РЯДЫ ДИНАМИКИ

Понятие и виды рядов динамики

Ряд динамики

- это числовые значения статистического показателя, представленные во временной последовательности.

Он состоит из двух граф: в первой указываются периоды (или

даты), во второй - показатели, характеризующие

изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты).

Показатели второй графы носят название уровней ряда:

первый показатель называется начальным уровнем,

последний – конечным Уровни ряда могут быть выражены

абсолютными, средними или отностительными величинами.

Ряды динамики могут быть двух видов: интервальные и моментные

В интервальном ряду приводятся данные, характеризующие величину показателя за определенные периоды (месяц, квартал, год и т.п.):

Объем продаж АО «Норма» (млн. крон)

ГодВсего продаж

В том числе

В Россию На европейский рынок

2001 520 300 220

2002 410 190 220

2003 460 240 220

2004 490 270 220

Особенность интервальных рядов из абсолютных величин их уровни можно суммировать, получая

новые численные значения объема явления, относящиеся к более длительным периодам.

Моментный ряд динамики

характеризует размеры явления на определенные моменты (даты) времени.

Уровни моментных динамических рядов суммировать нельзя; сумма не имеет смысла, так как каждый последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень

Количество легковых автомобилей, зарегестрированных

частными лицами в Харьюском уезде.

На начало года 2000 2002 2004

Число автомобилей

1200 2500 3800

разность уровней моментного ряда имеет смысл, характеризуя увеличение или уменьшение уровня ряда между датами учета.

Например, за период с 2000 по 2002 год в Харьюском уезде зарегестрировано

2500 – 1200 = 1300 автомобилей

К числу основных задач, возникающих при

изучении ряда динамики относят следующие: характеристика интенсивности развития явления

от периода к периоду, от даты к дате; определение средних показателей временного

ряда за тот или иной период; выявление основных закономерностей динамики

исследуемого явления на отдельных этапах и в целом за рассматриваемый период;

выявление факторов, обусловливающих изменение изучаемого объекта во времени;

прогнозирование развития явления на будущее.

Аналитические показатели динамики

Для характеристики развития явления во времени применяются следующие показатели:

абсолютный прирост; коэффициент роста; темп прироста; абсолютное значение одного процента

прироста.

Абсолютный прирост (Δ)

определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда

показывает, насколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения.

Абсолютный прирост (Δ)

Базисный прирост

где уi - уровень сравниваемого периода;

уо - уровень базисного периода.

Цепной прирост

где уi-1,- уровень периода, предшествующего сравниваемому

0yyi 1 ii yy

Абсолютный прирост объема продаж АО Норма

С переменной базой С постоянной базой

1105204101

504104602

304604903

1105204101

605204602

305204903

Коэффициент роста (К)

определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень данного ряда.

Цепной:

Базисный:

1

i

i

y

yK

0y

yK i

Коэффициенты роста АО Норма

Цепные Базисные

788,0520

4101 K

12,1410

4602 K

07,1460

4903 K

788,0520

4101 K

88,0520

4602 K

94,0520

4903 K

Темпы роста

Если коэффициент роста выражают в процентах, то их называют темпами роста (Т):

%100KT

Темпы роста АО Норма

Цепные Базисные

%79%100*79,01 T

%112%100*12,12 T

%107%100*07,13 T

%79%100*79,01 T

%88%100*88,02 T

%94%100*94,03 T

Средняя геометрическая

Применяется для расчета среднего темпа роста

где ПК - произведение цепных темпов роста (в коэффициентах);

n - число К.

nK ПК

Среднегодовой темп роста

n21 ...*K nKKK

98,007,1*12,1*79,03 K

Расчет среднегодового темпа роста на основе базисных темпов роста

где Кб - базисный коэффициент роста m - число учетных единиц времени в

изучаемом периоде

1-mбKK

Среднегодовой базисный темп роста АО «Норма»

В среднем за год имеет место снижение объема продаж на

0,98-1=0,02 или

0,02*100%=2%

98,094,014 K

Если в качестве исходных данных выступают абсолютные уровни ряда, то средние темпы роста расчитываются

Где yn - конечный уровень ряда; yo - базиный уровень ряда m - число учетных единиц времени в изучаемом

периоде.

1-m

0

n

y

yK

Или 98%. Это означает, что по сравнению с 2001 ежегодно в среднем объем продаж снижался на 2%

98,0520

49014 K

Темп прироста (ΔТ)

показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного периода.

ΔТ = Т - 100%

или

1001

i

цепцеп y

T 100

о

базбаз y

T

Абсолютное значение одного процента прироста

получают как отношение абсолютного прироста на темп прироста. Имеет смысл расчет только цепным методом и показывает скорость изменения уровней ряда в единицу времени:

цеп

цеп

TA

Средние по рядам динамики

Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от вида временного ряда.

