Функциональные ряды

Манущева Алина, ФКН, 1 курс, группа 3.12010-2011 уч.г.

Содержание

Содержание..................................................................................................................2

1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов......3

1.1. Сходимость функциональной последовательности и ряда.........................3

а) Сходимость последовательности функций...................................................3

б) Сходимость функционального ряда..............................................................4

1.2. Равномерная сходимость функциональной последовательности................5

1.3. Геометрический смысл равномерной сходимости........................................5

1.4. Простейшие утверждения о равномерной сходимости................................6

1.5. Основные утверждения о равномерно сходящихся функциональных последовательностях...............................................................................................7

1.6. Равномерная сходимость функциональных рядов........................................9

1.7. Простейшие утверждения о равномерной сходимости функциональных рядов.......................................................................................................................10

2. Степенные ряды.....................................................................................................11

2.1. Область сходимости степенного ряда..........................................................11

2.2. Равномерная сходимость степенных рядов.................................................14

2.3. Основные свойства суммы степенных рядов..............................................15

3. Ряды Тейлора.........................................................................................................17

3.1. Введение..........................................................................................................17

3.2. Основные утверждения о рядах Тейлора.....................................................17

4. Разложение функций в степенные ряды............................................................18

1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

1.1. Сходимость функциональной последовательности и ряда

а) Сходимость последовательности функций. Определение 1. Функциональная последовательность – такая последовательность, членами которой являются функции.

Пусть функции f n ( x ) , n∈N , определенны на множестве Е и пусть x0∈ E. Если числовая последовательность f n ( x0 ) сходится, то говорят, что последовательность функций f n ( x ) сходится в точке х0.

Последовательность f n ( x ) , сходящуюся в каждой точке х∈ Е, называют сходящейся а множестве Е. Тогда на множестве Е определена функция f(x), значение которой в любой точке х∈ Е равно пределу последовательности f n ( x ) . Эту функция называют предельной функцией последовательности f n ( x ) на множестве Е и пишут

limn → ∞

f n(x)=f ( x ) , x∈ E ,(1)

илиf n ( x ) → f ( x ) , x∈ E

также

f n E→

f .

Запись (1) означает, что ∀ x∈ E∀ ε>0∃N=N ε ( x ) :∀n ≥ N →|f n ( x )−f ( x )|<ε.

Пример 1. Рассмотрим последовательность xn на отрезке [0,1]. Если 0 ≤ x < 1,

то limn→∞

xn = 0. Если x = 1, то

limn→∞

xn = 1. Следовательно,

xn →[ 0,1] f(x), где

f(x) = 0 , если x∈ [ 0,1[

1 , если x=1 .Графики функций y = xn для n = 1,2,3,4,5 и функции f(x), где x∈ [0,1],

приведены на рисунке 1.1.

3

y

1

10 x

n = 1 2 3 4 5

Рис. 1.1.

б) Сходимость функционального рядаОпределение 2. Множество всех значений x, при которых сходится

функциональный ряд ∑n=1

∞

un ( x ), называется областью сходимости этого ряда.

Примеры 2. Дан функциональный ряд ∑n=1

∞ 1

xn.

При любом x ≠ 0 данный ряд является геометрической прогрессией,

знаменатель которой равен 1x . Следовательно, функциональный ряд

∑n=1

∞ 1

xn

сходится тогда и только тогда, когда |1x|<1

. Значит, область сходимости этого ряда (− ∞, −1)¿ (1, + ∞).

Пусть функции un ( x ) , n∈N , определены на множестве Е и пусть для каждого х ∈ Е существует конечный предел последовательности Sn( x), где

Sn ( x )=∑1

n

uk (x ). Тогда ряд

∑1

∞

un ( x )(2)

называют сходящимся на множестве Е.Если S(x) – предельная функция последовательности Sn( x) на множестве Е, т.е.

limn → ∞

Sn(x )=S ( x ) , x∈ E ,

то функцию S(x) называют суммой ряда (2) и пишут

∑1

∞

un(x)=S ( x ) , x∈E .

4

Пример 3. Если un ( x )=xn−1, E=(−1,1), то Sn ( x )=1−xn

1−x, S ( x )= 1

1−x.

1.2. Равномерная сходимость функциональной последовательности

Определение 3. Говорят, что Функциональная последовательность f n ( x ) сходится к функции f(x) на множестве E равномерно, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) (зависящий только от ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство

fn(x) − f(x) < ε.

Запись f n ( x ) ⇒V f(x) означает, что последовательность f n ( x ) сходится к

функции f(x) на множестве E равномерно.

