А. К. Погребков, С. М. Хорошкин

Прикладные методы анализа

Высшaя школа экономики1-й семестр 2013/2014 гг.

1

Содержание

1. Лекция 1. Преобразование Лапласа 21.1. Введение 21.2. Основные понятия и методы 31.3. Обращение преобразования Лапласа 42. Лекция 2 62.1. Еще одна формулировка теоремы обращения 62.2. Предельные соотношения 72.3. Свойства преобразования Лапласа 72.4. Свертка функций 83. Лекция 3. 93.1. Свертка, теорема Бореля и интеграл Дюамеля 93.2. Начальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. 113.3. Граничные задачи и их функции Грина 124. Лекция 4 144.1. Обобщенные функции: основные определения 144.2. Локальные свойства обобщенных функций 154.3. Дифференцирование обобщенных функций 165. Лекция 5 185.1. Сходимость обобщенных функций и δ-образные последовательности 185.2. Формулы Сохоцкого и предельные значения голоморфных функций 185.3. Формулы Сохоцкого и аналитическое представление обобщенных функций 205.4. Прямое произведение обобщенных функций и свертка 216. Лекция 6 236.1. Преобразование Фурье 237. Лекция 7 257.1. Обобщенные функции комплексного переменного 257.2. Фундаментальные решения и функции Грина, Сведение начальной задачи к задаче

с нулевыми начальными данными. 267.3. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 268. Лекция 8 298.1. Волновое уравнение 298.2. Сведение начальной задачи к интегральному уравнению. 309. Лекция 9. Асимптотические методы 329.1. Постановка задачи 329.2. Подход Пуанкаре 329.3. Приближенное нахождение нулей трансцендентных уравнений 349.4. Оценка интеграла интегрированием по частям 3410. Лекция 10. Интегралы Лапласа 3610.1. Вариации определения Пуанкаре 3610.2. Асимптотика интеграла Лапласа 3610.3. Интегралы гауссова типа 3810.4. Метод перевала. Вещественная версия 3810.5. Формула Стирлинга 3911. Лекция 11. Асимптотики интегралов Фурье 4011.1. Осциллирующие интегралы 4011.2. Метод стационарной фазы 4212. Лекция 12 4412.1. Метод перевала (комплексная версия) 44

2

1. Лекция 1. Преобразование Лапласа

1.1. Введение. Оливер Хевисайд (англ. Oliver Heaviside, 18 мая, 1850 – 3 февраля, 1925) –английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик. Впервые применил комплексныечисла для изучения электрических цепей, разработал технику применения преобразования Ла-пласа для решения дифференциальных уравнений, переформулировал уравнения Максвелла втерминах трехмерных векторов, напряженностей электрического и магнитного полей и электри-ческой и магнитной индукций, и, независимо от других математиков, создал векторный анализ.Несмотря на то, что Хевисайд большую часть жизни был не в ладах с научным сообществом,его работы изменили облик математики и физики. В 1874 году он оставляет должность те-леграфиста и занимается исследованиями частным порядком в доме своих родителей. В этовремя он разработал теорию линий передачи (также известную как “телеграфные уравнения”).Хевисайд математически доказал, что равномерно распределенная емкость телеграфной ли-нии минимизирует одновременно затухание и искажение сигнала. Между 1880 и 1887 годамиОливер Хевисайд разрабатывал операционное исчисление (он ввел обозначение D для диффе-ренциального оператора), метод решения дифференциальных уравнений с помощью сведения кобыкновенным алгебраическим уравнениям, который поначалу вызвал бурную полемику из-заотсутствия строгого обоснования. Тогда он произнёс известную фразу: “Математика есть наукаэкспериментальная, определения появляются последними”. Это было ответом на критику заиспользование ещё не вполне определённых операторов. Функция Хевисайда:

(1.1) θ(t) =

{1, t > 00, t < 0

,

дает простейший пример обобщенной функции (неустранимый разрыв первого рода при t = 0).Операционное исчисление ≡ Операционный метод ≡ Символическое исчисление

Набор формальных операций над символом p =d

dt, где t – независимая переменная.

x(t) = x

x(n)(t) ⇔ pnx, n = 0, 1, . . . ,

Lx = a0x(n) + a1x

(n−1) + · · ·+ anx⇔ L(p) = a0pn + a1p

n−1 + · · ·+ an∫ 1

0

dt x(t) ⇔ 1

p· x

Область применения: решение начальных (краевых) задач для линейных дифференциальных(интегральных) уравнений.

Пример 1.1. Решить начальную задачу:

x′ − x = 1, x(0) = 0.

Решение. px− x = 1,⇒

x =1

p− 1· 1 ≡ 1

p· 1

1− 1

p

· 1

формально разлагаем в ряд:

x =

(1

p+

1

p2+ . . .+

1

pn+ . . .

)· 1

1

p· 1 =

∫ t

0

dt = t,1

p2· 1 ≡ 1

p· 1p· 1 =

∫ t

0

t dt =t2

2, и т.д.

так что

x(t) = t+t2

2!+ . . .+

tn

n!+ . . . = et − 1,

3

что легко проверить и непосредственно.

Обоснование символического (операционного) метода дано Бромвичем и Карсоном в 20-ыегоды XX-го столетия. Они связали этот метод с методом интегральных пробразований, точнеепреобразования Лапласа (французский математик, физик, астроном, 1749–1827). При этом pоказывается комплексным числом p = pRe + ipIm.

Схема операционного метода. Требуется найти функцию x(t) действительного переменного tиз некоторого уравнения, содержащего производные и интегралы от нее.

1. Переходим к образу X(p).2. Уравнение на x переходит в алгебраическое уравнение на X.3. Решаем это уравнение, находим X(p)4. Переходим к оригиналу x(t).(аналогия с логарифмированием)

1.2. Основные понятия и методы.

Определение 1.1. Оригиналом называется любая комплексная функция f(t) вещественногоаргумента t, удовлетворяющая условиям:

(1) f(t) удовлетворяет условию Гельдера всюду, кроме отдельных изолированных точек,где она имеет разрывы 1 рода (причем на каждом конечном интервале таких точек –конечное число), т.е., для каждого t, кроме указанных изолированных точек, найдутсятакие положительные константы A, a ≤ 1 и h0, что выполнено

|f(t+ h)− f(t)| < A|h|a

для всех h, |h| < h0, где A, вообще говоря, может зависеть от t;(2) f(t) = 0 при t < 0;(3) f(t) растет не быстрее некоторой экспоненты, т.е., |f(t)| < Mes0t для некоторого

M > 0 и вещественного s0, называемого показателем роста f(t) (точнее, inf).

Если ϕ(t) удовлетворяет условиям 1 и 3, то f(t) = θ(t)ϕ(t) удовлетворяет всем трем условиям.Преобразованием Лапласа функции f(t) называется функция комплексного переменного p

(изображение)

(1.2) F (p) =

∞∫

0

f(t)e−ptdt.

Функция θ(t) – простейший пример оригинала (часто называется единичной функцией). Во-обще ее часто опускают, всегда в этом методе подразумевая выполнение условия 2.

Определение 1.2. Изображением функции f(t) (no Лапласу) называют функцию комплекс-ного переменного p = s + iσ, определяемую соотношением (1.2). Фраза “функция f(t) имеетсвоим изображением F (p)” записывается как f(t) + F (p) или F (p) + f(t).

(Преобразование Хевисайда содержит лишний множитель p.)

Теорема 1.1. Для всякого оригинала f(t) изображение F (p) определено в полуплоскости Re p =s > s0, где s0 – показатель роста f(t), и является в этой полуплоскости аналитической функ-цией p.

Доказательство следует из оценки по свойству 3:∣∣∣∣∣∣

∞∫

0

dt f(t)e−pt

∣∣∣∣∣∣≤M

∞∫

0

dt e−(s−s0)t =M

s− s0,

так что в указанной области интеграл абсолютно сходится. Кроме того в любой полуплоскостиRe p ≥ s1 > s0 ∣∣∣∣∣∣

∞∫

0

dt tf(t)e−pt

∣∣∣∣∣∣≤ M

∞∫

0

dt te−(s−s0)t =M

(s1 − s0)2.

4

Поэтому в любой полуплоскости Re p > s0 интеграл, получающийся дифференцированием по p,сходится равномерно, ибо он также мажорируется сходящимся интегралом, не зависящим от p.Итак, функция F (p) в любой точке полуплоскости Re p > s0 обладает производной. Часто мыбудем рассматривать аналитическое продолжение изображений левее прямой Re p = s0. Еслиточка p стремится к бесконечности так, что Re p неограниченно возрастает, то F (p) стремитсяк нулю в силу первой оценки. Отсюда следует, что F (p) → 0, если p → ∞, оставаясь внутрилюбого угла −π/2 + δ < arg p < π/2 + δ, где δ > 0 сколь угодно мало, причем эта сходимостьравномерна относительно arg p. Если, в частности, F (p) аналитична в бесконечно удаленнойточке, то F (p) → 0 при p→ ∞ по любому пути; следовательно, F (p) просто должна иметь нульв бесконечности.

1.3. Обращение преобразования Лапласа.

Теорема 1.2. Если функция f(t) является оригиналом и F (p) служит ее изображением, тов любой точке t, где f(t) удовлетворяет условию Гельдера, справедливо равенство

(1.3) f(t) =1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp eptF (p),

где интеграл берется вдоль любой прямой Re p = a > s0 и понимается в смысле главногозначения на бесконечности.

Здесь потребуется лемма Жордана.Лемма Жордана. Пусть g(z) – функция комплексного переменного z. Обозначим через CRn

некоторую последовательность дуг окружностей: CRn = {z : |z| = Rn, Im z > a}, где a фик-сировано. Если на такой последовательности дуг функция g(z) стремится к нулю при n → ∞равномерно относительно arg z, то для любого α > 0

(1.4) limR→∞

∫

CR

f(z)eiαz dz = 0

Мы приведем здесь, фактически, набросок доказательства, опуская некоторые детали. Мате-матическое строгое и полное доказательство изложено, например, в § 1, п. 79 книги: М.А.Лав-рентьев, Б.В.Шабат “Методы теории функций комплексного переменного”, гл. VI.

Рассмотрим интеграл

J(t) =1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dpept

p,

взятый вдоль прямой Re p = a > 0, проходимой снизу вверх. Обозначим еще через CR и C ′R

части окружности |p| = R, лежащие соответственно слева и справа от прямой Re p = a, а черезa− ib и a+ ib – концы дуг CR и C ′

R, т.е. точки пересечения окружности с прямой p = a (нужносделать рисунок).

Пусть t > 0; так как 1/p → 0 при R → ∞ равномерно относительно arg p, то по леммеЖордана имеем:

limR→∞

∫

CR

dpept

p= 0.

Следовательно, из теоремы Коши о вычетах:

a+ib∫

a−ib

dpept

p+

∫

CR

dpept

p= 2πi

5

в пределе при R → ∞ получим, что

(1.5) J(t) =1

2πilimb→∞

a+ib∫

a−ib

dpept

p= 1

при t > 0. Аналогично получаем J(t) = 0 при t < 0, т.е.: J(t) = θ(t), см. (1.1). Далее, мы имеем:

θ(t− τ) ≡ 1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dpep(t−τ)

p=

{0, t < τ1, t > τ

а тогда для “ступеньки”

θ(t− τ1)− θ(t− τ2) ≡1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp epte−pτ1 − e−pτ2

p=

0, t < τ11, τ1 < t < τ20, τ2 < t

,

где τ1 < τ2. Прeдпoлoжим, что произвольный оригинал f(t) имеет конечный носитель. Разобьемего на интервалы n точками τ1, . . . , τn и приблизим f(t) ступенчатой функцией:

f(t) ∼=n−1∑

k=1

f(τk)[θ(τk)− θ(τk+1)].

В силу предыдущего равенства тогда

f(t) ∼= 1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp eptn−1∑

k=0

f(τk)e−pτk − e−pτk+1

p=

=1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp ept

(n−1∑

k=0

f(τk)e−pτk∆′τk

),

где

∆′τk =1− ep(τk−τk+1)

p.

Таким образом, в пределе, когда точки τk заполняют весь интервал и все ∆′τk → 0, мы получаемискомое выражение оригинала через его изображение

f(t) =1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp ept

∞∫

0

dτ f(τ)e−pτ

.

Случай произвольного оригинала может быть доказан посредством предельного перехода.Литература к лекции 1: М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат “Методы теории функций комплексного

переменного”, гл. VI.

6

2. Лекция 2

2.1. Еще одна формулировка теоремы обращения. Мы доказали, что оригинал f(t) впол-не определяется своим изображением F (p) с точностью до значений в точках разрыва f(t). Всамом деле, по доказанному значение оригинала в точке его непрерывности выражается черезизображение F (p), а значения оригинала в точках разрыва, очевидно, не влияют на изображе-ние.

Теорема 2.1. Если функция F (p) аналитична в полуплоскости Re p > s0, стремится к нулюпри |p| → ∞ в любой полуплоскости Re p ≥ a > s0 равномерно относительно arg p, и интеграл∫ a+i∞a−i∞ dp F (p) абсолютно сходится, то F (p) является изображением функции f(t), данной в

(1.3).

Доказательство. Фиксируем некоторое число p0, Re p0 > a, тогда из (1.3) следует:

∞∫

0

dt e−p0tf(t) =1

2πi

∞∫

0

dt e−p0t

a+i∞∫

a−i∞

dp eptF (p)

.

Так как во внутреннем интеграле p = a+ iσ, dp = idσ, то можно вынести за его знак множительeat, и получаем оценку

∣∣∣∣∣∣

a+i∞∫

a−i∞

dp eptF (p)

∣∣∣∣∣∣≤ eat

+∞∫

−∞

dσ |F (a+ iσ)|

Отсюда видно, что этот интеграл сходится равномерно относительно t, и, следовательно, впредыдущей формуле можно изменить порядок интегрирования. Мы получим:

∞∫

0

dt e−p0tf(t) =1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp F (p)

∞∫

0

dt e(p−p0)t =

=−1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dpF (p)

p− p0.

