Подготовка к ЕГЭ 2010 по математике

Подготовка к ЕГЭ 2010 по математикеЗадачи С 5

Вариант 2. Найти все значения параметра а, при которых функция

axxxxxf 15,14)( 22 принимает неотрицательные значения.

Решение: 015,12 xx при .2;5,0x

Рассмотрим функцию на интервалах

25,0 х

2

15,22)( 2

x

axxxf

5,0

15,22)( 2

x

axxxf

25,0

15,5)(

x

axxf

5,24)( xxf 5,5)( xf 5,24)( xxf

8

50)( xприxf 20)( xприxf25,00)( xприxf

5,08

50)( xприxf

Т.о., точка минимума функции и единственная критическая точка на R и в ней функция принимает наименьшее значение.

8

5

8

5



axxxxxf 15,14)( 22 принимает неотрицательные значения.

Решение: Чтобы функция принимала неотрицательные значения необходимо, чтобы .0

8

5

f

;32

57

8

5

af

;032

57 a

.32

57a

Ответ: .32

57a


Вариант 4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

2723 xxaxx имеет хотя бы один корень.

Решение:

0)1 аx при ;ax

Рассмотрим функцию

02)2 аxххаx 2

0

2

2

х

хах

хах

0

3

х

ах

ах

.2723 xаxxxxfНайдем значения х, при которых модули равны нулю.

При а > 0, модули равны нулю при x = a или x = -a.

При а < 0, модули равны нулю при x = a или x = a/3.




Решение: 1) при а > 0, модули равны нулю при x = a или x = -a.

а) если - a < -2 < a получим:

2а ха

аx

axxf 14)(

аx

axxf 149)(

аx

axxf

2

142)(

2

149)(

xа

axxf

Монотонность функций определяем по знаку углового коэффициента:

б) если -2 < - a < a получим:

а2 ха

Т.к. знак при 7х будет определять знак слагаемых, которые состоят из 3х, 2х и х.

Т.о., -2 точка максимума функции и единственная критическая точка на R и в ней функция принимает наибольшее значение.




Решение: 2) при а < 0, модули равны нулю при x = a или x = a/3.

а) - 2 < a < a/3 получим:

а2 х3/а

Т.к. знак при 7х будет определять знак слагаемых, которые состоят из 3х, 2х и х.

б) a < - 2 < a/3 получим аналогичную ситуацию;

в) a < a/3 < - 2 получим аналогичную ситуацию.

Т.о., -2 точка максимума функции и единственная критическая точка на R во всех случаях и в ней функция принимает наибольшее значение.Чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень необходимо и достаточно, чтобы значение функции в точке -2 было неотрицательно.




Решение: ;6422462 ааf

;0642 а

;642 а

642642 аилиа

22102 аилиа

102 а

Ответ: ).;8[]12;( a


Вариант 8. Найти все значения параметра а, при которых решения системы

являются решениями неравенства .32 axy

.2

,2

axy

axy

0 1x

у

1

.2 mхy

Рассмотрим область на координатной плоскости, которая удовлетворяет системе неравенств

Решение:

Это множество точек будет представлять собой угол, образованный границами y = -2x и y = x , который будет перемещаться параллельным переносом.

Рассмотрим область на координатной плоскости, которая удовлетворяет неравенству

axy

axy

2

,2

Чтобы все решения системы были решениями неравенства, необходимо и достаточно, чтобы «угол» находился над прямой, т.е. вершина угла была над границей.


Вариант 8. Найти все значения параметра а, при которых решения системы

являются решениями неравенства .32 axy

0 1x

у

1

axy

axy

2

,2

Решение: Найдем координаты вершины угла, решив уравнение

.35,05,0 axyНайдем значения параметра а, при которых вершина угла лежит выше границы

аxах 22 ;3/ахв 3/5аув

;35,03

5,03

a

аа

;9310 aaa

.8

9a

Ответ: .;8

9

a



axaxxf 222)( имеет ровно три нулевых значения.

Решение:

0)1 x при ;0x


Найдем значения х, при которых модули равны нулю.

