ην .... είλαη ζπληειεζηήο

θαη ην ...... είλαη ην θύξην κέξνο

Βαζκόο κνλσλύκνπ σο προς μια κεηαβιεηή,

είλαη ν εθζέηεο ηεο κεηαβιεηήο απηήο.

Βαζκόο κνλσλύκνπ (ως προς όλες τις

μεταβλητές ποσ περιέτει), είλαη ην άζξνηζκα

ησλ εθζεηώλ ησλ κεηαβιεηώλ πνπ πεξηέρεη,

π.ρ. ην κνλώλπκν ρ3ς5z, είλαη ηξίηνπ

βαζκνύ σο πξνο x, πέκπηνπ βαζκνύ σο πξνο

y, πξώηνπ βαζκνύ σο πξνο z, κεδεληθνύ

βαζκνύ σο πξνο σ θαη 9νπ βαζκνύ σο πξνο

όιεο ηηο κεηαβιεηέο ηνπ (δηόηη 3+5+1=9).

Μεδεληθό κνλώλπκν, είλαη θάζε κνλώλπκν κε ζπληειεζηή κεδέλ, Π.ρ. 0ρς2σ

Όκνηα κνλώλπκα, ιέγνληαη απηά πνπ

έρνπλ ην ίδην θύξην κέξνο.

Π.ρ ηα 3ρ4ςσ θαη -7σρ4ς είλαη όκνηα , ελώ

ηα 3ρ2ς , 3ρς2 δελ είλαη

Αληίζεηα κνλώλπκα, ιέγνληαη απηά πνπ

είλαη όκνηα θαη έρνπλ αληίζεηνπο

ζπληειεζηέο.

Π.ρ. ηα 3ρ3ς2σ θαη -3ρ3ς2σ είλαη

αληίζεηα

ΠΡΑΞΔΙ

Άζξνηζκα όκνησλ κνλσλύκσλ, είλαη έλα

όκνην πξνο απηά κνλώλπκν πνπ έρεη

ζπληειεζηή ην άζξνηζκα ησλ ζπληειεζηώλ

ηνπο.

Π.ρ. 3ρς+2ρς = .......,2ρ3σ -7ρ3σ = .......

, ελώ ε πξόζζεζε 2ρ2ς+3ρς2 δελ γίλεηαη .

Τν άζξνηζκα δπν αληίζεησλ κνλσλύκσλ,

είλαη ην κεδεληθό κνλώλπκν.

Τν άζξνηζκα κνλσλύκσλ πνπ δελ είλαη

όκνηα, δελ είλαη κνλώλπκν, αιιά είλαη κηα

αιγεβξηθή παξάζηαζε πνπ ηελ νλνκάδνπκε

πνιπώλπκν.

Γηλόκελν κνλσλύκσλ, είλαη έλα κνλώλπκν πνπ έρεη σο ζπληειεζηή ην γηλόκελν ησλ

ζπληειεζηώλ ηνπο θαη σο θύξην κέξνο όιεο ηηο κεηαβιεηέο κε εθζέηε ζε θαζεκηά ην άζξνηζκα

ησλ εθζεηώλ ηεο.

Π.ρ. (2ρ2ς3σ)(-3ρ5ς6σ4z) = ........................



Σν πειίθν κνλσλύκσλ, όπσο θαη ζηνπο αξηζκνύο βξίζθεηαη, κε πνιιαπιαζηαζκό επί ηνλ

αληίζηξνθν ηνπ δηαηξέηε. (Γελ είλαη πάληνηε κνλώλπκν).

Πνιπώλπκν, νλνκάδνπκε έλα άζξνηζκα πνπ νη όξνη ηνπ είλαη αλόκνηα κνλώλπκα.

Όξνπο ηνπ πνιπσλύκνπ, νλνκάδνπκε ηα κνλώλπκα θαη ζπληειεζηέο ηνπ πνιπσλύκνπ,

νλνκάδνπκε ηνπο ζπληειεζηέο ησλ κνλσλύκσλ.

1.2 (Β΄ ΜΔΡΟ) Αλαγσγή νκνίσλ όξσλ

Αλ ζε έλα πνιπώλπκν αληηθαηαζηήζνπκε ηα

όκνηα κνλώλπκα (αλ ππάξρνπλ) κε ην

άζξνηζκά ηνπο, ηόηε ιέκε όηη θάλνπκε

αλαγσγή νκνίσλ όξσλ.

Η ηειηθή κνξθή ε νπνία δελ έρεη όκνηνπο

όξνπο, ιέγεηαη αλεγκέλε κνξθή ηνπ

πνιπσλύκνπ.

Πνιπώλπκν κε δπν όξνπο ην νλνκάδνπκε

θαη δηώλπκν. Πνιπώλπκν κε ηξεηο όξνπο ην

νλνκάδνπκε θαη ηξηώλπκν.

Βαζκόο πνιπσλύκνπ σο πξνο κία κεηαβιεηή (ή σο πξνο πεξηζζόηεξεο κεηαβιεηέο ηνπ)

ιέγεηαη ν πην κεγάινο βαζκόο όισλ ησλ όξσλ ηνπ σο πξνο ηελ κεηαβιεηή απηή (ή σο πξνο ηηο

κεηαβιεηέο απηέο).

