Embed Size (px)
Citation preview
Име.....................................................................училище………………………… град………………......................................
2 зад. Попълни с възможно най-голямото число: 12 > 9 + 11+ <15 9+ <16 3 зад. Велико има 20 боядисани яйца. От тях 7 са червени, 5 са жълти, а останалите са пъстри. Колко са пъстрите яйца?
………………………………………………………………………………………………
5 зад.
6 зад. В двора на училище растат 12 брези и с 5 по-малко борчета. Колко дръвчета растат в двора на училището? …………………………………………………………………………………………………………… 7 зад. Колко е разликата на:
8 зад. Помогни на зайчето да попълни празните кутийки .
9 зад. Открий броя на бижутата в кутиите, ако той е сбор от написаните на кутията числа. Огради тази, в която броят им е най-голям.
10 зад. Извърши действията събиране и изваждане и запиши съответната буква под числата. Ще прочетеш нашето послание за лятото.
3 6 18 6 12 1
3 1 11 1 14 9
ц я !
+ - ?
11 зад. Ако попълниш верижката, ще получиш число, което показва колко е дълъг скокът на кенгуруто. 12 зад.
13 зад.
8 7 5 = 10 18 6 7 = 5 17 3 5 = 19
19 8 4 = 15 15 4 8 = 3 6 4 5 = 5 9 4 12 = 17
14 зад.
15 зад. Попълни празните места в квадрата, така че да получиш сбор15 във
всички посоки и определи а= ?
a5 3
2
СМБ – Секция”ИЗТОК”BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009
2 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех !
1. Пресметнете стойността на израза: 42 – 28:7 + 5 . 10 – 9 . Тя е: а) 7 б) 89 в) 79 г) друг отговор
2. Умаляемото е 6 дм, а умалителят е 35 см. Разликата е: а) 25 см б) 25 дм в) 29 см г) друг отговор 3. Кое НЕ Е вярно? а) 9.2 = 2.7 + 2.2 б) 5. 2 + 2 = 5.4 в) 3.6 = 9.3 – 3.3 г) 3.8 = 4.3 + 3.4 4. Колко двуцифрени числа, в които няма еднакви цифри, могат да се запишат с цифрите 1, 5 и 7? а) 9 б) 10 в) 7 г) друг отговор 5. Осем плюшени мечета струват 40 лева. Колко лева струват 6 такива мечета? а) 5 лв б) 25 лв в) 20 лв г) друг отговор 6. Намерете х, ако (13 + 23) + х = 27 + (100 – 7.5). а) 57 б) 56 в) 65 г) друг отговор 7. Две ябълки и една круша струват 2 лв., а две круши и една ябълка струват 3 лв. Тогава шест круши и шест ябълки струват: а) 6 лв. б) 5 лв. в) 10 лв. г) друг отговор 8. Открийте закономерността в последователността от числа, която започва с числото 35 и е по посока, обратна на движението на часовниковата стрелка. Кое е последното липсващо число?
42 35
56
а) 49 б) 63 в) 7 г) друг отговор 9. За Великден баба Фанка решила да събира яйца за внучето си. За една седмица тя събрала 70 яйца. Всяка кокошка снася за един ден по едно яйце. Намерете колко петли е имала бабата, ако общият брой на петлите и кокошките, които отглежда тя, е 15. а) 10 б) 5 в) 7 г) друг отговор 10. Кукла, мече и слонче струват общо 41 лева. Куклата и мечето струват 21 лв., а мечето и слончето – 29 лв. Колко струва мечето? а) 20 лв. б) 12 лв. в) 9 лв. г) друг отговор 11. Ширината на правоъгълник е 18 см и е с 5 см по-малка от дължината. С колко сантиметра обиколката на правоъгълника е по-голяма от обиколката на равнобедрен триъгълник с бедро 19 см и основа 32 см? а) 13 см б) 12 см в) 10 см г) друг отговор 12. Румен окопал няколко реда по 8 дръвчета във всеки ред, а Валери – 2 реда по три дръвчета. Румен окопал 4 пъти повече дръвчета от Валери. Колко реда дръвчета окопал Румен? а) 3 б) 4 в) 6 г) друг отговор 13. Майка купила ябълки. По обяд тя взела половината от тях, а Катя взела още една ябълка. Вечерта майката взела половината от останалите ябълки, а Петър взел още две ябълки, след което останали само две ябълки. Колко са били ябьлките? а) 17 б) 24 в) 18 г) друг отговор 14. За едно двуцифрено число е известно, че цифрата на единиците е три пъти по-голяма от цифрата на десетиците. Ако разменим цифрите, се получава число, което е с 36 по-голямо от първоначалното число. Кое е числото? а) 14 б) 25 в) 93 г) друг отговор 15. Деси направила квадрат от кибритени клечки с обиколка 8дм. Колко кибритени клечки употребила Деси, ако дължината на една кибритена клечка е 5см. а) 10 б) 20 в) 16 г) друг отговор
Отговори: 1в; 2а; 3б; 4г) 6; 5г 30; 6б; 7в; 8б; 9б; 10в; 11б; 12а; 13в; 14г 26; 15в;
Решения и отговори
1. Пресметнете стойността на израза: 42 – 28:7 + 5.10 – 9 = 42 – 4 + 5.10 – 9 = 38 + 50 – 9 = 88 – 9 = 79 Тя е:
а) 7 б) 89 в) 79 г) друг отговор 2. Умаляемото е 6 дм, а умалителят е 35 см. Разликата е: 6 дм = 60 см; 60 см – 35 см = 25 см а) 25 см б) 25 дм в) 29 см г) друг отговор 3. Кое НЕ Е вярно? а) 9.2 = 2.7 + 2.2 б) 5. 2 + 2 = 5.4 в) 3.6 = 9.3 – 3.3 г) 3.8 = 4.3 + 3.4 4. Колко двуцифрени числа, в които няма еднакви цифри, могат да се запишат с цифрите 1, 5 и 7?
1 5 7 1 15 17 5 51 57 7 71 75
а) 9 б) 10 в) 7 г) друг отговор - 6 5. Осем плюшени мечета струват 40 лева. Колко лева струват 6 такива мечета? 40 : 8 = 5 лв. струва едно плюшено мече; 6.5 = 30 лв. струват 6 такива мечета а) 5 лв б) 25 лв в) 20 лв г) друг отговор – 30 лв. 6. Намерете х, ако: (13 + 23) + х = 27 + (100 – 7.5) 36 + х = 27 + 65 36 + х = 92 х = 92 – 36 х = 56 а) 57 б) 56 в) 65 г) друг отговор 7. Две ябълки и една круша струват 2 лв., а две круши и една ябълка струват 3 лв. Тогава шест круши и шест ябълки струват: а) 6 лв. б) 5 лв. в) 10 лв. г) друг отговор 2 я. + 1 к. = 2 лв. 3 я. + 3 к. = 5 лв. , а 6 я. + 6 к. = 10 лв. 2 к. + 1 я. = 3 лв. 8. Открийте закономерността в последователността от числа, която започва с числото 35 и е по посока, обратна на движението на часовниковата стрелка. Кое е последното липсващо число?
42 35
56
а) 49 б) 63 в) 7 г) друг отговор 9. За Великден баба Фанка решила да събира яйца за внучето си. За една седмица тя събрала 70 яйца. Всяка кокошка снася за един ден по едно яйце. Намерете колко петли е имала бабата, ако общият брой на петлите и кокошките, които отглежда тя, е 15. 70:7 = 10 яйца за 1 ден, следователно кокошките са 10. 15 І 10 = 5 петли а) 10 б) 5 в) 7 г) друг отговор 10. Кукла, мече и слонче струват общо 41 лева. Куклата и мечето струват 21 лв., а мечето и слончето – 29 лв. Колко струва мечето? 41 – 21 = 20 лв. слончето 41 – 29 = 12 лв. куклата 21 – 12 = 9 лв. мечето а) 20 лв. б) 12 лв. в) 9 лв. г) друг отговор 11. Ширината на правоъгълник е 18 см и е с 5 см по-малка от дължината. С колко сантиметра обиколката
на правоъгълника е по-голяма от обиколката на равнобедрен триъгълник с бедро 19 см и основа 32 см? 18 + 5 = 23 см е дължината; Рпр. = (18 + 18) + (23 + 23) = 36 + 46 = 82 см Р тр. = 19 + 19 + 32 = 70 см 82 см – 70 см = 12 см а) 13 см б) 12 см в) 10 см г) друг отговор 12. Румен окопал няколко реда по 8 дръвчета във всеки ред, а Валери – 2 реда по три дръвчета. Румен окопал 4 пъти повече дръвчета от Валери. Колко реда дръвчета окопал Румен? 2.3.4 = 24 дръвчета окопал Румен 24:3 = 3 реда дръвчета окопал Румен а) 3 б) 4 в) 6 г) друг отговор 13. Майка купила 2 кг ябълки. По обяд тя взела половината от тях, а Катя взела още една ябълка. Вечерта майката взела половината от останалите ябълки, а Петър взел още две ябълки, след което останали само две ябълки. Колко са били ябьлките в двата килограма? Разсъждаваме в обратен ред: накрая останали 2 ябълки, към тях прибавяме 2 ябълки, които взел Петър – 2 + 2 = 4. Тези 4 ябълки са половината от останалите до вечерта, т.е. до вечерта имало 4.2 = 8 ябълки. Към тях прибавяме едната ябълка, която взела Катя – 8 + 1 = 9. Тези 9 ябълки са половината от всичките, които купила майката, т.е. в 2 кг има 9.2 = 18 ябълки. а) 17 б) 24 в) 18 г) друг отговор 14. За едно двуцифрено число е известно, че цифрата на единиците е три пъти по-голяма от цифрата на десетиците. Ако разменим цифрите, се получава число, което е с 36 по-голямо от първоначалното число. Кое е числото? Двуцифрените числа, на които цифрата на единиците е три пъти по-голяма от цифрата на десетиците са 13, 26 и 39. От тях само числото 26 изпълнява второто условие на задачата, защото 31 – 13 = 18; 93 – 39 =54, а 62 – 26 = 36 а) 14 б) 25 в) 93 г) друг отговор - 2615. 8:4=2дм=20см е страната на квадрата. 20:5=4 клечки на страна. 4.4=16 клечки.
СМБ – Секция”ИЗТОК”BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 3 клас, 26.04.2009
Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех !
Зад. 1 Кой от знаците <, >, = трябва да се постави на мястото на кръгчето? 1м.– (2 дм.-5 см.) Ο 6 дм.+20 см. А) > Б) < В) < или = Г) друг отговор
Зад. 2 Колко пъти ще се увеличи обиколката на квадрат ако страната му се увеличи три пъти?
А) 12 Б) 3 В) 9 Г) друг отговор Зад. 3 От понеделник до петък Илия правил мартеници. Първия ден направил 5 мартеници, а всеки следващ ден изработвал колкото предишния ден и още 5. Колко мартеници е направил в четвъртък?
А) 4 Б) 25 В) 20 Г) друг отговор
Зад. 4 Във всяко квадратче на къщичката има скрити по две яйца. Колко са скритите яйца? А) 4 Б) 6 В) 10 Г) друг отговор
Зад. 5 Иван се е движил по маршрут А,B, C, а Петър по маршрут C, D, E, F. Кой от двамата е изминал по-голямо разстояние?
А) Иван Б) Петър В) равни разстояния Г) друг отговор
……………………………………………………………………………………………………………………............................... Зад. 6 Таня засадила с цветя тъмните участъци, а Мими – светлите. Коя от двете ще използва повече метра тел, за да огради засадените от нея участъци?
А) Таня Б) Мими В) не може да се определи Г) друг отговор
Зад. 7 Милка сложила по една чаша във всеки ъгъл на правоъгълна маса. След това продължила да нарежда така, че на всяка страна да има по 4 чаши. Колко най-малко чаши е наредила?
А) 16 Б) 12 В) 8 Г) друг отговор
Зад. 8 Жителите на далечна планета пишат на езика ДУМЦИ. Разгледайте как се превеждат изреченията от български на ДУМЦИ и преведете АЗ СЪМ МАТЕМАТИК. Аз съм ученик. @ Σ θ Той е математик. Ω λ ψ Аз съм умен. @ Σ ω
А) @ Σ Ω Б) Ω Σ ψ В) @ Σ ψ Г) друг отговор
Зад. 9 Ако Асен си купи 15 вафли ще му останат пари за половин козунак. Той си купил половин козунак и му останали 3лв. Колко струва една вафла?
А) 20 ст. Б) 5 ст. В) 30 ст. Г) друг отговор Зад. 10 Колко ще получим ако към най-малкото двуцифрено нечетно число прибавим сбора от цифрите му и получената сума умножим с броя на буквите в думата УСПЕХ?
А) 55 Б) 65 В) 50 Г) друг отговор ………………………………………………………………………………………………………………………………………. Зад. 11 Ели има 8 боядисани яйца. Диди има половината от броя на яйцата на Ели. Ваня има толкова яйца, колкото е половината на половината на яйцата на Диди. Колко яйца общо имат трите момичета?
А) 14 Б) 24 В) 13 Г) друг отговор
Зад. 12 Температурата на Стефко когато е здрав е 37о. Когато се разболял от грип първия ден температурата му се повишила до 40о. Изпил си лекарствата и тя спаднала до 37о. През втория ден от болестта се повишила до 39о и след лечението спаднала отново до 37о. Колко пъти в продължение на тези 2 дена термометърът е показвал 38о?
А) 5 Б) 3 В) 4 Г) друг отговор
Зад. 13 Иво играл любимата си компютърна игра непрекъснато 40 дена. Първият ден е бил 28 февруари 2006г. – вторник. На коя дата и в кой ден от седмицата е играл за последен път?
А) събота 08.04.06 Б) вторник 8 април В) петък 07.03.06 Г) друг отговор
Зад.14 В 7часа и 15 минути бащата на Борко тръгва на работа. След 42 минути сестра му тръгва за училище. След още 1 час и 18 минути излиза майка му и той остава сам в къщи. В колко часа Борко остава сам?
А) 10ч. и 15 мин. Б) 9ч. и 15 мин. В) 9ч. и 22 мин. Г) друг отговор Зад. 15 За 40 мин Тони боядисва 10 яйца. За 30 мин Лора боядисва 6 яйца. Колко яйца ще боядисат двете заедно за 20 минути?
А) 16 Б) 8 В) 9 Г) друг отговор
Отговори: Зад. 1 А); Зад. 2 Б); Зад. 3 В); Зад.4 Г) 8 ; Зад.5 А); Зад. 6 Б); Зад. 7 В); Зад. 8 В); Зад. 9 А); Зад. 10 Б); Зад. 11 В); Зад. 12 В); Зад. 13 А); Зад. 14 Б); Зад. 15 В)
Решения на задачите за трети клас Зад.1 Лявата страна е равна на 100 см- (20 см – 5 см)= 100 см – 15 см = 85 см Дясната страна е 60 см + 20 см = 80 см . Верният отговор е 85 см > 80 см. Зад.2 Ако страната на квадрата означим с Х. Обиколката му е 4.Х. Ако увеличим страната му 3 пъти,
обиколката му ще стане 4.3.Х = 12.Х. Обиколката се увеличава 3 пъти. Зад.3 Във вторник е изработил 10 мартеници. В сряда е изработил 10 + 5 = 15 мартеници. В
четвъртък е изработил 15 + 5 = 20 мартеници. Зад.4 Квадратчетата са четири на брой, т.е. скритите яйца са 8. Зад.5 Иван е изминал АВ + ВС = 3 + 5 = 8. Петър е изминал СД + ДЕ + ЕF = 2 + 1 + 4 = 7. Пътят
изминат от Иван е по-дълъг. Зад.6 Таня е използвала 14 метра тел за ограждане на участъците си, а Мими 20 метра. Зад.7 Милка е сложила по 2 чаши в четирите ъгъла на масата. Общо е наредила 8 чаши. Зад.8 Съпоставяйки думите на отделните изречения откриваме как се превежда всяка от думите.Аз--@
съм-∑ ученик-θ той-Ω е-λ математик-ψ умен-ω. Изречението се АЗ СЪМ МАТЕМАТИК се превежда @ ∑ ψ
Зад.9 15 вафли струват 3 лева=300 стотинки, т.е една вафла струва 20 стотинки. Зад.10 Най-малкото нечетно двуцифрено число е 11. Към него прибавяме 2 и получаваме 13.
Умножаваме го по 5 и получаваме 65. Зад.11 Диди има 4 яйца. Ваня има 1 яйце. Общо яйцата им са 13. Зад.12 Щом се е разболял от 37 градуса температурата му се е увеличила и е станала 40 градуса. При
спадането до 37 градуса отново за втори път показва 38 градуса. Вторият ден пак се повишила до 39 градуса и спада до 37 градуса т.е. показва още два пъти 38 градуса. Общо за двата дена термометъра показва 38 градуса общо четири пъти.
Зад.13 Месец февруари през 2006 година има 28 дена, защото тя не е високосна година. Месец март - 31 дена. Четиридесетият ден е събота 08.04.2006 година.
Зад.14 Сестрата на Борко трагва за училище в 7 часа и 57 минути. Майка му излиза след 1 час и 18 минути т.е. в 9 часа 15 минути и тогава Борко остава сам.
Зад.15 За 40 мин. щом боядисва Тони 10 яйца , за 20 мин. ще боядиса 5 яйца. Лора за 30 мин. боядисва 6 яйца, за 10 мин.- 2 яйца, а за 20 мин. -4 яйца. Двамата за 20 минути ще са боядисали 9 яйца.
СМБ – Секция”ИЗТОК”BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009
4 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име…………………………………………………….. училище…………………………..…….. град/село ………………………... Зад.1 Стойността на израза: 19259 + 5 . 48 – (714 : 7 + 2569) е a) 16918 б) 16828 в) 17828 г) друг отговор Зад.2 Коя римска цифра трябва да се постави в квадратчето, за да бъде вярно ХХІХ < ХХ a) V б) ІX в) Х г) друг отговор Зад.3 Мая намислила едно число. Намалила го 33 пъти и получила частното на числата 2525 и 25. Намисленото число е: a) 333 б) 363 в) 3333 г) друг отговор Зад.4 Кое число трябва да се постави в празния правоъгълник?