Пример 4. Рассмотрим последовательность x

1+n2 x2 , где

x ∈( − ∞ , + ∞). Несложно убедиться, что эта последовательность сходится к функции f(x) = 0 на всей числовой прямой.

Для исследования на равномерную сходимость заметим, что (1− nx)2 ≥ 0. Отсюда 1 − 2 nx+ n2x2 ≥ 0. Тогда

| x |1+n2 x2

≤ 12 n , x ∈ (− ∞ , + ∞) , n ∈ N.

Так как limn→∞ 1

2n = 0, то для любого ε > 0 существует N = N(ε) такой, что

при всех n ≥ N выполняется неравенство1

2 n < ε. Тогда при всех n ≥ N одновременно для всех x∈ (−∞,+ ∞) получим

| x

1+n2 x2− 0 |

=

| x |1+n2 x2

≤ 12n < ε.

Значит, сходимость последовательности к функции f(x) = 0 на всей числовой прямой является равномерной, то есть

x

1+n2 x2 ⇒(−∞ ,+∞) f(x) = 0.

1.3. Геометрический смысл равномерной сходимости.

Предположим, что функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Для любого ε > 0 можно рассмотреть множество (см. рис. 7.3):

Qε ( f ) = M(x, y) ∈ R 2 a ≤ x ≤ b, f(x) − ε < y < f(x) + ε .

5

y

y = f(x) + ε

Qε ( f )

y = f(x) – ε

y = f(x)

0 ab x

Рис. 7.3

Последовательность f n ( x ) сходится к функции f(x) на отрезке [a, b] равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при n ≥ N график функции y = fn(x) целиком находится в множестве Qε ( f ).

1.4. Простейшие утверждения о равномерной сходимости

1. Если fn(x) ⇒E f(x), а множество W ⊂ E, то fn(x)

⇒W f(x).

2. Если fn(x) ⇒E f(x) и φn(x)

⇒E φ(x), а λ и μ − некоторые числа, то

последовательность

λ fn(x) + μ φn(x) ⇒E λ f(x) + μ φ(x).

3. Если последовательность fn(x)⇒E f(x), а функция φ(x) ограничена на

множестве E, то φ(x) fn(x) ⇒E φ(x) f(x).

4. Если fn(x) ⇒E1 f(x), fn(x)

⇒E2 f(x), то fn(x)

⇒E1∪E2 f(x).

5. Пусть для каждого n ∈ N существует число

dn = sup

E|f n ( x )− f ( x )|

.Последовательность fn(x) сходится к функции f(x) равномерно на

множестве E тогда и только тогда, когда limn→∞

dn = 0.

Доказательство необходимости. Если fn(x)⇒E f(x), то для любого ε > 0

существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x∈E выполняется

неравенство fn(x) − f(x)< ε2 . Тогда

dn = sup

E|f n ( x )− f ( x )|

≤ ε2 < ε.

6

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что

при всех n ≥ N выполняется неравенство dn < ε. Значит, limn→∞

dn = 0.

Доказательство достаточности. Если limn→∞

dn= 0, то для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство

dn = sup

E fn(x) − f(x)< ε. Это означает, что при всех n ≥ N одновременно для

всех x∈V выполняется неравенство fn(x) − f(x)< ε. Значит, fn(x) ⇒E f(x).

1.5. Основные утверждения о равномерно сходящихся функциональных последовательностях

Теорема 1.5.1. Последовательность fn(x) сходится на множестве V равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) (зависящий только от ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x∈V выполняется неравенство

|fn(x) – fm(x)| < ε .

Доказательство необходимости. Если fn(x) ⇒V f(x), то для любого ε > 0

существует номер N = N(ε) такой, что при всех n≥N одновременно для всех x∈

V выполняется неравенство |fn(x) – f(x)| < ε2 . Тогда при всех m, n ≥ N и всех

x∈V получим

|fn(x) – fm(x)| = |fn(x) – f(x) + f(x) – fm(x) | ≤ |fn(x) – f(x)| + |fm(x) – f(x)| < ε2 +

ε2 = ε.

Доказательство достаточности. По условию, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всехx∈V выполняется неравенство

| fn(x) – fm(x)| < ε2 . (1.5.1)

Это означает, что при каждом x ∈V числовая последовательность fn(x)

является фундаментальной и, следовательно, она сходится. Положим limn→∞ fn(x)

= f(x), x∈V. Из неравенства (1.5.1) следует, что при m, n ≥ N и любом x ∈ V выполняется неравенство

fm(x) − ε2 < fn(x) < fm(x) +

ε2 (1.5.2)

В неравенстве (1.5.2) зафиксируем n ≥ N и перейдем к пределу при

m → +∞. Получим f (x) − ε2 ≤ fn(x) ≤ f (x) +

ε2 , где n ≥ N, x ∈ V. Значит,

|fn(x) – f (x)| < ε2 < ε, где n ≥ N, x ∈ V.