По условию теоремы на дуге окружности C ′R: |p| = R, Re p > a, имеем max |F (p)| → 0 при

R → ∞, следовательно,∣∣∣∣∣∣∣

∫

C′

R

dpF (p)

p− p0

∣∣∣∣∣∣∣→ 0

в этом пределе. Следовательно∞∫

0

dt e−p0tf(t) = F (p0),

что и требовалось доказать. Заметим теперь, что при t < 0 по лемме Жордана мы получимf(t) = 0. Далее, из (1.3)

|f(t)| ≤ eat

2π

+∞∫

−∞

dσ |F (a+ iσ)| =Meat,

так что и условие 3 также выполняется. На проверке условия 1 мы не будем останавливаться.

7

2.2. Предельные соотношения. Если f(t) и f ′(t) – оригиналы, f(t) + F (p), то

limp→∞

pF (p) = f(0),

где p→ ∞ внутри угла | arg p| < π/2− δ, при некоторм δ > 0 и f(0) – предел справа. Если тажесуществует limt→∞ f(t) = f(∞), то

limp→0

pF (p) = f(∞),

где p→ 0 внутри того же угла.Доказательство. Пусть f(t) дифференцируема. Тогда первый предел следует из следующих

равенств:

(2.1) pF (p) = p

∫ ∞

0

dt e−ptf(t) = −∫dt∞0

∂e−pt

∂tf(t) = f(0) +

∫ ∞

0

dt e−ptf ′(t),

и последний интеграл исчезает при p → ∞. Если функция f(t) не дифференцируема, то еесколько угодно точно можно приблизить дифференцируемой, после чего проходит тоже дока-зательство. Для доказательства второго предела заметим, что существование limt→∞ f(t) вле-чет ограниченность функции f(t). Поэтому s0 = 0 и последний интеграл в (2.1) существуетпри любом p, Re p > 0 и существует при p = 0. В указанном в условии углу он сходит-ся равномерно по p, так что в (2.1) можно перейти к пределу p → 0 в этом углу, что дает∫∞0dt f ′(t) = limp→0 pF (p)− f(0).

Замечание 2.1. Полученное асимптотическое поведение показывает, что при доказатель-стве того, что pF (p)− f(0) имеет своим оригиналом f ′(t) по формуле

1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp ept(pF (p)− f(0))

последний интеграл нельзя разбивать на два, а следует записывать как

1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp pept(F (p)− f(0)

p

)=

d

dt

1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dp ept(F (p)− f(0)

p

)=

(в предположении, что можно дифференцировать под знаком интеграла)

=d

dt(f(t)− f(0)θ(t)) = f ′(t) при t > 0.

2.3. Свойства преобразования Лапласа. Простейшие преобразования:

(2.2) 1 +1

pпреобразование θ(t); ep0t +

1

p− p0.

Далее обозначаем: f(t) + F (p), g(t) + G(p) и т.д.I Линейность: αf(t) + βg(t) + αF (p) + βG(p).

II Подобие: для любого постоянного α > 0 имеем: f(αt) + 1αF(pα

).

III Если функция f(t) напрерывна при t > 0 и f ′(t) (или f (n)(t)) является оригиналом, то

f ′(t) + pF (p)− f(0),

f (n)(t) + pnF (p)− pn−1f(0)− pn−2f ′(0)− . . .− fn−1(0),

где f (k)(0) = limt→+0 f(k)(t).

IV Дифференциирование изображения: F (n)(p) + (−t)nf(t).V Интегрирование оригинала:

∫ t0f(τ)dτ +

F (p)p

.

Если f(t) – оригинал, то легко видеть, что g(t) =∫ t0dt f(t) также является оригиналом.

Тогда по III f(t) = g′(t) + pG(p) (учли, что g(0) = 0). Откуда, f(t) + F (p) = pG(p),откуда следует результат.

8

VI Интегрирование изображения. Если интеграл∫∞pdp F (p) сходится, то он служит изоб-

ражением функции f(t)/t:f(t)

t+

∫ ∞

p

dp F (p),

т.е. интегрирование изображения равносильно делению оригинала на t.Доказательство. Имеем:

∫∞pdp F (p) =

∫∞pdp∫∞0dt e−ptf(t). Пусть путь интегрирова-

ния (p,∞) весь лежит в полуплоскости Re p ≥ a > s0. Тогда∣∣∫∞0dt e−ptf(t)

∣∣ ≤M∫∞0dt e−(a−s0)t, что доказывает равномерную сходимость этого инте-

грала относительно p. Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования:∫ ∞

p

dp F (p) =

∫ ∞

0

dt e−ptf(t)

t,

откуда следует утверждение. Отсюда же следует сходимость последнего интеграла.VII Теорема запаздывания. Для любого τ > 0: f(t− τ) + e−pτF (p).

VIII Теорема смещения. Для любого комплексного p0: ep0tf(t) + F (p− p0).Решим в качестве примера начальную задачу:

x′(t)− x(t) = 1, t > 0,

x(0) = x0.

Переходя к изображениям, имеем:

(2.3) (p− 1)X(p)− x0 =1

p, т.е. X(p) =

1

p(p− 1)+

x0p− 1

, или X(p) =1 + x0p− 1

− 1

p.

Возвращаясь к оригиналам по (2.2), получаем:

(2.4) x(t) = (1 + x0)et − 1, t > 0,

что обобщает результат, который мы имели по методу Хевисайда.

2.4. Свертка функций. Для дальнейшего нам потребуется понятие свертки функций. Сверт-кой функций f(x) и g(x) называется функция

(2.5) (f ∗ g)(x) =∫dy f(x− y)g(y),

если данный интеграл существует. В этом преположении укажем простейчие свойства свертки.(1) Свертка линейна по каждому аргументу.(2) Свертка коммутативна: f ∗ g = g ∗ f .(3) Дистрибутивность: f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.(4) Ассоциативность: f∗(g∗h) = (f∗g)∗h. Требует для своего доказательства существования

и перестановочности всех интегралов в формальной выкладке

(f ∗ (g ∗ h))(x) =∫dy f(x− y)

∫dz g(y − z)h(z) =

=

∫dz

(∫dy f(x− y)g(y − z)

)h(z) =

=

∫dz

(∫dy f(x− z − y)g(y)

)h(z) =

=

∫dz(f ∗ g)(x− z)h(z) = ((f ∗ g) ∗ h)(x).

Литература к Лекции 2: М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат “Методы теории функций комплексногопеременного”, гл. VI.

9

3. Лекция 3.

3.1. Свертка, теорема Бореля и интеграл Дюамеля. Свертка заведомо существует, еслифункции – оригиналы для преобразования Лапласа. Тогда, как следует из свойства (2) ориги-нала

(3.1) (f ∗ g)(t) =t∫

0

dτ f(t− τ)g(τ),

что определено в силу свойства (3) и обращается в ноль при t < 0. Пусть s0 – наибольшее изпоказателей роста оригиналов, тогда

∣∣∣∣∫ t

0

dτ f(τ)g(t− τ)

∣∣∣∣ ≤M

∣∣∣∣∫ t

0

dτ es0τes0(t−τ)∣∣∣∣ =Mtes0t,

т.е. такой интеграл имеет показатель s0 + ǫ, где ǫ – любое сколь угодно малое положительноечисло. Покажем, что свертка двух изображений удовлетворяет условию Гельдера. Действи-тельно, поскольку f(t) и g(t) удовлетворяют всем трем свойствам изображений, справедливыследующие оценки:

|(f ∗ g)(t+ h)− (f ∗ g)(t)| =

=

∣∣∣∣∣∣

t+h∫

t

dτ f(t+ h− τ)g(τ) +

t∫

0

[f(t+ h− τ)− f(t− τ)]g(τ)

∣∣∣∣∣∣≤

≤M1M2

t+h∫

t

dτ e(t+h−τ)s1+τs2 + |h|aA(t)M2

t∫

0

dτes2τ ≤ |h|a′A′,

где |h| ≤ h′0 для некоторых новых констант a′, A′ и h0, где A′, вообще говоря, может зависетьот t. Что и доказывает свойство Гельдера для свертки.

Теперь мы можем доказать теорему умножения (теорему Бореля):

Теорема 3.1. Произведение двух изображений F (p) и G(p) также является изображением,причем:

F (p)G(p) + (f ∗ g)(t).Доказательство. Для изображения свертки имеем:

∫ t

0

dτ f(τ)g(t− τ) +

∫ ∞

0

dt e−pt∫ t

0

dτ f(τ)g(t− τ).

Справа здесь стоит двукратный интеграл по сектору плоскости (t, τ): интегрирование по τведется в пределах от 0 до t, а затем po t от 0 до ∞. Так как при Re p > s0 этот двукратный ин-теграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить порядок интегрированиям, и мы получим(заменяя еще t на t1 = t− τ):

∫ t

0

dτ f(τ)g(t− τ) +

∫ ∞

0

dτ f(τ)

∫ ∞

τ

dt e−ptg(t− τ) =

=

∫ ∞

0

dτ e−pτf(τ)

∫ ∞

0

dt1 e−pt1g(t1) = F (p)G(p),

что и требовалось доказать. Теорема Бореля утверждает, что умножение изображений равно-сильно свертыванию оригиналов.

В приложениях полезно следствие теоремы умножения, которое относится к случаю, когданадо найти оригинал произведения pF (p)G(p). Пользуясь правилом дифференцирования ори-

гинала и (3.1), имеем pF (p)G(p) =d

dt(f ∗ g)(t) + (f ∗ g)(0), где последний член равен нулю по

10

(3.1). Тогда, дифференцируя свертку, получаем формулу (интеграл) Дюамеля:

pF (p)G(p) + f(0)g(t) + (f ′ ∗ g)(t).В силу симметрии свертки интеграл Дюамеля можно записать также как

pF (p)G(p) + f(0)g(t) + (g ∗ f ′)(t),

а переставляя F ↔ G, получаем

pF (p)G(p) + f(t)g(0) + (g′ ∗ f)(t) ≡ g(0)f(t) + (f ∗ g′)(t),Справедлива также теорема двойственная теореме умножения.

Теорема 3.2. Пусть даны два оригинала f(t) и g(t) с показателями роста s1 и s2. Их произ-ведение также является оригиналом, причем

f(t)g(t) +1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dq F (q)G(p− q),

где a > s1 и Re p > s2 + a.

Доказательство. В самом деле, произведение f(t)g(t), очевидно, удовлетворяет условиям дляоригиналов, поэтому для его изображения имеем

f(t)g(t) +

∫ ∞

0

dt e−ptf(t)g(t).

Возьмем a > s1 и заменим f(t) по формуле обращения:

f(t)g(t) +1

2πi

∫ ∞

0

dt

a+i∞∫

a−i∞

dq eqtF (q)

e−ptg(t) =

=1

2πi

a+i∞∫

a−i∞

dq

{F (q)

∫ ∞

0

dt e−(p−q)tg(t)

},

где перестановочность интегралов следует из их равномерной сходимости. Полагая Re p > s2+a,получаем что Re(p−q) > s2, поскольку Re q = a. Поэтому внутренной интеграл равен G(p−q).�

Заметим что так как a можно взять сколь угодно близким к s1, то изоображение функцииf(t)g(t) определено в полуплоскости Re p > s, где s = s1 + s2 – показатель роста этой функции.

ПримерыСвойство 1 (линейность) позволяет находить по (2.2) такие преобразования, как

sinωt =eiωt − e−iωt

2i+

1

2i

(1

p− iω− 1

p+ iω

)=

ω

p2 + ω2,

cosωt =p

p2 + ω2, sinhωt +

ω

p2 − ω2, coshωt +

p

p2 − ω2

Свойство IV позволяет получить по (2.2)

tn +n!

pn+1, tnep0t +

n!

(p− p0)n+1

а из предыдущих формул

t sinωt +2pω

(p2 + ω2)2, t cosωt +

p2 − ω2

(p2 + ω2)2,

В силу (2.2)

ebt − eat +1

p− b− 1

p− a,

11

так что по Свойству VI, получаем

ebt − eat

t+

∞∫

p

dp′(

1

p′ − b− 1

p′ − a

)= ln

p− a

p− b.

Аналогично предыдущему примеру по изображению синуса получаем:

sin t

t+

∞∫

p

dp′

1 + p′2= arcctg p.

Применяя свойство V, найдем изображение интегрального синуса

sit ≡∫ t

0

sin t

t+

arcctg p

p

3.2. Начальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.Пусть задан дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами порядка n:

L = a0dn

dtn+ a1

dn−1

dtn−1+ . . .+ an.

Требуется решить начальную задачу

Lx(t) = f(t),(3.2)

x(0) = x0, x′(0) = x1, . . . , x(n−1)(0) = xn−1,(3.3)

причем a0 6= 0, и f(t) и x(t) вместе со своими производными до n-го порядка суть оригина-лы: F (p) + f(t) X(p) + x(t). Тогда, по правилу дифференцирования и линейности получаемоператорное уравнение:

(a0pn + a1p

n−1 + . . .+ an)X(p) = F (p) + x0(a0pn−1 + a1p

n−2 + . . .+ an−1)+

+ x1(a0pn−2 + a1p

n−3 + . . .+ an−2) + · · ·+ xn−1a0,

т.е.A(p)X(p) = F (p) +B(p).

Отсюда

X(p) =F (p) +B(p)

A(p).

Можно доказать, что решение x(t) поставленной задачи всегда существует и является ориги-налом X(p).

Рассмотрим пример: решить уравнение x′′ − x = 1 при произвольных начальных данных. Посказанному

X(p) =1

p2 − 1

(1

p+ x0p+ x1

),

так что x(t) = (1 + x0) cosh t+ x1 sinh t− 1.Вернемся к задаче (3.2) с нулевыми начальными условиями (3.3). Пусть известно решение

x1(t) уравнения Lx1(t) = 1. Тогда имеем:

A(p)X(p) = F (p), A(p)X1(p) =1

p,

откуда X(p) = pX1(p)F (p). Поэтому, по формуле Дюамеля

x(t) =

∫ t

0

dτ x′1(t− τ)f(τ).

Таким образом x′1(t− τ) – функция Грина рассматриваемой задачи.Мы видим, что функция Грина начальной задачи (задачи Коши) с нулевыми начальными

условиями для линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами су-ществует, равна 0 при t < s, зависит от разности t− s при s < t и задается формулой Дюамеля.

12

3.3. Граничные задачи и их функции Грина. Перейдем к рассмотрению граничных задач,причем мы не будем предполагать, что рассматриваемые функции – оригиналы для преобра-зования Лапласа. Пусть L – дифференциальный оператор n-го порядка

Lx = a0(x)dn

dxn+ a1(x)

dn−1

dxn−1+ . . .+ an(x).