4 9 19 54 79 a) 31 б) 32 в) 33 г) друг отговор Зад.5 Теглото на портокалите съдържащи се в 3 хладилни камери е толкова, колкото теглото на бананите в две. Ако бананите от едната камера тежат 36306 кг, колко тежат портокалите, съдържащи се в една хладилна камера? а) 12102 б) 24204 в) 72612 г) друг отговор Зад.6 Община закупила за училищата 6418 баскетболни топки, които били с 2415 повече от волейболните и с 1814 по-малко от футболните. Колко училища има в общината, ако всяко училище е получило по 811 топки? a) 21 б) 22 в) 23 г) друг отговор Зад.7 В състезание по математика взели участие 28 ученици. Броят на учениците, които се класирали след Петър, бил два пъти по-голям от броя на класиралите се преди него. На кое място е Петър? a) 8 б) 9 в) 10 г) друг отговор Зад.8 Лицето на тъмната фигура (размерите са дадени в см) е: a) 83 кв. см б) 86 кв. см в) 90 кв. см г) друг отговор Зад.9 Автобус изминал определен маршрут от 2592 км за три дни. Първият ден изминал третинка от целия път, втория ден – четвъртинка от останалия. Колко километра е изминал автобусът през третия ден? a) 1296 км б) 1363 км в) 1728 км г) друг отговор Зад.10 Сборът на най-малките четири различни нечетни числа е равен на обиколката на квадрат (в см). На колко е равна обиколката на равностранен триъгълник със страна, равна на страната на квадрата? a) 12 см б) 15 см в) 18 см г) друг отговор Зад.11 Таксиметров паркинг с форма на правоъгълник има размери 9м и 48м. Една трета от него е свободна площ, а останалата част е разпределена на места за паркиране по 6 кв.м. Колко таксита могат едновременно да престояват в паркинга? a) 24 б) 48 в) 72 г) друг отговор Зад.12 В склад доставили 223 л препарати в бидони по 10 л и 17 л. Общо колко бидона са доставили в склада? a) 15 б) 16 в) 17 г) друг отговор Зад.13 Ася и Светла пристигнали на гости у Мирела. Ася пристигнала, когато часовникът показвал 13 часа и 15 минути, а Светла – когато часовникът показвал 13 часа и 32 минути. Оказало се, че Ася е пътувала от къщи до Мирела 58 минути, а Светла е тръгнала от дома си към Мирела с 43 минути по-късно от Ася. За колко време Светла се е придвижила от тях до Мирела? a) 32 мин б) 41 мин в) 43 мин г) друг отговор Зад.14 Колко са триъгълниците на фигурата? a) 14 б) 15 в) 16 г) друг отговор Зад.15 Намерете броя на всички четирицифрени числа, които могат да се напишат с цифрите 1, 3, 5 и 9, ако няма повтарящи се цифри и цифрите 3 и 9 не са една до друга. a) 8 б) 9 в) 10 г) друг отговор
Решения: Отговори: 1б); 2в); 3в); 4г) 34; 5б); 6в); 7в); 8б); 9а); 10а); 11б); 12б); 13а); 14 г) 17; 15г) 12 Зад.1 19259 + 5 . 48 – (714 : 7 + 2569) = = 19259 + 240 – (102 + 2569) = = 19499 – 2671 = 16828 отг. б) Зад.2 отг. в) Зад.3 х : 33 = 2525 : 25 х : 33 = 101 х = 3333 отг. в) Зад.4 Числата в редицата се получават като прибавяме последователно към всеки член числата 5, 10, 15, 20, 25. Следователно числото в правоъгълника трябва да е: 19 + 15 = 34 отг. г) Зад.5 Бананите от двете камери тежат 36306 . 2 = 72612 кг. Тогава портокалите от една камера тежат 72612 : 3 = 24204 кг отг. б) Зад.6 6418 – 2415 = 4003 волейболни топки 6418 + 1814 = 8232 футболни топки
6418 + 4003 + 8232 = 18653 общо топки 18653 : 811= 23 училища отг. в)
Зад.7 отг. в) Зад.8 Лицето на големия квадрат е 12 . 12 = 144 кв. см Лицата на неоцветените квадрати са: 4 кв. см; 16 кв. см; Лицата на неоцветените правоъгълници са: 3 кв. см; 35 кв. см; Лицето на оцветената част е 144 – 58 = 86 кв. см отг. б) Зад.9 2592 : 3 = 864 км първия ден (2592 – 864) : 4 = 1728 : 4 = 432 км втория ден 2592 – 864 – 432 = 1296 км третия ден отг. а) Зад.10 Сборът на най-малките четири различни нечетни естествени числа е 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Страната на квадрата е 16 : 4 = 4 см. Следователно обиколката на равностранния триъгълник е 3 . 4 = 12 см отг. а) Зад.11 Размерът на паркинга е 9 . 48 = 432 кв. м Свободната площ е 432 : 3 = 144 кв. м Останала част е 432 – 144 = 288 кв. м Броят на таксита, които могат едновременно да престояват в паркинга 288 : 6 = 48 отг. б) Зад.12 Означаваме броя на бидоните по 10 л с х, а броя на бидоните по 17 л – с у. Тогава 10 . х + 17 . у = 223 Първото събираемо завършва на 0, следователно второто трябва да завършва на 3, защото в дясната страна цифрата на единиците е 3. Оттук следва, че у = 9, 19, 29 … Ако у = 9
10 . х + 17 . 9 = 223 х = 7 Общо бидоните са 7 + 9 = 16 Ако у = 19, то 17 . 19 = 323, което е повече от 223. Следователно у = 19, 29, ... не са решения. отг. б)
Зад.13 Ася е пътувала от къщи до Мирела 58 минути, т.е. Ася е тръгнала от дома си в 12 часа и 17 минути. Тогава Светла е тръгнала от дома си в 13 часа и се е придвижвала 32 минути. отг. а) Зад.14 отг. г) 17 триъгълника Зад.15 Числата са: 1359 5319
1953 5913 3159 9135 3195 9153 3591 9513 3519 9531 и техния брой е 12
СМБ – Секция”ИЗТОК”
BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009 5 клас
Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. 15 тестови задачи са разделени на групи по трудност: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 - с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………….. училище…………………………..…….. град/село ………………………... Зад.1. Намерете най-малката десетична дроб, която се намира между 0,2 и 0,3 и има три цифри след десетичната запетая. Разделете я на 3 и от полученото число извадете частното 0,07 : 10. Кое число получихте? а) 0,06; б) 0,6; в)0,59; г) друг отговор. Зад.2. Най-малкото естествено число, което при деление с 2, 3, 4, 5, и 6 дава остатък 1 и се дели на 7 е: а) 210; б) 301; в) 144; г) друг отговор Зад.3. Крачката на жирафа е 0,9 м, а на малкото жирафче е 500 мм. Ако тръгнат от едно и също място, след колко най-малко сантиметра отново ще стъпят на едно и също място? а) 0,45 см б) 4,5 см в) 45 см г) друг отговор Зад.4. Намерете стойността на израза 3,33:.3 ++ xx , ако 3,25,20.8,3 =−x а) 11,3; б) 23,3; в) 20,3 г) друг отговор Зад. 5. Ако прибавим 3 към половинката от разликата на едно число с 1,4 ще получим същото число. Числото е: а) 2,6; б)3,6; в) 4,6; г) друг отговор Зад.6. Един часовник изостава 10 минути на всеки 24 часа. С колко минути напред трябва да се свери този часовник в 20 часа, за да показва точно време в 8 часа сутринта? а) 5 мин; б) 7 мин.; в) 4 мин.; г) друг отговор
Зад. 7. Ако ab
a 52552=
−+
, то с колко b е по-голямо от a?
а) 10; б) 15; в) 5; г) друг отговор Зад. 8. Лицата на три от стените на правоъгълен паралелепипед са съответно 8 кв. см, 24 кв. см и 3 кв. см. Ако размерите му са естествени числа, то обема на паралепипеда е: а) 35 куб. См б) 72 куб. См в) 24 куб. См г) друг отговор
Зад.9. Най-малките цели числа а и b отговарящи на условието 115
115,4
<<ba
са:
а) 9 и 22; б) 19 и 44; в) 27 и 55; г) друг отговор Зад.10 . Произведението на кои четири последователни естествени числа е 17 160? а) 12, 13, 14 и 15; б) 9, 10, 11 и 12; в) 9, 10, 11 и 12 г) друг отговор Зад.11. Колко числа е възможно да се поставят на мястото на * така, че
НОК(16, 50, * )=1200? а) 12; б) 15; в) 13; г) друг отговор Зад.12. Иванчо живее на 1260м от училище и тръгва в 7 ч и 30 мин. През първата половина от пътя изминава по 3м за 2 секунди. След това 4 мин. чака Марийка и другата половина от пътя се движи със скорост 4,2 км в час. В колко часа пристига Иванчо в училище? а) 7ч и 40 мин.; б) 7ч и 45 мин.; в) 7ч. и 50 мин.; г) друг отговор Зад. 13.Фигурата на чертежа е квадрат. Диагоналите на квадрата го разделят на четири триъгълника.Лицето на един от тези триъгълници е равно на най-голямото просто едноцифрено число. Намерете сбора от лицата на всички триъгълници на фигурата. а) 108; б) 84 ; в) 128 ; г) друг отговор Зад.14. В три кошници имало общо 60 яйца. В първата кошница били червени, във втората жълти и в третата зелени. Цвети взела 6 червени , 8 жълти и 4 зелени яйца, след което в трите кошници останали по равен брой яйца. Колко са били жълтите яйца? а) 22; б) 18; в) 14; г) друг отговор Зад.15. В един месец понеделниците били повече от вторниците, а неделите – повече от съботите. Какъв ден от седмицата е петият от този месец? а) понеделник; б) сряда; в) петък; г) друг отговор
Отговори и решения:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 А) Б) Г) 450 Б) В) A) B) В) Г)
3 7 Г) 10,11,12 И 13 Б) В) Б А) Г) чет.
1. Между 0,2 и 0,3 е 0,201 0,201:3=0,067 0,067-0,07:10=0,067-0,007=0,06 2. НОД(2, 3, 4, 5, 6) =60 60+1=61 120+1=121 180+1=181, 240+1=241 60.5 + 1= 301 първото число което се дели на 7 е 301 3. НОД(90,50) = 450см 4. 3,8.х-20,5=2,3 3,8.х=22,8 х=6 3.6+6:3+3,3= 23,3
5.Израза е: xx=
−+
24,13 x = 4,6
6. За 1час изостава с 2410 мин. 20ч. – 8ч. = 12часа
2410 .12=5 мин.
7. Дясната част представяме като неправилна дроб. a
aba 52
552 +=
−+ Числителите са равни, следователно
знаменателите са равни. Следва, че b = a+5 8. 1.3 = 3, 1.8 = 8, 3.8 = 24 V = 1.3.8 = 24 куб.см 10. 17160 = 2.2.2.3.5.11.13 2.5=10, 2.2.3=12 Отг. 10, 11, 12 и 13 11. Разлагаме числата 16 и 50 на прости множители. Възможните стойности на третото число, което да удовлетворява изискването НОК(16, 50,*) са 3; 6; 12; 15; 24; 30; 48; 60; 75; 120; 150; 300; 600 и 1200. 12. (630:3).2 = 420 секунди, 420:60 = 7 минути, 4,2 км/час = 70 м/мин. 630 : 70 = 9 минути 7+ 4 + 9 = 20 минути. Отг.750часа 13.Лицето на малкия триъгълник е равно на 7. В квадрата има 4 такива триъгълника и още 4 триъгълника, равни на половината от квадрата( с лице равно на 14). Следователно търсеният отговор е 4.7+4.14=28+56=84. 14. червени - х+6 жълти - х+8 зелени - х+4 3х+18=60 х=14 14+8=22 жълти 15. Четвъртък.