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x ∈ V выполняется неравенство

|fn(x) – f (x)| < ε. Значит, fn(x) ⇒V f(x).

7

Пример 5. Рассмотрим последовательность fn(x), где

f n( x )=nx , 0≤x≤1n

1 ,1n<x≤1

.Покажем, что сходимость fn(x) на отрезке [0,1] не является

равномерной. Если последовательность fn(x) сходится на отрезке [0,1]

равномерно, то для ε=1

4 найдётся номер N такой, что при всех m, n ≥ N и всех x∈[ 0,1 ]выполняется неравенство

|fn(x) – fm(x)| ¿ 1

4 . (1.5.3)

Если m = 2n, где n ≥ N , а x =1

2n , то f n( x )=f n(

12n

)=n⋅ 12 n

=12 ,

f m( x )=f 2n (1

2 n)=2 n⋅ 1

2n=1.

Тогда | fn(x) – fm(x)| = |12 − 1| =

12 , что

противоречит неравенству (1.5.3).

Теорема 1.5.2. Если fn(x)⇒V f(x), а все функции fn(x), n∈N,

непрерывны на множестве V, то и функция f(x) непрерывна на множестве V. Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Так

как fn(x)⇒V f(x), то существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x ∈

V выполняется неравенство |fn(x) – f(x)| <ε3 . Рассмотрим произвольную точку x0

∈V. По условию, функция fN(x) непрерывна на множестве V, а, следовательно, и в точке x0. Это означает, что существует окрестность Sδ(x0) такая, что для

любого x∈Sδ ( x0 )∩V выполняется неравенство

|fN(x) – fN(x0)| ¿ ε

3 .

Тогда для любой точки x∈Sδ ( x0 )∩V получим|f (x) – f (x0)| = |f (x) – fN(x) + fN(x) – fN(x0) + fN(x0) − f (x0)| ≤ |f (x) – fN(x)| + | fN(x)

−fN(x0)| + | fN(x0) − f (x0)| < ε3 +

ε3 +

ε3 = ε.

Таким образом для любого ε > 0 существует окрестность Sδ(x0) такая, что для всех x∈ Sδ(x0)∩V выполняется неравенство

|f (x) – f (x0)| < ε. Значит, функция f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.

Пример 6.

1

1+xn [ 0,+∞[ f ( x )=1 , 0≤x <112

, x=1

0 , x>1 .

8

Все функции fn(x) =

1

1+ xn, n∈N, непрерывны на полуинтервале [0,+∞), а

функция f(x) имеет разрывы. Следовательно, сходимость на полуинтервале [0,+∞) не является равномерной.

Теорема 1.5.3. Если fn(x) ⇒V f(x), а все функции fn(x), n∈N,

непрерывны на отрезке [a,b], то ∫

a

b

f n ( x )dx →∫a

b

f ( x )dx.

Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Из равномерной сходимости следует, что существует номер N = N(ε) такой, что

при всех n ≥ N и x∈[a,b] выполняется неравенство |f n (x )−f ( x )|< ε

2(b−a ) . Тогда, при

всех n ≥ N получим

|∫a

b

f n (x )dx−∫a

b

f ( x )dx|≤|∫a

b

|f n( x )−f (x )|dx|¿ ε2(b−a) (b − a) =

ε2 < ε.

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что

при всех n ≥ N выполняется неравенство |∫

a

b

f n (x )dx−∫a

b

f ( x )dx|<ε. Это означает, что

числовая последовательность ∫

a

b

f n ( x )dx является сходящейся и имеет предел

∫a

b

f ( x )dx, то есть

∫a

b

f n ( x )dx →∫a

b

f ( x )dx. Теорема доказана.

Пример 7. Функциональная последовательность 1

1+xn ⇒[ 0,

23

]1. Функции

fn(x) =

1

1+ xn, n∈N, непрерывны на отрезке [0 ,

23 ]. Значит,

∫0

23

dx

1+xn →∫0

23

1⋅dx =

23 .

1.6. Равномерная сходимость функциональных рядов

Определение 4. Функциональный ряд ∑n=1

∞

un ( x ) сходится к функции S(x)

равномерно на множестве E, если последовательность его частичных сумм Sn(x) сходится равномерно к функции S(x) на множестве E, т.е.

Sn(x) ⇒E S (x) .

Пример 8. Областью сходимости функционального ряда ∑n=1

∞

(−1 )n−1 xn−1

является

интервал (−1, 1) , причём ∑n=1

∞

(−1 )n−1 xn−1

= 1

1+ x , x∈(−1,+1).