Рассмотрим задачу

(3.4) Lxf(x) = g(x), a < x < b,

где a и b конечны, а все заданные функции ai(x) и g(x) гладкие и дифференцируемые нуж-ное число раз, причем a0(x) не обращается в ноль при x ∈ [a, b]. Предполагая существованиерешения, будем искать его для любой функции g(x) в виде

(3.5) f(x) =

x∫

a

dy G+(x, y)g(y) +

b∫

x

dy G−(x, y)g(y)

где G+(x, y) и G−(x, y) – гладкие n раз дифференцируемые функции x. Очевидно, что

f ′(x) = G+(x, x)g(x)−G−(x, x)g(x) +

x∫

a

dy G′+(x, y)g(y) +

b∫

x

dy G′−(x, y)g(y),

где G+(x, x) = G+(x, x − 0), G−(x, x) = G+(x, x + 0), и штрих означает производную по x.Если n > 0, то при подстановке в (3.5) мы получим производную функции g. Поэтому этотчлен следует занулить, наложив условие G+(x, x) = G−(x, x), a < x < b. Далее, по индукции,получаем, что мы должны наложить условия

(3.6) G(k)+ (x, x) = G

(k)− (x, x), k = 0, . . . , n− 2,

что дает при k = 1, . . . , n− 1:

f (k)(x) =

x∫

a

dy G(k)+ (x, y)g(y) +

b∫

x

dy G(k)− (x, y)g(y).

Тогда

f (n)(x) =(G

(n−1)+ (x, x)−G

(n−1)− (x, x)

)g(x)+

+

x∫

a

dy G(n)+ (x, y)g(y) +

b∫

x

dy G(n)− (x, y)g(y).

Подстановка в (3.5) дает:

LxG+(x, y) = 0, a < y < x < b,

LxG−(x, y) = 0, a < x < y < b,

G(n−1)+ (x, x)−G

(n−1)− (x, x) =

1

a0(x).

Таким образом мы построили фундаментальное решение рассматриваемой задачи, т.е. такоерешение, через которое выражается любое другое:

(3.7) f(x) =

b∫

a

dy G(x, y)g(y), G(x, y) = θ(x− y)G+(x, y) + θ(y − x)G−(x, y).

Наложив на него необходимые граничные условия, мы получаем функцию Грина. Ввиду(3.6) функция G(x, y) и ее производные G(k)(x, y), k = 1, . . . , n − 2, непрерывны “на диагона-ли” y = x. При этом n условий на G+ и G− уже были наложены. Остается наложить еще nграничных условий.

13

Итак, мы видим, что Lxb∫a

dy G(x, y)g(y) = g(x), т.е., все вместе дает функционал, отобража-

ющий функцию в ее значение в некоторой точке, являющейся параметром этого функционала.Такой функционал был введен Дираком и назван δ-функцией, причем он подразумевал именно“интегральную” форму записи:

(3.8)∫dx δ(x)f(x) = f(0).

Тогда полученный выше результат можно записать как

(3.9) LxG(x, y) = δ(x− y).

Литература к лекции 3: М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат “Методы теории функций комплексногопеременного”, гл. VI.

14

4. Лекция 4

4.1. Обобщенные функции: основные определения. Понятно, что δ-функция не естьфункция в стандартном понимании (фон Нейман!): при всех x 6= 0 она равна нулю, а интегралот нее нулю не равен, в частности

∫dx δ(x) = 1. Фактически, мы встречались с ней и ранее,

когда использовали формулу Дюамеля. Ведь, строго говоря, мы решали уравнение на x1(t):Lx1(t) = θ(t), а для формулы Дюамеля нам нужна производная x′1(t− τ), которая удовлетворя-

ет уравнению Lx′1(t−τ) =dθ(t− τ)

dt, так что естественно считать, что производная θ(t) есть δ(t).

Итак, нам нужны линейные функционалы на “гладких” функциях: понятно, что для f(x) = 1/xправая часть (3.8) неопределена. Фактически, мы уже пользовались такими функционалами,заданными интегралами и свертками, причем нам совсем не мешало, что в некоторых точкахфункции не были определены - лишь бы существовали интегралы. Это позволяет не толькообобщить понятие функции, но и сделать их всех бесконечно дифференцируемыми, используяформулу интегрирования по частям, как определение. При этом, чтобы не мешали граничныечлены, желательно выбрать функции, на которых заданы эти функционалы достаточно быстроубывающими на бесконечности. Итак, мы вводим два множества основных функций.

Определение 4.1. Рассмотрим множество всех (комплекснозначных) бесконечно дифферен-цируемых функций φ(x), x = {x1, . . . , xn} ∈ Rn от n вещественных переменных. Мы говорим,что функция из этого множества принадлежит пространству

1) D основных функций (пространству финитных функций), если она финитна, т.е., обра-щается в ноль вне некоторой конечной области в Rn.

2) S основных функций (пространству быстро убывающих функций), если при |x| → ∞ онастремится к нулю вместе со всеми своими производными быстрее любой конечной степени|x|, т.е. при всех x выполнены неравенства

|xkφ(q)(x)| ≤ Ck,q, k, q = 0, 1, . . .

Примеры:

φ(x) =

exp

a2

x2 − a2, если x2 < a2,

0, если x2 ≥ a2,∈ D ,(4.1)

φ(x) = e−x2 ∈ S .(4.2)

Понятно, что оба введенные пространства линейны. Зададим на них топологию посредством

Определение 4.2. Мы говорим, что последовательность основных функций φ1(x), φ2(x), . . . ,φn(x), . . .

1) сходится к нулю в пространстве D, если все функции последовательности обращаютсяв ноль вне одной и той же ограниченной области и равномерно сходятся к нулю, как и ихпроизводные любого поряда,

2) сходится к функции φ(x) в пространстве S , если в любой ограниченной области произ-водная любого порядка от φn(x) равномерно сходится к соответствующей производной функ-ции φ(x) и в оценках

|xkφ(q)n (x)| ≤ Ck,q, k, q = 0, 1, . . . ,

постоянные Ck,q можно выбрать независящими от n.

Понятно, что D ⊂ S , причем плотно в нем (доказательство: умножим функцию из S нафункцию, определенную в (4.1) и перейдем к пределу a→ ∞).

Определение 4.3. Обобщенной функцией, заданной на соответствующем пространстве ос-новных функций, называется линейный непрерывный функционал на этом пространстве. Ины-ми словами, каждой основной функции φ(x) сопостовляется число, обозначаемое (f, φ), при-чем выполнены следующие условия:

15

1) для любых двух чисел a1 и a2 и любых двух основных функций φ1(x) и φ2(x) имеет месторавенство (f, a1φ1 + a2φ2) = a1(f, φ1) + a2(f, φ2) (линейность);

2) если последовательность основных функций φ1(x), φ2(x), . . . , φn(x), . . . стремится к нулю,то последовательность чисел (f, φ1), (f, φ2), . . . ,(f, φn), . . . сходится к нулю (непрерывность).

Пусть задана некоторая функция f(x), абсолютно интегрируемая в каждой конечной областипространства R

n (называется локально интегрируемой функцией). Зададим функционал

(4.3) (f, φ) =

∫dx f(x)φ(x).

Показать, что это – линейный непрерывный функционал на обоих пространствах.

4.2. Локальные свойства обобщенных функций. Очевидно, что интеграл∫dxφ(x)

xрас-

ходится, если функция φ(x) не обращается в ноль в нуле. Регуляризовать такой интеграл, т.е.функцию 1/x, возможно следующим образом:

∫dxφ(x)reg.

1

x=

−a∫

−∞

dxφ(x)

x+

b∫

−a

dxφ(x)− φ(0)

x+

∞∫

b

dxφ(x)

x,

для некоторых положительных a и b и где φ(x) – основная функция (из S или D). Обозначимчерез p.v. специальную регуляризацию в смысле главного значения":

(4.4)

(1

x, φ

)≡ p.v.

∫dxφ(x)

x≡ lim

ǫ→0

∫

|x|>ǫ

dxφ(x)

x.

Как легко видеть:(1

x, φ

)=

∞∫

0

dxφ(x)− φ(−x)

x

и по предыдущему ∫dxφ(x)reg.

1

x=

(1

x, φ

)+ ln

a

bφ(0),

так что произвольная регуляризация функции 1/x дается с точностью до произвольной кон-станты в виде

reg.1

x= p.v.

1

x+ Cδ(x),

где δ-функция Дирака (ср. (3.8)) определена как функционал на основной функции φ(x) ра-венством

(4.5) (δ, φ) = φ(0).

Обобщенная функция f равна нулю в окрестности U точки x0 означает, что (f, φ) = 0 длякаждой основной функции φ, отличной от нуля только внутри U . Обобщенная функция f , от-вечающая обычной функции f(x), равна нулю в окрестности U точки x0, если почти всюду вэтой окрестности функция f(x) обращается в нуль. Обобщенная функция δ(x−x0) равна нулюв окрестности любой точки, отличной от x0. Обобщенная функция f равна нулю в открытойобласти G, если она равна нулю в окрестности каждой точки этой области. Если обобщеннаяфункция f не равна нулю ни в какой окрестности точки x0, то такая точка называется су-щественной для f (ноль - существенная точка для f(x) = x2). Обобщенные функции f и gсовпадают в открытой области G, если разность f − g в этой области равна нулю. Если f иg совпадают в окрестности каждой точки, то они совпадают в целом, т.е. (f, φ) = (g, φ) длялюбой φ. Обобщенная функция f регулярна в области G, если в этой области она совпадает снекоторой обычной локально интегрируемой функцией f(x).

16

Указанная выше регуляризация дает пример решения общей задачи: пусть дана функцияf(x), которая не является локальнo интегрируемой. Найти обобщенную функцию f , совпадаю-щую с данной во всех точках ее локальной интегрируемости. Это не всегда возможно: exp 1/x.При этом следует сохранить основные операции: сложение, умножение на число, умножениена функцию, сдвиг аргумента, дифференцирования и интегрирования. Часть их определяетсятривиально путем переноса обратных операций на основные функции. Рассмотрим замену пере-менных. Пусть даны локально интегрируемая функция f(x) и бесконечно дифференцируемаястрого монотонная функция a(x), тогда для любой основной функции φ(x)

∫dx f(a(x))φ(x) =

∫dy (a−1(y))′f(y)φ(a−1(y))

где y = a(x) и a−1 означает обратную функцию. Поскольку произведение (a−1(y))′φ(a−1(y))также является основной функцией (в пространстве S следует потребовать роста a(x) на бес-конечности). Поэтому каждой обобщенной функции f мы сопоставляем обобщенную функциюf(a) по правилу:

(f(a), φ) = (f, (a−1)′φ(a−1))

В частности

(δ(a), φ) = (a−1(y))′φ(a−1(y))|y=0.

Пусть a(x0) = 0 – ноль (единственный) функции a(x). Тогда δ(a(x)) = δ(x−x0)a′(x0)

. В некоторыхслучаях можно отказаться от требования монотонности. Например, если все нули функцииa(x) простые, то можно показать, что

δ(a(x)) =∑

j

δ(x− xj)

|a′(xj)|,

где суммирование ведется по всем нулям xj функции a(x).Общее определение произведения обобщенных функций невозможно, однако можно опре-

делить умножение на бесконечно дифференцируемую функцию a(x), поскольку для каждойосновной функции φ(x) произведение a(x)φ(x) также является основной функцией (для про-странства S следует потребовать от a(x) роста на бесконечности не быстрее полиномиального).А если последовательность φn(x) → 0, то и a(x)φn(x) → 0 в смысле основных функций. Поэтомукаждой обобщенной функции f можно сопоставить обобщенную функцию af посредством

(af, φ) = (f, aφ),

что дает линейный и непрерывный (в силу сказанного выше) функционал на пространствеосновных функций.

4.3. Дифференцирование обобщенных функций. Основным достоинством обобщенныхфункций, определяющим их приложимость к исследованию дифференциальных уравнений яв-ляется их бесконечная дифференцируемость в смысле следующего определения.

Определение 4.4. Для заданной обобщенной функции f ее производная по x определяетсякак:

(4.6) (f ′, φ) = −(f, φ′).

Легко видеть, что данное определение дает обобщенную функцию в каждом из рассматри-ваемых пространств.

Пример. Показать, что в смысле главных значений:(1

x

)′= − 1

x2,

17

где обобщенная функция1

x2в смысле главного занчения определяется как

(1

x2, φ

)= p.v.

∫dxφ(x)− φ(0)

x2≡

∞∫

0

dxφ(x) + φ(−x)− 2φ(0)

x2

Литература к лекции 4: И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов “Обобщенные функции и действия надними”, гл. I; В.С.Владимиров , В.В.Жаринов “Уравнения математической физики”.

18

5. Лекция 5

5.1. Сходимость обобщенных функций и δ-образные последовательности. Мы гово-рим, что последовательность обобщенных функций f1, f2, . . . сходится к к обобщенной функцииf , если

limn→∞

(fn, φ) = (f, φ).

Тогда дифференцирование – непрерывная операция. Действительно, если последовательностьобобщенных функций fn → f , n→ ∞, то(

∂fn∂x

, φ

)= −

(fn,

∂φ

∂x

)→ −

(f,∂φ

∂x

)=

(∂f

∂x, φ

).

Пример: fn(x) = sinnxn

.δ-образная последовательность – последовательность регулярных функционалов, сходящаяся

к δ-функции. При этом должны выполняться следующие условия:а) для любого M > 0 при |a| ≤M и |b| ≤M величины

∣∣∫ dxfn(x)∣∣ ограничены постоянной не

зависящей от a, b и n (но возможно зависящей от M);б) при любых фиксированных a < b, отличных от нуля,

limn→∞

b∫

a

dx fn(x) =

{0 при a < b < 0 или 0 < a < b

1 при a < 0 < b

Пусть fn(x) – такая последовательность. Рассмотрим последовательность функций Fn(x) =∫ x−1dy fn(y). Она равномерно по n ограничена в каждом промежутке, так что Fn(x) → θ(x).