СМБ – Секция “Изток”BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26. 04.2009
6 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент : Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор . “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат . 15 тестови задачи са разделени на групи по трудности : от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки ; от 6 до 10- с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………………………………..училище………………..град…………... 1. Стойността на израза -12 : (6 . 5) + (15 : (-3)) . (-2) е:
А) 9,6 Б) -9,6 В) 10,4 Г) друг отговор 2. Лицето на трапеца АВСД ( АВ ⎜⎜СД) е 14см2. През върха С е построена отсечката СМ ⎜⎜ АД (М е от АВ), АВ = 1 дм, ДС = 40 мм. Лицето на ∆ МВС е : ` А) 6 дм2 Б) 0,12 дм2 В) 0, 6 дм2 Г) друг отговор
3. За именния си ден Велико очаквал да му дойдат на гости Калин, Явор и Митко. Майка му приготвила толкова сок, че всяко дете (включително и Велико) можело да изпие по две чаши. Но дошли непредвидени гости и станало така, че за всяко дете имало само по половин чаша сок. Колко са били непредвидените гости на Велико ? А) 8 Б) 12 В) 15 Г) друг отговор
4. Дадени са точките А(-2;-2), В(1;5) и С(-2;3) спрямо координатна система с единична отсечка 1 см. Лицето на триъгълника АВС е:
А) 7,5 кв. см Б) 15 кв. см В) 11 кв. см Г) друг отговор 5. На Великден Ани, Ванеса, Ема и Ива отишли в парка да се разхождат, като всяка от тях насила по едно яйце в син, червен, зелен и жълт цвят. Известно е, че Ани не е носила нито синьо, нито жълто яйце. Ема е носила или синьо, или жълто яйце; Ива не е носила нито червено , нито жълто яйце; синьо яйце е носила или Ема или Ани. Ани е носила: А) синьо яйце Б) червено В) зелено Г) друг отговор 6. Правилна пирамида има лице на околна повърхнина 144 см2 и лице на една околна стена 18 см2. Броят на ръбовете на пирамидата е:
А) 8 Б) 9 В) 12 Г) друг отговор 7. Дължината на правоъгълник е намалена с 10 %, а широчината му е увеличена с 10 %. Колко процента от лицето на стария правоъгълник е лицето на новия правоъгълник ? А) 90 % Б) 100% В) 99 % Г) друг отговор 8. Цената на автобусен билет Русе – София е 22 лева. Студентите ползват 30 % отстъпка. Цената на билета е увеличена с 10 %. След увеличението студенският билет струва :
А) 15,40 Б) 16,94 В) 24,20 Г) друг отговор
9. Стойността на израза 842
32
)4.()25.(10)125.(64
−
−
−−−−
е:
А) 54
− Б) 54
В) 254
Г) друг отговор
10. За правоъгълникът MNPC e е известно, че NP=MQ=6;BP=x+2; QN= x; AM=y; AC=2y. Лицето на ∆АВС е:
А) 8 Б) 10 В) 16 Г) друг отговор
11. Последната цифра на сбора 252009 + 362009 + 492009 е : А) 1 Б) 2 В) 0 Г) друг отговор 12. Лицето на защрихованата част на фигурата DEC (т. Е е среда на дъгата ЕС) е :
А) 16 - π Б) 16 - 2π В) 10 - 2π
Г) друг отговор 13. По случай Великден домакинът на футболен отбор е решил да подари по едно шарено яйце на футболистите, но имал съд, в който могат да се варят едновременно до 5 яйца. Като се знае, че яйце се сварява в кипяща вода за 4 минути, за колко най-малко минути домакинът ще свари 11 яйца? А) 12 Б) 10 В) 9 Г) друг отговор 14. На всеки 12 минути автобус тръгва от спирката, която е пред дома на Петър, към
училището и се движи със средна скорост 25 км/ч. Една сутрин Петър излязъл на спирката точно когато автобусът е потеглил. Той тръгнал (по същия път) към училището пеша със скорост 5 км/ч и пристигнал на спирката пред училището едновременно със следващия автобус. Колко километра е разстоянието от дома на Петър до училището му ?
А) 1,010 км Б) 1,250 км В) 6 км Г) друг отговор 15. За Великден баба Марина е боядисала 36 яйца по 6 яйца в 6 различни цвята: сини(с), червен(ч) , зелен (з), жълт (ж), лилав (л) и оранжев (о). Боядисаните яйца Ани подредила в кутия, като във всеки ред, стълб и диагонал има по едно яйце от всеки цвят. След няколко дни са останали няколко яйца , както е показано на таблицата (буквите означават цветовете). В клетка 12 яйцето е било боядисано в :
А) лилав цвят Б) жълт цвят В) зелен цвят Г) друг отговор
ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ –26. 04. 2009г.
ОТГОВОРИ и Решения - 6клас Отговори: 1а; 2г (0,06дм2); 3б; 4а; 5б;6г-(16);7в;8б;9б;10а;11в;12г( 10-π ) ;13в ;14б; 15г(червено) Кратки решения: Зад.1. Изразът -12 : (6 . 5) + (15 : (-3)) . (-2) = -12 : 30 + (-5) . (-2)= -0,4 + 10=9,6 Зад.2. 0,5(АВ+СД).h=SАВСД⇒ 0,5.(1+0,4). h=0,14 дм2 ⇒ h=0,2 дм. SМВС= 0,5.0,6.0,2 = 0,06 кв. дм. Зад.3 Приготвените чаши сок са 8, Наличният сок по половин чаша , ще се разпредели в 16 чаши. Следователно всички деца са 16 , а непредвидените 12. Зад.4. 5=АС , Височината към нея 3=ВН , SАВС= смквВНАС .5,73.5.5,0.5,0 == Зад.5. отг. червено Зад.6. n-ъгълната пирамида има х околни стени ⇒ n.18 = 144 , n = 144:18 = 6, 6-ъгълната пирамида има 12 ръба (6 основни и 6 околни ръба) Зад.7. Нека дадения правоъгълник има дължина а и ширина – в. След направените промени
Новият правоъгълник има дължина а1= а.10090
и ширина вв100110
1 = . ..
Тогава новия правоъгълник ще има лице SвававаS %99.10099.
100110.
10090. 111 ====
Зад..8. След увеличението автобусния билет е лв20,2422.100110
= , а студенският билет ще е с цена лв94,1620,24.10070
= .
Зад.9. ( )
( ) ( ) 54
52
2.55.22.5
64.25.104.125
4.25.10125.64 2
12822
169
242
83
842
32
====−−−
−−
−
Зад.10. СВ = 6+х - (х+2) = 4 см. у + 2у = 6 , у =2 , АС = 4. S∆АВС = 0,5.АС.СВ= 0,5.4.4 = 8 Зад.11. Цифрата на единиците на 252009 е 5, на 362009 е 6, а на 492009 е 9. Следователно цифрата на единиците на сбора им е 0 (5+6+9= 20). Зад.12. SАВCD= 8 . 4 = 32, а на полукръга SВСЕ=0,5.22.π =2π . Следователно лицето на фигурата ABECD e SABECD= SАВCD - SВСE = 32 - 2π . Нека т. F е средата на АD, тогава
SFECD= 21
SABECD =21
(32 - 2π ) = 16 - π . S∆DFE = 0.5 . DF . FE = 0.5.2.6 = 6. Лицето на
защрихованата част е SDEC = SFECD - S∆DFE = (16 - π ) – 6 = 10 - π . Зад.13. Отг: 9 мин. Нека да номерираме яйцата от 1 до 11 , както и съответните минути. Най-кратко време се получава , чрез подходяща смяна на яйцата, през всяка от минутите. Ето един от вариантите: През първите 4 мин. ще свари 5те яйца. През 5та мин. ще вари яйцата с 6,7,8,9,10, през 6та мин- 6,7,8,9,11; през 7та мин.- 6,7,8,10,11; през 8та мин- 6,7,9,10,11 и през 9та мин - 8,9,10,11
0,2.55x
25x
A C B Зад.14. За 12 мин = 0.2 ч, Петър измина SAC = 0.2.5 = 1 км. Когато автобуса тръгва от А за В, то тогава Петър тръгва от С за В. Нека след х часа автобуса и Петър пристигат в В. Тогава SCB = 5.x, a SAB=25 .x,. SAB = SAC + SCB,
25.x = 5.x + 1 кмкмShx AB 250,1.45
201.25
201
===⇒=⇒
Зад.15. Цвета на яйцето определяме в тази клетка , където по ред и стълб има 5 от буквите с, ч, з, ж, л, о. Нека да номерираме клетките. Ето и първите попълнени клетки: 17-ж;18-л;29-ч;22-л;8-ж;11-з;5-с;23-о;20-с;25-л;19-ж;24-3 и т.н.
ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА – 7 КЛАС, 26.04.2009
Времето за работа е 120 минути. Тестът съдържа 40 задачи. Задачите са два вида: с избираем отговор от четири възможности, от които само един е верен, и с кратък свободен отговор. Максималният брой точки от двете части е 80. Всяка от следващите 30 задачи има само по един верен отговор. Върху бланката за отговори отбележете cъс знака Х само този, който според Вас е верен. За грешен или непопълнен отговор, както и за посочени повече от един отговор на една задача, точки не се дават и не се отнемат. Ако прецените, че първоначалният Ви отговор не е верен, запълнете с химикалката съответния правоъгълник и зачертайте със знака Х буквата на друг отговор, който приемате за верен. Верният отговор на всяка задача от 1 до 15 включително се оценява с 1 точка. Верният отговор на всяка задача от 16 до 30 включително се оценява с 2 точки. Задачите от 31 до 40 нямат посочен отговор. Отговорът, който приемате за верен, попълнете в листа за отговори в празния правоъгълник срещу номера на съответната задача. Ако се налага да го поправите го зачертайте и до него напишете верния. Верният отговор на всяка задача от 31 до 40 включително се оценява с 3точки
1. Стойността на израза 4:3,021
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − е равна на:
А) 0,5 Б) 0,05 В) 0,4 Г) 0,3. 2. Единият от два съседни ъгли е равен на 25% от другия ъгъл. На колко градуса е равен по-големият ъгъл? А)1200 Б)1350 В)1440 Г) 1500
3. Сборът на корените на уравнението 12 +х =3 е: А) 1 Б) 4 В) 3 Г) – 1 4. Ако х+у – 5 =0, то 5 х – х2 – 2 ху – у2 +5у е равно на: А) 0 Б) 5 В) 25 Г) – 5 5. 0,01% от 1600 лв са: А) 0,16 лв. Б) 16 лв. В) 1,60 лв. Г) 160 лв.