9

Докажем, что сходимость не является равномерной. Предположим, что

ряд ∑n=1

∞

(−1 )n−1 xn−1

сходится на интервале (−1,+1) равномерно. Тогда для ε =13

найдётся номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x∈(−1,+1) выполняется неравенство

|Sn(x) − S(x)| < 13 ,

где Sn(x) =

1+(−1)n+1 xn

1+x , S(x) = 1

1+ x . Значит, при n ≥ N и всех x∈(−1,+1)

выполняется неравенство

|x|n

1+ x< 1

3 . Зафиксируем в этом неравенстве n ≥ N и

перейдём к пределу при x→1−0. Получим 12≤1

3 . Полученное противоречие означает, что сходимость функционального ряда на интервале (−1,+1) не является равномерной.

1.7. Простейшие утверждения о равномерной сходимости функциональных рядов.

1. Функциональный ряд ∑n=1

∞

un ( x ) сходится к функции S(x) равномерно на

множестве E тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство

|Sn(x) − S(x)| < ε .

2. Функциональный ряд ∑n=1

∞

un ( x ) сходится на множестве E равномерно

тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство

|Sn(x) – Sm(x)| < ε.

3. Если функциональные ряды ∑n=1

∞

un ( x ) и

∑n=1

∞

vn( x ) сходятся на множестве E

равномерно, а λ и μ – некоторые числа, то и ряд ∑n=1

∞

(λun(x)+μvn(x)) сходится на этом множестве равномерно.

4. Если функциональный ряд ∑n=1

∞

un ( x ) сходится на множестве E

равномерно, а функция φ(x) ограничена на этом множестве, то и ряд ∑n=1

∞

ϕ ( x )un ( x )

сходится на множестве E равномерно.

10

Теорема 1.7.1 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса).

Функциональный ряд ∑n=1

∞

un ( x ) сходится на множестве E равномерно и

абсолютно, если un(x)≤ an для всех x ∈ E и n ∈ N, а числовой ряд ∑n=1

∞

an

сходится.

Доказательство. Если числовой ряд ∑n=1

∞

anсходится, то сходится и

последовательность его частичных сумм Sn. Значит, последовательность Sn является фундаментальной. Тогда, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех

m, n ≥ N выполняется неравенство |Sn−Sm|<ε .Рассмотрим последовательность частичных сумм функционального ряда

∑n=1

∞

un ( x ). Если m > n ≥ N, то

|Sm(x) − Sn(x)| = |u1(x)+...+ un(x)+ un+1(x)+...+ um(x) − u1(x) −...− un(x)| == |un+1(x) + un+2(x) +...+ um(x)| ≤ | un+1(x)| + | un+2(x)| +...+ | um(x)| ≤≤ an+1 + an+2 +...+ am = Sm − Sn = |Sm − Sn| < ε.Аналогично, если n > m ≥ N , то |Sn(x) − Sm(x)| ≤ Sn − Sm = | Sn − Sm | < ε. Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что

при всех m, n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство |Sn(x) – Sm(x)| < ε.

По утверждению 2 функциональный ряд ∑n=1

∞

un ( x ) сходится на множестве

W равномерно. Теорема доказана.

Пример 9. Функциональный ряд ∑n=1

∞ sin( nx )n2

сходится равномерно и

абсолютно на всей числовой прямой, так как |sin (nx )

n2|≤ 1

n2 для всех x ∈ ]−∞, +∞[

и n ∈ N, а числовой ряд ∑n=1

∞ 1

n2 сходится.

2. Степенные ряды

2.1. Область сходимости степенного ряда

Функциональный ряд видаа0 + а1 (x − c) + а2 (x − c)2 + …+ аn (x − c)n + …

называется степенным рядом. Числа а0, а1, а2, …, аn , …

11

называются коэффициентами степенного ряда, а число c – центром степенного ряда.

Степенной ряд с центром в точке c можно записать кратко: ∑n=0

∞

an (x−c )n

.Если c = 0, то степенной ряд с центром в нуле имеет вид:

а0 + а1 x + а2 x2 + …+ аn xn + …, или ∑n=0

∞

an xn

.

Очевидно, что степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

всегда сходится при x = c. Если

степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится только при x = c, то он называется всюду расходящимся. Если же степенной ряд сходится на всей числовой прямой, то его называют всюду сходящимся.

Теорема 2.1.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

сходится при x = x 1 ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно при всехx<x1.Если степенной

ряд∑n=0

∞

an xn

расходится при x = x2, то он расходится при всех x>x 2.