Αλ έλα πνιπώλπκν κηαο κεηαβιεηήο γξαθηεί

κε ηελ αλεγκέλε ηνπ κνξθή θαηά ηέηνην

ηξόπν, ώζηε νη εθζέηεο ηεο κεηαβιεηήο λα

ειαηηώλνληαη, ηόηε ιέκε όηη είλαη

δηαηεηαγκέλν θαηά ηηο θζίλνπζεο δπλάκεηο

ηεο κεηαβιεηήο ηνπ. Π.ρ. 2ρ3+3ρ2-5ρ+7

Ο κεγαιύηεξνο εθζέηεο ηεο κεηαβιεηήο ζε

πνιπώλπκν κηαο κεηαβιεηήο, νλνκάδεηαη

βαζκόο ηνπ πνιπσλύκνπ.

Ο όξνο κε ηνλ κεγαιύηεξν εθζέηε ιέγεηαη

κεγηζηνβάζκηνο (δειαδή ην 2ρ3 ), ελώ ν

όξνο κεδεληθνύ βαζκνύ ιέγεηαη ζηαζεξόο

όξνο (δει. ην 7).

Έλα πνιπώλπκν ην ιέκε νκνγελέο σο πξνο

κεξηθέο ή σο πξνο όιεο ηηο κεηαβιεηέο ηνπ,

όηαλ όινη νη όξνη ηνπ είλαη ηνπ ίδηνπ βαζκνύ

σο πξνο ηηο κεηαβιεηέο απηέο.

1.3 Πνιιαπιαζηαζκόο πνιπσλύκσλ

Γηα λα πνιιαπιαζηάζνπκε κνλώλπκν επί πνιπώλπκν, πνιιαπιαζηάδνπκε ην

κνλώλπκν κε θάζε όξν ηνπ πνιπσλύκνπ θαη πξνζζέηνπκε ηα γηλόκελα πνπ πξνθύπηνπλ.

Π.ρ. 2ρ2(3ρ2+4ρ-5)= .........................................................…........................

Γηα λα πνιιαπιαζηάζνπκε δπν πνιπώλπκα, πνιιαπιαζηάδνπκε θάζε όξν ηνπ ελόο κε

θάζε όξν ηνπ άιινπ θαη πξνζζέηνπκε ηα γηλόκελα πνπ πξνθύπηνπλ.

Π.ρ. (2ρ-3)(4ρ+5) = ........................................................................................

Όηαλ θάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό κνλσλύκνπ κε πνιπώλπκν ή δπν πνιπσλύκσλ,

ιέκε πνιιέο θνξέο όηη αλαπηύζζνπκε ηα γηλόκελα απηά θαη ην απνηέιεζκα ην ιέκε αλάπηπγκα

ηνπ γηλνκέλνπ.



ΑΚΗΔΙ

1. Πνηεο από ηηο παξαθάησ πνζόηεηεο είλαη κνλώλπκα ; (Αλ όρη , ηόηε γηαηί ;)

3ρ+ς , 3ρς7 , ρς2σ-1 ,

, ρ(ρ+1) ,

4

2. Να βξείηε ηνλ ζπληειεζηή , ην θύξην κέξνο θαη ην βαζκό ζε θαζέλα από ηα παξαθάησ

κνλώλπκα .

3ρς . –2ρς2 , ς3σ2 , ρςσ

3. Να ρσξίζεηε ηα παξαθάησ κνλώλπκα ζε 4 δεύγε νκνίσλ κνλσλύκσλ

3ρ4ς , 4ρσ2 , -4ρ3ς4 , 5ρ3ς4θ , 6σ2ρ , -4ςρ4 , ς4ρ3 , -θς4ρ3

4. Να εθηειέζεηε ηηο πξνζζέζεηο , όπνπ απηό είλαη δπλαηόλ

α) 2ρ3+5ς3 β) 2ρ3+6ρ3 γ) 4ρ5σ-7σρ5 δ) 3ρ5+4ρ2 ε) ρ4+3ρ4 δ) 2ρ2-2ρ2

ε) ρ2+ρ2 ζ) ρ2+ρ η) ρ+ρ3 θ) ρ2-ρ ι) 3ρ4-4ρ4 κ) 3ρ-3ρ3

5. Να εθηειέζεηε ηηο αλαγσγέο νκνίσλ όξσλ .

