คณิต ม.4 (ครูเติ้ล)

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4

เซต ในวิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู� ใช� เซต“ ” ในการูบ่�งบ่อกถึ�งกล��มของส��งติ้�าง ๆ และจะใช�ในกรูณิ#ที่#�ที่รูาบ่แน�นอนวิ�าส��งใดอยู่��ในกล��มหรู(อส��งใดไม�อยู่��ในกล��มน*�น เช�น เซติ้ของสรูะในภาษาอ*งกฤษ เซติ้ของพยู่*ญชนะในภาษาไที่ยู่

สั�ญลั�กษณ์�เก� ยวก�บเซต1. โดยู่ที่*�วิไปน�ยู่มใช�อ*กษรู แที่นเซติ้ และ อ*กษรู

แที่นสมาช�กในเซติ้2. ใช�ส*ญล*กษณิ� “ แที่นการูเป3นสมาช�กของเซติ้ และ ” “ แที่นการู”

ไม�เป3นสมาช�กของเซติ้3. ส*ญล*กษณิ�แที่นเซติ้ของจ4านวินติ้�าง ๆ

แที่น เซติ้ของจ4านวินเติ้5ม แที่น เซติ้ของจ4านวินเติ้5มบ่วิก แที่น เซติ้ของจ4านวินเติ้5มลบ่ แที่น เซติ้ของจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ แที่น เซติ้ของจ4านวินติ้รูรูกยู่ะที่#�เป3นบ่วิก แที่น เซติ้ของจ4านวินติ้รูรูกยู่ะที่#�เป3นลบ่

แที่น เซติ้ของจ4านวินจรู�ง แที่น เซติ้ของจ4านวินจรู�งบ่วิก แที่น เซติ้ของจ4านวินจรู�งลบ่

แที่น เซติ้ของจ4านวินน*บ่ เอกภพสั�มพ�ทธ์� (relative universe) ค(อ เซติ้ที่#�ก4าหนดขอบ่เขติ้ของส��งที่#�เรูาติ้�องการูศ�กษา น�ยู่มใช� แที่นเอกภพส*มพ*ที่ธ์�ข้�อสั�งเกต ในกรูณิ#ที่#�กล�าวิถึ�งเซติ้ของจ4านวินและไม�ได�ก4าหนดวิ�าเซติ้ใดเป3นเอกภพส*มพ*ที่ธ์� ให�ถึ(อวิ�าเอกภพส*มพ*ที่ธ์� ค(อ เซติ้ของจ4านวินจรู�ง

การเข้�ยนเซตการูเข#ยู่นเซติ้อาจเข#ยู่นได� 2 วิ�ธ์# ค(อ

เด5กแคที่ซ� เก�งได� ไม�เครู#ยู่ด

1


1. แบบแจกแจงสัมาชิ!ก (roster method หร#อ tabular form)

เช�น ,

2. แบบบอกเง# อนไข้ข้องสัมาชิ!ก (set builder form) เช�น

ชิน!ดต&าง ๆ ข้องเซต1. เซตจ(าก�ด (finite set) ค(อเซติ้ที่#�สามารูถึบ่อกจ4านวินสมาช�กที่#�

แติ้กติ้�างก*นในเซติ้น*�นได�วิ�าม#จ4านวินเที่�าใด2. เซตอน�นต� (infinite set) ค(อเซติ้ที่#�ไม�ใช�เซติ้จ4าก*ด3. เซตว&าง (empty set) ค(อ เซติ้ที่#�ไม�ม#สมาช�ก ใช�ส*ญล*กษณิ� หรู(อ

แที่นเซติ้วิ�าง เซตว&างเป็*นเซตจ(าก�ดข้�อสั�งเกต 1.

2.3.4.

1. เซติ้ที่#�ก4าหนดให�ติ้�อไปน#� ข�อใดถึ�กติ้�อง ข�อใดผิ�ด1. เป3นเซติ้จ4าก*ด2. เป3นเซติ้วิ�าง3. เป3นเซติ้อน*นติ้�4. เป3นเซติ้อน*นติ้�

ความสั�มพ�นธ์�ระหว&างเซต

1. เซติ้ที่#�เที่�าก*น (equal sets) เซตสัองเซตจะเท&าก�นก-ต&อเม# อเซตท�.งสัองม�สัมาชิ!กเหม#อนก�นท/กต�ว ใช�ส*ญล*กษณิ� แที่น เซติ้ เที่�าก*บ่ เซติ้


2


แที่นเซติ้ ไม�เที่�าก*บ่ เซติ้ ข้�อสั�งเกต 1. เซติ้ใดที่#�ม#สมาช�กติ้*วิเด#ยู่วิก*นปรูากฏมากกวิ�า 1 ครู*�ง ให�ถึ(อวิ�าเป3นสมาช�กติ้*วิเด#ยู่วิก*น เช�น

2. ล4าด*บ่ก�อนหล*งของสมาช�กไม�ม#ควิามส4าค*ญ เช�น

2. เซตท� เท�ยบเท&าก�น (Equivalent sets) เซติ้สองเซติ้เที่#ยู่บ่เที่�าก*นก5ติ้�อเม(�อสามารูถึจ*บ่ค��หน��งติ้�อหน��งรูะหวิ�างสมาช�กของที่*�งสองเซติ้ได�พอด#

ข้�อสั�งเกต 1. ถึ�า แล�วิ 2. ถึ�า แล�วิ เซติ้ และเซติ้ อาจไม�เที่�าก*นก5ได�3. ในกรูณิ#ที่#�เป3นเซติ้จ4าก*ด ก5ติ้�อเม(�อเซติ้ที่*�งสองม#จ4านวิน

สมาช�กเที่�าก*น

2.จงพ�จารูณิาวิ�าเซติ้ในแติ้�ละข�อติ้�อไปน#� เซติ้ใดบ่�างที่#�เที่�าก*น1. 4,6,8,5B

2. 3.

3. ให� และ จงหาวิ�า ก*บ่ เป3นเซติ้ที่#�เที่#ยู่บ่เที่�าก*น หรู(อไม� ____________________________________________________________________________________3. สั�บเซต (subset) เซติ้ เป3นส*บ่เซติ้ของ ก5ติ้�อเม(�อสมาช�กที่�กติ้*วิของเซติ้ เป3นสมาช�กของเซติ้


3


ใช�ส*ญล*กษณิ� แที่น เป3นส*บ่เซติ้ของ

แที่น ไม�เป3นส*บ่เซติ้ของ ข้�อสั�งเกต ไม�เป3นส*บ่เซติ้ของ ก5ติ้�อเม(�อม#สมาช�กของ อยู่�างน�อยู่หน��งติ้*วิซ��งไม�เป3นสมาช�กของ เช�น , จะได�

4. จงหาส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของเซติ้ ____________________________________________________________________________________5. ข�อควิามติ้�อไปน#�ถึ�กติ้�องหรู(อผิ�ด

1.2.3.4. เป3นส*บ่เซติ้แที่�ของ __________________________________________________________________________________