Доказательство. Предположим, что степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

сходится при x

= x1 ≠ 0. Это означает, что сходится числовой ряд ∑n=0

∞

an x1n

. В силу необходимого

признака сходимости числового ряда limn→∞

an x1n

= 0. Значит, существует число М > 0 такое, что

|an x1n|≤ M, n ∈ N.

Еслиx<x1,то

|an xn|=|an x1n( x

x1 )n

|=|an x1n|⋅| x

x1

|n

≤M⋅| xx1

|n

, n∈N.

Ряд ∑n=0

∞M⋅| x

x1

|n

сходится, так как является геометрической прогрессией со

знаменателем q =| x

x1

| < 1. Тогда ряд

∑n=0

∞

|an xn| сходится при всехx<x1, так

как имеет сходящуюся мажоранту ∑n=0

∞M⋅| x

x1

|n

. Следовательно, степенной ряд

∑n=0

∞

an xn

сходится абсолютно при всех x<x1.

12

Предположим, что степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

расходится при x = x2, но сходится при x = x3, где x3>x2(см. рис. 11.1). Из уже доказанного следует,

что степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

должен сходиться на интервале (−x3,x3), что противоречит условию, поскольку

x2 ∈ (−x3, x3).

сходимость

0

Рис. 2.1.

Следствие 1. Если степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

не является всюду сходящимся или всюду расходящимся, то существует число R > 0 такое, что степенной ряд сходится абсолютно при всехx< R и расходится при всехx> R .

Доказательство. По условию существуют точки: x1 ≠ 0, в которой ряд сходится и x2, в которой ряд расходится. Если Ω − область сходимости

степенного ряда ∑n=0

∞

an xn

, то по теореме Абеля имеем (−x1, x1) ⊂ Ω и Ω ⊂ (−x2, x2) (см. рис. 11.2).

расходимость сходимость расходимость

0

Рис.2.2.

Так как числовое множество Ω ограничено сверху, то существует число R = Sup Ω. Очевидно, что R > 0.

Покажем, что степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

расходится при всех x> R и сходится абсолютно при всехx< R .

Если степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

сходится при x = y, где y> R, то по теореме Абеля (−y, y) ⊂ Ω. Тогда Sup Ω ≥ y> R. Противоречие. Следовательно, степенной ряд расходится при всехx> R.

13

Если же ряд ∑n=0

∞

an xn

расходится при x = z, гдеz< R, то Ω ⊂ ] −z, z[ . Тогда R = Sup Ω ≤ z< R. Из полученного

противоречия (R < R) следует, что степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

сходится при всехx< R, причем абсолютно.

Следствие 2. Если степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

не является всюду сходящимся или всюду расходящимся, то существует число

R > 0 такое, что степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится абсолютно при всехx − c < R и расходится при всехx − c > R.

Доказательство. Положим z = x − c. Тогда степенной ряд примет вид:

∑n=0

∞

an zn

. По первому следствию, найдется число R > 0 такое, что степенной ряд

∑n=0

∞

an zn

сходится абсолютно при всехz< R и расходится при всех z> R.

Следовательно, степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится абсолютно при x − c < R и расходится при x − c > R.

Определение 5. Число R > 0 такое, что ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится абсолютно приx − c< R и расходится приx − c> R, называется радиусом сходимости этого ряда.

Интервал (c − R, c + R) называется интервалом сходимости степенного

ряда ∑n=0

∞

an (x−c )n

.Замечание. Будем считать, что радиус сходимости всюду сходящегося ряда равен + ∞, а всюду расходящегося 0.

Чтобы найти область сходимости Ω степенного ряда ∑n=0

∞

an (x−c )n

, необходимо вначале определить радиус сходимости этого ряда R. Если R = 0, то область сходимости ряда Ω = c.

Если R = +∞, то Ω = (− ∞, + ∞) . Если же 0 < R < + ∞, то интервал

сходимости ряда ]c−R,c+R[⊂Ω и степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

расходится при всехx − c> R. Для отыскания области сходимости Ω степенного ряда

14

достаточно выяснить сходится или расходится ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

при x = c − R и x = c + R.

Пример 10. Рассмотрим степенной ряд ∑n=0

∞ xn

n ! . Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся признаком Даламбера:

limn→∞

|cn+1

cn

|= limn→∞

| xn+1

(n+1 )!⋅n !

xn|= lim

n→∞(|x| 1n+1 )=|x|⋅lim

n→∞ ( 1n+1 )=0

.

Так как limn→∞

|cn+1

cn

| = 0 < 1 при любом x ∈ ]− ∞, + ∞[, то степенной ряд

сходится абсолютно на всей числовой прямой. Следовательно, R = +∞, Ω = (− ∞, + ∞) .