Для производной функции Хевисайда имеем:

(θ′, φ) = −(θ, φ′) = −∫ +∞

x

dxφ′(x) = φ(0),

так что

(5.1) θ′ = δ,

Отсюда ввиду непрерывности дифференцирования fn(x) → δ(x). Пример: fǫ(x) =1

2ǫ[θ(x +

ǫ) − θ(x − ǫ)] при ǫ → 0. Интересно отметить, что f ′ǫ(x) =

1

2ǫ[δ(x + ǫ) − δ(x − ǫ)] и, конечно,

f ′ǫ(x) → δ′(x).

5.2. Формулы Сохоцкого и предельные значения голоморфных функций. Из курсаТФКП известно, что если C – кривая в C и f(ξ) – интегрируемая функция на C, то определенинтеграл типа Коши

Φ(z) =1

2πi

∫

C

dξ f(ξ)

ξ − z

Утверждение. Φ(z) аналитична вне C (по теореме о зависимости от параметра), но на Cфункция Φ(z) не определена. Чему равен предел Φ(z), когда z → ξ0 ∈ C, если он существует?Пример. C – замнкнутый контур. f(ξ) – ограничение на C голоморфной функции. Тогда потеореме Коши о вычетах

Φ(z) =1

2πi

∫

C

dξ f(ξ)

ξ − z=

{f(z), z внутри C

0, z вне C.

Общий случай дается теоремой Сохоцкого.

Теорема 5.1. Пусть f(ξ) локально и глобально интегрируема на кусочно гладкой кривой Cи удовлетворяет условию Гельдера1 в окрестности ξ0, где ξ0 ∈ C – не точка излома и не

1Функция f(x), определенная в области E n -мерного евклидова пространства, удовлетворяет в точке y ∈ E

условию Гельдера с показателем α, 0 < α ≤ 1, и коэффициентом A(y), если |f(x)− f(y)| ≤ A(y)|x− y|α для всех

x, достаточно близких к y.

19

концевая точка. Тогда

Φ(z) →

1

2πip.v.

∫

C

dξ f(ξ)

ξ − ξ0+f(ξ0)

2, z → ξ0 слева,

1

2πip.v.

∫

C

dξ f(ξ)

ξ − ξ0− f(ξ0)

2, z → ξ0 справа,

где p.v. – предел интеграла по C с вырезанным вокруг ξ0 симметричным относительно ξ0отрезком при стремлении его длины к нулю.

Доказательство. Докажем для C = R и f(ξ) достаточно убывающей на бесконечности так,

чтобы интеграл+∞∫−∞

dξ f(ξ)

ξ − zсходился при z ∈ C, Im z 6= 0. Итак, пусть ξ0 ∈ R и выберем R такое,

что R > |ξ0|. Запишем+∞∫

−∞

dξ f(ξ)

ξ − z=

+∞∫

−∞

dξ[f(ξ)− f(ξ0)θ(R− |ξ|)]

ξ − z+ f(ξ0)

+R∫

−R

dξ

ξ − z.

Поскольку f(ξ) удовлетворяет условию Гельдера, то при z → ξ0 ∈ R

+∞∫

−∞

dξ[f(ξ)− f(ξ0)θ(R− |ξ|)]

ξ − z→

+∞∫

−∞

dξ[f(ξ)− f(ξ0)θ(R− |ξ|)]

ξ − ξ0≡

≡ p.v.

+∞∫

−∞

dξ f(ξ)

ξ − ξ0− f(ξ0) ln

|R− ξ0||R+ ξ0|

.

Здесь главное значение ввиду особенности около ξ0: на бесконечности интегралы сходятся ввидуубывания f(ξ). Далее, при ǫ > 0

+R∫

−R

dξ

ξ − z

∣∣∣∣∣z=ξ0±iǫ

=

+R∫

−R

dξ

ξ − ξ0 ∓ iǫ=

= ln(ξ − ξ0 ∓ iǫ)∣∣ξ=Rξ=−R =

= ln|R− ξ0 ± iǫ|

| − R− ξ0 ± iǫ)| + i arg (R− ξ0 ± iǫ)− i arg (−R − ξ0 ± iǫ),

где аргумент комплексного числа выбирается в интервале от −π до π. Суммируя полученныерезультаты, мы получаем в пределе z → ξ0 (т.е. ǫ→ +0) утверждение теоремы.

Замечание 5.1. Пусть Φ±(z) – интегралы Коши1

2πi

∫dξ f(ξ)

ξ − zв верхней и нижней полу-

плоскостях. По формуле Сохоцкого Φ±(z) имеют пределы при z → ξ ∈ R, причем

Φ+(ξ)− Φ−(ξ) = f(ξ),

Φ+(ξ) + Φ−(ξ) =1

πip.v.

+∞∫−∞

dξ′ f(ξ′)

ξ′ − ξ.

В частности, отсюда следует, что любая f ∈ C1(R), убывающая на бесконечности, предста-вима как скачок голоморфных функций.

Замечание 5.2. Дла любой φ ∈ S (или φ ∈ D) по формуле Сохоцкого–Вейрштрассе

1

2πi

∫dx φ(x)

x− (ξ ± i0)=

1

2πip.v.

∫dx φ(x)

x− ξ± φ(ξ)

2,

так что теорема есть расширение формулы с пространства основных функций на функции,удовлетворяющие условию Гельдера.

20

5.3. Формулы Сохоцкого и аналитическое представление обобщенных функций. Фор-мулы Сохоцкого, примененные к основным функциям (см. Замечание 6.2)

1

2πi

∫dx φ(x)

x− (ξ ± i0)=

1

2πip.v.

∫dx φ(x)

x− ξ± φ(ξ)

2,

могут быть прочитаны (при ξ = 0) как следующие равенства обобщенных функций

1

x+ i0= p.v.

1

x− πiδ(x),

1

x− i0= p.v.

1

x+ πiδ(x),

(5.2)

которые также называются формулами Сохоцкого. Они могут быть также получены дифферен-

циированием функции log(x± iε), поскольку1

x± i0= limε→±0

1

x+ iε. Выразим из этих формул

обобщенные функции δ(x) и 1/x в смысле главного значения:

δ(x) =i

2π

(1

x+ i0− 1

x− i0

),

1

x=

1

2

(1

x+ i0+

1

x− i0

)(5.3)

Функция1

x+ i0есть предельное значение функции

1

z, где z = x + iy и y → +0, функция же

1

x− i0есть предельное значение функции

1

z, где y → −0. Таким образом, формулы Сохоцкого

представляют обобщенные функции δ(x) и 1/x в виде разности граничных значений функции,голоморфной в верхней полуплоскости и функции, голоморфной в нижней полуплоскости.

Представление обобщенной функции f(x) в виде

f(x) = f+(x)− f−(x),

где f+(x) – граничное значение (не обобщенной!) функции, голоморфной в верхней полуплос-кости, и где f−(x) – граничное значение функции, голоморфной в нижней полуплоскости, на-зывается 0 аналитическим представлением обобщенной функции f . Имеет место

Теорема (см. Г.Бремерман, “Распределения, комплексные переменные и преобразование Фу-рье”): Всякая обобщенная функция из D ′ допускает аналитическое представление.

В общем случае найти аналитическое представление обобщенной функции непросто. Одна-ко, если f – обобщенная функция с компактным носителем, или при достаточно больших xсовпадающая с абсолютно интегрируемой функцией f(x), убывающей на бесконечности, тоаналитическое представление f находится при помощи интеграла Коши:

f±(z) =1

2πi

∫ +∞

−∞

dx′ f(x′)

x′ − z≡ i

2π

∫ +∞

−∞

dx′ f(x′)

z − x′, z = x+ iy ∈ C,

Иными словами, аналитические в полуплоскостях функции f±(z) получаются сверткой функ-ции f(x) и ядра Коши (−2πiz)−1:

f±(z) =i

2π

(1

z∗ f).

Например, для f(x) = δ(x) эта формула дает

f±(z) =i

2π

∫ +∞

−∞

dx′ δ(x′)

z − x′=

i

2πz,

так что мы возвращаемся к первому равенству в (6.2):

δ(x) =i

2π

(1

x+ i0− 1

x− i0

).

21

Для f(x) = 1/x несколько более сложные вычисления дают f±(z) = ±1/2z, что приводитк аналитическому представлению обобщенной функции 1/x, полученному ранее из формулСохоцкого:

1

x=

1

2

(1

x+ i0+

1

x− i0

).

5.4. Прямое произведение обобщенных функций и свертка. Пусть заданы обобщенныефункции f(x) и g(x). Пусть φ(x, y) – основная функция, скажем из D(R2). Тогда прямое про-изведение f × g определяется как

(f(x)× g(y), φ(x, y)) = (f(x), (g(y), φ(x, y))).

Свойства:

Коммутативность: f(x)× g(y) = g(y)× f(x),

Ассоциативность: f(x)× {g(y)× h(z)} = {f(x)× g(y)} × h(z).

Доказательство следует из того факта, что любую основную функцию φ(x, y) можно приблизитьсуммами

∑nj=1 φj(x)ψj(y), где j = 1, 2, . . ., n = 1, 2, . . . и φj(x) и ψj(y) – последовательности

основных функций своих переменных. Кроме того,

(f(x)× g(y), φ(x)ψ(y)) = (f(x), φ(x))(g(y), ψ(y)).

Если f(x) и g(x) – две абсолютно интегрируемых функции на прямой, то их свертка опреде-ляется как

(f ∗ g)(x) =∫dyf(y)g(x− y) ≡

∫dyf(x− y)g(y).

Так что для любой основной функции φ(x):

((f ∗ g)(x), φ(x)) =∫dx

∫dyf(y)g(x)φ(x+ y).

Поэтому для обобщенных функций f и g мы определим свертку как

(f ∗ g, φ) = (f(x)× g(y), φ(x+ y)),

если указанный функционал существует. Важно помнить, что φ(x+y) не есть основная функциядвух переменных x и y, так что он не обязан существовать. В частности, это определениеосмыслено, если

1) одна из обобщенных функций имеет ограниченный носитель;2) носители обоих обобщенных функций ограничены с одной и той же стороны, например,

f = 0 при x < a и g = 0 при y < b.Для доказательства в D ′ следует рассмотреть выражения (f(x), φ(x + y)). Так в случае 1)

это – основная функция от y. Легко проверить, что

δ ∗ f = f для любой обобщенной функции f,

f ∗ g = g ∗ f, по крайней мере в случаях 1) и 2),

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),если носители двух из трех функционалов ограничены, или когда носители всех трех ограни-чены с одной стороны, кроме того для любого дифференциального оператора D выпоняется

D(f ∗ g) = Df ∗ g = f ∗Dg.Условия непрерывности свертки, т.е. из fn → f следует fn ∗ g → f ∗ g, нужно проверять

в каждом частном случае. Например, если сходящаяся последовательность fn такая, что всеее элементы имеют носитель в одном и том же ограниченном множестве, то это справедливо.Аналогично и для равенства

∂

∂t(f ∗ g) = ∂f

∂t∗ g.

22

Литература к лекции 5: И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов “Обобщенные функции и действия над ни-ми”, гл. II; В.С.Владимиров , В.В.Жаринов “Уравнения математической физики”, Бремерман,“Распределения, комплексные переменныеи преобразование Фурье”.

23

6. Лекция 6

6.1. Преобразование Фурье. Для произвольной основной функции определим преобразова-ние Фурье посредством

F [φ](ξ) =

∫dx eixξφ(x), F−1[ψ](x) =

1

2π

∫dξ e−ixξψ(ξ).

Часто используется обозначение φ(x) = F [φ(x)]. При этом S → S , а D переходит в простран-ство аналитических функций. Если обобщенная функция f задается абсолютно интегрируемойфункцией f(x), то ее преобразование Фурье есть

F [f ](ξ) =

∫dx eixξf(x),

так что для основной функции φ и ее Фурье-образа ψ выполняется равенство

(F [f ](ξ), ψ(ξ)) = 2π(f(x), φ(−x)).Для произвольной обобщенной функции это равенство является определением преобразованияФурье:

(F [f ](ξ), ψ(ξ)) = (f(x), F [ψ](x)).

Обратное преобразование определяется аналогично. В силу этих определений для любого диф-ференциального оператора с постоянными коэффициентами P имеем

P

(∂

∂ξ

)F [f ](ξ) = F [P (ix)f(x)](ξ).

Свойства преобразования Фурье:

• ∂nξ (F [f ](ξ)) = F [(ix)nf ](ξ),• F [∂nxf ] = (−iξ)nF [f ],• F [f(x− x0)] = eix0ξF [f ],• F [f ](ξ + ξ0) = F [eixξ0f ](ξ),• F [f(x)× g(x′)] = F [f ](ξ)× F [g](ξ′),• F [f ∗ g] = F [f ]F [g],

причем последнее выполняется только если свертка существует, а в правой части возникаетпроизведение обобщенных функций.

Примеры фурье-образов: F [δ] = 1, F [θ](ξ) = iξ+i0

.Как мы уже говорили, произведения обобщенных функций, вообще говоря, неопределены.

Примеры:1

xδ(x), x

1

xδ(x). Однако, возможны и исключения, например:

θ(x)θ(x− a) = θ(x− a), a ≥ 0.

Но в любом случае условия существования свертки контролировать легче, чем условие суще-ствования произведения обобщенных функций, поэтому Фурье-образ свертки Фурье-образовобобщенных функций часто берется в качестве определения произведения обобщенных функ-ций. Например, когда одна из обобщенных функций из S ′, а другая – обобщенная функция скомпактым носителем, или когда их носители ограничены с одной и той же стороны. Пример:

(θ ∗ θ)(x) = θ(x)x.

Если свертка определена, то

∂x(f ∗ g) = (∂xf)× g ≡ f ∗ ∂xg.Так, используя свертки Фурье-образов, имеем, что существует произведение:

1

ξ + i0

1

ξ + i0=

1

(ξ + i0)2

24

Замечание о прямом произведении обобщенных функций. Обращение с прямым про-изведением на каждом этапе требует аккуратности, чтобы не выйти за его рамки. Так, казалосьбы очевидное равенство

(6.1)1

x

1

y=

1

y − x

(1

x− 1

y

),

где выражения типа 1/x понимаются в смысле главного значения, неверно, хотя все члены вобоих частях хорошо определены именно как прямые произведения обобщенных функций. Делоздесь в том, что при приведении правой части к общему знаменателю возникает отношениеy − x

(y − x)xy, которое уже не есть прямое произведение, поскольку в знаменателе сингулярны три

множителя, зависящие только от двух переменных. Правильный способ действий, например,такой. Пусть ǫ1 и ǫ2 – положительны. Рассмотрим равенство

1

x+ iǫ1

1

y − iǫ2=

1

y − x− i(ǫ1 + ǫ2)

(1

x+ iǫ1− 1

y − iǫ2

),

которое заведомо верно, поскольку не содержит особенностей. Более того, это равенство допус-кает предел ǫ1, ǫ2 → +0, независящий от порядка предельных переходов. Это дает по определе-нию равенство обобщенных функций (их прямых произведений):

1

x+ i0

1

y − i0=

1

y − x− i0

(1

x+ i0− 1

y − i0

).