α) 3ρ4-2ρ3+5ρ2-4ρ+3ρ2+ρ4 β) 2ρ2ς+3ρς2+5ςρ-3ρ2ς2+2ς2ρ+5ρ2ς-4ρ2ς2-ρς

6. Να εθηειέζεηε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο

α) (2ρ2ς)(-5ρς2) β) (3ρςσ5)(4ρ4ς2) γ) (-2ρς)(-4ρς) δ) (-ρς3)(ρ2ς)

7. Να βξείηε ηνλ βαζκό ησλ πνιπσλύκσλ σο πξνο ρ , σο πξνο ς θαη σο πξνο ρ θαη ς καδί

α) 2ρ3-4ρ+ς β) ρς2-4ρ5ς+ρ2ς6-4ρ+ς-3 γ) 2ρ3ς+3ρς3 –4ρ2ς2+ρ-ς+1

8. Να εθηειέζεηε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο

α) ρ(ρ+3) β) 3ρ(ρ-2) γ) 4ρ(2ρ-4) δ) 2ρ3(ρ2-3) ε) 4ρ(ρ3-3ρ2+4ρ-2)

9. Να εθηειέζεηε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο , λα θάλεηε ηηο αλαγσγέο νκνίσλ όξσλ θαη λα

ηαθηνπνηήζεηε ηα πνιπώλπκα θαηά ηηο θζίλνπζεο δπλάκεηο .

α) (ρ-3)(ρ+2) β) (2ρ+3)(3ρ+4) γ) (ρ2-1)(ρ2+1)

δ) (ρ+3)(ρ+3) ε) (ρ2+1)(ρ-2) δ) (ρ2-3)(ρ+2)

ε) (ρ2+1)(ρ3-2) ζ) (ρ2+ρ-3)(ρ+2) η) (ρ3-3)(ρ2+2ρ-4)

θ) (ρ2+5ρ+1)(ρ-2) ι) (3ρ2+1)(4ρ-2) κ) (ρ2+4ρ-1)(3ρ2-6ρ-2)

λ) (ρ-3)(ρ+2)(ρ-5) μ) (2ρ-1)(4ρ+2)(ρ-1) ν) 2ρ(ρ+3)(ρ-4)



1.5 ΑΞΙΟΗΜΔΙΩΣΔ ΣΑΤΣΟΣΗΣΔ

Οη ηαπηόηεηεο είλαη ηζόηεηεο πνπ ηζρύνπλ γηα όιεο ηηο ηηκέο ησλ κεηαβιεηώλ ηνπο θαη καο

επηηξέπνπλ λα εθηεινύκε πξάμεηο κε κεγαιύηεξε ηαρύηεηα θαη επθνιία . Οη θπξηόηεξεο είλαη :

1. (α+β)2 = α2 + 2αβ + β2

2. (α-β)2 = α2 - 2αβ + β2 3. (α+β)(α-β) = α2 - β2

4. (α+β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

5. (α-β)3 = α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3

6. α3+β3 = (α + β)(α2 - αβ + β2) 7. α3-β3 = (α -β)(α2 + αβ + β2)

8. (α+β+γ)2 =α2+β2+γ2+2αβ+2βγ+2αγ

Η εθαξκνγή θάπνηαο από απηέο γίλεηαη κε απιή αληηθαηάζηαζε ησλ πνζνηήησλ πνπ έρνπκε ,

ζηε ζέζε ησλ α θαη β . Σηελ πεξίπησζε πνπ ε πνζόηεηα πνπ έρνπκε είλαη πνιύπινθε , είλαη

αλαγθαία ε ρξήζε παξελζέζεσλ .

Παξαδείγκαηα

1. (ρ+3)2 =

2. (ς-2)2 =

3. (ρ+1)2=

4. (α+2/3)2=

5. (ρ+1/ρ)2=

6. (ρ/3+ς/2)2=

7. (2ρ-3)2=

8. (ρ+2ς)2=

9. (4ρ-3ς)2=

10. (ρ+3)(ρ-3) =

11. (2ρ-1)(2ρ+1)=

12. (4ρ-3ς)(4ρ+3ς)=

13. (ρ-2/ς)(ρ+2/ς)=

14. (α/2-β/3)(α/2+β/3)=

15. (ρ+2)3 =

16. (ρ-1)3 =

17. (3ρ-2)3=

18. (ρ/2-3)3

Να τις μάθεις καλά



ΑΛΓΔΒΡΙΚΔ ΠΑΡΑΣΑΔΙ

Οη ηαπηόηεηεο ρξεζηκνπνηνύληαη κέζα ζε αιγεβξηθέο παξαζηάζεηο . Σε ηέηνηα πεξίπησζε ζα

πξέπεη λα εθηεινύληαη πξώηα νη ηαπηόηεηεο , ηα απνηειέζκαηα λα κπαίλνπλ κέζα ζε παξέλζεζε

θαη θαηόπηλ λα γίλνληαη νη πνι/ζκνί θαη νη πξνζζέζεηο.


1. 3ρ2(ρ+3)2 - (ρ+3)(ρ-3) –(ρ+2)3 =

2. 2(ρ-1)3 –3(2ρ+1)2 –(ρ-1)(ρ+2)=

ΑΚΗΔΙ

1. Να γίλνπλ νη πξάμεηο

α. (α+8)2 β. (ρ-2)2 γ. (ς+θ)2 δ. (ρ+4ς)2 ε. (3θ-5ι)2

δ. (5/θ - 4/ι)2 ε. (2/3-ρ/4)2 ζ. (ρ - 3/ρ)2 η. (ρ/3+3ς/4)2 θ. (3ρ+ρ/2)2

2. Να ζπκπιεξσζνύλ νη ηζόηεηεο

α. (ρ+ )2 = ρ2 +......... +9 β. ( ....- 5)2 = .......... -6ρ + 25

γ. ( ..... +...... )2 = 9ρ2 + ......... +16ς2 δ.(2ρ - .....)2 = ....... -12ρς + .......