2.2. Равномерная сходимость степенных рядов

Лемма 1. Степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится равномерно и абсолютно на любом отрезке внутри интервала сходимости ]c−R, c+R[.

Доказательство. Предположим, что [a, b] ⊂ ]c − R , c + R [ , где R > 0. Тогда a − c < R и b − c < R . Положим

d = max a − c , b − c . Если x∈[a, b], то x − c ≤ d . Тогда

an·x − cn ≤ an·d n, n∈N. Степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится абсолютно при x = c + d, поскольку x − c = d < R. Это означает, что сходится числовой ряд

∑n=0

∞

|an|dn

. Тогда степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится равномерно и абсолютно на отрезке [a,b] по признаку Вейерштрасса.

Лемма 2. Если степенной ряд ∑n=0

∞

an xn

сходится при x = R, то он сходится равномерно на отрезке [0, R].

Следствие. Если степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится при x = c + R, где R > 0, то он сходится равномерно на отрезке

[c, c + R]. Если степенной ряд∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится при x = c −R, где R > 0, то он сходится равномерно на отрезке [c − R, c].

Теорема 2.2.1. Степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится равномерно на любом отрезке в его области сходимости.Ω = [c − R, c + R], рассматриваются аналогично.

15

Пример 11. Дан степенной ряд ∑n=1

∞(−1 )n−1 xn

n . Тогда limn→∞

|cn+1

cn

|= limn→∞

|xn+1|⋅n

(n+1)⋅|x|n=|x|

.Следовательно, степенной ряд сходится абсолютно при |x| < 1 и

расходится при |x| > 1. В точке x = 1 имеем числовой ряд ∑n=1

∞(−1 )n−1 1

n , который

сходится по теореме Лейбница. При x = − 1 получаем гармонический ряд ∑n=1

∞ 1n ,

который расходится. Значит, область сходимости данного степенного ряда Ω =

(−1, 1]. По теореме 12.1, степенной ряд ∑n=1

∞(−1 )n−1 xn

n сходится равномерно на любом отрезке [a, 1] ⊂ (−1, 1].

2.3. Основные свойства суммы степенных рядов

Теорема 2.3.1 (о непрерывности суммы степенного ряда). Если степенной ряд

∑n=0

∞

an (x−c )n

не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в области сходимости этого ряда.

Пример 12. Дан степенной ряд ∑n=0

∞(−1 )n x2 n+1

2n+1 . Область сходимости данного ряда Ω = [−1,1]. Значит,

∑n=0

∞(−1 )n x2 n+1

2n+1 = S(x), где x∈[−1,1].По теореме 13.1 функция S(x) непрерывна на отрезке [−1,1].

Теорема 2.3.2 (о почленном интегрировании степенного ряда). Пусть

степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

не является всюду расходящимся.

Если ∑n=0

∞

an (x−c )n

= S(x), x ∈ Ω, то

∑n=0

∞ an

n+1( x−c )n+1

= ∫c

x

S ( t )dt, x∈ Ω.

Пример 13. Степенной ряд ∑n=0

∞

(−1 )n x2n

является геометрической прогрессией со

знаменателем q = − x2. Следовательно, Ω = ]−1,1[. Тогда ∑n=0

∞

(−1 )n x2n

=

1

1+ x2,

где x∈]−1,1[. По теореме об интегрируемости суммы степенного ряда

∑n=0

∞(−1 )n x2 n+1

2n+1 = ∫0

x1

1+t2dt

= arctg x, где x∈]−1,1[ .

16

Однако степенной ряд ∑n=0

∞(−1 )n x2 n+1

2n+1 сходится на отрезке [−1,1], а его сумма S(x) непрерывна на этом отрезке. Следовательно,

∑n=0

∞(−1 )n x2 n+1

2n+1 = arctg x, где x∈[−1,1].В частности, при x = 1 получим

∑n=0

∞(−1 )n 1

2n+1 = arctg 1 = π4 .

Если дан степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

, то можно рассмотреть новый ряд

∑n=1

∞

nan( x−c )n−1

, полученный почленным дифференцированием исходного ряда.

Лемма 3. При почленном дифференцировании степенного ряда ∑n=0

∞

an xn

его радиус сходимости не изменяется.

Следствие. При почленном дифференцировании степенного ряда

∑n=0

∞

an (x−c )n

его радиус сходимости не изменяется.

Теорема 2.3.3. Если степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

не является всюду расходящимся, то его можно почленно дифференцировать сколь угодно много раз внутри интервала сходимости.