สัมบ�ต!ท� สั(าค�ญให� เป3นเซติ้ใด ๆ

1.2.3.4. ถึ�า แล�วิ 5. ถึ�า และ แล�วิ 6. ถึ�า และ แล�วิ 7. ถึ�า ม#สมาช�ก ติ้*วิ

จ4านวินส*บ่เซติ้ของ จะม# ส*บ่เซติ้


4


จ4านวินส*บ่เซติ้แที่�ของ จะม# ส*บ่เซติ้

จงหาส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของเซติ้ที่#�ก4าหนดให�ติ้�อไปน#�

1) A = ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ A ได�แก�

2) B = { 1 } ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ B ได�แก� 3) C = { 1 , 2 } ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ C ได�แก�

4) D = { 1 , 2 , 3 } ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ D ได�แก�

5) E = { a , { b } } ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ E ได�แก�

6) F = { 1 , { 2 , 3 } } ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ F ได�แก�

7) G = { { 1 } } ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ G ได�แก�

8) H = { 0 , { a } , { b } } ส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ H ได�แก�

4. เพาเวอร�เซต (Power set) ถึ�า เป3นเซติ้ใด ๆ เพาเวิอรู�เซติ้ของ ค(อ เซติ้ของส*บ่เซติ้ที่*�งหมดของ ใช�ส*ญล*กษณิ� แที่นเพาเวิอรู�เซติ้

ของ


5


ติ้*วิอยู่�าง จงหาเพาเวิอรู�เซติ้ของแติ้�ละเซติ้ติ้�อไปน#�1.

_____________________________________________________________________

2. _____________________________________________________________________

3. ก4าหนด จงหา ________________________________________________________________________________

จงเข#ยู่นค4าติ้อบ่ลงในช�องวิ�าง1) ก4าหนด A = P ( A ) =2) ก4าหนด B = { a } P ( B ) = ____________________________________________________________3) ก4าหนด C = { 2 , 5 } P ( C ) = 4) ก4าหนด D = { 1 , 3 , 5 }

P ( D ) =5) ก4าหนด A = { { 1 } } P ( A ) =6) ก4าหนด A = { 1 , { 1 } } P ( A ) =7) ก4าหนด A = { , { } }


6


P ( A ) =________________________________________________________________

8) P ( P ( ) ) =

9. ถึ�า A ม#สมาช�ก n สมาช�ก แล�วิ P ( A ) ม#สมาช�กเที่�าไรู

10. ถึ�า P ( P ( A ) ) ม#สมาช�ก 16 สมาช�ก แล�วิ A ม#สมาช�กเที่�าไรู

11. ก4าหนด A = { x N l x2 -9x + 20 = 0 } จงหา P ( A )

แผนภาพข้องเวนน� ออยเลัอร�–

การูเข#ยู่นแผินภาพของเวินน� ออยู่เลอรู� – (Venn – Euler

diagrams) น�ยู่มเข#ยู่นรู�ปส#�เหล#�ยู่มม�มฉากแที่นเอกภพส*มพ*ที่ธ์� และให�รู�ปวิงกลม วิงรู# หรู(อรู�ปป:ดใด ๆ แที่นเซติ้ติ้�าง ๆ ซ��งเป3นส*บ่เซติ้ของ

ลั�กษณ์ะการเข้�ยนแผนภาพ1. เซติ้ และเซติ้ ไม�ม#สมาช�กรู�วิมก*น

2. เซติ้ และเซติ้ ม#สมาช�กบ่างติ้*วิรู�วิมก*นและม#สมาช�กบ่างติ้*วิไม�รู�วิมก*น


7

U

A B


3. แติ้�

4.

การป็ฎิ!บ�ต!การทางเซต

การูปฏ�บ่*ติ้�การูที่างเซติ้ (Operation of sets) ค#อ การสัร�างเซตใหม&จากเซตเด!มโดยการน(าเซตท� ก(าหนดให�มากระท(าก�นซ4 งม� 3 ว!ธ์�การด�วยก�น

ย5เน�ยน ย5เน�ยน (Union) ยู่�เน#ยู่นของเซติ้ และ ค(อเซติ้ที่#�ปรูะกอบ่ด�วิยู่สมาช�กที่#�เป3นสมาช�กของ หรู(อของ หรู(อของที่*�งสองเซติ้ ใช�ส*ญล*กษณิ� แที่นยู่�เน#ยู่นของเซติ้ และเซติ้

4. ให� จงหา ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


8

U

A B

U

A B ,

U

A

B


การใชิ�แผนภาพแสัดงผลัข้องการย5เน�ยน ค(อ บ่รู�เวิณิที่#�แรูเงา

จะได�

อ�นเติ้อรู�เซกช*น อ!นเตอร�เซกชิ�น (Intersection) ของเซติ้ และ ค(อ เซติ้ที่#�ปรูะกอบ่ด�วิยู่สมาช�กที่#�เป3นสมาช�กที่*�งของ และ ใช�ส*ญล*กษณิ�

แที่น อ�นเติ้อรู�เซกช*นของเซติ้ และ

5. ให� และ จงหา ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


9

A U B

U A B

U B A


ผลัต&างแลัะคอมพลั�เมนต�

ผลัต&าง , คอมพลั�เมนต�11. ให� จงหา 1. 2.

3. 4. ฝึ7กท(า ก4าหนด u = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

A = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 } , B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } และ C = { 2 , 4 , 5 , 7 } จงเข#ยู่นเซติ้ติ้�อไปน#�แบ่บ่แจกแจงสมาช�ก

1) A B =2) B C =3) A B =4) B C =5) (A B) C =6) A (B C) =7) (A B) C =8) A (B C) =9) A (B C) =10) (AC)(AC) =11) A (B C) =12) (AB) (AC) =13) A =14) B =15) C =16) A B =


10


17) (A B) =18) A B =19) (A B) =20) A – B =21) A B =22) B – C =23) B C =24) B C =25) (B C) =

จากแผินภาพข�างล�าง จงแรูเงาส�วินที่#�แที่นเซติ้ติ้�อไปน#�1) (A B) C 2) A (B C)

A A

B C B C u

u

3) A (B C) 4) A (B C)

A A B C B C

5) (A B) C) 6) ( A B) (A C

A A


11

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4 B C B C

u u

7) A (B C) 8) A B

A A

B C B C

u u

9) (A B) (A C) 10) (A B)

AA

B C B C

u u

11) A B 12) A – B

A A


12


B C B C

u u

จ(านวนสัมาชิ!กข้องเซตจ(าก�ด1.