6. Ако 25
4=
х, то 40% от х е:
А) 4; Б) 6 В) 10 Г) 20 7. Броят на целите числа х, за които е изпълнено 51 ≤≤ х е: А) 8; Б) 9 В) 10 Г) 11
8. Стойността на израза 6.( )
42
33
25.366125
−−
е:
А) 6 Б) 5 В) 25 Г) 36 9. На права са разположени точките А, В, С и D в посочения ред. Ако АС=6см, BD =8см и АD =10см, на колко е равна отсечката BC? А) 3см Б) 2см В) 4см Г) 5см 10. Ъглите на един триъгълник са в отношение 1:2:3. Най-големият външен ъгъл на триъгълника е: А) 30о Б) 1500 В) 135о Г) 120о
11.Триъгълник има страна 8см и височина към нея 6см и друга страна 6см. На колко е равна дължината на височината към нея? А) 4см Б) 8см В) 5см Г) 4,8см 12. Том може сам да боядиса ограда за 4 часа, а Джери – за 6 часа. За колко часа заедно ще боядисат оградата? А) 4ч. Б) 2ч. 24мин. В) 5ч Г) 3ч
13. Автомобил се движи със скорост 120 км/ч. За колко секунди ще измине 120 метра? А) 36 Б) 0,36 В) 1 Г) 3,6 14. Сборът на два от ъглите, образувани при пресичането на две прави, е 210о. Тогава мярката на разликата на два съседни ъгъла от получените ъгли е: А) 30о Б) 450 В) 20о Г) 35о
15. Средното аритметично на четири последователни четни естествени числа е 19. Най – голямото от тях е: А) 22 Б) 20 В)24 Г)21
144o
α
c
a
b16. На чертежа правата с пресича правите а и b. При каква стойност на α правите а и b са успоредни?: А) 40о Б) 38о В) 36о Г) 40о
17. Греда с кръгло напречно сечение тежи 300 кг. Колко ще тежи двойно по-дебела греда, но наполвина по-къса от първата? А) 300 кг Б) 150 кг В) 600 кг Г) 450 кг 18. Сега е 13 часа. Колко ще бъде часът след 579 часа? А) 13 Б) 18 В) 16 Г) 17
19. Да се пресметне стойността на израза 35m+49n, ако 24
2115=
+ nm:
А) 3
56 Б) 18,25 В)19 Г) 17
20. За триъгълник АВС А=400 и В =300. Намерете мярката на AHВ, където H e пресечната точка на продълженията на височините построени през върховете А и В. А) 700 Б) 800 В) 750 Г) 850
21. Мерките на два съседни ъгъла се отнасят както 1:5. Разликата между двата ъгъла в градуси е равна на: А) 108о Б) 150о В) 1200 Г) 135о
22. Една призма има 18 върха. Колко ръба има призмата? А) 27 Б) 18 В) 24 Г) 36 23. Разложете на множители израза х2 – 3х +2: А) (х –1)(х+2) Б) (х+2)(х – 2 ) В) (х –1)(х – 2 ) Г) (х+1)(х+2)
24. Пресметнете стойността на израза 1997.1998
2599719992 +− .
А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 0 25. Колко пъти за едно денонощие минутната и часовата стрелка сключват ъгъл 100? А) 24 Б) 36 В) 48 Г) 36 26. На двора на училището строяват група ученици в редици. Когато се строяват в редици по 4, по 5, или по 6 ученика Иванчо все оставал сам в последната редица. Чак при строяване по 7 всички редици били пълни. При колко най-малко ученици тази ситуация е възможна? А) 121 Б) 601 В) 301 Г) 181 27. В магазин има 25 касетки домати от 3 различни сорта. Кое от посочените твърдения е винаги вярно: А) има поне 9 касетки от един и същ сорт Б) има точно 9 касетки от един и същ сорт В) има поне 10 касетки от един и същ сорт Г) има най-много 9 касетки от един и същ сорт
28. На чертежа ∆АВС е правоъгълен с ∡АСВ=90о, ∡CАВ=600, AL е ъглополовяща на ∡CАВ и CH⊥АL. Ако AH=3,6 cм намерете LH. А) 1 см Б) 1,2 см В) 1,5 см Г) 1,8 см
29. Числената стойност на израза 2
3
2009402220098+
− е равна на:
А) –2009 Б) 2007 В) –2007 Г) –2008 30. Страната на квадрата АВСD е 2 см. Построени са два кръга с центрове съответно А и D и с радиуси по 2 см. Намерете лицето на общата част на двата кръга (затъмнената част). А) 2 1−π Б) 2 4π − В) 2 1+π Г) 3 1−π 31. За ъглите А и В на триъгълника АВС е изпълнено равенството А = 900+ В. Построени са вътрешната ъглополовяща СL и външната СМ ( )праватаABMстранатаABL ∈∈ ; . Намерете лицето на триъгълника CML, ако СL =10см. 32. В уравнението 2(kx–3)=3kx параметърът k e цяло число. За колко на брой стойности на параметъра, коренът на уравнението е естествено число? 33. В триъгълник АВС с АСВ=120 0 симетралите на страните АС и ВС пресичат АВ съответно в точките Е и Р. На колко градуса е равен ЕСР? 34. Представете в нормален вид произведението (у2+2у+2)(у2–2у+2). 35. Иво отива на училище за 30 мин. а сестра му за 60 мин. Една сутрин Иво тръгнал 10 минути след сестра си. Каква част от пътя е изминал Иво, когато настигнал сестра си? 36. Три приятелки Русева, Чернева и Рижева се срещнали. Чернокосата казала: „Вярно е, че едната от нас е рижа, втората е руса, а третата е чернокоса, но името на всяка от нас не съвпада със цвета на косата и”. „Да, права си” – потвърдила Русева. Какъв е цвета на косата на Рижева?
37. Разложете на множители многочлена: х4 + 4 38. В триъгълник АВС ∡А=3ψ, а ∡В=2ψ. Точка О е вътрешна за триъгълника, така че ∡ОАВ=∡ОВА=ψ. Намерете ∡СОВ, ако ∡АСВ=1050. 39. Решете уравнението х2 +(х – 1)2 +(х – 2)2 = 12 +22 +32
40. Вън от триъгълника АВС са построени равнобедрените триъгълници BCD (BC=CD), ACE (AC=CE), като ∡BCD=∡ACE. Ако AD пресича BE в точката O и ∡AOB=140о, намерете ∡CBD.
Име: ………………...………………………………………...........……................. Училище: ……………………………………… гр./с.: …………………..
Въпрос N Отг. Отг. Отг. Отг. 1 А Б В Г 2 А Б В Г 3 А Б В Г 4 А Б В Г 5 А Б В Г 6 А Б В Г 7 А Б В Г 8 А Б В Г 9 А Б В Г 10 А Б В Г 11 А Б В Г 12 А Б В Г 13 А Б В Г 14 А Б В Г
15 А Б В Г
Въпрос N Отг. Отг. Отг. Отг. 16 А Б В Г 17 А Б В Г 18 А Б В Г 19 А Б В Г 20 А Б В Г 21 А Б В Г 22 А Б В Г 23 А Б В Г 24 А Б В Г 25 А Б В Г 26 А Б В Г 27 А Б В Г 28 А Б В Г 29 А Б В Г 30 А Б В Г
Въпрос N Отг. Отг. Отг. Отг. 31
32
33
34 35
36 37 38
39
40
Бр. верни отговори:………….x 1 точка Бр .верни отговори……….х 2точки Бр. верни отговори …………х 3точки ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:............................... ПРОВЕРИЛ : ……………………………….
ВЕРНИ ОТГОВОРИ Име: ………………...………………………………………...........……................. Училище: ……………………………………… гр./с.: …………………..
Въпрос N Отг. Отг. Отг. Отг. 1 А Б В Г 2 А Б В Г 3 А Б В Г 4 А Б В Г 5 А Б В Г 6 А Б В Г 7 А Б В Г 8 А Б В Г 9 А Б В Г 10 А Б В Г 11 А Б В Г 12 А Б В Г 13 А Б В Г 14 А Б В Г
15 А Б В Г
Въпрос N Отг. Отг. Отг. Отг. 16 А Б В Г 17 А Б В Г 18 А Б В Г 19 А Б В Г 20 А Б В Г 21 А Б В Г 22 А Б В Г 23 А Б В Г 24 А Б В Г 25 А Б В Г 26 А Б В Г 27 А Б В Г 28 А Б В Г 29 А Б В Г
30 А Б В Г
Въпрос N Отг. Отг. Отг. Отг. 31 50 32 4
33 60о
34 y4+4 35 1/3 36 черна 37 (x2+2x+2)( x2-2x+2) 38 135o
39 −1 и 3 40 70о
Бр. верни отговори:………….x 1 точка Бр .верни отговори……….х 2точки Бр. верни отговори …………х 3точки ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:............................... ПРОВЕРИЛ : ……………………………….
Отговори: 1-Б 2-В 3-Г 4 –А 5-А 6 – А 7 – В 8 – Б 9 – В 10 – Б 11 – Б 12 – Б 13 – Г 14 – А 15 – А 16 – В 17 – В 18 – В 19-А 20-А 21 – В 22 –А 23 – В 24 – А 25- В 26- В 27 – А 28 – Б 29 – В 30 – Б
СМБ – Секция”ИЗТОК”BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009
8 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент : Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор . “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат . 15 тестови задачи са разделени на групи по трудности : от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки ; от 6 до 10- с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………………………………..училище………………..град…………...
1зад. Стойността на израза ( )( ) ( )4 2 2 3 6 2 3 3 48 75 12 3− + − − + е равна на: а) 33 б) 24 в) 27 г) друг отговор
2зад. Да се реши уравнението 3131
=+x
x (х 0). ≠
а) 2 и 21
б) 3 и 31
в) 2 и 3 г) друг отговор
3зад. Върху страната AB на е избрана точка M, така че AM:MB=3:5. Да се изрази векторът ABCΔ CM чрез
векторите CAa = и CBb = .
а) ba85
83
+ б) ba83
85
− в) ba83
85
+ г) друг отговор
4зад. Колко корена има уравнението ( )( )423693 22 −+−=+− xxxxx ? а) 1 б) 2 в) 3 г) друг отговор 5зад. Триъгълникът ABC с и е вписан в окръжност. Намерете ъглите на , чийто върхове са пресечни точки на ъглополовящите на
°=∠ 30B °=∠ 70C 111 CBAΔABCΔ с окръжността.
а) б) в) г) друг отговор °°° 70,30,80 °°° 75,55,50 °°° 50,30,1006зад. Да се намери сумата на всички решения на уравнението 1132 =+− xx .
а) 1 б) 3 в) 5 г) друг отговор 7зад. Нека P и Q са произволни точки съответно върху основите AB и CD на трапеца ABCD. Ако 23=ΔABQS кв.см и
кв.см. намерете лицето на трапеца. 18=ΔCDPSа)46 кв.см б) 41 кв.см. в) 43 кв.см. г) друг отговор 8зад. Колко са двуцифрените числа ab , за които сумата на числата ab и ba е квадрат на цяло число? а) 3 б) 5 в) 8 г) друг отговор
9зад. Да се пресметне стойността на израза 33
22
baabba
++
, ако 5=−+
baba
.