3. Ряды Тейлора

3.1. Введение

Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0∈R, то имеет место формула Тейлора:

f(x) = f(x0) +

f ' ( x0 )1!

( x−x0 )+f ' ' ( x0)

2!( x−x0 )

2+. . .+f (n )( x0 )

n !( x−x0 )

n+α( x−x0 )n

,где α → 0 при x → x0.

Если же функция f(x) дифференцируема в точке x0 сколь угодно много раз, то можно составить ряд Тейлора для функции f(x):

∑n=0

∞ f (n)( x0 )n !

( x−x0 )n

.Замечание. Если x0 = 0, то степенной ряд

∑n=0

∞ f (n)(0)n !

xn

называется рядом Маклорена для функции f(x).

17

Пример 14. Рассмотрим функцию f(x) = sin x. Тогда

f (n)(x) = sin( x+ nπ

2) , n = 0,1,2, ...

Следовательно, если n − чётное число, то f (n)(0) = sin( nπ

2 ) = 0.

Если n = 2k – 1, k = 1,2,3, ..., то f (n)(0) = sin( n

π2

) = (−1)k−1.

Тогда ряд Маклорена для функции f(x) = sinx имеет вид:

x− x3

3 !+ x5

5 !−. ..+(−1)k−1 x2 k−1

(2 k−1)!+.. .

3.2. Основные утверждения о рядах Тейлора.

1º. Если степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

сходится к функции f (x) на интервале (c−R, c+R) , R > 0, то он является рядом Тейлора для функции f (x).

Доказательство. По условию,

∑n=0

∞

an (x−c )n

= f(x), x∈(c−R, c+R).Степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интервала

сходимости сколь угодно много раз. Следовательно, имеем следующие равенства:

∑n=1

∞

nan( x−c )n−1

= f ′(x),

∑n=2

∞

n (n−1 )an( x−c )n−2

= f ″(x),

∑n=3

∞

n (n−1 )(n−2 )an (x−c )n−3

= f ′″(x),…………………………………………..

∑n=k

∞

n(n−1 ). . .(n−k+1)an ( x−c )n−k

= f (k)(x),…………………………………………………

Тогда при x = c получим соотношения:a0 = f(c), 1∙ a1 = f ′(c), 2∙1∙ a2 = f ″(c), 3∙2∙1∙ a3 = f ″′(c), ..., k(k − 1) ∙...∙2∙1∙ ak = f (k)(c), ...Отсюда

a0 = f(c), a1 = f ' (c )

1 ! , a2 = f ' ' (c )

2 ! , a3 =

f ' ' '(c )3 ! , ..., ak =

f (k )( c )k ! , ....

Это означает, что степенной ряд ∑n=0

∞

an (x−c )n

является рядом Тейлора для функции f (x).

18

2º. Ряд Тейлора для функции f (x) не обязан сходится к самой функции f (x).

3º. Предположим, что функция f (x) дифференцируема на интервале (x0−∆, x0+∆) сколь угодно много раз. Ряд Тейлора для функции f (x) сходится на интервале (x0−∆, x0+∆) к самой функции f (x) тогда и только тогда, когда

limn→∞

∫x 0

x

f (n+1)( t )( x−t )n

n!dt

= 0, x∈(x0−∆, x0+∆).Следствие. Пусть функция f (x) дифференцируема сколь угодно много

раз на интервале (x0−∆, x0+∆) , ∆ > 0. Если существует число М > 0 такое, что

|f (n )( x )|≤ M n для любого x ∈ (x0−∆, x0+∆), n∈N, то ряд Тейлора для функции f (x)

сходится к самой функции f (x) на интервале (x0−∆, x0+∆).

4. 111Глава формулы 1 Раздел 1Разложение функций в степенные ряды

Говорят, что функция f (x) разлагается в ряд по степеням (x − x0), если существует степенной ряд

∑n=0

∞

an (x−x0 )n

,который сходится к функции f (x) в некоторой окрестности точки x0, то

есть

f (x) = ∑n=0

∞

an (x−x0 )n

, x∈Sδ ( x0 ).Замечание. Если функция f (x) разлагается в ряд по степеням (x − x0), то этот ряд является рядом Тейлора для функции f (x) .