A B จากแผินภาพ ก4าหนดให� A และ B เป3น

เซติ้ในเอกภพส*มพ*นธ์� u ซ��ง A , B , A

B และ u ติ้�างม#สมาช�ก 50 , 30 ,

20 และ 100 สมาช�ก ติ้าม u ล4าด*บ่ จงหา

1) จ4านวินสมาช�กของ A B

2) จ4านวินสมาช�กของ A - B

3) จ4านวินสมาช�กของ B - A

4) จ4านวินสมาช�กของ (A B)

5) จ4านวินสมาช�กของ A


13


6) จ4านวินสมาช�กของ B

2. A B จากแผินภาพ ก4าหนดให� A และ

B เป3น เซติ้ใด ๆติ้�างเป3นเซติ้ของเอกภพส*มพ*นธ์� u ซ��ง A , B , (A B) และ u ติ้�างม#สมาช�ก 40 , 20 , 20 และ 70

สมาช�ก ติ้ามล4าด*บ่จงหา


2) จ4านวินสมาช�กของ A - B

3) จ4านวินสมาช�กของ B - A




B ติ้�างเป3น ส*บ่เซติ้ของเอกภพส*มพ*นธ์� u ซ��ง A , B , B – A , (A B) และ u ติ้�างม#สมาช�ก 40 , 30 , 20 และ

u 100 สมาช�ก ติ้ามล4าด*บ่ จงหา


14

u






B ติ้�างเป3นส*บ่เซติ้ของเอกภพส*มพ*นธ์� u ซ��ง A

B = ซ��ง A – B และ A B

ติ้�างม#สมาช�กจ4านวิน 60

u และ 100 สมาช�ก ถึ�า A B ม#จ4านวิน

สมาช�ก 20 สมาช�กแล�วิจงหา B จงหา


15


5.ในบ่รู�ษ*ที่แห�งหน��งม#พน*กงาน 40 คน ซ(�อหน*งส(อพ�มพ�สองฉบ่*บ่ ค(อ หน*งส(อพ�มพ�ไที่ยู่รู*ฐและหน*งส(อพ�มพ�เดล�น�วิส� จากการูส4ารูวิจปรูากฎวิ�า 25

คนอ�านหน*งส(อพ�มพ�ไที่ยู่รู*ฐ 20 คนอ�านหน*งส(อพ�มพ�เดล�น�วิส� 8 คนไม�อ�านหน*งส(อพ�มพ� ที่*�งสองฉบ่*บ่ อยู่ากที่รูาบ่วิ�าคนที่#�อ�านหน*งส(อพ�มพ�ไที่ยู่รู*ฐ อยู่�างเด#ยู่วิม#ก#�คน…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ในการูสอบ่วิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู� วิ�ชาฟิ:ส�กส� และวิ�ชาเคม# ของน*กเรู#ยู่นช*�น ม.4

จ4านวิน 100

ปรูากฎผิลด*งน#� สอบ่ได�วิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู� 40 คน

สอบ่ได�วิ�ชาฟิ:ส�กส� 50 คน


16


สอบ่ได�วิ�ชาเคม# 60 คน สอบ่ได�วิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู�และฟิ:ส�กส� 23 คน

สอบ่ได�วิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู�และเคม# 25 คน สอบ่ได�วิ�ชาฟิ:ส�กส�และเคม# 24 คน และสอบ่ได�ที่*�ง 3 วิ�ชา 20 คน

จงหา 1. สัอบได�ว!ชิาคณ์!ตศาสัตร�เพ�ยงว!ชิาเด�ยวก� คน2. สอบ่ได�วิ�ชาฟิ:ส�กส�เพ#ยู่งวิ�ชาเด#ยู่วิก#�คน3. สอบ่ได�วิ�ชาเคม#เพ#ยู่งวิ�ชาเด#ยู่วิก#�คน 4. สอบ่ได�วิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู�และวิ�ชาฟิ:ส�กส� แติ้�สอบ่ติ้กวิ�ชาเคม#

ม#ก#�คน5. สอบ่ได�วิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู�และวิ�ชาเคม# แติ้�สอบ่ติ้กวิ�ชาฟิ:ส�กส�

ม#ก#�คน6. สอบ่ได�วิ�ชาฟิ:ส�กส�และวิ�ชาเคม# แติ้�สอบ่ติ้กวิ�ชาคณิ�ติ้ศาสติ้รู�

ม#ก#�คน7. สอบ่ติ้กที่*�ง 3 วิ�ชา ม#ก#�คน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………


17

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. ในการูส4ารูวิจควิามน�ยู่มเก#�ยู่วิก*บ่เพลงโดยู่สอบ่ถึามจากน*กเรู#ยู่นโรูงเรู#ยู่นหน��ง จ4านวิน 300 คน พบ่วิ�าแติ้�ละคนชอบ่เพลงสติ้รู�ง ล�กที่��ง หรู(อล�กกรู�ง อยู่�างน�อยู่หน��งปรูะเภที่ ปรูากฏวิ�า

120 คน ชอบ่เพลงสติ้รู�ง70 คน ชอบ่เพลงล�กที่��งอยู่�างเด#ยู่วิ80 คน ชอบ่เพลงล�กกรู�งอยู่�างเด#ยู่วิ45 คน ชอบ่เพลงล�กที่��ง และเพลงล�กกรู�ง30 คน ชอบ่ที่*�งเพลงสติ้รู�ง และเพลงล�กที่��ง แติ้�ไม�ชอบ่เพลงล�กกรู�ง50 คน ไม�ชอบ่เพลงล�กกรู�ง และไม�ชอบ่เพลงล�กที่��งจะม#ก#�คนที่#�ชอบ่ที่*�งเพลงสติ้รู�ง และเพลงล�กกรู�ง แติ้�ไม�ชอบ่เพลงล�กที่��ง

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………


18


8. น*กเรู#ยู่นช*�น ม. 4 แผินกศ�ลป>จ4านวิน 80 คน เล(อกเรู#ยู่นภาษาติ้�างปรูะเที่ศอ#กอยู่�างน�อยู่ 1 ภาษา ค(อ ภาษาจ#น หรู(อภาษาญ#�ป�?น ปรูากฏวิ�าม#ผิ��ไม�เล(อกเรู#ยู่นภาษาจ#น ม#จ4านวินน�อยู่กวิ�าผิ��ไม�เล(อกเรู#ยู่นภาษาญ#�ป�?น 10 คน แติ้�ม#ผิ��เล(อกเรู#ยู่นที่*�ง 2 ภาษา จ4านวิน 30 คน อยู่ากที่รูาบ่วิ�า

1. ม#ผิ��เล(อกเรู#ยู่นภาษาจ#นเพ#ยู่งภาษาเด#ยู่วิก#�คน 2. ม#ผิ��เล(อกเรู#ยู่นภาษาญ#�ป�?นเพ#ยู่งภาษาเด#ยู่วิก#�คน………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตรรกศาสัตร� ป็ระพจน� ค(อข�อควิามที่#�เป3นปรูะโยู่คบ่อกเล�าหรู(อปฎ�เสธ์ที่#�ม#ค�าควิามจรู�งเป3นจรู�งหรู(อเที่5จอยู่�างใดอยู่�างหน��ง เช�น X+5 = 3 (ไม�เป3นปรูะพจน�), 6+7 = 10 (เป3นปรูะพจน�) ถึ�าจรู�งแที่นจรู�งด�วิยู่ T ,ถึ�าเที่5จแที่นด�วิยู่ Fข้�อความต&อไป็น�.เป็*นป็ระพจน�หร#อไม& ยู่�งรู�ายู่กวิ�าเส(อ _________________________