.22)( 2 axaxxf

22)2 ax при .2

2ax

025,0 а х25,0 а

2

2

5,023)(

аxaaxxf

2

2

5,025)(

аxaaxxf

2

2

5,0025)(

аxaaxxf

05,023)(

2

2

xаaaxxf

Монотонность функций определяем по знаку углового коэффициента:

Точки минимума функции .5,0 2ax Сравним значения функции в точках минимума.

Точка максимума функции х = 0.



axaxxf 222)( имеет ровно три нулевых значения.

Решение: .5,05,05,022)5,0( 22222 aaaaaaafm

При а = 0 функция имеет одну точку минимума и условие невыполнимо.

.5,05,05,022)5,0( 22222 aaaaaaafn

При а ≠ 0 всегда верно n > m. График имеет вид ломаной

Три нулевых значения функция принимает в двух случаях:

N M1) при х = 0:

020022)0( 22 aaaaf .5,0a

2) при х = -0,5а2:

;05,0)5,0( 22 aaafn .2a

Ответ: .2;5,0 a

а


Вариант 10. Найти все значения параметра а, при которых решения

системы образуют отрезок

axx

axx

414

,122

2 единичной длины.

Решение: Построим в координатах (х; а) область, соответствующую системе

.4

1

4

1

,12

2

2

xxa

xxa

Обозначим

.4

1

4

1)(

,12)(2

2

xxxg

xxxf)(xfу

)(xgу

Найдем абсциссы точек пересечения графиков:

4

1

4

112 22 xxxx

03125 2 xx5

216 x

Решения системы могут располагаться на отрезке .5

216;

5

216


Вариант 10. Найти все значения параметра а, при которых решения

системы образуют отрезок

axx

axx

414

,122

2 единичной длины.

Решение: В верхней части области отрезок длины 1 единственный - АВ

а )(xfу

)(xgу

при а = 1. Чтобы найти в нижней части области отрезок длины 1,

А В

нужно решить уравнение:

).()1( bfbf

;121)1(2)1( 22 bbbb;12 b

.5,0bПри 5,0b

.25,0115,0 2 a

Ответ: .1;25,0a



1cos 22 xa имеет ровно 8 различных корней.

Решение:

Построим графики функций в системе координат (х; а):

Zkkxa ,222 ;...2;1;0,222 nnxa

;...2;1;0,4 2222 nnxa ;...2;1;0,4 222 nnxa

;1,4 22 nxa

;3,36 22 nxa ;4,64 22 nxa

;2,16 22 nxa

а

;0, nxa

.5,100 22 nxa



1cos 22 xa имеет ровно 8 различных корней.

Решение:Уравнение имеет 8 различных корней тогда, когда прямая а = m пересекает графики в 8 точках.

а

ma

86 mпри

или .68 m

ma

Ответ: 8;66;8 a



324)( 2 xxaxxf принимает наименьшее значение меньше 4.

Решение:

0)1 ax при ;ax


Найдем значения х, при которых модули равны нулю.

032)2 2 xx при .1;3x

324)( 2 xxaxxf

Возможны следующие случаи расположения точек на прямой:

13 хаI.

a3 х1II.

3а х1III.

Если а = 1, то ;4313214)( 2 xxxxxxf 40)(min xf

Если а = -3, то ;4133234)( 2 xxxxxxf 40)(min xf




Решение:

a3 х1

13 хаI.

axaxxxf 346)( 2

3342)( 2

xaxxxf

аxaxxxf

1342)( 2

13346)( 2

xaхxxf

022)( xxf 062)( xxf 022)( xxf 062)( xxf

Наименьшее значение функции в точке 1.

II.

346)( 2 axxxf342)( 2 axxxf

346)( 2 axxxf342)( 2 axxxf

062)( xxf022)( xxf062)( xxf022)( xxf

Наименьшее значение функции в точке а.




Решение:

3а х1III.

346)( 2 axxxf342)( 2 axxxf

346)( 2 axxxf342)( 2 axxxf

062)( xxf022)( xxf062)( xxf022)( xxf

Наименьшее значение функции в точке x = -3.

I.

II.

III.

1414)1(

aaf

13432)( 2

aaaaf

3434)3(

aaf

111

aa

.21 a

13432

4322

2

aaaaa

1301

0722

2

aa

aa

11

13aa

313

aa .34 a

Ответ: .2;11;4 a

Documents

Подготовка к ЕГЭ 2010 по математике