а) 2 б) 4 в) 6 г) друг отговор 10зад. В успоредника ABCD точката P е среда на страната AD , а Q е пресечна точка на BP и AC. Ако =APQS 5 см, намерете лицето на успоредника ABCD . а) 20 кв.см б) 30 кв.см. в) 40 кв.см. г) друг отговор 11зад. Да се определят числата a , b и c така, че равенството ( ) ( )( ) 113232 =+−++− cbxxaxx да е изпълнено за всяка стойност на x.
а) 109
, 103
− ,54
б) 107
, 53
, 103
в) 53
, 107
, 103
г) друг отговор
12зад. В четириъгълника MNPQ страните MN и NP са равни, а °=∠=∠ 90MQPMNP . Намерете лицето нчетириъгълника, ако разстоянието от върха N до страната MQ е равно на 3 см. а) 6 кв см б) 8 кв см в) 9 кв.см г) друг отговор
13зад. Да се пресметне стойността на дробта baba
22
−+
, ако и abba 1366 22 =+ ba <<0 .
а) б) 3 в) 1 г) друг отговор 2−14зад. Мерките на ъглите A , B и C на се отнасят както 5:3:2. Медианата ABCΔ AD към страната BC пресича ъглополовящата CE в т.F. Какво е съотношението на отсечките AE и FE ? а) AE>FE б) AE<FE в) AE=2.FE г) друг отговор 15зад. . Да се намери най-малката цяла стойност на m , при която уравнението има корени, по-големи от .
( ) 02122132 =+−−+ mxmx10−
а) 2 б) в) 3− 1− г) друг отговор
Отговори: 1 в; 2 б; 3 в; 4 в; 5 б; 6 г 0; 7 б ; 8в; 9 г 76 ; 10 г 60 кв.см.; 11 а; 12 в; 13 а; 14 г AE=FE; 15 в.
Решения: 1 зад. ( )( ) ( ) 312754833263224 +−−+− = −−+− 3.66126122.24( ) 27318483323534 =−−=+−−
2 зад. Уравнението се преобразува в квадратно уравнение с решения 3 и 03103 2 =+− xx31 .
3 зад. ABAM83
= ( ) ababaAMCACM85
83
83
+=−+=+=
4 зад. ( )( )423693 22 −+−=+− xxxxx ( ) ( )( ) 0423233 22 =−+−−+−⇒ xxxxx ( )( ) 043232 =+−+−⇒ xxx от от 0232 =+− xx 1,2 21 == xx 07 =− x 73 =⇒ x .
5 зад Всеки ъгъл на е равен на сбора от половинките на два ъгъла от . 111 CBAΔ ABCΔ6 зад Могат да се намерят корените като се използва понятието абсолютна стойност.Ако вземем предвид обаче, че ( ) 1313 0
200
20 +−=+−−− xxxx следва, че всички корени на уравнението могат да се разделят
на двойки противоположни числа, така че сумата на всички корени е равна на 0.
7 зад. Ако h е височината на трапеца 2
.hABSABQ = 2
.hCDSCDP =
411823.2
=+=+=+
= CDPABQABCD SShCDABS кв.см
8 зад. . ( )baabbabaab +=+++=+ 111010 181 ≤+≤ ba ( )ba +11 е квадрат, когато 1=+ ba числата са 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 и 93.
⇒
9 зад От 235
1
15 =⇒=
−
+⇒=
−+
ba
baba
baba . Тогава
76
123
23
23
113
2
3
2
3
33
2
23
33
22
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=++
ba
ba
ba
bab
ba
bab
baabba
10 зад. Ако , в BDACO ∩= ABDΔ BP и AO са медиани точката Q е медицентър в ⇒ ABDΔ и го дели на шест равнолицеви , един от които е Δ 305.6 ==ΔAPQ кв.см. 6030.2 ==⇒ ABCDS кв.см 11 зад. Ако равенството е изпълнено за всяка стойност на х, при 0=x 02 =− ca (1),при 1=x
(2) и при (3). След решаване на системата (1), (2) и (3) получаваме ( ) 12 =+ cb 2=x ( ) 125 =+ cb109
=a ,
103
−=b , 54
=c .
12 зад. Ако S е пета на перпендикуляра от N към MQ ( NS е разстоянието от върха N до страната MQ ), а K е пета на перпендикуляра от N към страната PQ, PQK ∈ ). KPNSMN Δ≅Δ ( )PNMN =
°=∠=∠ 90NKPNSM KNPSNM ∠=∠ ( взаимно ⊥ рамене) NKSN =⇒ ⇒ =+= KNPMQKNMNPQ SSS
932 ===+= SQKNSMNMQKN SSS кв.см.
13 зад. ⇒=−+−⇒=−−+⇒=+ 04696049661366 222222 abbabaababbaabba ( )( ) 02332 =−− baba (1) от (2), от (1) и (2) 032320 <−⇒<⇒<< bababa abba 32023 =⇒=−⇒
22
433
2_2
−=−
=−+
=+
aa
aaaa
baba .
14 зад. От °=∠°=∠°=∠⇒=∠∠∠ 36,54,902:3:5:: CBACBA . AD е медиана - равнобедрен и от
ADCΔ⇒°=∠=∠⇒ 36CADACD ABDΔ - равнобедрен °=∠=∠⇒ 54ABDDAB . CE -ъглополовяща на
FEAEFAEAFEAFEACFACB =⇒∠=∠⇒°=°+°=∠⇒°=∠⇒∠ 54361818 .
15 зад. ( ) ( )
2848219213 2
2,1−+−±−−
=mmm
x =( ) ( )
21663
21663 2 +±+−
=+±+− mmmm 161 −= mx
. Но 22 −=x 102 −>−23961016 −>⇒−>⇒−>−⇒ mmm . Най-малкото цяло решение е 1− .
СМБ – Секция “Изток”BEЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26. 04.2009
9 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент : Всяка задача oт 1 до 15 има само един верен отговор . “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат . 15 тестови задачи са разделени на групи по трудности : от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки ; от 6 до 10- с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име……………………………………………………..училище………………..град…………... 1. Изразът ( )( )( )( )2121 −−++ xxxx е тъждествен на :
а) ; б) ; в) ; г) друг отговор. 14 −х 45 24 +− хх 452 24 −− хх
2. Корените на уравнението 6
2189
93 2 −
=+−
+− xxxxx са:
а) 5 и 3; б) 3; в) 5; г) друг отговор. 3. Трапец е вписан и описан във и около окръжност. Ако едно от бедрата му е 10, а основите се отнасят
както 2:3, то голямата основа е : а) 6; б) 10; в) 12; г) друг отговор.
4. В точка G е медицентър, а М, К и Р са среди на отсечките AG, BG и CG. Ако периметърът на MKР е 8, то периметърът на ABC е:
АВСΔ
а) 16; б) 12; в) 24; г) друг отговор. 5. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност с диаметър AC. Точка B е среда на дъгата AC, а дъгите
AD и DC се отнасят, както 1:2. Острият ъгъл между диагоналите AC и BD е: а) 450; б) 600; в) 750; г) 800.
6. Стойностите на х, за които изразът 44
23
12 +−
−+
− ххх
х е дефиниран са:
а) ; б) ; в) 3;2≠х 2<х 2≤х ; г) . 2≥х7. Нека , х0≠а 1 и х2 са корени на , стойността на е: 0282 =+− ахх 2
221 хх +
а) а4 ; б) 64; в) 2
2 464 аа
− ; г) друг отговор.
8. Корените на уравнението ( ) 02812 =−− xx са: а) ±9 и 2; б) 9 и 2; в) – 9 и 2; г) друг отговор.
9. В четириъгълника ABCD точките M, N, P и Q са среди на страните AB, BC, CD и DA. Ако MN = 2, МQ = 5 и , то лицето на ABCD е: BDАC ⊥а) 10; б) 15; в) 40; г) друг отговор.
10. А, Б, В, Г са четири града, като всеки е свързан с останалите с директен път. Временно директният път между А и Г е затворен. Броят на различните маршрути от А до Г, като през всеки град се минава не повече от един път, по време на ремонта е: а) 2; б) 3; в) 4; г) 8.
11. Реалните числа x и y са решения на системата 4
7==+
хуух , стойността на е: 33 хуух +
а) 2
337 + ; б) 2
337 − ; в) 3333 ; г) друг отговор.
12. Броят на целите стойности на n, за които 43
941
12 −+
−+
− nnn
n приема цели стойности е:
а) 3; б) 4; в) безброй много; г) няма такива. 13. В точка М е среда на ВС, а К и Р са от АВ и АР = РК = КВ. Ако лицето на КРМ е S, то лицето
на е: АВСΔАВСΔ
а) 4S; б) 6S; в) 8S; г) друг отговор. 14. Броят на диагоналите на изпъкнал 2009-ъгълник е:
а) 2009; б) 2009.1003; в) 2009.2008; г) друг отговор. 15. Ако х1 и х2 са корени на уравнението , то стойността на израза
е: 0722 =−+ xx
20092
20102
20112
20091
20101
20111 7272 xxxxxx −++−+
а) ( )200981±− ; б) ( ) ( )20092009
8181 −−++− ; в) 2009; г) друг отговор.
Отговори и упътвания 9 клас :
1б); 2в); 3в); 4а); 5в); 6б); 7г) 64-4а; 8в); 9г) 20; 10в); 11г); 164; 12а); 13б); 14б); 15г) 0 Зад 2: Корени са 5 и 3, но само 5 е от дефиниционната област. Зад 3: От свойството на вписан и на описан трапец трапеца е равнобедрен и сборът на основите ( 2х и 3х) е равен на сбора от бедрата. 2х + 3х = 20 х = 4 голямата основа е 12.
⇒⇒ ⇒
Зад 4: с коефициент 1:2. MNPABC ΔΔ ~ Зад 7: От формулите на Виет и от преобразуванието ⇒ ( ) axxxxxx 4642 21
221
22
21 −=−+=+ .
Зад 8: От очевидните корени ± 9 и 2, числото 9 не е от дефиниционната област. Зад 9: MN и QP са средни отсечки в ABC и ADC ⇒ MN и QP са успоредни и равни на половината от AC
MNPQ е успоредник и AC = 2MN = 4. Аналогично BD = 2QM = 10. ⇒
⇒ .202.