ไก�เก�ดก�อนไข� _________________________

เขาเป3นคนด# _________________________

ฝึAกที่4า ป็ระโยคต&อไป็น�.ป็ระโยคในข้�อใดเป็*นป็ระพจน� แลัะข้�อใดไม&เป็*นป็ระพจน�

1. จ*งหวิ*ดภ�เก5ติ้เป3นเกาะอยู่��ที่างภาคใติ้�ของปรูะเที่ศไที่ยู่


19


2. มหาวิ�ที่ยู่าล*ยู่บ่�รูพาติ้*�งอยู่��ในจ*งหวิ*ดชลบ่�รู#

3. ที่ศน�ยู่มติ้4าแหน�งที่#� 50 ของค�า ค(อ 3

4. ถึ�า x เป3นจ4านวินจรู�ง แล�วิ x2 > 0 เสมอ

5. ม#จ4านวินจรู�ง x ที่#� x + 5 = 3

ค&าความจร!งข้องป็ระพจน�ท� ม�ต�วเชิ# อม ถึ�า P และ Q เป3นปรูะพจน�

P Q P^Q

PvQ

PQ

PQ

~P

T T

T F

F T

F F

ติ้*วิอยู่�าง จงหาค�าควิามจรู�งของปรูะพจน�ติ้�อไปน#�


20


1. 4+5 9 และ 9 เป3นจ4านวินค#�วิ�ธ์#ที่4า

2. ถึ�า 1 เป3นจ4านวินค#�แล�วิ 110 เป3นจ4านวินค��วิ�ธ์#ที่4า

ติ้*วิอยู่�าง จงหาค�าควิามจรู�งของปรูะพจน� P,Q และ R ถึ�าก4าหนดค�าควิามจรู�งของปรูะพจน�ติ้�อไปน#�1. ม#ค�าควิามจรู�งเป3นจรู�งวิ�ธ์#ที่4า

ฝึ7กท(า จงหาค�าควิามจรู�งของปรูะพจน� P,Q และ R ถึ�าก4าหนดค�าควิามจรู�งของปรูะพจน�ติ้�อไปน#�1. ม#ค�าควิามจรู�งเป3นเที่5จ

2. ม#ค�าควิามจรู�งเป3นเที่5จ

3. ม#ค�าควิามจรู�งเป3นจรู�ง


21


4. ให� P,Q,R และ S เป3นปรูะพจน� โดยู่ที่#� เป3นเที่5จ และ เป3นจรู�ง จงหาค�าควิามจรู�งของ ปรูะพจน�

จงเข#ยู่นค�าควิามจรู�งของปรูะพจน�ติ้�อไปน#� (ติ้ามติ้ารูางที่#�ก4าหนด)

1) p q, q p, p V q, q V p

p q p q q p p V q q V pTTFF

TFTF

2) p → q, q → p, p ↔ q, q ↔ p

p q p → q q → p p ↔ q q ↔ pTTFF

TFTF

3) p → q, ~p V q, ~q → ~p

p q ~ p ~ q p → q ~p V q ~q V ~pTTFF

TFTF


22


4) p ↔ q, (p → q) (q → p)

p q p → q q → p (p → q) (q → p)

p ↔ q

TTFF

TFTF

5) p q, ~(p q), ~p V ~q

p q p q ~(p q) ~p ~q ~p V ~qTTFF

TFTF

6) (p q) r , p (q r)

p q r p q (p q) r p r P (q r)


23


TTTTFFFF

TTFFTTFF

TFTFTFTF

7) (p V q) V r , p V (q V r)

p q r PV q (p V q) V r p V r p V (q V r)TTTTFFFF

TTFFTTFF

TFTFTFTF


24


ป็ระพจน�ท� สัมม5ลัก�นปรูะพจน� 2 ปรูะพจน�สมม�ลก*น ก5ติ้�อเม(�อ ปรูะพจน�ที่*�งสองม#ค�าควิามจรู�งเหม(อนก*นที่�กกรูณิ# ใช�ส*ญล*กษณิ� “ หรู(อ ” “ แที่น”

สมม�ลก*น เช�น“ ”P Q PQ ~P ~PvQT TT FF TF F

ด*งน*�น PQ _________ หรู(อ อาจเข#ยู่นได�วิ�า ___________ปรูะพจน� 2 ปรูะพจน�ที่#�สมม�ลก*นที่#�ควิรูที่รูาบ่ 1. PQQP 2. PvQ QvP3. P^P P 4. PvP P5. RQPRQP 6. RQPRQP

7. P^(QvR) (P^Q)v(P^R) 8. Pv(Q^R) (PvQ)^(PvR)


25

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.49. ~(P^Q) ~Pv~Q 10. ~(PvQ) ~P^~Q 11. )P~Q(~)QP( 12. QP~QP

13. Q~P~QP 14. PQQPQP

15. QP~QP~

ติ้*วิอยู่�าง จงพ�จารูณิาวิ�าปรูะพจน�แติ้�ละค��สมม�ลก*นหรู(อไม�1. ก. ถึ�า a = 6 แล�วิ a2 = 36 ข. ถึ�า a2 36 แล�วิ a 6

2. ก. ถึ�า a = 5 แล�วิ a2 = 25 ข. a 5 หรู(อ a2 = 25

ฝึAกที่4า จงพ�จารูณิาวิ�าปรูะพจน�แติ้�ละค��ติ้�อไปน#�สมม�ลก*นหรู(อไม�1. ก. ข.

2. ก. ข.


26


3. ก. ข.

4. จงติ้รูวิจสอบ่ด�วิ�า ข�อควิาม (ก) ก*บ่ข�อควิาม (ข) ในแติ้�ละข�อสมม�ลก*นหรู(อไม�

1) ก. “ถึ�านายู่แดงขยู่*นเรู#ยู่น แล�วินายู่แดงจะสอบ่ได�”ข. “นายู่แดงไม�ขยู่*นเรู#ยู่น หรู(อนายู่แดงจะสอบ่ผิ�าน”

2) ก. “ถึ�านายู่ด4าออกก4าล*งกายู่ แล�วิด4าจะแข5งแรูง”

ข. “ถึ�าด4าไม�แข5งแรูง แล�วิด4าไม�ออกก4าล*งกายู่”

3) ก. “แดงจะสอบ่ได�ก5ติ้�อเม(�อแดงขยู่*น”

ข. “ถึ�าแดงสอบ่ได�แล�วิแดงขยู่*น และถึ�าแดงขยู่*นแล�วิแดงสอบ่ได�”

4) ก. ก4าหนด a และ b เป3นจ4านวินจรู�ง ถึ�า “ ab = 0 แล�วิ a = 0

หรู(อ b = 0”


27


ข. ก4าหนด a และ b เป3นจ4านวินจรู�ง ถึ�า “ a 0 และ b 0 แล�วิ ab 0”

5) ก. “ถึ�าฝึนติ้กหน*กและน4�าที่�วิมกรู�งเที่พฯ แล�วิการูจรูาจรูจะติ้�ดข*ด”