ε. (3ρ - .....)(3ρ +......) = ........-16ς2


α. (ρ+8)(ρ-8) β. (4ρ-1)(4ρ+1) γ. (ρ-3ς)( ρ+3ς)

δ. (ρ+2/α)(ρ-2/α) ε. (α/2-θ/3)(α/2+θ/3) δ. (ρ/3-β/3)(ρ/3+β/3)

4. Να ζπκπιεξσζνύλ νη ηζόηεηεο

α. (3ρ - .....)(3ρ +......) = ........-16ς2 β. (2ρ +.....)( .....- 3) = .......... – 9


α. (θ-2)3 β. (κ+4)3 γ. (3ρ-2)3 δ. (α-3β)3 (2α+3β)3


α. (α+β)2 + (α-β)2 + (α+β)(α-β) β. (ρ-1)(ρ+2)(ρ-3) + (ρ-1)2 - 3ρ(ρ+2)2

γ. (ρ-2)3 + (3ρ-2)(3ρ+2) - (ρ+1)3 δ. (4ρ-3ς)2 + (3ρ-4ς)2 - (5ρ-2ς)(5ρ+2ς)

ε. (2ρ+3ς)2+(3ρ-2ς)2 –2(2ρ+3ς)(3ρ-2ς) δ. ρ(ρ-1)-ρ(3-ς)-(ρ-3)(ρ+4)-(ρ-ς)2

ε. [3-(ρ-2)2]2 +[(ρ-1)2+(ρ+2)2]2



1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΣΟΠΟΙΗΗ

Παξαγνληνπνίεζε είλαη ε κεηαηξνπή αζξνηζκάησλ ζε γηλόκελα . Η δηαδηθαζία απηή είλαη

ρξήζηκε ζηηο πξάμεηο θιαζκάησλ πνπ νη όξνη ηνπο είλαη πνιπώλπκα, ζηελ επίιπζε εμηζώζεσλ,

απινπνίεζε παξαζηάζεσλ θαη αιινύ.

Τα δηάθνξα ηερλάζκαηα πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη αλαπηύζζνληαη παξαθάησ .

1. Δθαξκνγή ηεο επηκεξηζηηθήο ηδηόηεηαο : αβ+αγ=α(β+γ)

(εμαγσγή θνηλνύ παξάγνληα )

Αλ ζε θάζε όξν ηνπ αζξνίζκαηνο ππάξρεη θάπνηνο θνηλόο παξάγνληαο , ηόηε βγαίλεη έμσ από

κηα παξέλζεζε


1. ρς + ρσ =

2. 3ρ - 3σ =

3. ρςσ + ρθσ =

4. 3ρ - 6ς =

5. 6ρ - 8ς =

6. ρ2 - 3ρ =

7. ρ2 + 3ρ =

8. ρ2 + ρ =

9. 2ρ3 + 4ρ2 =

10. 6ρ3 - 15ρ2 =

2. Δθαξκνγή ηεο επηκεξηζηηθήο ηδηόηεηαο : αρ+ας+βρ+βς=(α+β)(ρ+ς)

(Οκαδνπνίεζε)

Φσξίδνληαο ηνπο όξνπο ηνπ πνιπσλύκνπ ζε

νκάδεο (πνιπώλπκα) κε ίζν πιήζνο όξσλ,

βιέπνπκε πνιιέο θνξέο όηη, αλ βγάινπκε

από ηνπο όξνπο θάζε νκάδαο ηνπο θνηλνύο

παξάγνληέο ηνπο εθηόο παξέλζεζεο,

εκθαλίδεηαη ην ίδην πνιπώλπκν κέζα ζηηο

παξελζέζεηο όισλ ησλ νκάδσλ. Τόηε ην

πνιπώλπκν ησλ παξελζέζεσλ είλαη θνηλόο

παξάγνληαο όισλ ησλ νκάδσλ θαη κπνξεί λα

γξαθεί κπξνζηά από κηα λέα παξέλζεζε. (Η

δπζθνιία ζηελ πεξίπησζε απηή είλαη λα

δηαθξίλνπκε ηελ θαηάιιειε νκαδνπνίεζε

ησλ όξσλ).


1. 3ρ + 3σ + αρ + ασ =

2. 2ρ + 6σ + ρ2 + 3ρσ =

3. ρ3 + 2ρ2 + 4ρ + 8 =

4. ρ + ς + αρ + ας =



5. ρ3 - 2ρ2 – ρ + 2 =

6. ρ3 – 3ρ2 + 3ρ - 1 =

7. ρ4 - 4ρ2 + 2ρ + 4 =

8. ρ4 + 2ρ3 + ρ2 - 4 =

3. Δθαξκνγή ηεο ηαπηόηεηαο : (α+β)2 = α2 + 2αβ + β2 θαη ηεο (α-β)2 = α2 - 2αβ + β2

(Σέιεην ηεηξάγσλν δησλύκνπ)

Αλ ην άζξνηζκα απνηειείηαη από 3 όξνπο , ειέγρνπκε αλ νη δύν είλαη ηεηξάγσλα θάπνησλ

αξηζκώλ θαη ν ηξίηνο είλαη ην δηπιάζην γηλόκελό ηνπο . Αλ απηό ζπκβαίλεη , ηόηε εθαξκόδεηαη

απηή ε ηαπηόηεηα .


1. ρ2-4ρ+4=

2. ρ2-2ρ+1=

3. ρ2+4ρ+4=

4. ρ2+6ρ+9 =

5. ρ2-4ρ+9=

4. Δθαξκνγή ηεο ηαπηόηεηαο (α+β)(α-β)= α2 - β2 (Γηαθνξά ηεηξαγώλσλ )

Αλ ην άζξνηζκα απνηειείηαη από 2 όξνπο θαη δελ έρεη θνηλό παξάγνληα , ηόηε ίζσο λα γίλεηαη

εθαξκνγή απηήο ηεο ηαπηόηεηαο , κεηά από θάπνηα ελδερόκελε ηξνπνπνίεζε .


1. ρ2-4=

2. ρ2-9=

3. 4ρ2-9ς2=

4. ρ4- ς2/9=



5. Δθαξκνγή ηεο ηαπηόηεηαο : ρ2 +(α+β)ρ+αβ=(ρ+α)(ρ+β) ( Παξαγνληνπνίεζε

ηξησλύκνπ )

Αλ έρνπκε ηξηώλπκν θαη δνύκε όηη δελ είλαη ηεηξάγσλν δησλύκνπ ηόηε πξνζπαζνύκε λα βξνύκε

δπν αξηζκνύο α θαη β έηζη ώζηε : ην άζξνηζκά ηνπο λα είλαη ν ζπληειεζηήο ηνπ ρ θαη ην

γηλόκελό ηνπο λα είλαη ν ζηαζεξόο αξηζκόο . Έπεηηα εθαξκόδνπκε ηελ ηαπηόηεηα :

ρ2 +(α+β)ρ+αβ=(ρ+α)(ρ+β)

Υπάξρνπλ 4 δηαθνξεηηθέο πεξηπηώζεηο , αλάινγα κε ην ζπλδπαζκό ησλ πξνζήκσλ ησλ α θαη β

θαη θαίλνληαη ζηα παξαθάησ παξαδείγκαηα :


Η Μέζνδνο : Έζησ ην ηξηώλπκν ρ²-8ρ+15.

Θα ςάμνπκε λα βξνύκε δπν αξηζκνύο πνπ

λα έρνπλ άζξνηζκα -8 θαη γηλόκελν 15.

Ξεθηλάκε πάληα από ην γηλόκελό ηνπο. Γηα

λα είλαη 15 ζεκαίλεη όηη νη αξηζκνί πνπ

ςάρλσ είλαη νκόζεκνη. Δπεηδή όκσο ην

άζξνηζκά ηνπο είλαη αξλεηηθόο (-8), ηόηε ζα

είλαη θαη νη δπν αξλεηηθνί. Παίξλνπκε π.ρ.

ηνπο παξάγνληεο -3 θαη -5 ηνπ 15 θαη

βιέπνπκε όηη έρνπλ άζξνηζκα -8, άξα είλαη

απηνί πνπ ςάρλνπκε.Έηζη ην ηξηώλπκν ρ²-

8ρ+15 γξάθεηαη ζε γηλόκελν παξαγόλησλ :

(ρ-3)(ρ-5)

Κάζε ηξηώλπκν δελ αλαιύεηαη πάληνηε ζε

γηλόκελν παξαγόλησλ, π.ρ. ην ρ²+4ρ+7.

ηξηώλπκν ρ2+5ρ+6 ρ2-5ρ+6 ρ2+5ρ-6 ρ2-5ρ-6

άζξνηζκα

γηλόκελν

α+β αβ α+β αβ α+β αβ α+β αβ

5 6 -5 6 5 -6 -5 -6

πνηνηηθή

αλαγλώξηζε

νκόζεκνη

ζεηηθνί

νκόζεκνη

αξλεηηθνί

εηεξόζεκνη

κεγαιύηεξνο ζεη


κεγαιύηεξνο αξλ

Αξα :α= , β= 2 3 -2 -3 6 -1 -6 1

παξαγνληνπ. (ρ+2)(ρ+3) (ρ-2)(ρ-3) (ρ+6)(ρ-1) (ρ-6)(ρ+1)

ηξηώλπκν ρ2+4ρ+3 ρ2-3ρ+2 ρ2+4ρ-5 ρ2-6ρ-16

άζξνηζκα

γηλόκελν

α+β αβ α+β αβ α+β αβ α+β αβ

πνηνηηθή

αλαγλώξηζε

νκόζεκνη

ζεηηθνί

νκόζεκνη

αξλεηηθνί


κεγαιύηεξνο ζεη


κεγαιύηεξνο αξλ

Αξα :α= , β=

παξαγνληνπ.