2( )
2.
2.
==+
=+=+=BDACDOACDOACBOACSSS ADCABCABCD
BO
Зад. 11: ( ) ( )[ ] ( ) 164849.4222233 =−=−+=+=+ xyyxxyyxxyxyyx .
Зад 12: След преобразувания получаваме 4
543
941
12 +
=−+
−+
− nnnn
n⇒ (n + 4) трябва де е целочислен
делител на 5 ⇒ (n + 4) 5;1;1;5 −−∈ ⇒ 1;3;5;9 −−−∈n , но 1≠n ⇒ 3;5;9 −−−∈n . Зад 13: SSS PKMKBM == (обща височина). Аналогично получаваме SSS PMBPCM 2== и
⇒ 2:3:: == BPABSS PBCABC SSSS PBCABC 64.23
23
=== .
Зад 14: Нека разгледаме всички отсечки с краища n точки в общо положение. Първия край избираме по
n различни начина, а втория по n – 1 (от останалите точки) общия брой отсечки е ⇒2
)1( −nn от тях
изваждаме n отсечки (страни) и за диагоналите остават 2
)3( −nn .
Зад 15: Преобразуваме изразът = 2009
220102
20112
20091
20101
20111 7272 xxxxxx −++−+
( ) ( ) 00.0.7272 20092
200912
22
200921
21
20091 =+=−++−+= xxxxxxxx
Стефчо Наков Монтана
СМБ – Секция “Изток” Великденско математическо състезание 26.04.2009г.
10 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 15 има само един верен отговор. “Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки, от 6 до 10 с по 5 точки и от 11 до 15 с по 7 точки.. Организаторите Ви пожелават успех ! Име............................................................................училище.................................…......... ……град...........
1 зад. Стойността на израза
( ) ( )
1 2
21 2
1 22 5 4 0,53
− −
−− −
+
⎛ ⎞ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
е:
а) 14
б) 16
в) 1
10− г) друг отговор
2 зад. Частното на 32 : 2 е :
а) 2 б) 3 2 в) 6 2 г) друг отговор .
3 зад. Стойността на израза ( ) ( )( ) ( )
cos 180 90
sin 90 cot 180
tg
g
α α
α α
+ +
− −
o o
o oе :
а) 1 б) -1 в) tgα г) друг отговор 4 зад. В ∆АВС : : 1: 3 :8.α β γ = Ако АВ = 10 см , страната АС е : а) 1 0 6
3 б) 10 в) 2 5 г) друг отговор. 2
g 3 g 11
5 зад. Ако страните на триъгълник са 5, 16 и 19, то триъгълникът е : а) правоъгълен б) тъпоъгълен в) остроъгълен г) друг отговор 6 зад. Дадени са числата а= lo , b= , c= lo . Кое неравенство е вярно : 5 2log 0,7 6
а) a<b<c б) b<c<a в) b<a<c г) друг отговор
7 зад. Решенията на неравенството ( )( )( )( )
2 8 16 10
5 3x x x
x x− + −
≥+ −
са:
а) ( ] (5,1 3,− ∪ +∞) б) ( ] [ ], 5 1,3−∞ − ∪ в) ( ) [ ),5 1,3−∞ ∪ г) друг отговор.
8 зад. Катетите на правоьгьлен ∆АВС (∠C=900) са 3 см и 4 см. СН и СL (H, L∈AB) са съответно височина и ъглополовяща през върха С. Дължината на отсечката НL е :
а) 3735
б) 2 в) 1 2 г) друг отговор 3 5
9 зад. Стойността на израза 2 2
sin 603s е: in15 sin 75sin 15 cos 165
−−
oo o
o o
а) 14
− б) 74
в) 3 2 34
− г) друг отговор.
10 зад. Ако 18х2у и 10ху са точни квадрати, където х и у са естествени числа, то най-малката възможна стойност на х+у е : а) 16 б) 36 в) 34 г) друг отговор.
11 зад. Стойността на ( )( )7 2 43
log 5 log 3 log 83349 8 5.log 3+ −3 9 е :
а) 598 б) 45 3 2− в) 3 8 2 г) друг отговор. 2 0 0 3−
12 зад. Корените на уравнението ( )2 7,2 3,95 3 9 3x xx − +− − 0= са :
а) 15
б) 15
, 5, 7 в) 15
, 5 г) друг отговор.
13 зад. Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за които уравнението ( ) ( )21 3 2 1 3 1 0x xa a− − − − = има два различни реални корена : а) ( б) )1,+∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎛ в)⎝
−∞−23, ⎥
⎦
⎤⎜⎜⎝
⎛−∞−
23, г) друг отговор.
14 зад. Точката I е център на вписаната в ∆АВС окръжност. Ако АI=15, ВI= 5 , АВ=25, то АС и ВС са съответно: 7а) 16, 21 б) 23, 36 в) 23, 21 г) друг отговор 15 зад. Даден е равнобедрен трапец с основи 16 и 4, в който може да се впише окръжност. Радиусът на описаната около трапеца окръжност е :
а) 5 4 12
б) 2 41 в) 4 г) друг отговор.
10 клас 1а); 2в); 3б); 4а); 5б); 6в); 7г) ( ) [ ) , 5 1,3 4−∞ − ∪ ∪ ; 8в); 9б); 10г) 7; 11а); 12в); 13б); 14в); 15г) 5 4 1
4
ОТГОВОРИ: Решения: 1 зад. 2 зад
( ) ( )
1 2
21 2
1 511 2 14 49 5 5 42 45 4 0,5 4 43
− −
−− −
++= =
⎛ ⎞ − ++ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= 3
6 63 23 662
22: 2 2 : 2 22
= = =
3 зад. ( ) ( )
( ) ( )( )( )
cos 180 90 cos cot1
cos cotsin 90 cot 180
tg ggg
α α α αα αα α
+ + − −= =
−− −
o o
o o−
4 зад. 5 зад. : : 1:3:8.β γ = k α α = , 3kβ = , 8kγ = 52+162=25+256=281<192=321
k+3k+8k=180º k=15º , , 15α = o 45β = o 120γ = o
10sin120 sin 4510
3 22 2
10 63
AC
AC
AC
=
=
=
o o
6 зад. а= lo , b= , c= lo . 5g 3 g 112log 0,7 6
50 log 3 1< < 2log 0,7 0< 6log 11 1>b<a<c 7 зад.
8 зад.
( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( ) [ )
2
2
8 16 10
5 3
4 10
5 3
, 5 1,3 4
x x xx x
x xx x
− + −≥
+ −
− −≤
+ −
−∞ − ∪ ∪
АВ=5, АL= 157
, BL=207
, AH=95
, HL= AL-AH=15 9 75 63 127 5 35 35
−− = =
9 зад.
2 2 2 2
3 3s in 6 0 3 32 23 sin 1 5 sin 7 5 2 sin 1 5 co s 1 5 sin 3 0
sin 1 5 co s 1 6 5 2 co s 1 5 sin 1 5 2 co s 3 03
3 1 3 72 12 2 4 43
2
− = + = +− −
= + = + =
oo o o o o
o o o o=
o
10 зад. Щом 18х2у е точен квадрат следва, че 2у е точен корен. Н.м у=2. Тогава 10х2 е точен квадрат за н.м х=5. Следователно х+у =7 11 зад.
( )( ) ( )
( )( )
27 72 4 2
3
3log 2log 5 2log 5log 3 log 8 3log 33 233
3 3
549 8 5.log 3 9 3 7 2 5.3. log 3 33
25 3 25 3 625 27 598
⎛ ⎞+ − = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + − = − =
=
12 зад.
( )2 7,2 3,95 3 9 3x xx − +− − 0=
ДМ х≤5
х =5 или
( )2
2
7,2 3,9
57,2 3,9 2
2
2
2
1 2
3 9 3
3 37,2 3,9 2,5
10 72 14 05 36 7 0
324 35 2891 , 75
x x
x x
x xx x
x xD
0
x x DM
− +
− +
− =
=
− + =
− + =
− + == − =
= = ∉
Зад.13 Полагаме 3х= u и пол. . Това уравн. трябва да има 2 полож. корена, т.е. да се реши
системата
( ) ( )21 2 1 1a u a u− − − − = 0
00
001
21
21
>>+
>≠−
uuuu
Da
Зад 14.
От косинусова теорема за ∆ABI 9cos
2 10α= откъдето
31cos50
α = . Ако доп.т на вп окр до АВ, ВС, АС са
съответно M, N, P, намираме AM=AP=272
, BM=BN=232
( от правоъгълни триъгълници AMI и BMI). Озн.
CP=CN=x , прилагаме кос.т. за ∆АBС и намираме х=192
. Тогава АС=23, ВС=21
Зад.15
От описан четр. следва АД=ВС=10. Ако СМ е височина, от ВМС се намира МВ = 6 и СМ=8 4sin5
β = и от
АМС – АМ=10, АС= 2 41 . Прилагаме синусова теорема за АВС и намираме
2sin
2 5sin 4
AC R
ACR
β
β
=
= =41
Ани Кюркчиева, Кюстендил
СМБ – Секция”ИЗТОК”ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009 г.
11 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка зад. от 1 до 15 има само един верен отговор. „Друг отговор“ се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите са разделени на групи по трудности: от 1 до 5 се оценяват с по 3 точки; от 6 до 10 – с по 5 точки и от 11 до 15 – с по 7 точки. Организаторите Ви пожелават успех ! Име…………………………………………………училище..……………………….……….град…………. 1 зад. Един търговец купил 50 кг ябълки за 80 лв. и още 30 кг ябълки за 55,20 лв.
Колко струва средно 1 кг ябълки? А) 1,67 лв. Б) 1,69 лв. В) 1,70 лв. Г) друг отговор
2 зад. За една аритметична прогресия е известно, че 100 80: 1a a = − .
C
M A
B
Един от членовете на прогресията е равен на нула. Кой е номерът му? А) 20 Б) 90 В) 180 Г) друг отговор 3 зад. За равнобедрения ABCΔ от чертежа е известно, че ∠BAC=30o.
Ако BM BC⊥ и BM има дължина 3 см, то AC има дължина: А) 9 см Б) 6 см В) 3 см Г) друг отговор
4 зад. Ако 12sin13
α = и , то (90 ;180 )α ∈ o o cotgα е равен на:
А) 512
− Б) 512
В) 513
− Г) друг отговор
5 зад. В декартова координатна система Ox е дадена точката Ако за точките y (1;0).A B и е известно, C
че 3
2π=∠AOB и
34π
−=∠AOC , то най-малката неотрицателна стойност на е равна на: COB∠
А) 2π Б) 2 / 3π В) / 3π Г) друг отговор 6 зад. Колко петцифрени числа с различни цифри могат да се запишат с четните цифри?