ข. “ฝึนติ้กเล5กน�อยู่และน4�า ไม�ที่�วิมกรู�งเที่พฯ หรู(อการูจรูาจรูจะติ้�ดข*ด”

ป็ระพจน�ท� เป็*นสั�จน!ร�นดร� (ทอโทโลัย�)ปรูะพจน�ที่#�เป3นส*จน�รู*นดรู� ก5ติ้�อเม(�อ ปรูะพจน�น*�น ม#ค�าควิามจรู�งเป3นจรู�งที่�กกรูณิ#วิ�ธ์#ติ้รูวิจสอบ่วิ�าปรูะพจน�ใดเป3นส*จน�รู*นดรู� ม# 2 วิ�ธ์#ค(อ 1. การูติ้รูวิจสอบ่โดยู่ใช�ติ้ารูางค�าควิามจรู�ง วิ�ธ์#น#�ค(อสรู�างติ้ารูางค�าควิามจรู�งติ้*วิอยู่�าง จงติ้รูวิจสอบ่วิ�า [~P(PQ)]Q เป3นส*จน�รู*นดรู�หรู(อไม�วิ�ธ์#ที่4า

P Q ~P

PQ

~P(PQ)

~P(PQ)Q

2. การูติ้รูวิจสอบ่โดยู่หาข�อข*ดแยู่�ง ติ้*วิอยู่�าง จงติ้รูวิจสอบ่วิ�า เป3นส*จน�รู*นดรู�หรู(อไม�


28


วิ�ธ์#ที่4า

ฝึAกที่4า 1. จงติ้รูวิจสอบ่วิ�า เป3นส*จน�รู*นดรู�หรู(อไม�

2. จงติ้รูวิจสอบ่วิ�า (~PQ)(P~Q) เป3นส*จน�รู*นดรู�หรู(อไม�

3. จงติ้รูวิจสอบ่วิ�า เป3นส*จน�รู*นดรู�หรู(อไม�

น!เสัธ์ข้องร5ป็แบบข้องป็ระพจน� A เป3นน�เสธ์ของ B ก5ติ้�อเม(�อ A สมม�ลก*บ่ ~B

ติ้*วิอยู่�าง จงหาน�เสธ์ของข�อควิาม ถึ�าอากาศรู�อน สมศรู#จะวิ�ายู่น4�า“ ”

วิ�ธ์#ที่4า


29


น�เสธ์ของปรูะพจน�ที่#�ม#ติ้*วิบ่�งปรู�มาณิ ม# 6 รู�ปแบ่บ่1. สมม�ลก*บ่ 2. สมม�ลก*บ่ 3. สมม�ลก*บ่ 4. สมม�ลก*บ่ 5. สมม�ลก*บ่ 6. สมม�ลก*บ่ ฝึAกที่4า จงหาน�เสธ์ของปรูะพจน�ติ้�อไปน#�1.

2.

3.

4.


30


ต�วบ&งป็ร!มาณ์แลัะป็ระโยคเป็9ด ติ้*วิบ่�งม#อยู่�� 2 ชน�ดค(อ1. ติ้*วิบ่�งปรู�มาณิที่*�งหมด ได�แก� ค4าวิ�า ที่�กติ้*วิ ใด ๆ แติ้�ละติ้*วิ เข#ยู่น“ ” “ ” “ ”

แที่นด�วิยู่ ส*ญล*กษณิ� 2. ติ้*วิบ่�งปรู�มาณิม#อยู่�างน�อยู่หน��ง ได�แก�ค4าวิ�า บ่างติ้*วิ ม#อยู่�างน�อยู่ “ ” “ ”

เข#ยู่นแที่นด�วิยู่ส*ญล*กษณิ� ค�าควิามจรู�งของปรูะพจน�ที่#�ม#ติ้*วิบ่�งปรู�มาณิ

1. เป3นจรู�ง ก5ติ้�อเม(�อแที่นค�า x ด�วิยู่สมาช�ก a ที่�กติ้*วิในเอกภพส*มพ*ที่ธ์� U แล�วิ P(a) เป3นจรู�ง2. เป3นเที่5จ ก5ติ้�อเม(�อ แที่นค�า x ด�วิยู่สมาช�ก a

อยู่�างน�อยู่หน��งติ้*วิของเอกภพส*มพ*ที่ธ์� U แล�วิ P(a) เป3นเที่5จ3. เป3นจรู�ง ก5ติ้�อเม(�อ แที่นค�า x ด�วิยู่สมาช�ก a อยู่�างน�อยู่ 1 ติ้*วิของเอกภพส*มพ*ที่ธ์� U แล�วิ P(a) เป3นจรู�ง4. เป3นเที่5จ ก5ติ้�อเม(�อแที่นค�า x ด�วิยู่สมาช�ก a ที่�กติ้*วิในเอกภพส*มพ*ที่ธ์� U แล�วิ P(a) เป3นเที่5จฝึ7กท(า ถึ�าเอกภพส*มพ*ที่ธ์�ค(อเซติ้ของจ4านวินจรู�งแล�วิ จงหาค�าควิามจรู�งของปรูะพจน�ติ้�อไปน#�1.


31


2.

3.

4.

การูอ�างเหติ้�ผิล ถึ�าม#ข�อควิาม P1,P2,P3,...,Pn แล�วิ สมมารูถึสรู�ปข�อควิามได� Q

เหติ้� ผิล การูติ้รูวิจสอบ่การูอ�างเหติ้�ผิลม#ด*งน#�1. ถึ�ารู�ปแบ่บ่ของปรูะพจน� เป3นส*จน�รู*นดรู�ถึ(อวิ�า สมเหติ้�สมผิล2. ถึ�ารู�ปแบ่บ่ของปรูะพจน� ไม�เป3นส*จน�รู*นดรู�ถึ(อวิ�า ไม�สมเหติ้�สมผิลติ้*วิอยู่�าง จงติ้รูวิจสอบ่ด�วิ�า การูอ�างเหติ้�ผิลติ้�อไปน#� สมเหติ้�สมผิลหรู(อไม�เหติ้� 1. ถึ�า 5 + 3 = 8 แล�วิ 8 เป3นจ4านวินค��


32


2. 5 + 3 = 8ผิล 8 เป3นจ4านวินค��วิ�ธ์#ที่4า

ฝึAกที่4า จงติ้รูวิจสอบ่วิ�าการูอ�างเหติ้�ผิลน#�สมเหติ้�สมผิลหรู(อไม� เหติ้� 1. อ�วินอยู่��รู�อยู่เอ5ดหรู(อกรู�งเที่พ ฯ 2. อ�วินไม�ชอบ่อยู่��กรู�งเที่พ ฯผิล อ�วินชอบ่อยู่��รู�อยู่เอ5ด

เหติ้� 1. ถึ�าโสภาเรู#ยู่นหมอ แล�วิโสภณิจะเรู#ยู่นวิ�ศวิะ2. โสภ#ไม�เรู#ยู่นบ่*ญช#3. ถึ�าโสภาไม�เรู#ยู่นหมอ แล�วิโสภ�ณิไม�เรู#ยู่นเศรูษฐศาสติ้รู�


33


4. โสภ�ณิเรู#ยู่นเศรูษฐศาสติ้รู� หรู(อโสภ#เรู#ยู่นบ่*ญช#ผิล p

1. โสภาเรู#ยู่นหมอ 2. โสภณิเรู#ยู่นวิ�ศวิะ3. โสภ#เรู#ยู่นบ่*ญช# 4. โสภ�ณิเรู#ยู่น

เศรูษฐศาสติ้รู�

เหติ้�1. p → q2. r → p3. s → r4. ~ q

ผิล ~ s


34


รูะบ่บ่จ4านวินจรู�ง จ4านวินจรู�งสามารูถึแยู่กออกได�เป3น 2 ล*กษณิะ ค(อ จ4านวินติ้รูรูกยู่ะ และ จ4านวินอติ้รูรูกยู่ะซ��งสามารูถึจ4าแนกเป3นแผินภาพด*งน#�

จ(านวนจร!ง

จ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ จ4านวินติ้รูรูกยู่ะ เศษส�วิน จ4านวินเติ้5ม

จ(านวนเต-มบวก จ(านวนเต-มศ5นย� จ(านวนเต-มลับ

การเท&าก�นในระบบจ(านวนจร!งสมบ่*ติ้�ของการูเที่�าก*นในรูะบ่บ่จ4านวินจรู�ง ม#ด*งน#�1. สมบ่*ติ้�การูสะที่�อน 2. สมบ่*ติ้�สมมาติ้รู ถึ�า แล�วิ 3. สมบ่*ติ้�การูถึ�ายู่ที่อด ถึ�า และ แล�วิ 4. สมบ่*ติ้�การูบ่วิกด�วิยู่จ4านวินที่#�เที่�าก*น

ถึ�า แล�วิ


35


5. สมบ่*ติ้�การูค�ณิด�วิยู่จ4านวินที่#�เที่�าก*นถึ�า และ แล�วิ

จากสมบ่*ติ้�ที่#�เที่�าก*นน#�สามารูถึน4าไปแก�สมการูพห�นามได� สมการูพห�นามติ้*วิแปรูเด#ยู่วิที่#�เคยู่เรู#ยู่นมาแล�วิ ค(อ

1. สมการูพห�นามด#กรู#หน��ง เช�น 2. สมการูพห�นามด#กรู#สอง เช�น ก5ค(อรู�ปของสมการูก4าล*งสอง

ซ��งเรูาจะแก�สมการูโดยู่การูแยู่กติ้*วิปรูะกอบ่ หรู(อใช�ส�ติ้รู

เม(�อสมการูที่*�วิไปค(อ

ติ้�อไปจะพ�จารูณิาถึ�งสมการูพห�นามที่#�ม#ด#กรู#ส�งกวิ�าสองซ��งโดยู่ที่*�วิไปถึ�าสามารูถึแยู่กติ้*วิปรูะกอบ่ด�วิยู่วิ�ธ์#ธ์รูรูมดาได� เช�น

ต�วอย&างท� 1 จงหาเซติ้ค4าติ้อบ่ของ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 2 จงหาเซติ้ค4าติ้อบ่ของ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………… แติ้�จะม#บ่างกรูณิ# เช�น ไม�สามารูถึจะใช�วิ�ธ์#การูแยู่กติ้*วิปรูะกอบ่ติ้ามปกติ้�ได� จ�งจ4าเป3นติ้�องใช� ที่ฤษฏ#เศษเหล(อเข�ามาช�วิยู่ ซ��งปรูะกอบ่ด�วิยู่


36


1. ทฤษฏี�บทเศษเหลั#อ กล�าวิวิ�า ถ้�าหารพห/นาม “ ด�วย เม# อ เป็*นจ(านวนจร!งแลั�วเศษจากการหารจะเท&าก�บ ”

2. ทฤษฏี�ต�วป็ระกอบ (factor theorem) ก4าหนดพห�นาม และ เป3นจ4านวินจรู�งใด ๆ แล�วิ

2.1ถึ�า เป3นติ้*วิปรูะกอบ่ของ แล�วิ 2.2ถึ�า แล�วิ จะเป3นติ้*วิปรูะกอบ่ของ

ต�วอย&างท� 3 จากพห�นาม จงหาเศษจากการูหารู ด�วิยู่ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 4 ถึ�า x – 2 หารู แล�วิเหล(อเศษ 3 จงหา a จงแยู่กติ้*วิปรูะกอบ่ของ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


37

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4……………………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 5 ก4าหนด ถึ�า x – 1 หารู p(x) แล�วิเหล(อเศษ –3 แติ้� x – 2 หารู p(x) ลงติ้*วิแล�วิ จงหาค�า a และ b ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….ต�วอย&างท� 6 จงแก�สมการูของ = 0……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การไม&เท&าก�นในระบบจ(านวนจร!ง สมบ่*ติ้�ของการูไม�เที่�าก*นในรูะบ่บ่จ4านวินจรู�ง ม#ด*งน#�

1. ถึ�า เป3นจ4านวินจรู�งใด ๆ จะกล�าวิได�วิ�า จะเป3นจรู�งเพ#ยู่งอยู่�างใดอยู่�างหน��ง ค(อ

1.1 เรู#ยู่กวิ�า เป3นจ4านวินจรู�งศ�นยู่�1.2 เรู#ยู่กวิ�า เป3นจ4านวินจรู�งบ่วิก 1.3 เรู#ยู่กวิ�า เป3นจ4านวินจรู�งลบ่


38


2. ถึ�า เป3นจ4านวินจรู�งใด ๆ จะได�วิ�า 2.1 ก5ติ้�อเม(�อ 2.2 ก5ติ้�อเม(�อ 2.3 ก5ติ้�อเม(�อ

3. สมบ่*ติ้�การูบ่วิกและการูค�ณิด�วิยู่จ4านวินที่#�ไม�เที่�าก*นด*งน#�3.1ถึ�า และ แล�วิ หรู(อ 3.2ถึ�า และ แล�วิ

ถึ�า ถึ�า

4. ช�วิง(Interval) เป3นช(�อที่#�เรู#ยู่กส*บ่เซติ้ของ ติ้ามเง(�อนไขเฉพาะค(อ4.1 ช�วิงเป:ด(Open interval) 4.2 ช�วิงป:ด (Closed interval) 4.3 ช�วิงครู��งเป:ด (half – open interval)

1.2.

4.4 ช�วิงอน*นติ้� (infinite interval)1.2.3.4.