5. Πσο γίλεηαη ηειηθά ε παξαγνληνπνίεζε ;

Όια , όζα αλαθέξζεθαλ παξαπάλσ είλαη

ηερληθέο νη νπνίεο εθαξκόδνληαη είηε καδί

είηε ρσξηζηά γηα λα παξαγνληνπνηεζεί κηα

πνζόηεηα . Αλάινγα κε ηελ πνζόηεηα πνπ

έρνπκε , ρξεζηκνπνηνύκε θάπνηα ή θάπνηεο

από απηέο . Όηαλ ζέινπκε λα

παξαγνληνπνηήζνπκε κηα πνζόηεηα

ζθεθηόκαζηε δηαδνρηθά ηα παξαθάησ :

θέςε Δλέξγεηα

1. Μήπσο έρνπλ όινη θάηη θνηλό (είηε

αξηζκό είηε κεηαβιεηή ) ην νπνίν ζα βγεη

θνηλόο παξάγνληαο ;

Βγάδσ ηνλ θνηλό παξάγνληα θαη πξνρσξώ ζην

επόκελν

Αλ δελ έρνπλ πξνρσξώ ζην επόκελν

2.

Πόζνη

όξνη

είλαη ;

α. 2 όξνη Μήπσο είλαη δηαθνξά ηεηξαγώλσλ ;

β. 3 όξνη Μήπσο είλαη ηεηξάγσλν δησλύκνπ ;

Αλ όρη , κήπσο παξαγνληνπνηείηαη

ζαλ ηξηώλπκν ;

γ. 4 ή 6 όξνη Μήπσο κπνξεί λα γίλεη θαηάιιειε

νκαδνπνίεζε ;

3. Μήπσο δελ παξαγνληνπνηείηαη ;



Δθαξκνγέο (ζπλδπαζκόο όισλ ησλ πεξηπηώζεσλ )

1. ρ3 - 6ρ2 + 9ρ =

2. ρ3 - 5ρ2 + 4ρ =

3. ρ3 - 4ρ =

4. 2ρ5 - 4ρ4 + 2ρ3 - 4ρ2 =

5. ρ5 - 16ρ =

ΑΚΗΔΙ

1. Να παξαγνληνπνηήζεηε ηα πνιπώλπκα:

α. ρς + ρθ β. 5ρ - 5σ γ. ρξσ + ρθσ δ. 3ρ – 6α ε. 6β - 8ς

δ. 6ρ2 - 3ρ ε. 12ρ2 + 3ρ ζ. ρ2 -5ρ η. 2ρ3 + 6ρ2 θ. 6ρ3 - 21ρ2

ι. ρ2-36 κ. ρ2-49 λ. 9ρ2-25ς2 μ. ρ4- ς2/4 ν. ρ6-ς6

π. ρ2-4ρ+4 ξ. ρ2+2ρ+1 ζ. ρ2+8ρ+16 η. ρ2-6ρ+9 π. ρ2-4ρ+9

θ. ρ2-9ρ+8 ρ. ρ2-8ρ-9 ς. ρ2+5ρ-6 σ. ρ2+8ρ+9

2. Να παξαγνληνπνηήζεηε ηα πνιπώλπκα:

α) 3ρς²+6ρ²ς+12ρ²ς², β)16ρ²ςσ-24ρς²σ²+32ρςσ.

γ) αρ+βς+α-βρ-ας-β , δ) 1-ρ+ρ²-ρ3+ρ4-ρ5+ρ6-ρ7 .

ε) 64ρ²-(3ς-2)², δ) 9(ρ+3ς)² - 16(2ρ-5ς)² .

ε) 25ρ²+40ρς+16ς², ζ) 4ρ³-20ρ²+25ρ ζ) ρ²-8ρ+15

3. Να γίλνπλ γηλόκελα παξαγόλησλ νη παξαζηάζεηο:

α) (5ρ-10)(ρ²-1)-(7ρ-14)(ρ-1)², β) ρ²+(2α+1)ρ+α²+α γ) (ρ+ς+1)2 - (ρ-ς-1)2

4. Να γίλνπλ γηλόκελα παξαγόλησλ νη παξαζηάζεηο:

α) 9ρ²-25ς² β) 25ς²-4ρ² γ) ρ²-4ρ+3 δ) ρ²+5ρ+4 ε) ρ²-5ρ-14 .



1.9 ΚΛΑΜΑΣΙΚΔ ΑΛΓΔΒΡΙΚΔ ΠΑΡΑΣΑΔΙ

1. Οξηζκόο

Κιαζκαηηθή αιγεβξηθή (ΚΑΠ) ιέγεηαη κηα παξάζηαζε όηαλ πεξηέρεη ηνπιάρηζηνλ έλα θιάζκα

ηνπ νπνίνπ ν παξνλνκαζηήο πεξηέρεη κεηαβιεηή .

2. Πόηε νξίδεηαη κηα ΚΑΠ ;

Οηαλ ν παξνλνκαζηήο δελ είλαη κεδέλ .

Τν νξίδεηαη αλ : .......... ελώ ην νξίδεηαη αλ :............................

3.Πσο γίλεηαη ν πνι/ζκόο θαη ε δηαίξεζε ησλ ΚΑΠ ;

Οπσο θαη ν πνι/ζκόο θαη ε δηαίξεζε ησλ

θιαζκάησλ . Πνιιαπιαζηάδνπκε αξηζκεηή

επί αξηζκεηή θαη ην γηλόκελν ην βάδνπκε

αξηζκεηή ηεο λέαο παξάζηαζεο θαη

παξνλνκαζηή επί παξνλνκαζηή θαη ην

γηλόκελν απηό ην βάδνπκε παξνλνκαζηή ηεο

λέαο παξάζηαζεο.

Γηα ηελ δηαίξεζε δπν θιαζκαηηθώλ

παξαζηάζεσλ εθαξκόδνπκε ην εμήο:

πνιιαπιαζηάδνπκε ηνλ δηαηξεηέν κε ηνλ

αληίζηξνθν ηνπ δηαηξέηε. Π.ρ. .

4. Πσο γίλεηαη ε απινπνίεζε ησλ ΚΑΠ ;

Μπνξνύκε λα απινπνηνύκε κηα πνζόηεηα

πνπ είλαη θνηλόο παξάγνληαο (Πξνζνρή :

όρη θνηλόο όξνο ) ησλ δύν όξσλ ηνπ

θιάζκαηνο . Αλ ε ΚΑΠ δελ είλαη

παξαγνληνπνηεκέλε, ηελ παξαγνληνπνηνύκε

εκείο κε ηνλ θαηάιιειν ηξόπν .

5. Πσο γίλεηαη ε πξόζζεζε θαη ε αθαίξεζε ησλ ΚΑΠ (1.10) ;

α) Αλ έρνπλ θνηλό παξνλνκαζηή , ηόηε πξνζζέηνπκε ηνπο αξηζκεηέο θαη αθήλνπκε ίδην

παξνλνκαζηή .

β) Αλ ν έλαο παξνλνκαζηήο είλαη ηκήκα ηνπ άιινπ ηόηε πνι/δσ ην πην απιό θιάζκα κε όηη ηνπ

ιείπεη από ηνλ παξνλνκαζηή .

γ) Αλ έρνπλ δηαθνξεηηθνύο παξνλνκαζηέο , αιιά απινύο θαη πξσηνβάζκηνπο , ηόηε πνι/δσ

ηνπο όξνπο θάζε θιάζκαηνο κε ηνλ παξνλνκαζηή ηνπ άιινπ .

1

3

1χ

χ

3

2

3

1

3

1

)5)(3(

4

2

5.

3

1

16

42

2

96

652

2



δ) Αλ πξέπεη λα πξνζζέζσ πεξηζζόηεξα από δύν θιάζκαηα κε δηαθνξεηηθνύο θαη πνιύπινθνπο

παξνλνκαζηέο , ηόηε :

1. Παξαγνληνπνηώ

2. Βξίζθσ ην ΔΚΠ , ην νπνίν απνηειείηαη από όινπο ηνπο παξάγνληεο πνπ ζπκκεηέρνπλ

ζηνπο παξνλνκαζηέο , κηα θνξά ηνλ θαζέλα θαη κε ην κεγαιύηεξν εθζέηε .

3. Πνι/δσ ηνπο αξηζκεηέο ησλ θιαζκάησλ κε όηη ιείπεη από ηνλ παξνλνκαζηή ηνπο ζε

ζρέζε κε ην ΔΚΠ

4. Σρεκαηίδσ έλα θιάζκα κε παξνλνκαζηή ην ΔΚΠ .

Γηα παξάδεηγκα :

ΑΚΗΔΙ

1. Γίλνληαη νη παξαθάησ νκάδεο θιαζκάησλ .

2 2

3 χ+1 2 3 4α) , , και β) , ,

1 2 χ+1 χχ 1 χ

η) Να πνιιαπιαζηάζεηε θάζε θιάζκα ηεο νκάδαο α κε θάζε θιάζκα ηεο νκάδαο β

ηη) Να πξνζζέζεηε θάζε θιάζκα ηεο νκάδαο α κε θάζε θιάζκα ηεο νκάδαο β

Σε θάζε πεξίπησζε (από ηηο 9 ) λα απινπνηήζεηε ηα θιάζκαηα πνπ πξνθύπηνπλ (αλ γίλεηαη)


3. Να γίλνπλ νη απινπνηήζεηο όπνπ είλαη δπλαηόλ

1

4

2

2322 2

1

4

3

2

1

2 2 3 2

3 6 2α)

3 9 3

3

2 2 3 2

2 3 2β)

2 4 2

2 2 3 2 3 2

3 9 2 2 2 1α) β) γ) δ) ε) δ)

23 9 2 4



Δμίζσζε είλαη κηα ηζόηεηα πνπ πεξηέρεη κηα κεηαβιεηή θαη αιεζεύεη γηα νξηζκέλεο ηηκέο ηεο

κεηαβιεηήο , π.ρ.

