ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ2012

Лосева Екатерина Анатольевна

Выполненная работа первичный балл тестовый балл

В 2012 году на экзамене по математике максимальная сумма баллов составляет 32 балла.

Часть B

C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6

14 б 2 б 2 б 3 б 3 б 4 б 4 б

Минимальное количество баллов по математике в 2012 году 5 первичных( 24 тестовых) баллов. Видео-консультации по заполнению бланков, нормативные документы и любая другая информация по ЕГЭ 2012 года на официальном информационном портале

WWW.EGE.EDU.RU

Сайты в помощь выпускникам

www.mathege.ru – открытый банк заданий части B. Содержит десятки тысяч заданий первой части. Также позволяет пройти он-лайн тестирование.

WWW.reshuege.ru - авторский сайт Гущина Д.Д.Позволяет самостоятельно генерировать варианты, тематические работы «Изюминка» сайта : доступны краткие решения практически всего открытого банка заданий.

www.alexlarin.net – на сайте размещены практически все тренировочные работы последних лет с ответами и комментариями.

B 1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20 %?Решение: После повышения цены билет будет стоить

Разделим 100 на 18 и возьмем в ответ целую часть результата деления:

Значит, можно купить 5 билетов.

Ответ:

В2. Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки , покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?Решение: ,значит на 200 рублей можно купить две пары шоколадок и еще одну. Поучается в подарок 2 шоколадки. Всего 7 шоколадок.Ответ:

рублей182,01515

18

105

18

100

5

7

55

35

200

7

В 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите на диаграмме количество месяцев, когда средняя температура Ярославля была отрицательной.

янва

рь

фев

раль

мар

т

апре

ль

май

июнь

июль

авгу

ст

сент

ябрь

октя

брь

нояб

рь

дека

брь

5

10

15

20

0

– 5

– 10

Ответ: 5

В 3. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Первый способ по формуле для площади трапеции.

(см2)

Второй способ (достроим до прямоугольника):

(см2 )

S1 = (см2 )

S2 = (см2 )

S3 = (см2 ) Ответ: 18

смсм 11

1 см184)63(

2

1)(

2

1 hbaS

2464. Sпрям

2412

1

2

1 ha

4422

1

184224

В 3. Диагонали ромба ABCD 12 и 16 . Найти длину вектора:

Решение: Длина вектора равна вектору

Длина вектора равна 16.

ADAB

ADAB ACAC

В 4. Строительная фирма планирует купить 70 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Решение : Фирма А:

Фирма Б: за доставку платить не надо Фирма В:

Ответ: 192000

Постав­щик

Стоимость­пеноблоков­(руб.­за­)

Стоимость­доставки­(руб.)

Дополнительныеусловия­доставки

А 2 600 10 000 Нет

Б 2 800 8 000

При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная

В 2 700 8 000

При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

)(19200010000702600 р

)(196000702800 р

)(1970008000702700 р

В 4. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 рублей, он получает скидку на следующую покупку в размере 10% уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель В. Хочет приобрести куртку ценой 9300 рублей, рубашку ценой 1800 рублей и перчатки ценой 1200 рублей. В каком случае В. Заплатит за покупку меньше всего:1. В. купит все три товара сразу.2. В. купит сначала куртку и рубашку, а потом перчатки со скидкой.3. В. купит сначала куртку и перчатки, а потом рубашку со скидкой. В ответ запишите, сколько рублей В.заплатит за покупку в этом случае.Решение: 4. Все три товара сразу: 5. Куртка и рубашка: Перчатки:

Итого: 3. Куртка и перчатки: Рубашка : Итого:

Ответ: 11190

)(12300120018009300 руб)(1110018009300 руб)(901,0111001200 руб

)(111909011100 руб)(1050012009300 руб)(7501,0105001800 руб

)(1125075010500 руб

В 5. Найдите корень уравнения :

Решение: X-3=23 X-3= 8 X=11

Ответ: 11

В 5. Решите уравнение: В ответе напишите наименьший положительный корень.Решение:

И далее при возрастании к, x тоже будет расти.Ответ: 0,5

3)3(log2

X

3)3(log2

X

5,03

sin x

Zkkx k ,5,0arcsin)1(

3

Zkk

x k ,6

)1(3

3,6

1)1(

3 Zkk

x k

Zkkx k ,32

1)1(

032

11 xk

2

10 xk 5,23

2

11 xk 5,66

2

12 xk

В 5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.Решение:

Ответ: 6

В 6. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен .Решение: Угол ВАС- вписанный угол, который опирается на дугу СВ. Угол ВОС- центральный угол, который опирается на ту же дугу. По теореме о вписанном угле, он равен половине градусной меры дуги СВ, значит дуга СВ = , значит угол ВОС =как центральный угол, опирающийся на дугу СВ. Ответ: 64

xx 56

6

0

1

6

0

065

0

5656 2

122

x

x

x

x

x

xx

x

xxxx

32

64 64

В 6. В треугольнике АВС угол С =АD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ, ответ дайте в градусах.Решение:

Ответ: 119

58

11961180)58180(2

1180

)180(2

1180)(

2

1180)(180

CBAOBAOABAOB

В 7. Найдите , еслиsin 2;6,0cos Решение: По основному тригонометрическому тождеству

8,0sin

;64,06,01cos1sin1cossin 22222

значит

С учетом условия ,выбираем ответ 2 8,0sin

Ответ: - 0,8

В 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Ответ: 7

В 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1 Используем:

18

5

9

4

497

777777)7(7497 9

9

9

5

9

4

18

10

9

4

18

529

4

18

5

9

4

7

776

189

17

7

7

7

7

7

77

7

77 0

6

1

18

3

6

1

18

1

9

1

6

1

18

1

9

1

6

189

mn

aa nm

В 8. На рисунке изображен график дифференцируемой функции . На оси абсцисс отмечены 9 точек: .Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.Решение: Известно, что промежутки возрастания дифференцируемой функции соответствуют неотрицательной производной, а убывания- неположительной производной. Значит точки, в которых производная функции отрицательна, должны лежать на промежутках убывания функции. Это точки .

)(xfy xxxx 9......3,2,1

)(xf

y

xx x x x x x x

x

0

x

1 2 3 4 7 8 9

65

y f (x

xxxxx 9,6,5,4,3

Но точки соответствуют нулевой производной. Значит в ответе мы укажем количество точек 3.

xx 6,3

Ответ: 3

В 8. Прямая является касательной к графику функции .Найдите абсциссу точки касания.Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной (из уравнения касательной). Найдем производную функции и составим уравнение для поиска абсциссы точки касания.

Значит с таким угловым коэффициентом к данной функции можно провести две касательные. Одна с точкой касания , а другая с Проверим, какая из точек удовлетворяет нашим условиям. Точка касания должна быть общей и для касательной и для функции

114 xy677 23 xxxy

4)())(( 00 xykxy

3

23

6

22

6

814

16

814

64132196111214

011143

47143

7143)677(

2

1

2

2

2

223

x

x

D

xx

xx

xxxxxy

10 x3

230 x

114 xy677 23 xxxy

76)1(7)1(7)1()1(

711)1(4)1(23

y

y

Проверим 1x

Значит точка (-1,-7) является общей точкой для этих функций. Вторую точку можно не проверять, так как через данную точку можно провести только одну прямую с угловым коэффициентом

Ответ: -1.

4k

В 9. Диагонали АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равны 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.Решение: Боковое ребро SB является гипотенузой прямоугольного треугольника SOB, в котором известен катет SO=4. Осталось найти катет OB и тогда можно будет применить теорему Пифагора. Так как по условию пирамида правильная , значит в основании ее лежит квадрат, у которого диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, OB=

Применяя теорему Пифагора получаем:

362

1

525916222 SBOBSOSB

Ответ: 5

В 9. Найдите угол ABD, прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=5, AD=4, AA1 =3. Ответ дайте в градусах.Решение: является прямоугольным, так как по теореме о 3-х перпендикулярах. Нам известен катет BA= 5. По теореме Пифагора из прямоугольного , можно найти

Значит в рассматриваемом оба катета по 5, значит треугольник равнобедренный и прямоугольный . Оба острых угла такого треугольника по

Ответ: 45

BAD1 ABAD 1

1ADD 1AD

525916 12

122

1 ADDDADAD

BAD1BAD1

45

Замечание: Можно решить эту задачу через тригонометрические функции для искомого угла. В таком случае, например тангенс угла ABD1 будет равен единице. Отсюда мы бы также нашли сам угол.