เน(�องจากช�วิงก5ค(อ เซติ้ ด*งน*�นจ�งสามารูถึน4าช�วิงไป operation ได�เช�นเด#ยู่วิก*บ่เซติ้โดยู่ที่*�วิไป

5. น4าสมบ่*ติ้�จากข�อ 1 – 4 ของการูไม�เที่�าก*นไปแก�อสมการูได�ด*งน#�


39


อสัมการด�กร�หน4 งต�วอย&างท� 8 จงหาเซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 9 จงหาเซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แก�อสัมการก(าลั�งสัอง เน(�องจากกรูาฟิที่#�เก�ดจากพห�นามที่#�ม#ด#กรู#ติ้* �งแติ้� 2 เป3นติ้�นไปจะม#ล*กษณิะเป3นเส�นโค�ง ม#ล*กษณิะของกรูาฟิบ่างช�วิงอยู่��เหน(อแกน และบ่างช�วิงอยู่��ติ้4�ากวิ�าแกน ด*งน*�นการูแก�อสมการูพห�นามที่#�ม#ด#กรู#ติ้* �งแติ้� 2 เป3นติ้�นไปก5ค(อ การูหาช�วิงของค�า ที่#�ที่4าให�พห�นามมากกวิ�าศ�นยู่�หรู(อน�อยู่กวิ�าศ�นยู่�น*�นเอง ด*งน*�นการูหาค4าติ้อบ่ของอสมการู จ�งพ�จารูณิาบ่นเส�นจ4านวินซ��งเป3นติ้*วิแที่นของแกน ต�วอย&างท� 10 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู


40

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 11 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 12 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………….


41

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 13 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 14 จงหาเซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ต�วอย&างท� 15 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………


42

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4……………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แก�อสัมการด�กร�สั5งกว&าสัองใช�หล*กการูแก�อสมการูหล*กเกณิฑ์�เด#ยู่วิก*นบ่นเส�นจ4านวิน

ต�วอย&างท� 16 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..ต�วอย&างท� 17 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


43


ต�วอย&างท� 18 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......................................................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 19 จงหาเซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 20 จงหาเซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


44

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4……………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การแก�สัมการแลัะอสัมการข้องค&าสั�มบ5รณ์�

การแก�สัมการข้องค&าสั�มบ5รณ์�1. พ�จารูณิาจากสมบ่*ติ้�ค(อ แสดงวิ�า หรู(อ เช�น แสดงวิ�า หรู(อ แสดงวิ�า หรู(อ หรู(อ 2. โดยู่การูยู่กก4าล*งสองที่*�งสองข�าง ด�วิยู่วิ�ธ์#น#�ติ้�องม#การูติ้รูวิจค4าติ้อบ่ที่�ก

ครู*�ง เช�นต�วอย&างท� 21 จงหาค4าติ้อบ่ของสมการู ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3. ใชิ�สัมบ�ต!ข้องค&าสั�มบ5รณ์� ต�วอย&างท� 22 จงหาค4าติ้อบ่ของสมการู


45

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 23 จงแก�สมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………

การแก�อสัมการข้องค&าสั�มบ5รณ์�1. ใชิ�สัมบ�ต! เม(�อก4าหนด และ แล�วิ แล�วิ หรู(อ ต�วอย&างท� 24 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………


46

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 25 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 26 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


47

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4……………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 27 จงหาค4าติ้อบ่ของอสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ต�วอย&างท� 28 จงแก�อสมการู ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………ต�วอย&างท� 29 ข�อสรู�ปใดถึ�กติ้�อง

ก. เซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ค(อ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


48

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข. เซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ค(อ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ค. เซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ค(อ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ง. เซติ้ค4าติ้อบ่ของอสมการู ค(อ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


49

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึ7กห�ดเร# องระบบจ(านวนจร!ง 1. ข�อติ้�อไปน#�ข�อม�ลใดถึ�กให�เข#ยู่นเครู(�องหมายู่ ข�อใดผิ�ดให�เข#ยู่นเครู(�องหมายู่ X ลงติ้รูงข�อน*�น

1. 0 เป3นจ4านวินเติ้5มบ่วิก หรู(อจ4านวินเติ้5มลบ่ก5ได� 2. เป3นจ4านวินเติ้5มลบ่ 3. --5 เป3นจ4านวินเติ้5มบ่วิก 4. เป3นจ4านวินเติ้5มบ่วิก 5. เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ


50


6. เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ 7. -0.59 เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ 8. 3.1444… เป3นจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ 9. 4.999… เป3นจ4านวินเติ้5ม 10.3.172… เป3นจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ 11.4.6767767776… เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ

12. เป3นจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ

13. เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ 14. เป3นจ4านวินจรู�ง เม(�อ x เป3นจ4านวินจรู�ง 15. เม(�อ x เป3นจ4านวินจรู�ง 16. เม(�อ x เป3นจ4านวินจรู�ง 17.จ4านวินที่#�เข#ยู่นได�ในรู�ป เม(�อ a,b เป3นจ4านวินเติ้5ม และ b0

ค(อจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ 18.จ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ ค(อ จ4านวินที่#�ไม�สามารูถึเข#ยู่นได�ในรู�ป เม(�อ

a, b เป3น จ4านวินเติ้5ม และ b0

19.จ4านวินที่#�เข#ยู่นได�ในรู�ปที่ศน�ยู่มซ4�า เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ 20.จ4านวินที่#�เข#ยู่นได�ในรู�ปที่ศน�ยู่มไม�ซ4�า เป3นจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ 21. เป3นจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ

22. เป3นจ4านวินจรู�ง 23.ม#จ4านวินเติ้5มบ่วิกที่#�ม#ค�าน�อยู่ที่#�ส�ด 24.ม#จ4านวินเติ้5มบ่วิกที่#�ม#ค�ามากที่#�ส�ด 25.ม#จ4านวินเติ้5มลงที่#�ม#ค�าน�อยู่ที่#�ส�ด 26.ม#จ4านวินเติ้5มลบ่ที่#�ม#ค�ามากที่#�ส�ด 27.ม#จ4านวินติ้รูรูกยู่ะที่#�ม#ค�าน�อยู่ที่#�ส�ด


51


28.ม#จ4านวินอติ้รูรูกยู่ะที่#�ม�ค�ามากที่#�ส�ด 29.ม#จ4านวินเติ้5มบ่วิกที่#�ม#ค�ามากที่#�ส�ดที่#�ม#ค�าน�อยู่กวิ�า 1000

30.ม#จ4านวินเติ้5มลบ่ที่#�ม#ค�าน�อยู่ที่#�ส�ดที่#�ม#ค�ามากกวิ�า -1000

31.ถึ�า เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ แล�วิ x เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ 32.ถึ�า เป3นจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ แล�วิ x เป3นจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ 33.ม#จ4านวินจรู�ง x ที่#� < 0

34.ถึ�า x เป3นจ4านวินจรู�ง แล�วิ x ติ้�องเป3นจ4านนติ้รูรูกยู่ะ หรู(อจ4านวินอติ้รูรูกยู่ะ

35. เป3นจ4านวินจรู�งเสมอ เม(�อ x เป3นจ4านวินจรู�ง

2. ถึ�า x – 2 หารู x3 + ax2 + 5x + a แล�วิเหล(อเศษ 3 จงหา a

3. ก4าหนด p(x) = x3 + ax2 + bx – 6 ถึ�า x – 1 หารู p(x) แล�วิเหล(อเศษ –3 แติ้� x – 2 หารู p(x) ลงติ้*วิแล�วิ จงหาค�า a และ b

4. จงแก�อสมการูติ้�อไปน#�

1. (2x + 1) (3x + 4) < 0


52


2. x2 + 5x + 6 < 0

3. (x – 1)2 (x + 2) > 0

4. 6 - x - x2 < 0

5.

6.


53


7.

8. x3 – 6x2 + 11x – 6 < 0

9.

10. l x - 10 l > 5


54


11.

12. l 2x - 1 l < l x - 3 l

13. x – 3 > l x - 5 l

14


55


เลขยู่กก4าล*งที่#�ม#เลขช#�ก4าล*งเป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ เม# อ เป็*นจ(านวนจร!งใด ๆ เม# อ m , n เป็*นจ(านวนจร!ง

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

รูากที่#� ในรูะบ่บ่จ4านวินจรู�ง และจ4านวินจรู�งในรู�ปกรูณิฑ์�บ่ที่น�ยู่าม ถ้�า เป็*นจ(านวนจร!ง เป็*นรากท� สัองข้อง ก-ต&อ

เม# อ บ่ที่น�ยู่าม ถ้�า จะม�รากท� สัองข้อง สัองราก ค#อ แลัะ

โดยท� บ่ที่น�ยู่าม ถ้�า ไม&ม�รากท� สัองข้อง ท� เป็*นจ(านวนจร!งที่ฤษฎ#บ่ที่ ถ้�า แลัะ แลั�ว

ที่ฤษฎ#บ่ที่ ถ้�า แลัะ แลั�ว


56


บ่ที่น�ยู่าม ให� เป็*นจ(านวนเต-มท� มากกว&า 1 แลัะ เป็*นจ(านวนจร!ง เป็*นรากท�

ข้อง ก-ต&อเม# อ

ต�วอย&างโจทย�เร# องเลัข้ยกก(าลั�ง

1. จงที่4าให�เป3นรู�ปอยู่�างง�ายู่ และม#เลขช#�ก4าล*งเป3นบ่วิก

1) 03 _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2)

0

3

2

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3) 0a

_____________________________________________________________________


57

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

4) 15

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5)

1

4

3

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6) 1a

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7) _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


58


8)

2

3

2

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

9) 34

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

10)

3

4

3

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

11) 222

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

12)

23

2

1

2

1


59

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

13) 3202525.0

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

14) 47 55

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

15) 53 66

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

16) 223

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


60


17)

12

2

1

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

18) 232

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

19) 143

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

20) 2

53

2

22

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


61


21)

2

6

25

3

33

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

22)

3

8

532

7

777

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. จงเข#ยู่นให�อยู่��ในรู�ปเลขยู่กก4าล*งที่#�ม#เลขช#�ก4าล*งบ่วิก

1) Raaa ;3

2

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2) 0;3

2

3

2

yและRyyy

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


62


3) 0;61

3

2

nและRnnn

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4) 0;41

2

1

bและRbbb

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5) Rbb

;

2

3

3

2

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6) 0;

2

3

5

2

xและRxx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


63


7) 0,0,;21

21 yxและRyxyx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8 ) Rnmnm

,;

6

3

2

2

1

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

9)

0,0,;

2

3

6

1

3

2

qpและRqp

q

p

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

10) Rxxx ;56

3

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


64


11) 0;

4

84

aและRa

aa

a

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3. จงหาค�าของ

1) 3

1

8 _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2) 32

27

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3)

2

1

4

1

_____________________________________________________________________


65


4) 21

100

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5) 11.0

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6) 31

343

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4. จงที่4าให�เป3นผิลส4าเรู5จ โดยู่ให�เลขช#�ก4าล*งเป3นบ่วิก(ก4าหนดติ้*วิอ*กษรูที่�กติ้*วิแที่นจ4านวินจรู�งที่#�ไม�เที่�าก*บ่ศ�นยู่�)

1)

3

28

4

1

m

_____________________________________________________________________


66

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

2)

2

3

13

2

1

aa

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3) 6 52

13 5 bb

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4)

2

1

2

32

1

2

3

m

n

n

m

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5)

3

2

3

3

8

27

b

a


67

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6) 4 3 1aa

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7) aaa a xx 1

1

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8)

5

23

13

43

2

ba

ba

ba

ba

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

9) 11

33

yx

yx

_____________________________________________________________________


68


_____________________________________________________________________

10) 11

1

1

1

2

4

2

2

nn

n

nn

n

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

11) 1

2

1

3

5

6

15

2

n

n

n

n

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5. จงที่4าเป3นผิลส4าเรู5จ

1) 1

233

33 2

x

xx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


69


2) 13

1273

m

m

x

x

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3) 1

1

22

2423

nn

nn

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4) 2

14

24

22

n

nn

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5) 1

2

33

3935

nn

nn

_____________________________________________________________________


70

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

6. จงหาค�า จากสมการู

1) 062

1

xx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2) 28 4 14 xx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3) 0416 3

2

3

4

xx


71

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4) 16

25

5

4

x

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5) 322 12 xx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


72

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

6) 824 122 xx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7) 81

16

2

3

27

8

xx

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8) 1265572 32 xx

_____________________________________________________________________


73


_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


1) 32188

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2) 288175634

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3) 333 43212854

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


74


4) 3

1

3

11

27

17147

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5) babbaaba 3333 50818

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


1) 772333

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2) 2332

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3) 243275


75

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4 _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4) 43 24

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5) 359

184

73

152

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

9. จงที่4าจ4านวินติ้�อไปน#�ให�เป3นจ4านวินติ้รูรูกยู่ะ

1) 3

3

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


76


3) 3

9

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4) 25

1

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5) 23

23

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6) 56

56

_____________________________________________________________________


77

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

7) 13

13

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8) 523

1

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


1) 25

1

25

1


78

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2) 25

25

25

25

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


79


3)

32

32

13

134

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4) 718

723

22

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


80


แบ่บ่ฝึAกห*ด

1. จงท(า เป็*นร5ป็อย&างง&าย

ตอบ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. จงหาค&าข้อง

ตอบ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


81

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________.

3. ก(าหนด จงหาค&า ตอบ 30 . _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

4. จงท(าสั&วนให�เป็*นจ(านวนตรรกยะ


82


1. 2. 3. 4.

ตอบ 1. 2. 3. 4.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5. จงหาค&าข้อง

ตอบ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


83


6. จงหาค&า

ตอบ 1 _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7. จงหาค&า ตอบ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


84


_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8. จงหาค&า

ตอบ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


85


การูแก�สมการูจ4านวินที่#�อยู่��ภายู่ใติ้�กรูณิฑ์�

ม�ว!ธ์�การท(าด�งน�.

1. ยกก(าลั�งสัองท�.งสัองข้�าง 2. จ�ดพจน�ใหม& 3. ยกก(าลั�งสัองอ�กคร�.ง 4. ย�ายข้�างหาค&า

9. จงแก�สัมการ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

10. จงแก�สัมการ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


86

ครู�เติ้��ล คณิ�ติ้ ม.4_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

10. จงแก�สัมการ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


87



88

Documents

คณิต ม.4 (ครูเติ้ล)