Теорема 4.1. Имеют место следующие равенства:

1) 1

1−x = ∑n=1

∞

xn−1

; x∈(−1 , 1) ;

2) e x = ∑

n=0

∞ xn

n ! , x∈(−∞, +∞) ;

3) sin x =∑n=1

∞(−1)n−1 x2 n−1

(2 n−1)! , x∈(−∞, +∞) ;

4) cos x =∑n=0

∞(−1 )n x2n

(2 n)! , x∈(−∞, +∞) ;

5) ln(1+x) =∑n=1

∞(−1 )n−1 xn

n , x∈(−1, 1) ;

6) arctg x = ∑n=1

∞(−1 )n−1 x2n−1

2n−1 , x∈[−1, 1] ;

19

7) (1+x )α = 1+ ∑

n=1

∞ α (α−1)( α−2). . .(α−n+1 )n!

xn

, x∈(−1, 1) .Доказательство. Докажем равенство 5). Известно, что

11+ t =

∑n=1

∞

(−1 )n−1 tn−1

; t∈(−1, 1) .Это равенство можно проинтегрировать почленно на отрезке [0, x], где x∈(−1, 1) :

∫0

xdt

1+t=∑

n=1

∞(−1)n−1∫

0

x

tn−1dt.

Тогда

ln (1+x )= ∑n=1

∞(−1)n−1 xn

n , x∈(−1, 1) .

Областью сходимости ряда ∑n=1

∞(−1 )n−1 xn

n является полуинтервал (−1, 1]. Следовательно,

∑n=1

∞(−1 )n−1 xn

n = S(x), x∈(−1, 1] ,причем функция S(x) непрерывна на полуинтервале (−1, 1]. Так как S(x) = ln(1 + x), x∈(−1, 1), то

ln (1+x )= ∑n=1

∞(−1)n−1 xn

n , x∈(−1, 1] .

Пример 15. Чтобы разложить функцию f (x) = e− x2

в ряд по степеням x, рассмотрим равенство

e t = ∑n=0

∞ tn

n ! , t∈(−∞, +∞) .Положим t = − x2. Тогда

e− x2

= ∑n=0

∞

(−1 )n x2 n

n! , x ∈(−∞, +∞) .

Пример 16. Рассмотрим функцию f (x) = ln

1+x1−x . Заметим, что

ln (1+x ) = x− x2

2+ x3

3+. ..+(−1 )n−1 xn

n+ .. . , x∈(−1,1 ]

;

ln (1−x ) = −x− x2

2− x3

3−.. .− xn

n−. .. , x∈[−1,1 )

.

Тогда при x∈(−1, 1) получим:

f (x) = ln

1+x1−x = ln (1+x ) − ln (1−x ) = =

2 x+ 2 x3

3+ 2 x5

5+.. .+2 x2 n−1

2 n−1+.. . , x∈(−1,1 )

.

20

Пример 17. Разложим функцию f (x) = ∫0

xsin t

tdt

по степеням x. Рассмотрим равенство

sin t =∑n=1

∞(−1)n−1 t2n−1

(2 n−1)! , t ∈ (−∞, +∞) .Если t ≠ 0, то

sin tt =

∑n=1

∞(−1 )n−1 t2n−2

(2 n−1 )! .

Следовательно, ∑n=1

∞(−1)n−1 t2n−2

(2 n−1)! = φ(t), t ∈ (−∞, +∞) , где

ϕ ( t )= 1, если t=0 ;sin t

t, если t≠0.

Тогда

f (x) = ∫0

xsin t

tdt

= ∫0

x

ϕ (t )dt=∑n=1

∞(−1 )n−1 x2 n−1

(2 n−1 )(2n−1)! , x ∈ (−∞, +∞) .Пример 18. Вычислим ln3 с точностью до 0,001. Заметим, что

ln3 =

ln ( 1+ 12

1−12

)и разложим функцию f (x) =

ln1+x1−x в ряд по степеням x.

Получим

ln1+x1−x =

∑n=1

∞ 22 n−1

x2 n−1

, x ∈ ]−1,1[

Тогда

ln3 = ∑n=1

∞ 1

(2n−1 )⋅22 n−2.

Следовательно,

ln3 ≈ ∑n=1

N1

(2 n−1 )⋅22 n−2

с точностью до 0,001, если RN +1 = ∑

n=N +1

∞ 1

(2n−1 )⋅22 n−2 < 0,001.

Остаток числового ряда RN +1 можно оценить сверху следующим образом:

RN +1 = ∑

n=N +1

∞ 1

(2n−1 )22n−2≤ 1

2 N+1 ∑n=N+1

∞ 1

22 n−2=

12 N+1

⋅

1

22 N

1−14

= 13(2 N+1)22 N−2

.

Следовательно, при N = 4 получим:

R5 ≤

1

3⋅9⋅26 =

127⋅64 < 0,001.

Тогда, с точностью до 0,00121

ln3 ≈ 1 +

13⋅4 +

15⋅16 +

17⋅64 = 1,098065

(точное значение: ln3 = 1,098612).

22