В 10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.Решение: Вероятность такого события будем искать по формуле , где - общее число исходов испытания, - число интересующих нас исходов.Проводится испытание- школьник достает 1 билет из 25. Всего возможно 25 исходов. Из них нас интересует 23 исхода, значит

Ответ: 0,92

В 10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.Решение: При бросании двух костей можно получить 36 исходов. Нас интересуют исходы : 4+4, 5+3, 3+5, 2+6, 6+2, то есть всего 5 исходов.

Ответ: 0,14

n

mAP )(

n m

25

23)( AP

14,0)8(13,036

5)( AP

В 11. Объем первого цилиндра 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра (в м3 ).Решение:

Имеем два цилиндра. Пусть R- радиус основания первого цилиндра, h- его высота. Значит

Значит объем второго цилиндра составляет объема первого.

Ответ: 9

hSV осн .

12

22

22

.1 4

3

4

3

4

33)

2(, VhR

hRh

RVRhSV осн

4

3

В 11. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.Решение:

Нам удобно «перевернуть» пирамиду и рассмотреть в качестве основания, а -как высоту ( ). Значит

Ответ: 4,5

hSV осн .3

1

ASB SC

ASBSC CSSV ASB3

1

5,43336

1)

2

1(

3

1 CSASSBV

В 12. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота на которой он находится описывается формулой , где h-высота в метрах, t- время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.Решение: Имеем неравенство Решаем его:

продолжительность 2,4 с

Ответ: 2,4 с

ttth 185)( 2

9)( th

3;6,0

6,0;310

1218

144180324

09185

09185

9185

2,1

2

2

2

t

t

D

tt

tt

tt

В 12. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна

, где - ЭДС источника (в вольтах), r= 1 Ом- внутреннее сопротивление, R- сопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания ? Решение: Задача сводится к решению неравенства

Ответ: 4

rRI

rIкз

4512,01

1

12,0

12,0

RR

RRII кз

В 12. Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле

При каком наименьшем значении угла (в градусах) время полета будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью ? Считайте, что

Решение: Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения.

Ответ: 30

g

Vt

sin2 0

с

мV 300

210с

мg

3)( t)90;0(

00 90302

1sin3

10

sin302

В 13. Весной катер идет против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на медленнее. Поэтому летом катер идет против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в ).Решение: Обозначим V км/ч- собственную скорость катера, X км/ч - скорость течения. Весной отношение скоростей против течения и по течению можно записать в виде равенства , а летом

Имеем систему уравнений:

Выражаем V из первого уравнения: V= 4x, подставляем во второе уравнение и получаем уравнение 4x+5=5x, откуда x=5.Скорость течения 5 км/чОтвет: 5

3

21

чкм1

2

11

чкм

3

21

xV

xV

2

11

)1(

)1(

xV

xV

xV

xV

xVxV

xVV

xV

xVxV

xV

55

82

)1(2)1(3

)(5)3(3

2

3

1

13

5

В 13. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метров, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.Решение: Сначала выразим скорость поезда в м/с 60 км/ч = За 60 секунд точка ,расположенная в самом

начале состава пройдет расстояние равное сумме длины поезда и длины лесоповала.

Точка двигается со скоростью , значит

Ответ: 600

см

см

6

100

3600

100060

см

6

100 мll 600400606

100

В 13. Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?Решение: Виноград Изюм

90%влага 10% остальное 5% влага 95% остальноеПри высушивании масса «остального»остается неизменным. В 20 кг изюма эта масса равна: , а в винограде эта масса составляет 10%, значит общая масса винограда

Решение: 190

)(1995,020 кг)(1901,0:19 кг

В 14. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Решение:

Ответ: 1

3

33cos2

xxy

2;0

3

2;0,,

3)1(

2

3sin

03sin2

0)2

3sin2)3

33cos2()1

x

имеемнаZkkx

x

x

y

xxxy

k

12

12

3

3

3

3

3cos2)

3(

13

3

2

3

3

3

23

2cos2)

2(

13

32

3

3030cos2)0()3

y

y

y

В 14. Найдите точку минимума функцииРешение:

3)

x=4- точка минимума

Ответ: 4

xexy 3)3(

)4()31()3(

))1()(3())(3()3()13333

)3333

xexeexe

exeexexyxxxx

xxxx

4

0)4(

0)23

x

xe

yx