α) ρ+5=8 , αιεζεύεη γηα . . . . . . . . . . .

β) ρ2=4 , αιεζεύεη γηα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

γ) ρ+3=ρ+3 , αιεζεύεη γηα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

δ) ρ2+5=0 , αιεζεύεη γηα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ΜΔΘΟΓΟΙ ΔΠΙΛΤΗ ΔΞΙΩΔΩΝ

1. Αλ ε εμίζσζε είλαη πξσηνβάζκηα (2.1) ηόηε:

α) Αλ ππάξρνπλ θιάζκαηα ηα θάλσ νκώλπκα , πνι/δνληαο ηα πάληα επί ΔΚΠ .

β) Δθηειώ όινπο ηνπο πνι/ζκνύο

γ) Φσξίδσ γλσζηνύο από αγλώζηνπο θαη θάλσ αλαγσγέο

δ) Γηαηξώ κε ηνλ ζπληειεζηή ηνπ αγλώζηνπ .

ρόιην : Αλ ε εμίζσζε έρεη ηε κνξθή 0ρ=0 , ηόηε έρεη άπεηξεο ιύζεηο , ελώ όηαλ έρεη ηε κνξθή

0ρ=5 , είλαη αδύλαηε .

2. Αλ ε εμίζσζε είλαη πνιπσλπκηθή (2.2), ηόηε:

α) Δίηε ηελ παξαγνληνπνηώ θαη ηε θέξλσ ζηε κνξθή ( ... )( ... )=0 , νπόηε :

( ... )=0 ή ( ... )=0

Π.ρ. ρ2-4ρ=0ρ(ρ-4)=0ρ=0 ή ρ-4=0ρ=0 ή ρ=4

β) Δίηε ηελ θέξλσ ζηε κνξθή ρ2=α2 , νπόηε ρ=

Π.ρ. ρ2=4 ρ=± 4 ρ= ± 2

γ) Δίηε ηε θέξλσ ζηε κνξθή αρ2+βρ+γ=0 θαη ηε ιύλσ κε ηνπο ηύπνπο :

2

1,24 , οποτε : α) αν Δ>0 , τοτε χ , 2

-β β) αν Δ=0 , τοτε χ = , γ) αν Δ<0 ειναι αδυνατε

2α

Π.ρ. ρ2-4ρ+3=0

2. Δ Ξ Ι Σ Ω Σ Δ Ι Σ



124

15

3

2

9

2222

3. Αλ ππάξρνπλ θιάζκαηα (2.4) ,ηόηε :

Κάλσ απαινηθή παξνλνκαζηώλ πνιιαπιαζηάδνληαο κε ην ΔΚΠ (αθνύ βέβαηα παξαγνληνπνηήζσ

ηνπο παξνλνκαζηέο θαη βάισ πεξηνξηζκό : ΔΚΠ0 ) .

Καηόπηλ εθηειώ ηνπο πνι/ζκνύο , θέξλσ όινπο ηνπο όξνπο ζην πξώην κέινο , θάλσ αλαγσγέο

νκνίσλ όξσλ θαη ιύλσ ηελ εμίζσζε πνπ πξνθύπηεη κε έλα από ηνπο πξνεγνύκελνπο ηξόπνπο .

Π.ρ.

ΑΚΗΔΙ

Να ιύζεηε ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο

1. ρ2 - 3ρ = 0

2. ρ3 - 4ρ = 0

3. ρ2 - 16 = 0

4. ρ2 +9 = 0

5. ρ2 - 3ρ = 0

6. 4ρ2 - 1 = 0

7. ρ3 + 4ρ = 0

8. 2ρ3 - 4ρ2 = 0

9. ρ3 - 4ρ2 = 0

10. ρ2 - 6ρ + 5 = 0

11. ρ2 - 7ρ + 6 = 0

12. ρ2 - 5ρ + 6 = 0

13. ρ2 - 5ρ + 4 = 0

14. ρ2 - 3ρ + 2 = 0

15. ρ2 - ρ - 2 = 0

16. 2ρ2- 3ρ - 2= 0

17. ρ2 - 6ρ + 9 = 0

18. ρ2 - 6ρ + 10 = 0

19. (ρ2 - 4)(ρ2 - 1) = 0

20. ρ(ρ - 3) - 4(ρ - 3) = 0

21. (ρ - 2)2 - ρ(ρ + 1) + 6 = 0

22. ρ(ρ+2)-(ρ+2)2+3ρ(ρ-1)+6ρ = 0

23.

24. α) x

x - 1 +

x + 2

x + 1 =

3

x - 12 β)

x + 2x - 4

x - 2

2

= x2

02

1

4

3

2

12322

Τέλοοοοοοοος !!!

Documents

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2- ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΘΕΩΡΙΑ -ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΛΗΡΕΣ!!!