Очевидно, что в прямом произведении обобщенных функций мы для каждой из них можемпользоваться формулой Сохоцкого–Вейрштрассе. Тогда вещественная часть этого предыдущегоравенства дает

(6.2)1

x

1

y=

1

y − x

(1

x− 1

y

)+ π2δ(x)δ(y),

что есть правильная версия правой части формулы (6.1). Равенство (6.2) также может бытьполучено посредством свертки Фурье-образов главных значений.

Литература к лекции 6: И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов “Обобщенные функции и действия над ни-ми”, гл. II; В.С.Владимиров , В.В.Жаринов “Уравнения математической физики”, Г.Бремерман,“Распределения, комплексные переменные и преобразование Фурье”.

25

7. Лекция 7

7.1. Обобщенные функции комплексного переменного. Обобщенная функция 1/zn, n =1, 2, . . ., в пространстве S ′(C) (распределение) определяется посредством равенств

(1

zn, f

)= lim

ǫ→0

∫

|z|>ǫ

d2z

znf(z), d2z = dzRedzIm =

dz ∧ dz2i

,

где f ∈ S (C).(

1

z2, f

)=

∫

|z|>1

d2z

z2f(z) +

+

∫

|z|<1

d2z

z2(f(z)− f(0)).

Формулы Грина:

2i

∫

D

d2z ∂zf(z) =

∮

∂D

dz f(z),

2i

∫

D

d2z ∂zf(z) = −∮

∂D

dz f(z)

(область D находится слева от контура ∂D при интегрировании по нему).Формула Коши–Грина:

f(z) = − 1

2πi

∮

∂D

dz ′ f(z′)

z − z′+

1

π

∫

D

d2z

z − z′∂z′f(z

′),

для z ∈ D ⊂ C и f(z) = 0 в противном случае.Выполнено асимптотическое равентство:

1

z +∆− 1

z= −∆

z2+ π∆δ(z) + o(∆), ∆ → 0,

где o(∆) означает обобщенную функцию, стремящуюся к нулю при ∆ → 0.Это равенство можно получить следующим образом:

∫d2z

(1

z +∆− 1

z

)f(z) =

∫d2z

z(f(z −∆)− f(z)) =

= −∫dz ∧ dz

2i

1

z

(∆∂zf(z) + ∆∂zf(z)

)+ o(∆) =

= − limǫ→0

∫

|z|>ǫ

d2z

z

(∆∂zf(z) + ∆∂zf(z)

)+ o(∆) =

= −∆ limǫ→0

∫

|z|>ǫ

d2z

z∂zf(z)−∆ lim

ǫ→0

∫

|z|>ǫ

d2z

z∂zf(z) + o(∆) =

= −(∆

z2, f

)+∆ lim

ǫ→0

∮

|z|=ǫ

dz

zf(z) + o(∆) =

= −(∆

z2, f

)+∆πf(0) + o(∆).

Тогда

∂z1

z= πδ(z)

26

7.2. Фундаментальные решения и функции Грина, Сведение начальной задачи кзадаче с нулевыми начальными данными. Пусть u(x) кусочно n раз дифференцируемая(в обычном смысле) фунция. Пусть xk, k = 1, . . . , N означают точки разрыва хотя бы однойиз производных u(m)(x) и потребуем, чтобы в каждой такой точке существовали конечные ле-вые и правые пределы всех производных, u(m)(xk ± 0). Обозначим обычную производную наинтервалах ее существования u(m)

кл и разрывы производных в точках как

[u(m)]k = u(m)(xk + 0)− u(m)(xk − 0).

Тогда, как следует из одной из задач Листка 3,

u′(x) = u′кл(x) +

N∑

k=1

[u]kδ(x− xk),

так что

u′′(x) = u′′кл(x) +

N∑

k=1

[u′]kδ(x− xk) +

N∑

k=1

[u]kδ′(x− xk),

и продолжая, имеем:

u(m)(x) = u(m)кл

(x) +

m−1∑

m′=0

N∑

k=1

[u(m′)]kδ

(m−m′−1)(x− xk).

Пусть требуется решить при x > 0 начальную задачу для уравнения с постоянными коэф-фициентами:

Lu(x) ≡M∑

m=0

am∂mu(x)

∂xm= f(x),

u(0) = u0, u′(0) = u1, . . . , u(M−1)(0) = uM−1.

Положим u(x) = u(x)θ(x). Тогда

u′(x) = u′(x)θ(x) + u0δ(x),

u′′(x) = u′′(x)θ(x) + u1δ(x) + u0δ′(x),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

u(m)(x) = u(m)(x)θ(x) +m−1∑

m′=0

um′δ(m−m′−1)(x).

Таким образом, исходная задача свелась к задаче построения обобщенного решения уравнения

Lu(x) = f(x) +

M∑

m=1

am

m−1∑

m′=0

um′δ(m−m′−1)(x)

с носителем на интервале [0,+∞].

7.3. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение диф-ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Lu(x) ≡N∑

n=0

an∂nu(x)

∂xn= f(x)

в классе гладких дифференцируемых функций основано на свойстве преобразования Фурье:

F [∂nxf ] = (−ip)nF [f ],где для основных и интегрируемых функций

F [φ](p) =

∫dx eipxφ(x), F−1[ψ](x) =

1

2π

∫dp e−ipxψ(p).

27

Применяя его к обоим частям дифференциального уравнения, получаем уравнение вида

P (p)F [u](p) = F [f ](p),

где полином

P (p) =N∑

n=0

an(−ip)n.

Т.е. формально

F [u](p) =F [f ](p)

P (p).

Предположим, что такое деление возможно, т.е., что P (p) не имеет вещественных нулей. Tогда,совершая обратное преобразование, получаем

u(x) =

∫dyG(x− y)f(y),

где возниклo фундаментальное решение оператора L:

G(x) = F−1

[1

P (p)

](x) ≡ 1

2π

∫dp e−ipx

P (p),

так что

LG(x) = δ(x).

Таким образом в данном случае фундаментальное решение существует и определено однознач-но, поскольку однозначна процедура деления, в знаменателе нет нулей, так что интеграл су-щeствует и сходится. Собственно, то же самое верное и для большего числа измерений.

Рассмотрим более общий случай, когда у полинома P (p) имеются вещественные нули, причембудем считать, что они простые. Как известно, всегда можно записать

P (p) =

n∏

n=1

aN(−i)N (p− qn).

Пусть, скажем, q1 вещественен. Тогда, во-первых, 1/P (p) сингулярен и следует выбрать как мыпонимаем 1/(p− q1): главное значение, или 1/(p− q1 + i0), или 1/(p− q1 − i0), или еще как-то.Но после этого возникает проблема неоднозначности – вспомнить задачу xf(x) = 0. Ну и такдалее для всех вещественных корней полинома P (p).

Пример: уравнение Штурма–Лиувилля с нулевым потенциалом:

− d2ψ(x)

dx2− k2ψ(x) = f(x), где k 6= 0 – вещественный параметр,

так что

− d2G(x)

dx2− k2G(x) = δ(x).

Здесь

P (p) = p2 − k2

а потому

F [ψ](p) =F [f ](p)

(p− k)(p+ k).

Конечно, нужно фиксировать выбор обобщенных функций и учесть неоднозначность деления.Положим

(7.1) F [ψ](p) =F [f ](p)

(p− k + i0)(p+ k + i0)+ c−δ(p− k) + c+δ(p+ k),

28

где c− и c+ – неопределенные константы (имеется ввиду по p). Совершая обратное преобразо-вание Фурье, получаем

ψ(x) =

∫dy G(x− y, k)f(y) + c−e

−ikx + c+eikx,

G(x, k) =1

2π

∫dp e−ipx

(p− k + i0)(p+ k + i0).

Вспоминая задачу 10 из Листка 4, имеем:

G(x, k) =1

4kπ

∫dp e−ipx

(1

p− k + i0− 1

p− k + i0

)= −θ(x)sin kx

k.

Произвол в выборе констант фиксируется граничными условиями, например,

ψ(0) = 0, ψx(0) = 0,

что дает:

c± =1

2

∫dy

[−G(−y, k)± i

kGx(−y, k)

]f(y).

Ответ так же можно записать в виде

ψ(x) =

∫dy G0(x, y, k)f(y)

где теперь G0(x, y, k) не есть функция разности:

G0(x, y, k) =[θ(−y)− θ(x− y)

]sin k(x− y)

k,

ψ(x) =

x∫

0

dysin k(x− y)

kf(y).

Для многомерных задач ситуация сложнее. В частности, мы имеем для оператора Лапласа:

(∂2x + ∂2y)G(x, y) = δ(x)δ(y)

что с учетом обозначений

z = x+ iy, ∂z =1

2(∂x − i∂y)

переписывается в виде

∂z∂zg(z) =1

4δ(z), где g(z) = G(x, y).

В задачах мы имели, что ∂z ln |z|2 = 1/z и ∂z(1/z) = πδ(z). Так что

G(x, y) =1

4πln(x2 + y2).

Литература к лекции 7: И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов “Обобщенные функции и действия над ни-ми”, гл. II; В.С.Владимиров , В.В.Жаринов “Уравнения математической физики”, Г.Бремерман,“Распределения, комплексные переменные и преобразование Фурье”.

29

8. Лекция 8

8.1. Волновое уравнение. Найдем фундаментальное решение одномерного волнового урав-нения

∂2u

∂t2− a2

∂2u

∂x2= f(t, x), (a > 0)

т.е., решение уравнения∂2G(t, x)

∂t2− a2

∂2G(t, x)

∂x2= δ(t)δ(x).

Применим, например, к последнему уравнению преобразование Фурье по переменной x:

∂2G(t, k)

∂t2− a2k2G(t, k) = δ(t).

При фиксированном k соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение по t былорассмотрено выше; одно из его фундаментальных решений имеет вид

G(t, k) = θ(t)sin akt

ak

Фундаментальное решение волнового уравнения получаем применением к G(t, k) обратногопреобразования Фурье. Ответ:

G(t, x) =1

2aθ(at− |x|).

Проверим, вычислив преобразование Фурье по x от G(t, x). Поскольку речь идет об обычныхлокально интегрируемых функциях, достаточно вычислить интеграл

Fx[G(t, x)] =

∫ +∞

−∞eikxG(t, x)dx =

∫

|x|<ateikxdx =

{0, t < 0,

sin akt

ak, t > 0.

Решим с помощью полученного фундаментального решения задачу Коши для волнового урав-нения:

∂2u

∂t2− a2

∂2u

∂x2= f(t, x), t > 0

u(0, x) = u0(x),∂u

∂t(0, x) = u1(x)

Эта задача эквивалентна одному уравнению на обобщенную функцию v(t, x) = θ(t)u(t, x), со-средоточенную в полуплоскости t > 0:

∂2v

∂t2− a2

∂2v

∂x2= f(t, x)θ(t) + u0(x)δ

′(t) + u1(x)δ(t).

В самом деле, производная∂v

∂tв смыcле обобщенных функций равна

∂v

∂t=∂u

∂tθ(t) + u(t)θ′t(t) =

∂u

∂tθ(t) + u0(x)δ(t),

аналогично∂2v

∂t2=∂2u

∂t2θ(t) + u0(x)δ

′(t) + u1(x)δ(t).

Поэтому v(t, x) = G(t, x) ∗ (f(t, x)θ(t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t)) и при t > 0

u(t, x) =1

2a

+∞∫

−∞

ds

+∞∫

−∞

dy θ(t− s− |x− y|) (f(s, y)θ(s) + u0(y)δ′(s) + u1(y)δ(s))

=1

2a

t∫

0

ds

x+a(t−s)∫

x−a(t−s)

dyf(s, y) +1

2a

x+at∫

x−at

dyu1(y) +1

2(u0(x− at) + u0(x+ at))

(формула Даламбера).

30

Обсудим вкратце соотношение между преобразованиями Фурье и Лапласа. Пусть f(t) – ло-кально интегрируемая функция, растущая не быстрее полинома, равная нулю при отрицатель-ных t (в частности, f(t) ∈ S ′ – обобщенная функция умеренного роста, сосредоточенная наположительной полуоси). Тогда ее преобразование Лапласа F (p) =

∫∞0f(t)e−ptdt аналитично

в полуплоскости Re p > 0 и является аналитическим продолжением преобразования ФурьеF [f ](k) =

∫∞0eiktf(t)dt при соответствии k = ip.

Поэтому для решения задач Коши с положительным временем в обыкновенных дифференци-альных уравнениях можно использовать оба преобразования, однако в этом случае преобразо-вание Лапласа сразу же аппелирует к аппарату ТФКП (и применимо к более широкому классуфункций с экспоненциальным ростом). В иных задачах, использующих поведение решений приt < 0 ( тем более в многомерных задачах) приходится ограничиваться преобразованием Фурье.

С другой стороны, всякую обобщенную функцию f(t) ∈ S ′ можно разложить в разность(или сумму) f(t) = f+(t) − f−(t) функций с носителями на положительной и отрицательнойполуосях соответственно. Например, если f(t) – локально интегрируемая функция, растущаяне быстрее полинома, то f+(t) = f(t)θ(t), f−(t) = −f(t)θ(−t). Тогда преобразование ФурьеF [f(t)](k) ecть сумма F+(k) = F [f+(t)](k) и F−(k) = F [f−(t)](k),

(8.1) F (k) = F+(k)− F−(k),

где функции F±(k) имеют вид преобразований Лапласа функций f±(t) при соответствии k = ±ipи являются аналитическими функциями в верхней, соответственно, нижней полуплоскостям.Таким образом, разложение (8.1) – это аналитическое представление преобразования Фурьеобобщенной функции, осуществляемое двумя преобразованиями Лапласа.

8.2. Сведение начальной задачи к интегральному уравнению. Рассмотрим опять урав-нение Штурма–Лиувилля с ненулевым потенциалом (одномерное уравнение Шредингера):

−d2ψ(x)

dx2+ u(x)ψ(x) = k2ψ(x), где k 6= 0 – вещественный параметр,

и нулевой “правой частью”. Преобразование Фурье в такой ситуации приносит мало пользы,поскольку вместо u(x)ψ(x) мы получим свертку. Однако функция Грина позволяет свести диф-ференциальное уравнение с начальными данными к интегральному, что дает возможность ис-следовать свойства решений. Положим в предыдущих формулах f(x) = −u(x)ψ(x), тогда ψ(x)удовлетворяет

ψ(x) = c−e−ikx + c+e

ikx −x∫

−∞

dysin k(x− y)

ku(y)ψ(y).

Опять константы фиксируруются начальными условиями. Предположим, что u(x) – гладкая,быстро убывающая на бесконечности функция (например, из S ). Тогда естественно ожидать,что на бесконечности ψ(x) ведет себя как решение уравнения с u(x) = 0. Обозначим ψ(x, k) ∼e−ikx при x→ −∞, точнее, зададим решение ψ(x, k) условием

limx→−∞

eikxψ(x, k) = 1.

Перепишем интегральное уравнение в виде

eikxψ(x) = c− + c+e2ikx +

x∫

−∞

dy1− e2ik(x−y)

ku(y)eikyψ(y),

31

т.е. как интегральное уравнение на eikxψ(x). Условие на асимптотике дает c− = 1, c+ = 0. Итак,

ψ(x, k) = e−ikx −x∫

−∞

dysin k(x− y)

ku(y)ψ(y, k),

eikxψ(x, k) = 1 +

x∫

−∞

dy1− e2ik(x−y)

ku(y)eikyψ(y, k).

Мы получили однозначное уравнение, доказательство существования решения которого ужеможно проводить, скажем методом последовательных приближений. Вторая версия этого урав-нения позволяет доказать, что ψ(x, k) допускает аналитическое продолжение в верхнюю полу-плоскость параметра k. Решение Йоста.

Литература к лекции 8: И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов “Обобщенные функции и действия над ни-ми”, гл. II; В.С.Владимиров , В.В.Жаринов “Уравнения математической физики”, Г.Бремерман,“Распределения, комплексные переменные и преобразование Фурье”.

32

9. Лекция 9. Асимптотические методы

9.1. Постановка задачи. Рассмотрим несобственный интеграл G(x) =∞∫0

e−xt

1 + tdt как функ-

цию параметра x. Заменяя под знаком интеграла (1 + t)−1 на соответствующий ряд Тэйлора,приходим к выражению

G(x) =∑

n≥0

(−1)n∫ ∞

0

e−xttndt =∑

n≥0

(−1)n∫ ∞

0

e−xt(xt)n

xn+1d(xt) =

∑

n≥0

(−1)nΓ(n+ 1)

xn+1=

=∑

n≥0

(−1)nn!

xn+1.

Получили ряд, расходящийся при любом x, отличном от нуля, что говорит о неправомерностиприведенных рассуждений. Этого можно было ожидать, поскольку используемое разложениеимеет место не на всем промежутке интегрирования. Повторим те же вычисления с конечнойчастью ряда Тэйлора функции (1 + t)−1. По формуле суммы геометрической прогресии

1

1 + t= 1− t + t2 + . . .+ (−1)n−1tn−1 + (−1)n

tn

1 + t,

поэтому

G(x) =n−1∑

k=0

(−1)k∫ ∞

0

e−txtkdt+ (−1)n∫ ∞

0

tne−xt

1 + tdt =

n−1∑

k=0

(−1)kk!

xk+1+ (−1)n

∫ ∞

0

tne−xt

1 + tdt

Последнее слагаемое

Rn(x) = (−1)n∫ ∞

0

tne−xt

1 + tdt

представляет собой ошибку приближения функции G(x) конечным рядом∑n−1

k=0(−1)kk!xk+1 . Нетруд-

но видеть, что при Re x = a > 0

|Rn(x)| <∫ ∞

0

tne−atdt =n!

an+1.

В частности, если x – действительное положительное число, что мы и предположим далее дляпростоты изложения, то |Rn(x)| < n!

xn+1 и этот остаток имеет знак (−1)n.Изучим поведение ошибки в зависимости от n и x.

a) Фиксируем n. Тогда с ростом x остаток Rn(x) стремится к нулю.б) Фиксируем x. Ошибка уменьшается с ростом n, пока n не превосходит целой части [x]

числа x. Затем ошибка Rn(x) начинает расти. В самом деле,n!

xn+1=

1

x· 1x· 2x· · · n

x, и при

n > x каждый множитель, начиная с [x] + 1-го, больше единицы.Таким образом, любое численное приближение интеграла имеет ошибку, не меньшую

ε(x) =[x]!

x[x]. Она весьма мала при больших x. Например, при x = 10 ошибка ε ∼ 10−3, а

при x = 100 ошибка ε ∼ 10−40, что говорит о том, что приближения получаются оченьхорошими, несмотря на неустранимые ошибки.

Приведенный способ вычислений был аксиоматизирован А.Пуанкаре в 1890 г.

9.2. Подход Пуанкаре. Определение. Пусть D – область в C, z0 ∈ D - предельная точка D.Последовательность функций ϕn(z), n ≥ 1, z ∈ D называется асимптотической последователь-ностью при z → z0 в D, если все ϕn(z) определены в D и для всякого n ≥ 1 ϕn+1(z) = o(ϕn(z))при z → z0.

Пусть {ϕn(z)} - асимптотическая последовательность. Ряд∞∑n=1

anϕn(z) называется асимпто-

тическим разложением функции f(z) при z → z0 в D, f(z) ∼∑n≥1

anϕn(z), если для всякого

33

n ≥ 1 выполнено соотношение

f(z)−n∑

k=1

akϕk(z) = o(ϕn(z)), z → z0, z ∈ D.

Напомним символику бесконечно малых.

1. f(z) ∼ g(z) при z → z0, z ∈ D означает, что limz→z0,z∈D

f(z)

g(z)= 1.

2. f(z) = o(g(z)) при z → z0, z ∈ D означает, что limz→z0,z∈D

f(z)

g(z)= 0.

3. f(z) = O(g(z)) при z → z0, z ∈ D означает, чтоf(z)

g(z)ограничено в пересечении некоторой

окрестности z0 c D.Например, функция th z есть o(1) при z → ∞, | arg z| < π

2− δ. В самом деле,

th z =1− e−2z

1 + e−2z

и при |z| > R c учетом | arg z| < π

2− δ верно неравенство Re z > |z|/ sin δ. Поэтому при стрем-

лении z к бесконечности в указанной области Re z также стремится к бесконечности; соответ-ственно, |e−z| стремится к нулю.

Однако, это не так в области Re z > 0 , поскольку в этом случае при стремлении z к беско-нечности Re z может сколь угодно мало отличаться от нуля, так что |e−z| к нулю не стремится.

Наиболее часто используются степенные асимптотические последовательности, например,ϕn(z) = zn при z0 = 0 или ϕn(z) = z−n при z0 = ∞. Если функция f(z) имеет асимптоти-ческое разложение по заданной системе функций, то его коэффициенты единственны. В самомделе, из определения имеем при z → z0, z ∈ D

f(z)− a1ϕ1(z) = o(ϕ1(z)), откуда a1 = limz→z0, z∈D

f(z)

ϕ1(z),

f(z)−n∑

k=1

akϕk(z) = o(ϕn(z)), откуда an = limz→z0, z∈D

f(z)−∑n−1

k=1 akϕk(z)

ϕn(z)

Можно также заметить, что при наличии асимптотического разложения выполнена более точ-ная оценка ошибки:

f(z)−n∑

k=1

akϕk(z) = O(ϕn+1(z))

при z → z0 и z ∈ D, что можно использовать как другой вариант определения.С другой стороны, функция не определяется своим асимптотическим разложением; раз-

личные функции могут иметь одно и тоже асимптотическое разложение. Например, функцияf(z) = e−

1

z2 имеет нулевое асимптотическое разложение в нуле по степеням z,

e−1

z2 ∼ 0 + 0 · z + ... + 0 · zn + ... z → 0

поскольку убывает при z → 0 быстрее любой степени z.Формула Тэйлора с остаточным членом в форме Пеано,

f(z) =n∑

k=0

f (k)(0)

k!zk + o(zn+1)

говорит, что всякая функция, бесконечно дифференциируемая в нуле, имеет свой ряд Тэйлорав качестве асимптотического разложения (вне зависимости от его сходимости). Однако, по-нятие асимптотического разложения шире формулы Тэйлора: во-первых, можно брать иныеасимптотические последовательности, например,

ϕ1(z) = z−2, ϕ2(z) = z−1, . . . , ϕn(z) = zn−3, ..., z0 = 0.

34

Тогда фунции, допускающие асимптотическое разложение по этой системе, могут стремитьсяк ∞ при z → 0 и тем самым не иметь никаких производных в нуле. Во-вторых, как правило,асимптотические разложения рассматриваются в секторах или полуплоскостях типа Re z > 0 ине контролируют поведение функции вне этих секторов.

9.3. Приближенное нахождение нулей трансцендентных уравнений. Пример. Транс-цендентное уравнение x sin x = 1 имеет бесконечно много корней. При больших x n-ный кореньведет себя как x = πn + o(1) . Уточним его поведение. Положим x = πn + αn, где αn = o(1) иподставим это выражение в соотношение sin x = x−1. Пользуясь рядами Тейлора для функцийsin x и (1 + x)−1, получаем:

sin x = (−1)n (αn + o(αn)) =1

πn + αn=

1

πn (1 + αn/πn)=

1

πn

(1− αn

πn+ o

(αnπn

)).

Правая часть имеет вид

1

πn+ o

(1

n

),

поэтому, глядя на левую часть, заключаем, что αn = (−1)n/(πn) + βn, где βn = o(1/n). Под-ставим вновь полученное выражение в предыдущее равенство, воспользовавшись следующимчленом в ряде Тэйлора для синуса, получим

(−1)n((−1)n

1

πn− (−1)n

1

6(πn)3+ βn + o

(1

n3

))=

1

πn

(1− (−1)n

(πn)2+ o

(1

n2

)),

откуда получаем, что βn = − 1

6(πn)3− (−1)n

(πn)3+ o

(1

n2

), так что

x = πn+ (−1)n1

πn− 1

6(πn)3− (−1)n

(πn)3+ o

(1

n2

).

Итерируя процесс, можем получить полное асимптотичское разложение корня по n.

9.4. Оценка интеграла интегрированием по частям. Другой пример асимптотическогоразложения предоставляет оценка интеграла интегрированием по частям. Рассмотрим, напри-

мер, интеграл Френеля F (x) =∞∫x

cos u2du как функцию нижнего предела. Сделаем замену

переменных и проинтегрируем по частям:

F (x) =1

2

∞∫

x2

t−1/2 cos tdt =1

2

∞∫

x2

t−1/2d sin t =1

2t−1/2 sin t

∣∣∣∣∞

x2+

1

4

∞∫

x2

t−3/2 sin tdt =

= −1

2

sin x2

x− 1

2

∞∫

x2

t−3/2d cos t

= −1

2

sin x2

x− 1

2

cosx2

x3+

1 · 32 · 2

∞∫

x2

t−5/2 cos tdt

=

= −1

2

(sin x2

x− 1

2

cosx2

x3+ . . .+

(−1)n(4n− 1)!!

22nsin x2

x4n+1+

(−1)n+1(4n+ 1)!!

22n+1

cosx2

x4n+3+Rn

),

где Rn =(−1)n(4n+ 5)!!

22n+2

∞∫

x2

t−(2n+5

2) cos tdt. Оценим последний интеграл, заменив cos t на 1:

∣∣∣∣∣∣

∞∫

x2

t−(2n+5

2) cos tdt

∣∣∣∣∣∣<

∞∫

x2

t−(2n+5

2)dt =2

4n+ 3

1

x4n+3.

35

В этой оценке остаток имеет порядок последнего слагаемого рассмотренного пртближения ин-теграла Френеля F (x). Объединив теперь Rn c этим последним слагаемым, получим оценку

F (x) = −1

2

(sin x2

x− 1

2

cosx2

x3+ . . .+

(−1)n(4n− 1)!!

22nsin x2

x4n+1

)+O

(1

x4n+3

),

которая означает, что при x→ +∞ функция F (x) допускает асимптотическое разложение вида

F (x) ∼ sin x2

( ∞∑

n=0

anx−4n−1

)+ cosx2

( ∞∑

n=0

bnx−4n−3

),

которое обычно записывают в виде

F (x) ∼ −∞∑

n=0

Γ(n+ 1

2

)

2Γ(12

) x−2n−1 sin(x2 − n

π

2

).

36

10. Лекция 10. Интегралы Лапласа

10.1. Вариации определения Пуанкаре. На прошлой лекции рассматривалось асимптоти-

ческое разложение интеграла Френеля F (x) =∞∫x

cosu2du по системе функций

fn(x) =

sin x2

x2n+1, n = 2k,

cosx2

x2n+1, n = 2k + 1

, n ≥ 0, x→ +∞

Формально система функций fn(x) не является асимптотической последовательностью при x→+∞ в смысле Пуанкаре, поскольку отношение

fn+1(x)

fn(x)равно либо x−2 tg x2, либо x−2 ctg x2 в

зависимости от четности n и не имеет за счет тригонометрических множителей предела приx→ +∞. Однако, разложение дает хорошую степенную оценку остатка порядка x−2n−2 и вполнеможет быть использовано для приближенных вычислений и асимптотичекого анализа. Дляработы с такими разложениями определение Пуакаре можно модифицировать двумя способами(и оба они используются!).

1-ый способ. Разрешим переменные коэффициенты асимптотического разложения, наложивлишь условие их ограниченности в окрестности предельной точки. Иными словами, для асимп-тотической последовательности fn(x), x→ x0, x ∈ D, будем рассматривать приближения вида

f(x) = a1(x)f1(x) + · · ·+ an(x)fn(x) + o(fn(x)),

где каждый коэффициент ak(x) ограничен в некоторой окрестности точки x0. В нашем примереx0 = +∞, D = R+, fn(x) = x−2n−1, an(x) есть линейная комбинация cosx2 и sin x2. Соответству-ющий смысл вкладывается и в асимптотическое разложение

f(x) ∼∞∑

k=0

ak(x)fk(x), , x→ x0, x ∈ D.

2-ой способ. Можно допустить составные асимптотические разложения (с постоянными ко-эффициентами) вида

f(x) ∼∞∑

k=0

akfk(x) +∞∑

k=0

bkgk(x), , x→ x0, x ∈ D,

где {fn(x)} и {gn(x)} – разные асимптотические последовательности. В нашем примере

fn(x) =sin x2

xn, gn(x) =

cosx2

xn.

Этот подход, помимо прочего, позволяет увеличивать область применимости асимптотическогоразложения.

10.2. Асимптотика интеграла Лапласа. Пусть f(t) – функция действительного аргументаt > 0 такая, что интеграл

(10.1) F (x) =

∫ ∞

0

f(t)e−xtdt

(преобразование Лапласа функции f(t)) абсолютно сходится при больших действительныхx > 0. Для этого достаточно потребовать, например, существования конечного интеграла∫∞0

|f(t)|e−x0tdt =M для некоторого x0 > 0.Все асимптотические свойства интеграла Лапласа (10.1) основаны на следующей оценке:Лемма Ватсона. Пусть функция f(t) такова, что

а) интеграл∫∞0

|f(t)|e−x0tdt =M конечен для некоторого x0 > 0;б) f(t) = O(ta) при t→ 0 для некоторого a > −1.

37

Тогда∫∞0f(t)e−xtdt = O

(1

xa+1

)при x→ ∞, Re x > 0 (более точно: если x стремится к бесконеч-

ности, оставаясь внутри некоторого сектора −π2+ δ < arg x < π

2− δ, δ > 0).

Доказательство. Разобьем интеграл на две части:∫ ∞

0

f(t)e−xtdt =

∫ ε

0

f(t)e−xtdt+

∫ ∞

ε

f(t)e−xtdt,

где ε - произвольное малое положительное число. Оценим вначале второй интеграл при Re x >x0: ∣∣∣∣

∫ ∞

ε

f(t)e−xtdt

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ ∞

ε

f(t)e−x0te−(x−x0)tdt

∣∣∣∣ < M |e−(x−x0)ε| =Me−Re(x−x0)ε = Me−εRex,

где M =Me−Rex0. Если x стремится к бесконечности внутри указанного сектора, то при фик-сированном ε интеграл e−εRex стремится к нулю быстрее любой степени x, т.е.,

∫∞εf(t)e−xtdt =

o(x−n) для всех n.В первом интеграле для достаточно малого ε мы можем воспользоваться оценкой |f(t)| < Cta

для некоторого C > 0, так что ∣∣∣∣∫ ε

0

f(t)e−xtdt

∣∣∣∣ < C

∫ ε

0

tae−σtdt,

где σ = Rex. Увеличим в последнем интеграле интервал интегрирования до бесконечного∣∣∣∣∫ ε

0

f(t)e−xtdt

∣∣∣∣ < C

∫ ∞

0

tae−σtdt =C

σa+1

∫ ∞

0

(σt)ae−σtdσt = CΓ(a + 1)

σa+1

= O

(1

σa+1

)= O

(1

xa+1

),

если x→ ∞, оставаясь в секторе −π2+ δ < arg x < π

2− δ.

Из леммы Ватсона следует, что если функция f(t) такова, что |f(t)| < ex0t при больших t иf(t) = a1t

α1 + · · · antαn + O(tαn+1) при t → 0 и некоторых a1, ..., an и вещественных α1, ...αn+1,таких, что −1 < α1 < α2 < ... < αn+1, то

∫ ∞

0

f(t)e−xtdt = a1Γ(α1 + 1)

xα1+1+ · · ·+ an

Γ(αn + 1)

xαn+1+O

(1

xαn+1+1

).

Например, для функции f(t), растущей на бесконечности не быстрее некоторой экспоненты иимеющей в нуле асимптотическое разложение

f(t) ∼∞∑

k=0

aktk, t→ 0,

ее преобразование Лапласа F (x) =∫∞0f(t)e−xtdt имеет асимптотическое разложение в описан-

ном выше секторе

F (x) ∼∞∑

k=0

k!akxk+1

, x→ ∞.

Заметим, что все рассуждения и результаты остаются верными и для всякого конечногоинтеграла

∫ b0f(t)e−xtdt – бесконечный отрезок интегрирования, отделенный от нуля, каждый

раз дает экспоненциально малый вклад.

Подобным же образом оцениваются интегралы вида

I(x) =

∫ ∞

0

g(t)exϕ(t)dt,

где ϕ(t) - монотонно убывающая от 0 к −∞ вещественнозначная функция. А именно, сделаемв интеграле замену переменных t = −ψ(τ), где t = ψ(τ) – функция, обратная к τ = ϕ(t):

I(x) =

∫ ∞

0

g(ψ(τ))e−xτd(−ψ(τ)) = −∫ ∞

0

g(ψ(τ))ψ′(τ)e−xτdτ.

38

Таким образом, задача сводится к оценке интеграла Лапласа I(x) = −∫∞0f(τ)e−xτdτ , где f(τ) =

g(ψ(τ))dψ(τ))dτ

. Если обе функции g(t) и ϕ(t) имеют асимптотические разложения в нуле,

ϕ(t) ∼∞∑

k=1

aktk, g(t) ∼

∞∑

k=0

bktk, t→ 0,

то и функция f(τ) имеет асимптотическое разложение в нуле f(τ) ∼∑∞

k=0 ckτk, коэффициенты

которого находятся реккурентно (для этого фактически требуется обращение первого ряда):

c0 = b0a−11 , c1 = b1a

−21 − 2a2b0a

−41 , . . .

и определяют коэффициенты асимптотического разложения интеграла I(x). Как и раньше, теже оценки верны и для интеграла с конечным верхним пределом.

10.3. Интегралы гауссова типа. Пусть f(t) - функция такая, что интеграл∫ +∞−∞ f(t)e−xt

2

dtабсолютно сходится при больших x. Преобразование

∫ +∞

−∞f(t)e−xt

2

dt =

∫ +∞

0

(f(t) + f(−t))e−xt2dt

и последующая замена переменных t =√τ также сводят этот интеграл к интегралу Лапласа

∫ +∞

0

(f(√τ ) + f(−

√τ))e−xτ

dτ

2√τ

Таким образом, если функция f(t) имеет в нуле асимптотическую оценку

f(t) =

2n∑

k=0

aktk +O(t2n+1),

то подинтегральная функция в последнем интеграле оценивается как

τ1

2

2(f(τ

1

2 ) + f(−τ 1

2 )) =n∑

k=0

a2kτk− 1

2 +O(τn+

1

2

),

так что ∫ +∞

−∞f(t)e−xt

2

dt =n∑

k=0

a2kΓ(k + 1

2)

xk+1

2

+O

(1

xk+3

2

).

Как и раньше, эта же оценка верна для интеграла по любому интервалу, содержащему 0.

10.4. Метод перевала. Вещественная версия. Метод перевала в простейшей версии описы-вает асимптотическое вычисление интеграла I(x) =

∫ bag(t)exϕ(t)dt, где ϕ(t) имеет единственный

максимум во внутренней точке t0 ∈ (a, b). Имеем∫ b

a

g(t)exϕ(t)dt =

∫ b

a

g(t)exϕ(t0)+x(ϕ(t)−ϕ(t0))dt = exϕ(t0)∫ b

a

g(t)ex(ϕ(t)−ϕ(t0))dt.

Сделаем замену переменных t = ψ(τ), обращающую соотношение ϕ(t)− ϕ(t0) = −τ 2:∫ b

a

g(t)exϕ(t)dt =

∫ ψ(τ)=b

ψ(τ)=a

f(τ)e−xτ2

dτ,

где f(τ) = g(ψ(τ))ψ′(τ). Следовательно, интеграл I(x) имеет асимптотическое разложение приx→ +∞: ∫ b

a

g(t)exϕ(t)dt ∼ exϕ(t0)

(n∑

k≥0

c2kΓ(n + 1

2

)

xn+1

2

+O

(1

xn+3

2

)),

где cn - коэффициенты асимптотического разложения f(τ) в нуле, вычисляемые реккурентнопо коэффициентам асимпотических разложений g(t) и ϕ(t) в окрестности точки t = t0. Для

39

этого в первую очередь следует найти разложение функции ψ(τ) = d0 + d1τ + · · ·+ dnτn+ o(τn)

в окрестности точки τ = 0:

ϕ′′(t0)

2(ψ(τ)− t0)

2 +ϕ′′′(t0)

2(ψ(τ)− t0)

3 + · · · = −τ 2,так что

ψ(τ) = t0 +

√−2

ϕ′′(t0)τ +

2ϕ′′′(t0)

3ϕ′′(t0)2τ 2 + · · · .

В частности, c0 = g(ψ(0))ψ′(0) =√

2−ϕ′′(t0)

g(t0).

Можно также заметить, что все аргументы работают и для комплекснозначной функции ϕ(t)с единственной критической точкой t = t0 внутри интервала, в которой ϕ′(t0) = 0 и действи-тельная часть ϕ(t0) имеет локальный максимум (за исключением знака перед τ 2 в соотноше-нии ϕ(t) − ϕ(t0) = τ 2). В этом случае асимптотическое разложение имеет место при x → ∞ и

−π2+ δ < arg x < π

2− δ. Коэффициент c0 = g(ψ(0))ψ′(0) =

√2

ϕ′′(t0)g(t0).

10.5. Формула Стирлинга. Для исследования асимптотики Γ(x) при больших положитель-ных x чуть более удобно представить Γ(x) в виде

Γ(x) =Γ(x+ 1)

x=

1

x

∫ ∞

0

e−ττxdτ =1

x

∫ ∞

0

e−τ+x log τdτ.

Подинтегральная функция обращается в ноль на концах интервала интегрирования и имеетмаксимум в точке τ = x, где (−τ + x log τ)′ = −1 + x/τ = 0. Сдвинем точку макимума в 0заменой переменных τ = (t+ 1)x. Получим

Γ(x) =1

x

∫ ∞

0

e−x−tx+x log(t+1)xxdt = xxe−x∫ ∞

−1

ex(−t+log(t+1))dt,

так чтоΓ(x)

xxe−x=

∫ ∞

−1

exp(t)dt, p(t) = −t + log(t + 1)

где функция p(t) имеет единственный экстремум с максимумом действительной части в точке0. К этому интегралу применим метод перевала:

Γ(x)

xxe−x=

∫ ∞

−∞e−xτ

2

ψ′(τ)dτ,

где t = ψ(τ) есть решение уравнения t − log(t + 1) = τ 2. Для нахождения асимтотическогоразложения этого интеграла необходимо найти асимптотическое разложение функции t = ψ(τ)в нуле. Пусть t = ψ(τ) = a1τ + a2τ

2 + ... + anτn +O(τn+1). Найдем первые члены разложения:

t− log(1 + t) = t− t +t2

2− t3

3+O(t4) =

1

2(a1τ + a2τ

2 +O(τ 3))2 − 1

3(a1τ +O(τ 2))3 = τ,

откуда a1 =√2, a2 = 2

3. Аналогично a3 =

√2

18. Отсюда ψ′(τ) =

√2 + 4

3τ +

√26τ 2 + O(τ 3). Итак,

при x→ ∞ и −π2+ δ < arg x < π

2− δ

Γ(x)

xxe−x=

n∑

k=0

c2kΓ(k + 1

2)

xk+1

2

+O

(1

xn+1+ 1

2

),

где c0 =√2, c2 =

√26

, т.е.,

Γ(x) = xxe−x√

2π

x

(1 +

1

12x+O

(1

x2

)).

Общая формула коэффициентов асимптотического разложения Γ(x) неизвестна.Литература к лекциям 9-10: А.Эрдейи, Асимптотические разложения, Главы 1-2,

Ф.Олвер, Асимптотика и специальные функции, Главы 1,3.,М.В.Федорюк, Метод перевала.

40

11. Лекция 11. Асимптотики интегралов Фурье

11.1. Осциллирующие интегралы. Мы рассматриваем теперь интегралы вида

F (x) =

+∞∫

−∞

dt eixtϕ(t).

Здесь, в отличие от интегралов Лапласа, другая причина убывания на бесконечности – осцил-ляции, т.е. условная сходимость. Основной здесь является следующая лемма.Лемма Римана–Лебега. Рассмотрим интеграл

F (x) =

b∫

a

dt eixtϕ(t),

где a и b конечны, или бесконечны. Пустьа) ϕ(t) кусочно непрерывнаяб) б) в случае несобственного интеграла F (x) сходится он равномерно по x (например ϕ(t)

абсолютно интегрируема)Тогда F (x) = o(1) при |x| → ∞, т.е. lim|x|→∞ F (x) = 0.

Доказательство проведем для случая конечного интервала. Тогда ϕ(t) равномерно непре-рывна на [a, b] и для любого ǫ существует разбиение a = t0 < t1 < · · · < tn = b, такое что|ϕ(t)− ϕ(tm)| < ǫ внутри каждого отрезка разбиения. Тогда

n∑

k=1

tk∫

tk−1

dt eixtϕ(t) =

n∑

k=1

tk∫

tk−1

dt eixtϕ(tk) +

n∑

k=1

tk∫

tk−1

dt eixt[ϕ(t)− ϕ(ttk)]

︸ ︷︷ ︸<(b−a)ǫ

<

<n∑

k=1

ϕ(tk)eixtk − e−ixtk−1

ix+ (b− a)ǫ <

Mn

|x| + (b− a)ǫ,

так что оба члена могут быть сделаны сколь угодно малыми при больших |x|. �Замечание. Интеграл

∫∞0dt t−σeitx, −1 < σ < 0, сходится по t не абсолютно, но равномерно по

x при |x| → ∞, так что лемма Римана–Лебега к нему применима.Следствие 1. Пусть ϕ(t) непрерывно дифференцируема n раз. Тогда

F (x) = eibx(ϕ(b)

ix− ϕ′(b)

(ix)2+ϕ′′(b)

(ix)3− · · ·+ (−1)n

ϕ(n−1)(b)

(ix)n

)−

− eiax(ϕ(a)

ix− ϕ′(a)

(ix)2+ϕ′′(a)

(ix)3− · · ·+ (−1)n

ϕ(n−1)(a)

(ix)n

)+ o(x−n)

Доказательство проводится интегрированием по частям.

F (x) =

b∫

a

dt eixtϕ(t) =eixtϕ(t)

ix

∣∣∣∣b

t=a

−b∫

a

dt eixtϕ′(t)

ix,

где последний член имеет порядок x−1 в силу леммы. И так далее.Следствие 2. Пусть a = 0, b = ∞, ϕ ∈ S (впрочем, достаточно простого убывания вместе совсеми производными). Тогда

F (x) =

∞∫

0

dt eixtϕ(t) ∼∞∑

k=0

ϕ(k)(0)

(i

x

)k+1

, |x| → ∞.

41

Сравним с интегралом Лапласа:

F (z) =

∞∫

0

dt e−ztϕ(t) ∼∞∑

k=0

ϕ(k)(0)

(1

z

)k+1

где z → ∞ так, что | arg z| < π

2− δ. Подставляя z = −ix =

x

i, видим, что асимптотиче-

ское разложение интеграла Фурье для быстроубывающих функций является аналитическимпродолжением асимптотического разложения соответствующего интеграла Лапласа на область| arg z| ≤ π

2.

Пример.

∞∫

0

dteitx

1 + t∼ (−1)nn!

(i

x

)n+1

, |x| → ∞,

∞∫

0

dte−tz

1 + t∼ (−1)nn!

(1

z

)n+1

, | arg z| ≤ π

2→ ∞,

На самом деле асимптотическое разложение работает даже в области | arg z| < π − δВопрос. Асимптотика интеграла Лапласа возможна и по нецелым степеням. Как обобщить наинтеграл Фурье?Ответ. Обобщается для убывающих функций. В преобразовании Лапласа для этого нужнобыло, в частности, вычислить

∞∫

0

dt tαe−pt =Γ(α + 1)

pα+1, α > −1,

а здесь нам нужен интеграл∞∫

0

dt tαeitx = eiπ(α+1)/2Γ(α+ 1)

xα+1, −1 < α < 0,

чтобы обеспечить сходимость на бесконечности. Доказательство:

∞∫

0

dt tαe−tx =

i∞∫

0

dt tαe−tx =

где мы воспользовались тем, что в первом квадранте вклад по четверти большого круга даетв пределе ноль. Таким образом во втором интеграле t – чисто мнимо и 0 < t < i∞, точнее0 < it <∞. Тогда

=

∞∫

0

d(−it)−i (−it)αeitx = e−iπ(α+1)/2

∞∫

0

dt eixttα.

Проблема в том, что мы умеем только интегрировать по частям осциллирующе интегралы, ине умеем отщеплять, как в интеграле Лапласа, стандартные интегралы - они расходятся набесконечности. Выход в использовании интегрировании по частям с интегрально заданнымифункциями, благо от них потребуются только граничные значения.

Например, пусть −1 < α < 0 и

F (x) =

∞∫

0

dt tαeitx︸ ︷︷ ︸ψ′(t)

ϕ(t) = ψ(t)ϕ(t)∣∣∞0−∫ ∞

0

dt ψ(t)ϕ′(t),

42

где мы обозначили

ψ(t) =

t∫

∞

dτ ταeixτ .

Tогда

ψ(0) = −∞∫

0

dτ ταeixτ = −eiπ(α+1)/2Γ(α + 1)

xα+1,

так что

ψ(t) ∼ tαeitx

ixпри t→ +∞.

(оценка интеграла∫ t∞ dτ ταeixτ по частям). Следовательно,

F (x) ∼ Γ(α + 1)eiπ(α+1)/2

xα+1−

∞∫

0

dt ψ(t)ϕ′(t),

где ψ(t) обладает указанной выше асимптотикой при t ∼ ∞. Можно повторить вычисления, взявψ(2)(t) =

∫ t∞ dτ ψ(τ). Потребуется вычислить интеграл

∫ 0

∞ dτ ψ(2), что аналогично предыдущему

даетΓ(α + 2)

xα+2eiπ(α+2)/2. Итак,

F (x) ∼ eiπ(α+1)/2Γ(α + 1)

xα+1a1 + eiπ(α+2)/2Γ(α + 2)

xα+2a2 + . . . =

= Γ(α + 1)

(i

x

)α+1

a1 + Γ(α + 2)

(i

x

)α+2

a2 + . . . , t→ 0,

где асимптотически ϕ(t) ∼ a1 + a2t + . . . + an+1tn, t → 0. Отсюда получаем, что при наличии

бесконечной дифференцируемости и равомерной сходимости интегралов от производныхb∫

a

dt eitxϕ(t) ∼ eiax

(a1Γ(α1 + 1)

(i

x

)α1+1

+ a2Γ(α2 + 1)

(i

x

)α2+1

+ . . .

)−

− ∼ eibx

(b1Γ(β1 + 1)

(i

x

)β1+1

+ a2Γ(β2 + 1)

(i

x

)β2+1

+ . . .

),

если имеют место асимптотические разложения

при t→ a : ϕ(t) ∼ a1(t− a)α1 + a2(t− a)α2 + . . . , α1 < α2 < . . . ,

при t→ b : ϕ(t) ∼ b1(t− b)β1 + b2(t− b)β2 + . . . , β1 < β2 < . . . .

Для доказательства нужно разбить интеграл на два полубесконечных интеграла, сведя задачук предыдущей, и вычесть разложения.

11.2. Метод стационарной фазы. Найдем асимптотику интеграла

F (x) =

b∫

a

dt f(t)eixp(t),

где p(t) гладкая вещественная функция, непрерывно дифференцируемая нужное число раз наотрезке [a, b], причем имеющая на этом отрезке единственный экстремум в точке t0 . Разобьеминтервал на два отрезка монотонности функции p(t) (пусть, для определенности, это точкаминимума этой функции) и сделаем замену переменных:

F1(x) =

b∫

to

dt f(t)eixp(t) = eixp(t0)b∫

t0

dt f(t)eix(p(t)−p(t0)) =

43

(где мы рассмотрели часть отрезка: от t0 до b. Положим: u = p(t)− p(t0))

= eixp(t0)β=p(b)−p(t0)∫

0

du

p′(t(u))f(t(u))eixu.

Положим ϕ(u(t)) =f(t)

p′(t)и рассмотрим поведение этой функции в конечных точках интервала.

При t→ t0 имеем: u ∼ p′′(t0)

2(t− t0)

2 и p′(t) ∼ p′′(t0)(t− t0) =√2up′′(t0). Отсюда

ϕ(u(t)) ∼ f(t0)√2p′′(t0)

u−1/2 при u→ 0, т.е. при t→ t0,

ϕ(u(t)) → f(b)

p′(b)при u→ β, т.е. при t→ b,

а тогда

F1(x) = eixp(t0)Γ(1/2)f(t0)√

2p′′(t0)

(i

x

)1/2(1 +O

(1√x

))− eixp(b)

f(b)

p′(b)

i

x

(1 +O

(1

x

)).

Аналогично вычисления проводятся и для левого интервала. Нечетные в точке to слагаемые всумме сокращаются, так что имеем окончательно

F (x) = eixp(t0)f(t0)

√2π

2p′′(t0)

(i

x

)1/2(1 +O

(1

x

))+

+

(eixp(a)

f(a)

p′(a)− eixp(b)

f(b)

p′(b)

)i

x

(1 +O

(1

x

)).

В случае максимума имеем в главном члене√

2π

−2p′′(t0)

(−ix

)1/2

.

44

12. Лекция 12

12.1. Метод перевала (комплексная версия). Здесь мы рассмотрим вычисление асимпто-тики при λ→ ∞ интеграла ∫

C

dz ϕ(z)eλp(z)

по некоторому контуру C на комплексной плоскости z. Функции ϕ(z) и p(z) предполагаютсяаналитическими по z. Идея состоит в сведении этого интеграла к интегралу типа Лапласапосредством замены z = z(t):

b∫

a

dt ϕ(t)eλp(t),

и использовании вещественного метода перевала. Для того, чтобы такой способ работал нужно,чтобы выполнялись следующие условия:

(1) функция Re p(t) имеет единственный максимум (или минимум) во внутренней точке t0,(2) Re[λ(p(t)−p(t0))] < 0 всюду на контуре, где λ принадлежит некоторому сектору S : α1 <

arg z < α2.(3) интеграл равномерно сходится по параметру λ ∈ S.

Тогда интеграл допускает асимптотическое разложение по степеням λ при λ → ∞, λ ∈ S.Коэффициенты асимптотического разложения определяются стандартным образом по асимп-тотическому поведению функций p(z(t)) и ϕ(z(t)) в окрестности точки t0.

Вопрос: когда это можно сделать? Re p(z) – гармоническая функция. Гармоническая функ-ция не имеет ни максимумов, ни минимумов во внутренних точках области определения. Чтобудет в точке, где p′(z0) = 0 (в смысле аналитических функций: ∂/∂z(p(z0)) = 0)? Пусть нольпростой: p′′(z0) 6= 0. Тогда, положив для определенности p′′(z0) = 2a , где a - положительноевещественное число, имеем: p(z) ∼ a(z−z0)2 = a((x−x0)2−(y−y0)2+2i(x−x0)(y−y0))+o(|z|2),так что

Re p(z) ∼ a((x− x0)

2 − (y − y0)2).

Значит, на контуре, заданном уравнением y = y0 (на нем в качестве параметра t можно выбратькоординату x) функция Re p(z) ∼ a(x− x0)

2 и достигает в этой точке минимума, а на контуре,заданном уравнением x = x0 (на нем в качестве параметра t можно выбрать координату y)функция Re p(z) ∼ −a(y − y0)

2 достигает в этой точке максимума. Итак, если контур проходитчерез критическую точку z0 и в ее окрестности проходит по линии Im p(z) = Im p(z0), то в этойокрестности применим вещественный метод перевала, дающий асимптотическое разложениеинтеграла по части контура внутри этой окрестности, причем полученное асимптотическоеразложение будет верно во всяком секторе | arg λ| < π/2 − δ, δ > 0. Если же нам удастсядеформировать исходный контур так, чтобы на нем всюду было выполнено неравенство

Re[λ (p(z(t))− p(z(t0)))] < 0

для непустого сектора S : α1 < arg z < α2 и точка z0 осталась единственной критической точкойна контуре, то полученное асимптотическое разложение останется верным в этом секторе длявсего интеграла.

Идеальный случай - когда контур интегрирования удается целиком деформировать в контурвида Im(p(z)) = const, с единственной критической точкой внутри. В этом случае получаемасимптотическое разложение интеграла в секторе | arg λ| < π/2− δ. Главный член разложения,как и ранее, имеет вид

eλp(z0)

√2π

p′′(z0)

1√λ

(1 +O

(1

λ

)).

Возникает проблема выбора знака для 1/√p′′(z0). Ответ состоит в том, что нужно писать:

eiθ/√p′′(z0), где eiθ направлен вдоль контура интегрирования в направлении возрастания пара-

метра интегрирования, в случае использования локального максимума, или в обратную сторону,если используется локальный минимум.

45

Пример. Функция Эйри Ai(z) при z > 0. Функция Эйри является решением дифференциаль-ного уравнения второго порядка

w′′(z) = zw.

Уравнение имеет две особые точки - регулярную в нуле и иррегулярную в бесконечности. Оноимеет симметрию - домножение независимого переменного на любой корень кубический изединицы. Иными словами, при повороте комплексной плоскости на угол 2π

3решение уравнения

Эйри переходит в (вообще говоря, другое) решение того же уравнения.Применив к уравнению Эйри преобразование Лапласа (считая начальные условия нулевыми)

получим уравнение

p2W (p) = − d

dpW (p),

которое имеет, например, решение вида W (p) = e−p3

3 . Обращая преобразование Лапласа, полу-чим функцию вида

w(z) =1

2πi

∫ a+i∞

a−i∞e−

p3

3+pzdp.

В приведенной процедуре вопросы сходимости игнорировались. Можно заметить, что подинте-гральное выражение быстро осцилирует, если a = 0. Прямой проверкой также можно убедитьсячто функция

Ai(z) =1

2πi

∫ +i∞

−i∞e−

p3

3+pzdp

носящей название функция Эйри, действительно удовлетворяет уравнению Эйри. Исследуемасимптотику функцию Эйри, считая пока что z большим положительным числом. Приведеминтеграл к виду комплексного интеграла Лапласа подходящей заменой переменных:

Ai(z) =1

2πi

+i∞∫

−i∞

e−p3

3+pzdp =

1

2π

+∞∫

−∞

eit3

3+itzdt =

z1/2

2π

∞∫

−∞

ds eiu(s3/3+s)),

где u = z3/2. Использовались последовательные замены ip = t, t = z1/2s. Критические точкитут s = ±i, исходный же интеграл осциллирует и не проходит через критические точки.

p(s) = i

(s3

3+ s

)= i

(x3

3+

3ix2y − 3xy2 − iy3

3+ x+ iy

),

Re p(s) = −x2y + y3

3− y,

Im p(s) =x3

3− xy2 + x = x

(x2

3− y2 + 1

).

Контур можно деформировать в область y > 0 при малых y (поскольку в этом случае действи-тельная часть показателя экспоненты отрицательна), так что его можно провести через крити-ческую точку s = i. В этой точке Im p(s) = 0, все же решения уравнения Im p(s) = 0 образуют,согласно формуле выше, объединение вертикальной прямой x = 0 и гиперболы x2 − 3y2 = −3,которая проходит через точку (0, 1) (т.е.,s = i) в горизонтальном направлении. Re p при этомлокально выглядит как (−x2), т.е. имеем максимум. Тогда

Ai(z) =z1/2

2πeup(i)

√2π

p′′(i)

(1√u+O

(1

u

)).

У нас p(i) = −2/3, p′′(i) = −2, u = z3/2, так что

Ai(z) =z−1/4

2√πe−

2

3z3/2(1 +O(z−1/2)

).

На самом деле контур можно деформировать до гиперболы x2−3y2 = −3, на которой Im p =const,так что область разложения | arg u| < π/2− δ, или, эквивалентно, | arg z| < π/3− δ.