Решение заданий части Решение заданий части

С С

ЕГЭЕГЭпо математике по математике 2012 2012 годагода

МБОУ МучкапскаяСОШМБОУ МучкапскаяСОШ

Автор: учитель математики Автор: учитель математики Мишина О.В.Мишина О.В.

С1.С1. Решите уравнение xsinxsinxcos 22

xsinxsinxcos 22

Решение. ОДЗ: . 02 xsin

C учетом ОДЗ:

Zn,nππ

x

Zn,nππ

x

xsin

4

22

2

12

2222 xsinxsinxcos

xsinxsinxcos 22 22

xsinxsinxcosxsinxcos 222 222

02221 2 xsinxsin

01222 2 xsinxsin

;xsin

,xsin

21

2

12

Решение. Прямая AN является проекцией прямой AS на плоскость основания. Поэтому проекция точки М – точка Н лежит на отрезке AN. Значит угол MNH – искомый.МН – средняя линия SAO,

тогда NH = АО = R = = = 24.

Ответ: arctg 7/48.

С2.С2. В правильной треугольной пирамиде SABC известны ребра: АВ = 24√3, SC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и BC.

O

25

АС

В

S

M

N 24√3H

24√3√3

AB√3

MH = ½SO = ½√SA2 – AO2 = ½√252 – 242 MH = 3,5; из п/у АМН:

tg MNH = MH : NH = 3,5 : 24 = 7/48.

MNH = arctg 7/48.

С3.С3. Решите неравенство 91

49833

112

11

хх

logхxlog

Решение. ОДЗ: .

;xx

,xx

091

0983

2

;;x 19

C учетом ОДЗ:

21920 ;;;x

91

49833

112

11

хх

logхxlog

41

998 311

3211

х

хlogхxlog

41

9193

33

11

х

хххlog

411

411 119 logхlog

44 119 х

-20 х2

-20 1-9 х2

119 х

11911 х

220 х

С4. С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.

4522

1025

αα ,OBOP

sin

.βsin,CDOD

βcos1312

135

Р – точка касания прямой ВМ с данной окружностьюО – центр ромба ABCD, по т. ПифагораCD = √OD2 + OC2 = √122 + 52 = 13. Обозначим ОВМ = α, BDC = β. Из п/у ОРВ и COD

А

В D

С

Р

Oα

M

5

13

5/√2 β

Решение. 1 случайПусть точка М лежит между C и D,

Применяя т. синусов для ВМD получим, что

С4. С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.

поэтому,BMDsin

BDMBDsin

DM

βsin

sinBMDsin

MBDsinBDMD

451804510

βsincosβcossinβsin 4545

2545

25

17130

1312

22

135

22

25

.MDCDCM1791

17130

13

А

В D

С

Р

Oα

M

5

13

β

Пусть теперь точка М лежит на продолжении стороны CD за точку D. Тогда по т. о внешнем угле треугольника

С4. С4. Дан ромб ABCD с диагоналями АC = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиуса 5/√2 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ.

АВ

DС

Р

O

α

M

513

β

.α MBDBDСBMD

7

130

Ответ:

.;1791

7221

135

22

22

1312

254545

2545

25βcossincosβsinβsin

MD

.MDCDCM7

2217

13013

2 случай

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно 4 решения.

.хуay

,ху222 323

31234

Решение. Преобразуем данную систему:

Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.

Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:

.aхy

,ух

;aхуy

,ух222222 3

12343

96

12343

2

11243222 .aхt

,tх

С5.С5.

График первого уравнения – ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат на осях Ох и Оt, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r = a.Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно 4 решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб,либо ее радиус удовлетворяет условию

3 < r < 4.

.,a;,ar 4242543

3

4-4

-3

х

t

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, откуда

В втором случае получаем 3 <a < 4, откуда −4 < a < −3; 3 <

a < 4.Ответ: а = 2,4; −4 < a < −3; 3 < a < 4.

С5.С5.

Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами 96/35 и 97/36, найдите такую, знаменатель которой минимален.

Решение. Так как то достаточно

найти правильную дробь с наименьшим знаменателем,

лежащую между числами а

затем прибавить к ней число 2. Среди дробей со

знаменателями 2, 3, 4, 5 и 6 нужных дробей нет, так

как

,и3625

23697

3526

23596

...,,и..., 7403526

6903625

...,,...,,,...,,...,,...,, 69053

74075043

69042

69032

69021

Для знаменателя 7 получаем: ..е.т...,,3526

75

3625

71075

Ответ: .7

19

С6.С6.

.,...,,,, 75065

69064

75054