Для интервального ряда абсолютных показателей с равными интервалами средний уровень за определенный период определяется по формуле простой арифметической:

n

yy i

Средний уровень моментного динамического ряда

Если интервалы между датами равны, то средний уровень рассчитывается по формуле средней хронологической:

1

... 21

12121

n

yyyyy nn

Остатки материалов на складе, тыс. крон

1.01 1.02 1.03 1.04

242 251 213 186

Средние остатки за месяц будут равны:

За январь

За февраль

За март

5.2462

251242

y

0.2322

213251

y

5.1922

186213

y

Средний остаток за квартал определяется как простая средняя арифметическая:

или

0,2293

5,1920,2325,246

y

32

186213

2

213251

2

251242

y

Или

0,22914

2

186213251

2

242

y

Для определения среднего уровня моментного ряда с неравномерными промежутками между временными датами вычисляется средняя арифметическая взвешенная. В качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами, в которые происходят изменения в уровнях динамического ряда:

Средняя арифметическая взвешенная

i

ii

t

t*yy

Даты времени

Стоимость оборудования,

млн у.е.

Число месяцев, в течение которых

стоимость не изменилась

1.01 75 3

1.04 75+2=77 2

1.06 77-7=70 4

1.10 70+8=78 3

итого - 12

Среднегодовая стоимость оборудования равна:

417,7412

3*784*702*773*75

y

Средний абсолютный прирост

или средняя скорость роста

где n - число уровней ряда; Аi - абсолютные изменения по сравнению

с предшествующим уровнем.

1-n

AiA

На примере "Норма"

Это значит, что за период 2001 - 2004 г объем продаж снижался в среднем на 10 млн крон за год.

1014

3050110

A

Формулу расчета можно преобразовать в следующий вид:

1-n

yy0n

A

1014

520490

A

Компоненты классической мультипликативной модели временных рядов. Основное предположение: факторы,

влияющие на исследуемый объект в настоящем и прошлом, будут влиять на него и в будущем.

Таким образом, основные цели анализа временных рядов заключаются в идентификации и выделении факторов, имеющих значение для прогнозирования.

Компоненты мультипликативной модели Долговременная тенденция называется

трендом (trend). Тренд является компонентой временного

ряда. Циклический компонент (cyclical

component) описывает колебание данных вверх и вниз. Его длина изменяется в интервале от 2 до 10 лет.

Компоненты мультипликативной модели Любые наблюдаемые данные, не лежащие

на кривой тренда и не подчиняющиеся циклической зависимости, называются случайными компонентами (random component)

Фактический валовой доход компании WWC за период с 1982 по 2001 годы

0200400600800

1000120014001600

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

год

мл

н. д

ол

ла

ро

в

Классическая мультипликативная модель временного ряда для ежегодных данных

Ti – значение тренда;

Ci – значение циклического компонента в

i-том году Ii – значение случайного компонента в

i-том году

iiii ICTY **

Сглаживание годовых временных рядов

Доходы компании Cabot Corporation

0

500

1000

1500

2000

2500

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

год

мл

н.

до

л.

Долговременная тенденденция повышения доходов затемнена большим количеством колебаний. Таким образом визуальный анализ графика не позволяет утверждать, что данные имеют тренд.

В таких случаях можно применить методы скользящего среднего и экспоненциального среднего

Скользящие средние

Movin averageподвижная динамическая средняя, которая

исчисляется по ряду при последовательном передвижении на один интервал, т.е. сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго.

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, следующие:

3321

1

yyyy

3432

2

yyyy

3543

3

yyyy

и т.д.

Для того, чтобы исключить циклические колебания, длина периода должна быть целым числом, кратным средней длине цикла.

Для трехлетнего периода невозможно выполнить вычисления для первого и последнего года, а при пятилетнем периоде сглаживания - первых двух и последних двух лет.

Скользящие средние для доходов Cabot Corporation

0

500

1000

1500

2000

год

мл

н.д

ол

3-летние

5-летние

7-летние

Экспоненциальное сглаживание

Exponential smoothing Этот метод позволяет делать краткосрочные

прогнозы (в рамках одного периода), когда наличие долговременных тенденций остается под вопросом.

При экспоненциальном сглаживании веса, присвоенные наблюдаемым значениям, убывают со временем, поэтому после выполнения вычислений наиболее часто встречающиеся значения получат наибольший вес, а редкие величины - наименьший

Вычисление экспоненциально сглаженного значения в i-том периоде времени

Где Ei- значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для i-го периода;

Ei-1i-1- значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для предшествующего периода

Yi- наблюдаемое значение временного ряда в i-ом периоде;

W – субъективный вес или сглаживающий коэффициент (0<W<1)

ii YE

11 iii EWWYE .....4,3,2i

Экспоненциально сглаженный временной ряд для доходов Cabot Corporation

0,0

500,0

1000,0

1500,0

2000,019

8219

84

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

год

млн

.дол

W=0,50

W=0,25

W=0,75

Допустим, что коэффициент сглаживания равен 0,25. Первое наблюдаемое значение Y1982 = 1587,7 одновременно является первым сглаженным значением E1982 = 1587,7.

Используя значение временного ряда для 1983 года получаем:

E1983 = WY1983+(1-W)E1982 =

= 0,25*1558,0+0,75*1587,7 = 1580,3

Сглаженное значение временного ряда для 1984 года:

E1984 = WY1984 + (1-W)E1983 =

= 0,25*1752,5+0,75*1580,3 = 1623,3 и т.д.

Этот процесс продолжается до тех пор пока не будут сглажены все значения вариационного ряда.

Прогнозирование значений для (i+1)-го интервала

Для предсказания доходов компании Cabot Corporation в 2002 году можно использовать сглаженное значение, вычисленное для 2001 года

ii EY 1