Алгебра 42 9 16 25 5 - EKSTERNO TESTIRANJE ODGOVORI · 1 Алгебра 1. Вредноста на коренот 32 42 е: 32 42 9 16 25 5 2. Производот на корените

1

Алгебра

1. Вредноста на коренот 2 23 4 е: 2 23 4 9 16 25 5

2. Производот на корените 5 103 7a a a за 0a е еднаквов со:

5 10 2 5 5 2 10 10 10 10 10 10 10 53 7 5 3 2 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7 18 4a a a a a a a a a a a a a a a a

3. Збирот од корените 12 243 4 0,5 16 изнесува:

12 242 4 6 6 612 243 4 0,5 16 3 2 0,5 2 3 2 0,5 2 2,5 2

4. Изразот 3 3x се запишува со: 133 3 3( )x x x

5. Изразот 2x се запишува со: 122 2( ) | |x x x

6. Со кој израз треба да се помножи броителот и именителот на дропката 1

2 2x x за да се

рационализира дропката? 2 2x x


4 8x x

за да се рационализира дропката? 4 8x x


6 18x x



2 2x x



4 8x x


11. Решение на равенката 1 2 1x x е: Равенката нема решение, бидејќи левата страна е

ненегативна како збир на два ненегативни броја, а десната страна е негативна, R

12. Бројниот израз 2 2 2 има иста вредност со бројниот израз:

84 42 3 4 3 72 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

13. Нормален вид на коренот 6 12 98a b е: 6 612 9 3 3 4 3 3 4 3 28 2 2 2a b a b a b a b b

2

14. Изразот 31

aa

се трансформира во изразот: 3

3 2331 a

a aa a

15. Коренот 3 3 32 2 33 3 3 е еднаков со:

3 3 3 33 3 3 3 32 2 3 2 2 2 3 2 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

16. Коренот 32

,8

a

a за 0a трансформиран во нормален вид е:

32 2 2 2

8 2 2 2 22 2

a a a a a a

a a


6 18x x за да се

рационализира дропката? 6 18x x


2x ax a за да се

рационализира дропката? 2x ax a


2x ax a

за да се рационализира дропката? 2x ax a

20. Изразот 3 2 2 се трансформира во:

2 23 3 8 3 3 83 2 2 3 8 2 1

2 2

21. Изразот 2a b ab се трансформира во:

2 2

2 2

( ) ( ) 4 ( ) ( ) 42 4

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) | |

2 2 2 2

,

,

a b a b ab a b a b aba b ab a b ab

a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a ba b

b a a b


2 27 7 48 7 7 487 4 3 7 48 2 3

2 2

23. Бројиот израз 8 18 32 50 може да се трансформира во бројниот израз:

3

8 18 32 50 2 2 3 2 4 2 5 2 4 2

24. По трансформацијата на коренот 11 40 се добива:

2 211 11 40 11 11 4011 40 10 1

2 2

25. Производот од корените 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3

изнесува:

2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3

2 3 2 2 3 4 (2 2 3 ) 2 3 2 2 3 2 2 3

2 3 4 (2 3) 2 3 2 3 4 3 1

26. Вредноста на изразот 2 3

3 7 7 2

e

2 3 2 3 7 3 7 2 6 2 7 3 7 63 7 7 2 5

9 7 7 43 7 7 2 3 7 3 7 7 2 7 2

27. Дадени се броевите 4 10 2 5x и 4 10 2 5y . Производот xy е:

2 2

4 10 2 5 4 10 2 5 16 (10 2 5) 6 2 5 6 20

6 6 20 6 6 205 1

2 2

xy

28. Изразот x y x y x y

x y x y xy

може да се трансформира во:

2 2( ) ( ) 44

( ) ( )

x y x y x y x y xyx y x y x y

x yx y x y xy x y x y xy xy

29. Бројниот израз 2 2 1

3 2

може да се трансформира во бројниот израз:

2 2 1 2 2 1 3 2 6 2 4 3 22 1

9 23 2 3 2 3 2

30. Изразот 3 2 2 може да се трансформира во изразот:

2 23 3 8 3 3 83 2 2 3 8 2 1

2 2

4

31. Изразот 3 2 2 3

3 2 2 3

со рационализација се трансформира во:

3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 9 2 12 6 4 3 30 12 65 2 6

9 2 4 3 63 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3

32. Изразот 84

1

( 1)( 1)( 1)

x

x x x

се трансформира во изразот:

84

8 8 84 4 4

848

8 84 4

1 1 ( 1)( 1)( 1)

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)

( 1)( 1)( 1)( 1)1

( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)

x x x x x

x x x x x x x x x

x x x xx

x x x x x x

33. Изразот 8 84 4( )( )( )

x a

x a x a x a

се трансформира во изразот:

8 84 4

8 8 8 8 8 84 4 4 4 4 4

8 84 48 8

8 8 8 84 4 4 4

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

x a x a x a x a x a

x a x a x a x a x a x a x a x a x a

x a x a x a x ax a

x a x a x a x a x a x a

34. Збирот на изразите 8 8x m и 8 84 4( )( )( )

x m

x m x m x m

e:

8 8

8 84 4

8 84 48 8

8 8 8 84 4 4 4

8 84 48 8 8 8 8 8 8

8 8 8 84 4 4 4

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )( )2

( )( )( )( )( )( )

x mx m

x m x m x m

x m x m x m x mx m

x m x m x m x m x m x m

x m x m x m x mx m x m x m x

x m x m x m x m x m x m

35. Збирот на изразите 8 1x и 84

1

( 1)( 1)( 1)

x

x x x

е:

8

84

848

8 84 4

848 8 8 8

8 84 4

11

( 1)( 1)( 1)

1 ( 1)( 1)( 1)1

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)

( 1)( 1)( 1)( 1)1 1 1 2

( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)

xx

x x x

x x x xx

x x x x x x

x x x xx x x x

x x x x x x

36. Збирот на 88 2x и 84 84

2

( 2)( 2)( 2)

x

x x x

изразите e:

5

88

84 84

84 8488

8 84 48 84 4

84 848 8 88 8 8 8

8 84 4 8 84 4

22

( 2)( 2)( 2)

2 ( 2)( 2)( 2)2

( 2)( 2)( 2) ( 2)( 2)( 2)

( 2)( 2)( 2)( 2)2 2 2 2

( 2)( 2)( 2)( 2)( 2)( 2)

xx

x x x

x x x xx

x x x x x x

x x x xx x x x

x x x x x x


2 28 8 60 8 8 608 2 15 8 60 5 3

2 2

38. Изразот 3 3 34 3 9 3 3 се трансформира во:

33 33 3 3 3 3 334 3 9 3 3 3 3 9 3 3 1 ( 3 1) 3 1

39. Изразот 3 33 3( 4 2 1) се трансформира во:

3 3 33 3 3 3 3 3 3 33 33( 4 2 1) 3 4 3 2 3 2 3 4 3 2 1 ( 2 1) 2 1

40. Изразот 2 2 1

3 2 2

се трансформира во:

2 2 1 2 2 1 3 2 2 6 2 8 3 2 24 2 5

9 83 2 2 3 2 2 3 2 2

41. Ако (mod ),a b m ,m N ,a b Z тогаш: | ( ),m a b a b k m , a b km , а и b имаат исти

остаток при делење со m. 42. Ако (mod )a b m тогаш постои k Z така што: a b k m , a b km

43. Можеме да запишеме 5 5(mod )m , бидејќи релацијата конгруентност е: рефлексивна

44. Ако5 13(mod 4) и 13 31(mod 4), тогаш 5 21(mod 4), , бидејќи релацијата конгруентност е:

транзитивна 45. Збирот на броевите 3 и 4 по модул 5 изнесува: 3 4 7 7 2(mod 5) 3 4 2

46. Производот на броевите 3 и 4 по модул 5 е: 3 4 12 12 2(mod 5) 3 4 2

47. За секој реален број x постои единствен цел број n што се означува со [ ]x и се нарекува цел дел

од x и важи: n x n 48. Ако (mod ),a b m ,m N ,a b Z тогаш: | ( ( )) ( ),m a b a b a b k m , a b km , а и

-b имаат исти остаток при делење со m. 49. За ,x R бројот [ ]x x се означува со { }x и се нарекува: дробен дел од x.

50. При делењето на a Z со m N бројот на остатоците е: m, (0,1,2,...., 1)m

6

51. Бројниот израз 7 7 71 2 7 е делив со: 2, 4, 7, (и со сите нивни производи 8, 14, 28, 56)

Делив со 2, 4 7 71 7 0(mod 4) , 7 72 6 0(mod 4) , 7 73 5 0(mod 4) , 74 0(mod 4) , повлекува 7 7 71 2 7 0(mod 4) , повлекува 7 7 71 2 7 е делив со 4.

Делив со 7 7 71 6 0(mod 7) , 7 72 5 0(mod 7) , 7 73 4 0(mod 7) , 77 0(mod 7) , повлекува 7 7 71 2 7 0(mod 7) , повлекува 7 7 71 2 7 е делив со 7.

52. Бројниот израз 2013 2013 20131 2 2013 е делив со бројот: 19, 53, 3, 11, 61 (и со сите нивни производи)

Делив со 19, 53 2013 20131 2013 0(mod19) , 2013 20132 2012 0(mod19) , 2013 20133 2011 0(mod19) , ......,

20131007 0(mod19) , повлекува 2013 2013 20131 2 2013 0(mod19) , повлекува 2013 2013 20131 2 2013 е делив со 19.

Делив со 3, 11, 61 2013 20131 2012 0(mod 3) , 2013 20132 2011 0(mod3) , 2013 20133 2010 0(mod 3) , ......,

20132013 0(mod 3) , повлекува 2013 2013 20131 2 2013 0(mod 3) , повлекува 2013 2013 20131 2 2013 е делив со 3.

53. Бројниот израз 55 2222 55 при делењето со 7 има остаток: 0

22 1(mod 7) , 55 5522 1 (mod 7) , ....(1), 55 1(mod 7) , 22 2255 ( 1) (mod 7) , .....(2)

Со одземање на (1) и (2) добиваме 55 22 55 2222 55 1 ( 1) 0(mod 7)


22 1(mod 7) , 55 5522 1 (mod 7) , ....(1), 55 1(mod 7) , 22 2255 ( 1) (mod 7) , .....(2)

Со собирање на (1) и (2) добиваме 55 22 55 2222 55 1 ( 1) 2(mod 7)


33 1(mod8) , 55 5533 1 (mod8) , ....(1), 55 1(mod8) , 33 3355 ( 1) (mod8) , .....(2)

Со собирање на (1) и (2) добиваме 55 33 55 3333 55 1 ( 1) 0(mod8)


33 1(mod8) , 55 5533 1 (mod8) , ....(1), 55 1(mod8) , 33 3355 ( 1) (mod8) , .....(2)

Со одземање на (1) и (2) добиваме 55 33 55 3333 55 1 ( 1) 2(mod8)

57. Изразот 2n n при делењето со 2 има остаток: 0

Имаме 2 ( 1)n n n n

Ако 1 0(mod 2)n , тогаш 2 | ( 1)n , односно 22 | ( )n n

Ако 1 1(mod 2)n , тогаш 2(mod 2)n , односно 2 | n , односно 22 | ( )n n

58. Изразот 3n n при делењето со 3 има остаток: 0,

7

Имаме 3 2( 1) ( 1) ( 1)n n n n n n n

Ако 1 0(mod3)n , тогаш 3 | ( 1)n , односно 33 | ( )n n

Ако 1 1(mod 3)n , тогаш 1 3(mod3)n , односно 3 | ( 1)n , односно 33 | ( )n n



Имаме 3 2( 1) ( 1) ( 1)n n n n n n n

Делив со 2



Делив со 3





Имаме 5 4 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n n n n n

Делив со 2



Делив со 3




61. Бројот 22011 завршува на цифрата: 8

12 2(mod10) 22 4(mod10), 32 8(mod10), 42 6(mod10), 5 4 12 2 2(mod10), 6 4 22 2 4(mod10), 7 4 32 2 8(mod10), 4 42 6(mod10),

......................................................................................................... 2011 4 502 3 32 2 6 2 (mod10) 48(mod10) 8(mod10)


12 2(mod10) 22 4(mod10), 32 8(mod10), 42 6(mod10), 5 4 12 2 2(mod10), 6 4 22 2 4(mod10), 7 4 32 2 8(mod10), 4 42 6(mod10),

......................................................................................................... 2014 4 503 2 22 2 6 2 (mod10) 24(mod10) 4(mod10)

63. На кои две цифри завршува бројот 235052014? 25

23505 5(mod100) , 223505 25(mod100) , 323505 125(mod100) 25(mod100) , 423505 125(mod100) 25(mod100) , 523505 125(mod100) 25(mod100) 2014 4 4 5 5 14 14 3 523505 25505 25 25 (mod100) 25 (mod100) 25(mod100)


8

13 3(mod10) 23 9(mod10), 33 7(mod10), 43 1(mod10),

......................................................................................................... 2011 4 502 3 33 3 1 3 (mod10) 7(mod10)

65. Ојлеровата функција (63) има вредност: 24

(63) (9) (7) (3) (3) (7) 2 2 6 24

66. Ојлеровата функција (60) има вредност: 8

(60) (2 2 3 5) (2) (2) (3) (5) 1 1 2 4 8

67. Бројниот израз 2013 2013 20131 2 2013 е делив со: 19, 53, 3, 11, 61 (и со сите нивни производи)





68. Изразот 2013 2013 20131 2 2013 е делив сo двоцифрениот број: 19, 53, 11, 61





69. Бројниот израз 2013 2013 20131 2 2013 е делив со простиот број: 19, 53, 3, 11, 61



Делив со 3, 11, 61 2013 20131 2012 0(mod11) , 2013 20132 2011 0(mod11) , 2013 20133 2010 0(mod11) , ......,


70. Бројниот израз 1001 1001 10011 2 1001 е делив со простиот број: 3, 167, 7, 11, 13

Делив со 3, 167

9

1001 10011 1001 0(mod 3) , 1001 10012 1000 0(mod 3) , 1001 10013 999 0(mod 3) , ......, 1001501 0(mod 3) , повлекува 1001 1001 10011 2 1001 0(mod 3) , повлекува

1001 1001 10011 2 1001 е делив со 3.

Делив со 7, 11, 13 1001 10011 1000 0(mod 7) , 1001 10012 999 0(mod 7) , 1001 10013 998 0(mod 7) , ......,


71. Бројниот израз 1001 1001 10011 2 1001 е делив со двоцифрениот број: 11, 13

1001 10011 1000 0(mod11) , 1001 10012 999 0(mod11) , 1001 10013 998 0(mod11) , ......, 10011001 0(mod11) , повлекува 1001 1001 10011 2 1001 0(mod11) , повлекува

1001 1001 10011 2 1001 е делив со 11.

72. Изразот 5n n при делењето со 30 има остаток: 0

Имаме 5 4 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n n n n n

Делив со 5

Ако 1 0(mod 5)n , тогаш 5 | ( 1)n што повлекува 55 | ( )n n

Ако 1 1(mod 5)n , тогаш 2 1 5(mod 5)n , 25 | ( 1)n што повлекува 55 | ( )n n

Ако 1 2(mod 5)n , тогаш 2 1 10(mod 5)n , 25 | ( 1)n што повлекува 55 | ( )n n

Ако 1 3(mod 5)n , тогаш 1 5(mod 5)n , 5 | ( 1)n што повлекува 55 | ( )n n

Ако 1 4(mod 5)n , тогаш 5(mod 5)n , 5 | n што повлекува 55 | ( )n n

Делив со 2



Делив со 3




73. Остатокот при делењето на 55 2222 55 со бројот 7 изнесува: 2

22 1(mod 7) , 55 5522 1 (mod 7) , ....(1), 55 1(mod 7) , 22 2255 ( 1) (mod 7) , .....(2)


74. Остатокот при делењето на бројот 11 11 11 11 111 2 3 4 11 со 11 е: 0

11 111 10 0(mod11) , 11 112 9 0(mod11) , 11 113 8 0(mod11) , 11 114 7 0(mod11) 11 115 6 0(mod11) , 1111 0(mod11) , повлекува 11 11 11 11 111 2 3 4 11 0(mod11) ,

повлекува 11 11 11 11 111 2 3 4 11 е делив со 11.

75. Бројот 777 3 завршува на цифрата: 4

(10) (2) (5) 4 , (10) 47 7 1(mod10) , 77 49 4 12 1 4 12 127 7 7 (7 ) 7 1 7 7(mod10) ,

10

777 3 7 3 4(mod10)

76. Полиномот 3 22 5 10x x x е делив со биномот 2x ако:

постои полином 2x px q таков што 3 2 22 5 10 ( 2) ( )x x x x x px q

( 2) 0f

остатокот од делењето на 3 22 5 10x x x со биномот 2x е нула

77. Остатокот при делењето на бројот 55 3333 55 со 4 е: 2

33 1(mod 4) , 55 5533 1 (mod 4) , ....(1), 55 1(mod 4) , 33 3355 ( 1) (mod 4) , .....(2)

Со одземање на (1) и (2) добиваме 55 33 55 3333 55 1 ( 1) 2(mod 4)

78. Остатокот при делењето на бројот 55 2222 55 со 7 е: 2

22 1(mod 7) , 55 5522 1 (mod 7) , ....(1), 55 1(mod 7) , 22 2255 ( 1) (mod 7) , .....(2)


79. Изразот 2013 2013 20131 2 2013 е делив со: 19, 53, 3, 11, 61 (и со сите нивни производи)





80. Бројниот израз 1001 1001 10011 2 1001 е делив со непарниот број: 3, 167, 7, 11, 13 (и со сите нивни производи)

Делив со 3, 167 1001 10011 1001 0(mod 3) , 1001 10012 1000 0(mod 3) , 1001 10013 999 0(mod 3) , ......,




81. Бројниот израз 1001 1001 10011 2 1001 е делив со двоцифрениот број од првата стотка: 11, 13

Делив со 3 1001 10011 1001 0(mod 3) , 1001 10012 1000 0(mod 3) , 1001 10013 999 0(mod 3) , ......,


Делив со 7, 11, 13

11

1001 10011 1000 0(mod 7) , 1001 10012 999 0(mod 7) , 1001 10013 998 0(mod 7) , ......, 10011001 0(mod 7) , повлекува 1001 1001 10011 2 1001 0(mod 7) , повлекува

1001 1001 10011 2 1001 е делив со 7.

82. Изразот 1001 1001 10011 2 1001 е делив со: 3, 167, 7, 11, 13 (и со сите нивни производи)





83. Бројниот израз 1001 1001 10011 2 1001 е делив со: 3, 167, 7, 11, 13 (и со сите нивни производи)





84. Ако 0(mod 6)a b c тогаш изразот 3 3 3a b c ќе биде конгруентен по (mod 6) со: 3abc

0(mod 6)a b c ( )(mod 6)a b c 3 3( ) (mod 6)a b c 3 3 2 2 3( 3 3 )(mod 6)a b b c bc c 3 3 3 3 ( )(mod 6)a b c bc b c 3 3 3 3 ( )(mod 6)a b c bc a 3 3 3 3 (mod 6)a b c abc

85. Која од следните реченици е исказ? Секоја реченица со која е искажано осмислено тврдење кое е или вистинито или невистинито, но не истовремено вистинито и невистинито се нарекува исказ. На пример, „Надвор врне“, „33 77 “ се искази, додека „Скопје е најубав град“, „Дали 5+5=10?“, „5 2,x x Z “ не се искази

86. Апсолутна вредност на реалниот број x е бројот: , ако 0

| |ако 0

x xx

x x

87. Неравенството | | ,x d 0d е еквивалентно со неравенството: d x d

88. Решение на неравенката | | 3x е: M , равенката нема решение, бидејќи апсолутна

вредност на било кој реален број е ненегативен број, и тој не може да биде помал од негативен број ( 3 ).

12

89. Решение на неравенката| | 2x е: M R , секој реален број е решение на равенката бидејќи

бидејќи апсолутна вредност на било кој реален број е ненегативен број, и тој е поголем од било кој негативен број ( 2 ).

90. Нека 1 2, , , na a a се позитивни броеви, тогаш бројот 1 2n

na a a e: геометриска средина на

броевите 1 2, , , na a a .

91. Нека 1 2, , , na a a се n позитивни броеви, тогаш бројот 1 2

1 1 1

na a a

n

е: хармониска средина на

броевите 1 2, , , na a a .

92. Во последицата 2 2

,2 2

a b a b за ,a b R равенство се добива за: a b


,2

a bab

за ,a b R равенство се добива за: a b


1 1

2,

2 a b

a b



2,

a b

ab



,2

a bab


97. Која од средините: аритметичка, геометриска, квадратна и хармониска е за два позитивни реални броеви е најголема? Квадратната средина 98. Која од средините: аритметичка, геометриска, квадратна и хармониска е за два позитивни реални броеви е најмала? Хармониската средина 99. Двојната неравенка 3 2 3x запишана како неравенка со апсолутна вредност е: | 2 | 3x

100. Решение на нервенката | 2 | 3x е: 3 2 3x , 1 5,x ( 1,5)x

101. Решение на неравенката | 3 2 | 5x е интервалот: 5 3 2 5x , 1 4,x [ 1,4]x

102. Множеството решенија на конјукцијата од исказните функции 2 | ,x | 2x со {1,2,3,4}D има:

еден елемент 2| {2,4}xM , |2 {1,2}xM , 2| |2 {2}x xM M M

103. Запиши го како неравенство со апсолутна вредност неравенството 5 1x : 3 2 3,x

| 2 | 3x

13

104. Двојната неравенка 1 1 1

2 3 2x запишана како неравенка со апсолутна вредност е:

1 1

3 2x

105. Решение на неравенката | | 1x е интервалот: 1 1,x [ 1,1]x

106. Тврдењето 2,a b

b a ,a b R логички следува од претпоставката:

2 2

2 2 2( ) 0 2 2 2a b a b

a b a b abab b a

2

0 2a b a b

b a b a

Секое друго очигледно неравенство од кое следува неравенството 2.a b

b a

107. Решение на неравенката | | 1x е интервалот: 1, за 0

1 за 0

x x

x x

( , 1] [1, )x

108. Последицата 2 2

,2 2

a b a b за ,a b R е добиена од причината:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

( ) 0 2 0 2 2 2 2

( ) ( )

2 2 4 2 2

a b a ab b a b ab a b a ab b

a b a b a b a b a ba b

2 2 2

1 2 1 2n na a a a a a

n n

за 2n и 1 2a a , 1 2,a a a b

Секое друго очигледно неравенство од кое следува неравенството 2 2

,2 2

a b a b


,2

a bab

за ,a b R е добиена од причината:

2 2 2 2

2 2 2 2 2( ) 0 2 0 22 2

a b a ba b a ab b a b ab ab ab

2 2 2

1 21 2

n nn

a a aa a a

n

за 2n и 1 2a a , 1 2,a a a b


,2

a bab


1 1

2,

2 a b

a b


14

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

0 2 0 (1)2 2

1 1 1 1 4 20 4 (2)

1 11 1

a b a ba b a ab b ab ab

ab ab aba b a b

a ba b

Од (1) и (2) следува 2 2

1 1

2

2 a b

a b

1 2

2 2 21 2

1 1 1

n

n

a a a

a a a n

n

за 2n и 1 2a a , 1 2,a a a b


1 1

2

2 a b

a b


2,

2 a b

a b


2

2 2

2

0 2 0 (1)2

1 1 1 1 4 20 4 (2)

1 11 1

a ba b a ab b ab

ab ab aba b a b

a ba b

Од (1) и (2) следува 1 1

2

2 a b

a b

1 2

1 2

1 1 1

n

n

a a a

a a a n

n

за 2n и 1 2a a , 1 2,a a a b


2,

2 a b

a b


1 1

2,

2 a b

a b



2,

a b

ab

за ,a b R е добиено од причината:

2 2

2

1 1 1 1 4 20 4

1 11 1ab ab ab

a b a ba ba b

1 2

1 2 1 1 1

n

nn

a a a

na a a

за 2n и 1 2a a , 1 2,a a a b


2,

a b

ab

114. Изразот 32 11x со примена на неравенство меѓу аритметичка и геометриска средина може да се покаже дека е поголем од: на пример, 9x

15

33 3 3 32 11 2 9 2 3 2 9 2 3 3 9 9x x x x x


33 3 3 33 111 3 99 12 3 3 9 11 12 9 11 12 9 125 45x x x x x x


33 3 3 3 34 19 4 8 11 3 4 8 11 6 44 6 27 18x x x x x x

117. Ако ,2

a bab

за ,a b R е последица, тогаш причината ќе биде:

2

2 2 2 2 2 ( )( ) 0 2 0 2 4

4 2

a b a ba b a ab b a ab b ab ab ab

1 21 2

n nn

a a aa a a

n

за 2n и 1 2a a , 1 2,a a a b

Секое друго очигледно неравенство од кое следува неравенството ,2

a bab

118. Растојанието AB е поминато со брзината 1v , растојанието BC со брзина 2v , растојанието CD

со брзина 3v , растојанието DE со брзина 4 ,v и растојанието EF со брзина 5.v Од А до Е најбрзо

се стигнува ако средната брзина се земе како: 2 2 2 2 2

1 2 3 4 55

5

v v v v vv

- квадратна средина

119. Андреј и Игор истовремено тргнале за Охрид. Игор првата половина од патот возел со брзина од 60 km/h, а втората половина со брзина од 40 km/h. Андреј, пак, првата половина од времето возел со 60 km/h, а втората половина со 40 km/h. Кој прв стигнал во Охрид? Андреј

1 22 2 2 60 2 40 48I

s s s s st

v v

,

60 4050

2 2 50A A

A A

t t ss t t

,

48 50I A

s st t

120. Во доказот 2

a ba b a b

од претпоставката a < b треба логички да следува:

22

a ba b a a a b a a b a

(1)

22

a ba b a b b b a b b b

(2)

Од (1) и (2) следува 2

a ba b

121. Во доказот a c a b c d

b d b d

запишуваме 1 1 .

a c a c a b c d

b d b d b d

Од

причинатаa c

b d заклучокот е правилно изведен според:

правилото - додавање на произволен број од двете страни на неравенството не го менува знакот на неравенството

16

својството на транзитивност за неравенство методот на еквивалентни трансформации

122. Тврдењето 1

2,aa

a R логички следува од претпоставката:

21

0aa

21 1 1

0 2 0 2a a aa aa


3 33 3 3 34 98 4 16 82 3 4 16 82 3 4 16 64 48x x x x x


33 3 3 34 111 4 64 47 3 4 64 47 12 4 47 12 125 60x x x x x x

125. Изразот 2 1

2 2

x , за секое x R со примена на неравенството меѓу квадратна и геометриска

средина може да се покаже дека е поголем од: 2

x,

2 21 1

2 2 2 2 2

x x x


3 3



x,

3 3 3

32 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3

x x x x


5 5



x,

5 5 5

54 1 1 1 1 1 1 1 1

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

x x x x


7 7



x

7 7 7

76 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

x x x x

129. Полиномот 5 3( ) 1P x x x x е од степен: петти степен

130. Множеството полиноми во однос на операцијата собирање најмногу е: комутативна група

17

131. Теорема на Безу: Остатокот при делењето на полиномот ( )P x со биномот x a е: вредноста

( )P a на полиномот ( )P x за x a

132. Ако x a b е корен на симетрична равенка, тогаш корен е и бројот: 1

a b

133. Остатокот при делењето на полиномот ( )f x со биномот x c е еднаков на вредноста: ( )f c

на полиномот ( )f x во x c

134. Најголем заеднички делител на два полиноми може да се одреди со: Евклидовиот алгоритам 135. Остатокот од делењето на полиномот ( )f x со биномот x c е еднаков на вредноста: ( )f c

на полиномот ( )f x во x c

136. Ако ,x 0 е корен на симетричната равенка n-ти степен

1 2 20 1 2 2 1 0 0,n n na x a x a x a x a x a 0 0a и k n ka a ( 0,1,2,..., )k n тогаш нејзин корен е

и:1

x

137. Производот на полиномите ( ) 1P x x и 3 2( ) 1Q x x x x е: 4 1x

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0 1

138. Производот на полиномите 2( ) ( 1)P x x и 3 2( ) 3 3 1Q x x x x е: 5 4 3 25 10 10 5 1x x x x x

1 3 3 1 1 1 3 3 1

2 2 6 6 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1

139. Количникот на полиномите 4( ) 4P x x и 2( ) 2 2Q x x x е: 2 2 2x x

4 2 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

4 : 2 2 2 2

2 2

2 2 4

2 4 4

2 4 4

2 4 4

0

x x x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

140. Количникот на полимоните 4 2( ) 9 81P x x x и 2( ) 3 9Q x x x е: 2 3 9x x

18

4 2 2 2

4 3 2

3

3 2

2

2

9 81: 3 9 3 9

3 9

3 81

3 9 27

9 27 81

9 27 81

0

x x x x x x

x x x

x

x x x

x x

x x

141. Збирот на реалните нули на полиномите 3 3 2x x и 3 8x е: 5

2 3 2 ( 1)( 2)x x x x 1 1x , 2 2x , 3 28 ( 2)( 2 4)x x x x 3 2x , 1 2 3 1 2 2 5x x x

142. Производот на полиномите 3 2( ) 3 3 1P x x x x и 2( ) ( 1)Q x x е:

3( ) ( 1)P x x , 3 2 5 5 4 3 2( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 5 10 10 5 1P x Q x x x x x x x x x

143. Производот на реалните нули на полиномите 2 4 3,x x 3 27x и 3 1x е: 9

2 4 3 ( 1)( 3)x x x x , 1 1,x 2 3,x 3 227 ( 3)( 3 9)x x x x , 3 3x 3 21 ( 1)( 1)x x x x ,

4 1x , 1 2 3 4 1 3 3 ( 1) 9x x x x

144. Полиномот 24 24 3 3( ) 4P x x x x x a е делив со 1x само ако вредностa на a е: 6a 24 48 27 21 24 24( ) 1 4x P x x x x ax x , 24 48 27 21 24 241 (1) 1 1 1 1 1 4 1P a

6 0a , 6a

ЗАБЕЛЕШКА: ПОГРАШНА ЗАДАЧА, 24 24 3 3( ) 4P x x x x x a не е полином

145. Дропката 2 2 3

1

( 1)x x во збир од дропки се запишува како:

3 31 2 1 1 2 22 2 3 2 2 2 2 2 3

1

( 1) 1 ( 1) ( 1)

B x CA A B x C B x C

x x x x x x x

146. Кој од долунаведените полиноми е делив со биномот x a : Вредноста на полиномот ( )P x за x a треба да биде ( ) 0P a (користи Хорнерова шема)

147. Кој од броевите е нула на полиномот 4 3 23 2 12 8x x x x Даден број а е нула на полином ( )P x ако ( ) 0P a (користи Хорнерова шема)

148. Остатокот при делењето на полиномот 3 2( ) 2 4 2P x x x x со биномот 2x е: 10

1 2 4 2 2 1 4 4 10

149. Полиномот 3 2( )P x x x x a е делив 1x со ако вредноста на a е: 1 0, 1a a

1 1 1 а 1 1 2 1 1a

19

150. Ако две решенија на равенка од четврти степен при 4k ka a ( 0,1, 2,3,4k ) и 0 0a се 2 и –3,

тогаш другите две решенија се: 1

2 и

1

3

151. Бројот на реални решенија на равенката 3 22 2 0x x x е: 3

1 2 1 2 1 1 3 2 0

3 2 22 2 ( 1)( 3 2) ( 1)( 2)( 1)x x x x x x x x x , 1 1,x 2 1,x 2 2,x

152. Полиномот 3 2( )P x x x x a е делив со 1,x ако вредноста на a е: 3a

1 1 1 a

1 1 2 3 3 a

153. Дропката 3 2 2

1

( 4)x x во збир од прости дропки се запишува како:

1 2 2 1 1 2 23 2 2 2 3 2 2 2

1

( 4) 4 ( 4)

A A A B x C B x C

x x x x x x x

154. Бројот на елементите на множеството решенија на равенката 3 2 4 4 0x x x изнесува: 3

(равенка од трети степен има три решенија, вклучувајќи ги и комплексните решенија)

155. Производот на полимоните 2( ) ( 1)P x x и 3 2( ) 3 3 1Q x x x x е:

3( ) ( 1)Q x x , 2 3 5 5 4 3 2( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 5 10 10 5 1P x Q x x x x x x x x x

156. Полиномот 4 2 2 2( 25 625) : ( 5 25) 5x x x x x x во нормален вид е: 25

4 2 2 2

4 3 2

3

3 2

2

2

25 625 : 5 25 5 25

5 25

5 625

5 25 125

25 125 625

25 125 625

0

x x x x x x

x x x

x

x x x

x x

x x

4 2 2 2

2 2

( 25 625) : ( 5 25) 5

( 5 25) 5 25

x x x x x x

x x x x

157. Полиномот 6( ) 1P x x трансформиран во производ е: 6 2 3 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2

1 ( ) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)[( 1) ]

( 1)( 1)[( 1 )(( 1 )] ( 1)( 1)( 1)( 1)

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

158. Полиномот 8( ) 16P x x трансформиран во производ е:

8 4 2 4 4 2 2 2 2 2

2 2 2

16 ( ) 16 ( 4)( 4) ( 2)( 2)[( 2) 4 ]

( 2)( 2)( 2)( 2 2)( 2 2)

x x x x x x x x

x x x x x x x

20

159. Збирот на реципрочните вредности на нулите на полиномот 3 2( ) 2 3P x x x x е: 1

3

2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1

3

x x x x x x

x x x x x x

160. Збирот на реципрочните вредности на нулите на полиномот 3 2( ) 4 8 2 3P x x x x е: 2

3

22 3 1 3 1 2 4

31 2 3 1 2 3 4

1 1 1 2

3

x x x x x x

x x x x x x

161. Збирот на реципрочните вредности на нулите на полиномот 2 2 3 4( )P x ax a x a x a е: 1

a

3

4

2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1aa

aa

x x x x x x

x x x x x x a

162. Полиномот 8 2 2 4 2( 16 326) : ( 4 16) 4x x x x x x во нормален вид е: 16

8 4 4 2 4 2

8 5 4

5

5 4 2

4 2

4 2

16 256 : 4 16 4 16

4 16

4 256

4 16 64

16 64 256

16 64 256

0

x x x x x x

x x x

x

x x x

x x

x x

8 2 2 4 2

4 2 4 2

( 16 256) : ( 4 16) 4

( 4 16) 4 16

x x x x x x

x x x x

163. Дропката 3 3

1

x a во збир од две дропки се запишува како:

3 3 2 2 2 2

1 1

( )( ) ( ) ( )

A Bx C

x a x a x ax a x a x ax a

164. Ако 1

3xx

и ,x R тогаш вредноста на 2

2

1x

x е: 2

2

111x

x

2

2 2

2 2

1 1 19, 2 9, 11x x x

x x x

165. Бројот на реални нули на полиномот 6 1x е: 2

6 2 3 2 4 2 2 2 2

2 2 2 2

1 ( ) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)[( 1) ]

( 1)( 1)[( 1 )(( 1 )] ( 1)( 1)( 1)( 1)

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

1 1x , 2 1x

166. Остатокот при делењето на полиномот 2013 2011 101( ) 2P x x x x со биномот 1x е: 0

2013 2011 101( 1) ( 1) ( 1) 2( 1) 1 1 2 0P

21

167. При делењето на полиномот 4 4x со триномот 2 2 2x x се добива: 2 2 2x x 4 2 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

4 : 2 2 2 2

2 2

2 2 4

2 4 4

2 4 4

2 4 4

0

x x x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

168. Полиномот 3 2( ) 2P x x x ax е делив со биномот 2x ако коефициентот a изнесува:

12 2 0,a 6a

2 1 а 0 2 2 3 6 a 12 2a

169. Остатокот од делењето на полиномот 50 30 10( ) 4P x x x x со биномот 2 1x е: 3

50 30 10 24 ( 1) ( ) ( )x x x x Q x R x , ( )R x ax b

1 1 1 4

1 1 1 4

a b

a b

, 0a , 3b , ( ) 3R x

170. Остатокот од делењето на полиномот 4 2( ) 4P x x x x со биномот 2 1x е: 4x

4 2 24 ( 1) ( ) ( )x x x x Q x R x , ( )R x ax b

1 1 1 4

1 1 1 4

a b

a b

, 1a , 4b , ( ) 4R x x

171. Ако 1

4xx

, за ,x R 0x тогаш вредноста на 4

4

1x

x е: 4

4

1194x

x

2

2 2

2 2

1 1 116, 2 16, 14x x x

x x x

2

2 4 4

2 4 4

1 1 1196, 2 196, 194x x x

x x x

172. Ако 1

7xx

, за ,x R 0x тогаш вредноста на 2

2

1x

x е: 2

2

147x

x

2

2 2

2 2

1 1 149, 2 49, 47x x x

x x x

173. Ако 1

4xx

, за ,x R 0x тогаш 3

3

1x

x е: 3

3

152x

x

3

3 3 3

3 3 3

1 1 1 1 1 164, 3 , 64 3 64, 64 3 4 52x x x x x x

x x x x x x

22

174. Ако , ,a b c R и ако 2 2 2 ,a b c ab ac bc тогаш: a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 0

a b c ab ac bc a b c ab ac bc a ab b bc c ac

a ab b b bc c c ac a a b b c c a a b c

175. Полиномот 2 2( ) ( 5 )( 5 10) 24P x x x x x , каде x е природен број, е делив со:

( 1), ( 2), ( 3), ( 4)x x x x (Користи Хорнерова шема за понудените одговори) 2 2 4 3 2( ) ( 5 )( 5 10) 24 10 35 50 24P x x x x x x x x x

Делители на слободниот член се 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

1 10 35 50 24

1 1 9 26 24 0

2 1 7 12 0 3 1 4 0

4 1 0

176. Полиномот 2 2( ) ( 7 )( 7 22) 120P x x x x x каде x е природен број и 6,x е делив со:

( 2), ( 3), ( 4), ( 5)x x x x (Користи Хорнерова шема за понудените одговори) 2 2 4 3 2( ) ( 7 )( 7 22) 120 14 71 154 120P x x x x x x x x x

Делители на слободниот член се 1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 40 60 120

1 14 71 154 120

2 1 12 47 60 0 3 1 9 20 0 4 1 5 0 5 1 0

177. Полиномот 3 2 2( ) ( 6 11 6)( 9 20) 360P x x x x x x е делив со:

(Користи Хорнерова шема за понудените одговори) 3 2 2 5 4 3 2( ) ( 6 11 6)( 9 20) 360 15 85 225 274 240P x x x x x x x x x x x

1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

1 15 85 225 274 240 1 1 -14 71 -154 120 120 2 1 -13 59 -107 60 120 3 1 -12 49 -78 40 120 4 1 -11 41 -61 30 120 5 1 -10 35 -50 24 120 6 1 -9 31 -39 40 240 8 1 -7 29 7 330 2880 -1 1 -16 101 -124 398 -158

ЗАБЕЛЕШКА. Полиномот нема цели, ниту дробно рационални корени. Има еден реален корен во интервалот ( 1,1) . Другите четири се два пара комплексни корени. Проверувај само ирационални

и комплексни корени во Хорнерова шема

178. Полиномот 2 2( ) ( 7 10)( 7 12) 240P x x x x x е делив со:

2 2 4 3 2( ) ( 7 10)( 7 12) 120 14 71 154 240P x x x x x x x x x

Делители на слободниот член се 1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12, 20, 24, 40 60, 120, 240

1 14 71 154 240

23

1 1 -13 58 96 336 -1 1 -15 86 -240 480 2 1 -12 47 -60 120 -2 1 -16 103 -360 960 3 1 -11 38 -40 120 -3 1 -17 122 -520 1800 4 1 -10 31 -30 120 -4 1 -18 143 -726 3144 5 1 -9 26 -24 120 -5 1 -19 166 -984 5160 6 1 -8 23 -16 144 -6 1 -20 191 -1300 8040 8 1 -6 23 30 480 -8 1 -22 247 -2130 17280 10 1 -4 31 156 1800 -10 1 -24 311 -3264 32880 12 1 -2 47 410 5160 -12 1 -26 383 -4750 57240 20 1 6 191 3666 73560 -20 1 -34 751 -15174 303720 24 1 10 311 7310 171330

ЗАБЕЛЕШКА: Полиномот нема цели, ниту дробно рационални корени, ниту реални нули. Има четири комплексни корени, односно два пара комплексни корени. Проверувај само комплексни корени во Хорнерова шема.

179. Полиномот 13 13 3 3( ) 2P x x x x x ax b е делив со 1x и 1x само ако вредностите

на a и b се: 2, 2a b 13 26 16 10 14 13 13( ) 1 2x P x x x x ax bx x , 13 26 16 10 14 13 131 ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1P x a b

13 26 16 10 14 13 13( 1) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 ( 1)P x a b 0

4

a b

a b

, 2, 2a b

ЗАБЕЛЕШКА: ПОГРАШНА ЗАДАЧА, 13 13 3 3( ) 2P x x x x x ax b не е полином

180. Ако 1

3xx


3

1x

x е: 3

3

136x

x

3

3 3 3

3 3 3

1 1 1 1 1 127 3 27 27 3 27 3 3 36x x x x x x

x x x x x x

181. Ако 1

3xx


4

1x

x е: 4

4

1119

x

2

2 2

2 2

1 1 19 2 9 11x x x

x x x

4

4 2 4 2

4 2 4 2

4

4

1 1 1 1 181 4 6 81 4 75

14 11 75 119

x x x x xx x x x x

xx

24

182. Ако 1

3xx


6

1x

x е: 1298

2

2 2

2 2

1 1 19 2 9 11x x x

x x x

4

4 2 4 2

4 2 4 2

4

4

1 1 1 1 181 4 6 81 4 75

14 11 75 119

x x x x xx x x x x

xx

6

6 4 2

6 4 2

6 4 2 6 6

6 4 2 6 6

1 1 1 1729 6 15 20 729

1 1 1 1 16 15 749 6 119 15 11 749 1298

x x x xx x x x

x x x x xx x x x x

183. Равенката од видот ( ) ( ) ,f x g xa a 0,a 1a е еквивалентна со: ( ) ( )f x g x

184. Равенката од видот ( ) ,f xa b 1,a 0,a 0b е еквивалентна со: ( ) logaf x b

185. Равенката 2 2 0x x x xAa Ba b Cb се вика хомогена равенка од втор степен по xa и xb . 186. Равенката од видот log ( ) ,a f x b за 1,a 1,a и ( ) 0f x е еквивалентна со равенката:

( ) bf x a , 1,a 1,a

187. Равенката од видот log ( ) log ( ),a af x g x 0,a 1,a ( ) 0,f x ( ) 0g x е еквивалентна со

равенката: ( ) ( ) 0f x g x

188. Изразот loga ba за 0,a 1,a 0b е еднаков со: loga ba b

189. Изразот log

logc

c

b

a за 0,c 1,c 0,a 0b е еквивалентен со изразот:

loglog

logc

a

c

bb

a

190. Равенката од видот sin cosa x b x c се вика: проекциона тригонометриска равенка

191. Равенката од видот 2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x се вика: хомогена тригонометриска равенка по sin x и cos x

192. Равенката 2 sin log 3x b е: експоненџијална равенка

193. Равенката 3

log 2 sin 3 0a

b x е: тригонометриска равенка

194. Експоненцијалната равенка 11 5 4x x x во тригонометриски вид е:

11 511 5 4 1 sin cos 1,

4 4

x x

x x x x x

каде што 11

sin4

и 5

cos4

195. Збирот од решенијата на равенките 3 1 2x x и 5 2 3x x x е: 2 2 4

25

3 13 1 2 1 sin cos 1,

2 2 3 3

x x

x x x x

2x

5 2 5 25 2 3 1 sin (arcsin ) cos (arccos ) 1,

3 3 3 3

x x

x x x x x

2x

196. Експоненцијалната равенка 5 2 3x x x во тригонометриски вид е sin cos 1,x x тогаш

вредноста на tg е: 5

sin3

, 2

cos3

, 5

3

23

5

2tg

197. Ако равенката 13 6 7x x x се трансформира во тригонометриски облик, тогаш вредноста на

ctg е: 13 6

13 6 7 17 7

x x

x x x

,

13sin

7 ,

6cos

7 ,

67

137

6 6 13

1313ctg

198. Разликата од корените на равенката 13 6 7x x x и 3 4 5x x x е: 2 2 0

13 613 6 7 1

7 7

x x

x x x

, sin cos 1,x x 2x

3 43 4 5 1

5 5

x x

x x x

, sin cos 1,x x 2x

199. Решение на равенката 13

2log log 1x е: 13

32 2

1log log 1 log 2

3x x x


2log log 1x е: 1 12 2

2

1log log 1 log 2

4x x x

201. Решение на неравенката 2sin 1,x за 2(0, )x е: 6 2( , )x

1sin

2 6x x

, 6 2

12sin 1 sin ( , )

2x x x

202. Решение на неравенката 2 cos 1,x за (0,2 )x е: 74 4[0, ) ( , 2 )x

1 2

1 2 7cos cos ,

2 4 42x x x x

, 7

4 4

22 cos 1 cos [0, ) ( , 2 )

2x x x

203. Решение на неравенката 3 11

3 3x

е интервалот: ,0x

3 1 3 11

3 3 3 3 3 1 3 1 0, ,0x x x x x x

204. Решение на неравенката 15 55 5

x

е интервалот: ,1x

1 15 55 15 1

5 5 5 5 5 5 5 1, ,15

xx x x x x

26

205. Решението на неравенката 21 1

3 3

x е: ( , 2)x

21 1

2, ( , 2)3 3

x

x x

ЗАБЕЛЕШКА: Во формулацијата пишува „равенката“

206. Ако ,2

xtg t тогаш sinx може да се замени со:

2

2sin

1

tx

t

207. Неравенката ( ) ( )f x g xa a за 1a е еквивалентна со неравенката: ( ) ( )f x g x

208. Изразот log m

m

ab за 0, 0, 1a b a е еквивалентен со изразот: loga b

1log log log logm m

ma aa a

b m b m b bm

209. Равенката 0x xAa Bb има решение ако: 0x

x x a BAa Bb

b A

, равенката има

решение ако 0,B

A односно 0,AB A и B имаат спротивни знаци.

210. Системот равенки 1

1

2 16

3 9

x y

x y

е еквивалентен со системот:

1 4

1 2

x y

x y

1 1 4

1 1 2

2 16 2 2 1 4

1 23 9 3 3

x y x y

x y x y

x y

x y

211. Системот 2 2

2 2

log log 3

log log 1

x y

x y

за 0, 0x y е еквивалентен со системот:

8

0

xy

x y

32 2

2 2

2 2 2 2

8log log 2log log 3 8

1log log 1 0log log 2

xyxyx y xy

xxx y x y

yy

212. Решение на неравенката | 1| 2x е множеството: Множеството решенија е празното

множество, бидејќи апсолутна вредност на било кој реален број е ненегативен број и тој не може да биде помал од негативен број.

213. Неравенката log ( ) log ( ), 0 1, ( ) 0, ( ) 0a af x g x a f x g x е еквивалентна со неравенката:

0 ( ) ( )f x g x

214. Решение на равенката 3 1 2x x е:

3 13 1 2 1 sin cos 1,

2 2 3 3

x x

x x x x

2x

215. Решение на равенката sin cos 2x x е: равенката нема решение sin cos 2 sin 1 cos 1x x x x , таков реален број не постои

27

216. Решение на равенката 2013log sin 0x во интервалот (0,2 ) е: 2

x

2013log sin 0 sin 12

x x x

217. Дефиниционата област на равенката 6

3 3 2log (1 ) log

xx

е: ( ,1)fD

1 01 1

( ,1)62 0 20

2

xx x

xx x

x

218. Решението на равенката | | 12

2x е: Празно множество M

За | | 110, 2 2 2 1

2x xx x не е решение

За | | 110, 2 2 2 1

2x xx x не е решение

219. Множествата решенија 2 , ;kx k k Z 2 ,nx n n Z за 2 2( , ) и ( 1,1)a

се на тригонометриската равенка: Замени ги вредностите за 2 , ;kx k k Z и

2 ,nx n n Z и користи sin( 2 ) sink , cos( 2 ) cosk

sin( 2 ) sin( ) sinn и cos( 2 ) cos( ) cosn

220. Дефиниционата област на логаритамската равенка log ( 2) 2x x е интервалот:

(0,1) (1, )x

2 0

0

x

x

и 1x , (0,1) (1, )x

221. Решението на неравенката sin2log 2 1x е: 2

2x k

sin2log 2 1 sin 1 sin 1 2

2x x x x k

222. Дефиниционата област на логаритамската равенка 2 log( 3) 3

2log( 1) 1

x

x

е интервалот:

(3,11) (11, )fD , log( 1) 1 0 log( 1) 1 1 10 11x x x x , 3 0

(3, )1 0

xx

x

223. Експоненцијалната равенка 7 3 4x x x во тригонометриски вид e sin cos 1,x x при

што вредноста на sin е:

7 37 3 4 1 sin cos 1,

4 4

x x

x x x x x

7sin

4


3 3log log log 1x е: 27 3x

28

1 13 3

3

273 3 3 3

1log log log 1 log log 3 log 3

3x x x x

225. Решение на равенката sin cos 0,x x

за (0, )x е:

4

4 1x

k

2 2sin cos 0 sin cos 0 cos sin sin cos 0 sin 0

2 2 4 4 4x x x x x x x

4

4 4 1k x

x k

, k Z

226. Решение на равенката 2 22 2sin cos 0,

x x

за (0, )x е множеството: M , бидејќи

2 2sin cos 1, за секое R .