А) 5! Б) 5!−4! В) Г) друг отговор 55C
7 зад. Единичната окръжност от чертежа се използва, за да се докаже, че: А) sin(90 ) cosα α+ = −o Б) cos(180 ) sinα α+ =o В) sin(270 ) cosα α− = −o Г) cos( 90 ) sinα α− =o
8 зад. Кое от числата НЕ може да бъде вероятност на някакво събитие?
А) 3
2 Б) sin В) 2009 1+o 2 2− Г) sin 2009 1−o
9 зад. Ако , то стойностите на (30 ;120 )α ∈ o o sinα са в интервала:
А) 1 2;2 2
⎛⎜⎜⎝ ⎠
⎞⎟⎟
Б) 1 3;2 2
⎛⎜⎜⎝ ⎠
⎞⎟⎟ В)
1 ;12
⎛⎜
⎤⎥⎝ ⎦
Г) друг отговор
10 зад. Ако за ъглите , и α β γ на един триъгълник е вярно, че sin cos .sinγ α β= , то
n
: А) Б) В) Г) друг отговор 090α = 090β = 090γ =
11 зад. Да се намери най-големия елемент на редицата с общ член . 22009 39 2na n= + −А) 2009 Б) 2199 В) 10 Г) друг отговор
12 зад. Ако медианата на извадката 8; 10; 15; 3; 23; 3; 24; 8; 10; Х е равна на 9, то стойността на Х е: А) 8,5 Б) 9 В) 10 Г) друг отговор
13 зад. Три ненулеви числа образуват аритметична прогресия, а техните квадрати в същия ред образуват геометрична прогресия. Частното и е равно на:
А) 2 или 3 Б) -1 или 1 В) 1 или 3 2 Г) друг отговор 2±14 зад. Катетите на правоъгълен триъгълник се отнасят както 1:4. Тангенсът на острия ъгъл между медианите към
тях е равен на: А) 6/17 Б) 2/9 В) 7/8 Г) друг отговор
15 зад. Средната височина на двадесетте ученици в един клас била 1,70 м. Дошъл нов ученик и средната височина станала 1,71 м. Колко е висок новият ученик? А) 1,71 м Б) 1,80 м В) 1,85 м Г) друг отговор
Отговори: 1б; 2б; 3а; 4а; 5г 0; 6б; 7в; 8г; 9в; 10б; 11б; 12г Х≤8; 13в; 14а; 15г) 1,91
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Б Б А А Г;
0 Б В Г В Б Б Г; В А Г;
1,91
Секция “Изток” – СМБ ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 26.04.2009г.
12 клас Времето за решаване е 120 минути. Организаторите Ви пожелават успех! Име...............................................................................училище.........................град......................
ПЪРВА ЧАСТ Всяка задача има само един верен. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите се оценяват с по 2 точки:
1зад. Броят на различните цели числа, които са решенията на неравенството ( )( )( ) 0
431
≥−−−
xxxx , е равен на:
а) 1; б) 2; в) 3; г) друг отговор
2зад. Стойността на израза 20092008
1......32
121
1+
+++
++
е равна на:
а) 1 б) 20091− в) – 1 г) друг отговор
3зад. Ако 110110
2008
2007
++
=A и 110110
2009
2008
++
=B , то:
а) A B< б) A B= в) A B> г) не могат да се сравнят 4зад. Решенията на неравенството 652 <− xx са:
а) ( ) ( )6;32;1 ∪− б) [ ]6;1− в) [ ] [ ]8;65;3 ∪− г) друг отговор
5зад. За системата 65
2033
22
=+
=+
yxxyyx
стойността на xy е:
а) 1 б) 4 в) 3 г) друг отговор
6зад. Ако 21 xx < са корените на уравнението 25
213
132
=++
+++
xx
xx , то 21 xx − е равно на:
а) 115
− б) 1127− в)
1196− г) друг отговор
7зад. Ако в правоъгълен триъгълник медиана с дължина m дели правия ъгъл в отношение 1:2, то лицето на триъгълника е равно на:
а) 22m б) 2
32m в) 32m г) друг отговор
8зад. Ако за ∆ABC 00 45,105 =<=< ABCBAC и височината към ВС е равна на 3 см, то дължината на страната АВ е равна на: а) 26 б) 36 в) 23 г) друг отговор
9зад. В ABCΔ точката M е средата на страната AB , точката N е средата на CM , 25
CP CA= ( P AC∈ ) и
13
CQ CB= (Q BC∈ ). Ако лицето на CPNΔ е 12 см2, то лицето на ∆BQN е равно на:
а) 10 cm2 б) 20 cm2 в) 30 cm2 г) друг отговор 10зад. Ако за ∆АВС ( 1== CBCA ) AL, BE и CF са ъглополовящи и точките Е, F, L и С лежат на една окръжност, то дължината на страната АВ е равна на: а) ( )1175,0 − б) 117 − в) ( )1175,0 + г) друг отговор
11зад. Ако 21
2=
αtg , то стойността на израза αα 44 cossin − е равна на:
а) 53 б)
51
− в) 257
− г) друг отговор
12зад. Ако 060=< BAD в успоредника ABCD и окръжността с радиус R, минаваща през върховете A, B и D разполовява страната CD, то лицето на успоредника е равно на:
а) 2R б) 32 2R в) 2
32R г) друг отговор
ВТОРА ЧАСТ
Следващите две задачи са със свободен отговор, който трябва да се напише. Задачите се оценяват с по 3 точки:
13зад. Да се намерят всички цели стойности на параметъра k , за които уравнението 021021 2 =+− kxkx
има за корен естествено число. Отговор: …………………….
14зад. Решете уравнението ( ) 8log381log3 18 ++=+ xx
Отговор: ………………………..
ТРЕТА ЧАСТ
На следващите три задачи трябва да се опише подробно решението. Задачите се оценяват с по 10 точки:
15зад. а) Дадено е, че kx
x=+ 2
2 94
. Да се намерят стойностите на k , за които 032
=−x
x .
б) Да се реши уравнението ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+
xx
xx 3
2718
2 2
2
16зад. Ъглите χβα ,, на ∆АВС, взети в този ред, образуват аритметична прогресия. Да се намерят ъглите
на триъгълника, ако 12
33sincos +=++ χβα tg .
17зад. В ∆АВС точка М е среда на страната АВ, точките P и Q лежат на страната ВС и са такива, че QCPQBP == и BMPAMQPMQ <+=<< .
а) Да се докаже, че ACBC 3=
б) Ако четириъгълникът AMQC е вписан в окръжност, да се намери отношението MQMP .
Отговори и кратки решения Първа част:
1зад. 2зад. 3зад. 4зад. 5зад. 6зад. 7зад. 8зад. 9зад. 10зад. 11зад. 12зад.
б г
12009 − в а б в б
в б а в г
32R
Втора част:
13зад. Ако 0=k , то 0=x , но то не е естествено число. Нека 0≠k . Тогава k
kx2
2,1410010 −±
= за
[ ) ( ]5;00;5 ∪−∈k (тогава D е неотрицателна).След непосредствена проверка се получава, че при 6,3;4,1,4;2,5 21 ======= xkxxkxk Отговор: 3; 4; 5
14зад. ДС: 1;0 −>≠ xx . След полагане ( )1log8 += xy получаваме уравнението 0383 2 =−− yy , което има
корени 3;31
21 =−= yy . След решаване на двете основни логаритмични уравнения получаваме
511;21
21 =−= xx Отговор: 511;21
21 =−= xx
Трета част:
15зад. а) 032
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
xx , тогава 039
4 2
2
=−+x
x , от където 3=k
б) Полагаме yx
x=−
32
, при 0≠x . Повдигаме двете страни на квадрат и след няколко преобразования
получаваме ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+ 2
22 18
2213
xxy , след което стигаме до уравнението 0672 2 =+− yy , за което
2;23
21 == yy . При 23
=y корените на даденото уравнение са 2
333± , а при 2=y са 102 ±
16зад. От това, че χβα ,, образуват аритметична прогресия следва, че
00
602
1802
=⇒−
=+
= ββχαβ . Тогава x−= 060α , а x+= 060χ . Получаваме
( ) ( ) 12
3360sin6060cos 000 +=+++− xtgx ; ( ) 12315cos45sin2 00 +=+x
( )134215cos 0 += ; ( ) ( ) 00 75sin13
4245sin =+=+x ; 00 7545 =+x ;
030=x ; 030=α ; 090=χ . 17зад. a) Тъй като 0180PMQ AMQ BMP+ + = , то 090PMQ = . Нека CN = NB. Тогава MN||AC, MN = ½AC. Но MN = ½QP ( 090PMQ = , QN=NP) и AC=PQ, BC=3AC. б) Понеже AMQС e висан в окръжност, то CAM MQP QMN α= = = . Тогава α2=< MNB (външен за ∆MNQ). Тъй като MN е средна отсечка в ∆АВС, то MNIIAC . След.
α2=< ACB . Означаваме β=< ABC αβ 31800 −=⇒ . От
ACBC 3= и синусовата теорема за ∆АВС намираме, че sin 3sinα β= , т.е.
sin 3sin(180 3 ) 3sin 3α α α= − =o , 2sin 3sin (4cos 1)α α α= − , от където 2 1cos 3α = . Тогава 1cos3
α = ,
2sin3
α = . От правоъгълния триъгълник MPQ получаваме sin 2cosMPMQ
αα= = .
A
C
M
QN
P
B
ВЕЛИКДЕНСКО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ
26 АПРИЛ 2009г.
Трите имена ……………………………………………………………… Училище …………………………………………………………… клас ……………… Град (село)…………………………………………………. Общ брой точки от Първа част: ……………….. Общ брой точки от Втора част: ……………………. Общ брой точки от Трета част: ……………………. Краен брой точки: ………… ПЪРВА ЧАСТ: 1зад. 2зад. 3зад. 4зад. 5зад. 6зад. 7зад. 8зад. 9зад. 10зад. 11зад. 12зад.
ВТОРА ЧАСТ: 13зад. Отговор: …………………….. 14зад. Отговор: …………………….. ТРЕТА ЧАСТ:
