ЛЕКЦИЯ 18

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

1. Белый шум; процесс случайного блуждания

2. Автокорреляционная функция, частная АКФ

3. Проверка на стационарность

4. Тренд, сезонность, взятие разности

В конце прошлой лекции мы дали определение строгой

стационарности. Повторим его еще раз:

Ряд tY называется строго стационарным (стационарным в

узком смысле, strictly stationary), если совместное

распределение вероятностей m наблюдений mttt YYY ...,,,21

такое же, как и для m наблюдений mttt YYY ...,,,21 для

любых значений mttm ,...,,, 1

Однако на практике добиться выполнения условия строгой

стационарности сложно. Введем понятие слабой

стационарности.

Временной ряд tY называется слабо стационарным (

стационарным в широком смысле, weak stationary), если его

теоретические математическое ожидание и дисперсия не

зависят от времени, и если теоретическая ковариация между

его значениями в моменты времени t и t+s зависят только от

s, но не от t.

tt

tttt

YYE

YYCovYVarYE ,,,, 0

Величина называется автоковариацией.

Совокупность значений в зависимости от τ называется

автоковариационной функцией.

При τ=0 получаем дисперсию временного ряда 0tYVar

Автокорреляционная функция (autocorrelation function,

ACF):

0

,

t

tt

YVar

YYCov

1,10

ACF играет важную роль в идентификации временных

рядов.

Из строгой стационарности следует слабая

стационарность, но не наоборот.

В дальнейшем, говоря о стационарности, будем иметь ввиду

слабую стационарность.

Приведем некоторые примеры стационарных временных

рядов.

«Белый шум» (white noise):

Это чисто случайный процесс, т.е. ряд независимых

одинаково распределенных случайных величин с нулевым

математическим ожиданием и постоянной дисперсией:

ntiidY ttt ,...,1,,0~, 2

Таким образом, для белого шума

00,,0 2

0

Процесс авторегрессии первого порядка AR(1)

1,,...,1,,0~, 2

1 ntiidYmY tttt

При заданном ограничении на параметр 1

можно

показать, что

,...2,1,

,1

,1

,1

2

22

2

22

0

y

y

m

Влияние возмущений затухает со временем:

0...2

2

1 mприY tttt

На рисунке изображен процесс

50,...,1,,0~,5,0 2

1 tiidYY tttt

Рассмотрим теперь пример нестационарного процесса,

имеющий важное прикладное значение: процесс случайного

блуждания (random walk)

Этот процесс задается как

ntiidYY tttt ,...,1,,0~, 2

1

По виду процесс случайного блуждания похож на процесс

AR(1) с 1 , но отличается от стационарного процесса по

своим свойствам: влияние возмущения t не затухает со

временем: ...1 tttY

Кроме того, дисперсия такого процесса не сохраняется

постоянной:

1

2

11

11

;

;0

tt

tttt

tttt

YVarYVar

YVarVarYVarYVar

YEEYEYE

Приведенный вывод показывает, что случайное блуждание

нестационарно.

Сгенерируем в качестве примера процесс случайного

блуждания следующим образом:

50,...,1,4;0~,1 tNYY tttt

tY равномерно распределены между 0 и 1

Случайное блуждание с дрейфом:

дрейфапараметр

ntNYY tttt

,,...,1,;0~, 2

1

Проверка на стационарность

Графический анализ временного ряда

На графике, возможно, явно будет виден тренд или

сезонность. Разброс значений со временем может либо

нарастать, либо убывать (это наводит на мысль о

непостоянстве среднего и дисперсии).

Логарифм DPI (располагаемого дохода на душу населения)

Построение и анализа графика выборочной

автокорреляционной функции (коррелограммы).

Коррелограмма стационарного ряда достаточно быстро

затухает с ростом τ. Если же коррелограмма убывает

медленно, есть основания предполагать нестационарность.

Коррелограмма для логарифма DPI

Коррелограмма для процесса AR(1)

Коррелограмма для процесса случайного блуждания

Выборочная автокорреляционная функция определяется

формулой:

n

t

t

n

kt

ktt

YY

YYYY

r

1

2

1ˆ

Анализ частной автокорреляционной функции (partial

autocorrelation function, PACF)

PACF (τ) показывает «чистую» корреляцию между tY и

tY уровнями временного ряда при исключении влияния

промежуточных значений.

В качестве примера посмотрим, как ведут себя ACF и PACF

для различных ситуаций (модельные примеры):

При наличии тренда

Случайное блуждание

Наличие сезонности (пример с числами Вольфа)

Наличие тренда и сезонности (пример с объемом

авиаперевозок)

Использование формальных тестов

Статистика Бокса-Пирса для тестирования на белый

шум;

Тест Дики-Фуллера (Dickey, Fuller, 1976) на наличие

единичного корня;

Критерии, позволяющие установить стационарный

характер временного ряда (критерий серий, основанный

на медиане, критерий восходящих и нисходящих серий,

критерий Аббе)

Пока рассмотрим статистику Бокса-Пирса (Box, Pierce,

1970):

Нулевая гипотеза заключается в том, что рассматриваемый

процесс является белым шумом.

Строится статистика

p

rTQ1

2

Эта статистика имеет хи-квадрат распределения с р

степенями свободы. Если наблюдаемое значение статистик

превосходит критическую точку хи-квадрат распределения,

нулевая гипотеза отвергается.

Тренд:

tt tY

Линейная составляющая плюс случайная составляющая,

которая является стационарным временным рядом с

нулевым средним.

Кроме линейного встречаются также: квадратичный,

экспоненциальный и т.д. тренды.

Для оценки параметров тренда используем МНК.

Затем для ряда остатков применяем процедуры

стационарных временных рядов.

Сезонность:

tt tSY

Например, если есть сезонная компонента с периодом 12,

имеем: tStS 12

Сезонная составляющая плюс случайная составляющая,

которая является стационарным временным рядом с

нулевым средним.

Сезонную компоненты можно представить через бинарные

(dummy) переменные. Для месячной сезонности:

ttt dddtS 12122211 ...

Часто модель сезонности представляют как модель с

ограничениями:

0,... 12122211 ittttt dddY

Взятие последовательной разности:

Часто, если к нестационарному ряду применить процедуру

взятия разности, можно получить стационарный временной

ряд.

Рассмотрим на примере случайного блуждания:

ntiidYY tttt ,...,1,,0~, 2

1

Возьмем разность:

ntiidYYY ttttt ,...,1,,0~, 2

1

Пример ряда с трендом:

tt tY

tttttt uYYY 11

Иногда, например, в случае квадратичного тренда, для

приведения ряда к стационарному необходимо взять вторые

разности.

Отметим, что взятие последовательных разностей не всегда

приводит к стационарному ряду. Примером может служить

1,1 ttt YY