227. Решение на равенката sin2log (3 1) 1x е: ,x k k Z

sin sin sin sin 02log (3 1) 1 3 1 2 3 1 3 3 sin 0 ,x x x x x x k k Z


log sin

3 3,x

за секое 2( , )x е: 5

6

12

12

log sin

1 2

1 53 3 log sin 1 sin 2 , 2

2 6 6

x

x x x k x k

. Бидејќи се бара решение

2( , )x имаме дека 5

6x


2

log cos

2 4,x

за 2(0, )x е: 23

x k

2 22 2

22

log cos log cos2 1

2 4 2 2 log cos 2 cos 22 3

x x

x x x k

. Бидејќи се бара решение

2(0, )x имаме дека 3

x

230. Решение на неравенката 12

2log log 1x е интервалот: 1

,4

x

1 1 1 1 12 2 2 2 2

212 2 2 2

1 1log log 1 log log log 2 log 2 log log ( ) ,

4 4x x x x x x


3log log 1x е интервалот: 3, 3x

13

1 1 13 3 3

3 313 3 3 3 33

1log log 1 log log log log log log 3 3 , 3

3x x x x x x

232. Решение на неравенката sin2 2,x за 2[ , ]x е интервалот: 5

6[ , ]x

sin1 2

1 1 52 2 sin ,sin , 2 , 2 ,

2 2 6 6x x x x k x k

1sin ,

2x за

2[ , ]x , 56[ , ]x

29

233. Решение на неравенката 2cos

13 3,

x за [0, ]x е интервалот: 2

3[0, ]x

2cos 2cos 11 1 1

3 3 3

13 2cos 1 cos

2

x xx x

,

1cos

2x ,

22

3x k

1cos ,

2x за [0, ]x 2

3[0, ]x


log sin 1x , за (0, )x е интервалот: 5

,6 6

x

1 1 12 2 2

12

1log sin 1 log sin log sin

2x x x 1 2

1 5sin 2 , 2

2 6 6x x k x k

1sin ,

2x за (0, )x

5,

6 6x


2

log cos 1x , за [0, ]x е интервалот: 40,x

2 2 22 2 2

22

2log cos 1 log cos log cos

2x x x ,

2cos 2

2 4x x k

2cos

2x , за [0, ]x 40,x


log 3 1x е интервалот: [0,1]x

1 1 13 3 3

1 1 11 13 3log 3 1 log 3 log ( ) 3 ( ) 3 3 1 0 1x x x x x x


log 2 2x е интервалот: [0,4]x

1 1 12 2 2

2 2 21 12 2log 2 2 log 2 log ( ) 2 ( ) 2 2 2 0 4x x x x x x

238. Множество решенија на системот неравенки 2sin 1

2cos 2

x

x

, (0, )x е интервалот: 3 5

4 6,

12

22

sin2sin 1

2cos 2 cos

xx

x x

, 5 3 5 3 5

6 6 4 4 4 6, , ,x

56 6

1sin ,

2x x , 3 5

4 4

2cos ,

2x x

239. Решението на системот неравенки

3

21 13 3

31 12 2

x

x

е: 1x

12

13

3

2 21 1 1 1 113 3 33 2

113 31 1 1 13

2 2 22

2 2 2 1

13 3 3

x x

x x

x x

x x

x

x

, чие решение е 1x

30

240. Решението на системот неравенки 12

2log ( 2) 1

log (5 ) 1

x

x

е интервалот: [3,4]x

1 1 12 2 2

2 22

112

log ( 2) log 2log ( 2) 1 2 2 4

log (5 ) 1 log (5 ) log ( ) 5 2 3

xx x x

x x x x

, чие решение е [3,4]x

241. Кој од долунаведените броеви го задоволува неравенството 1tgx ?

,2 4

x k k

242. Неравенката 1

1,x 0x е еквивалентна со неравенката: (1 ) 0, 0x x x

1 1 11, 0 1 0, 0 0, 0 (1 ) 0, 0

xx x x x x x

x x x

243. Решението на неравенката 0,4 0,4log 3 log (2 )x е интервалот: [ 1,2)x

0,4 0,4log 3 log (2 ) 3 (2 ) 1 [ 1, )x x x x , : 2 0 2 ( , 2)fD x x x

( , 2) [ 1, ) [ 1,2)x

244. Равенката 3 1 2x x е еквивалентна со равенката: 3 1

3 1 2 12 2

x x

x x

sin cos 1x x

245. Равенката log log55 50x x , за 0x е еквивалентна со равенката:

Смена log5t x , 5loglog5 log log5

loglog 5 log log log log log 5 5 5

log 5tx xt

t x x t x x t t

Равенката добива облик 50,t t односно 25t . Со враќање на смената

log55

log 2525 log 5log log 25 log log log 25 log 2 100

log 5x x x x x x

246. Решение на равенката 2 2tgxe e е: 4

x k

2 2 2 2 14

tgxe e tg tgx x k

247. Решение на равенката sin 3cos8 2x x е: 6

x k

sin 3 cos 3sin 3cos 38 2 2 2 3sin 3 cos

3 6x x x x x x tgx x k

248. Дефиниционо множество на равенката 3 2 4log (log (log )) 0x е: (4, )fD

:fD 2 4 2 4 2 4 4 4log (log ) 0 log (log ) log 1 log 1 log log 4 4x x x x x

249. Бројот на решенијата на експоненцијалната равенка 4 6 2 8 0x x е: 0

31

24 6 2 8 0 2 6 2 8 0x x x x смена 2x t , 2 6 8 0t t , 1 24, 2t t , равенките 2 4x

и 2 2x немаат решение

250. Решението на системот неравенки 13 9x и 1 1(0,5)

32x е: (1,6)x

1 21

1 5

1

3 33 91 2 1

1 1 1 1 5 6(0,5)32 2 2

xx

x

x

x x

x x

(1,6)x

251. Решение на равенката log5 log5 50xx е: 100x



log 5tx xt

t x x t x x t t


log55


log 5x x x x x x

252. Решение на равенката log7 log7 98xx е: 100x



log 7tx xt

t x x t x x t t


log77

log 4949 log 7 log log 49 log log log 49 log 2 100

log 7x x x x x x

253. Решение на равенката log 4 log3 2 4 80xx e: 100x

Смена log4t x , 4loglog 4 log log4


log 4tx xt

t x x t x x t t

Равенката добива облик 3 2 80,t t односно 16t . Со враќање на смената

log74

log1649 log 4 log log16 log log log 16 log 2 100

log 4x x x x x x

254. Решение на равенката log 6 log3 5log3 log56 432

x

x е: 1000x log 6 log3 5log3 log5 log6 log6 432 6 432

x xx x , заради основниот логаритамски идентитет loga Na N



log 6tx xt

t x x t x x t t


log66


log 6x x x x x x


2 2 2log (log (log (log ))) 1x е: 16 2x

1 1 12 2 2

12

2 2 2 2 2 2 2 2 2

162 2

log (log (log (log ))) 1 log (log (log (log ))) log 2 log (log (log )) 2

1log (log ) 4 log 2

16

x x x

x x x

256. Решение на равенката 92 3 2

log (log (log )) 1x е множеството: {2}M

32

9 9 9

992 3 32 2 2

log (log (log )) 1 log (log ) 2 log 9 ( 2) 2x x x x x

257. Решение на равенката 3 32 2sin cos 0,

x x

за (0, )x е:

4

4 1x

k

, k Z

3 3 2 2sin cos 0 (sin cos )(sin sin cos cos ) 0x x x x x x x x

sin cos 0x x

и

1 21 sin 0

2 x

sin cos 0

x x

и

2sin 2

x

Равенката 2

sin 2x

нема решение ( | sin | 1x ).

2 2sin cos 0 sin cos 0 cos sin sin cos 0 sin 0

2 2 4 4 4x x x x x x x

4

4 4 1k x

x k

, k Z

258. Едно од решенијата на равенката 2

3sin log 3 1

3 2x

е: 0x

2 2 2

3sin log 3 1 log 3 1 log 3 1 1 3 1 2 3 1 0

3 2 3 3x x x x x x

259. Едно од решенијата на равенката 3

1cos log 2 1

4 2

x

е: 1x

3 3 3 3

1 2cos log 2 1 cos log 2 1 log 2 1 log 2 1 1

4 4 2 4 42

2 1 3 2 2 1

x x x x

x x x

260. Решение на равенката cos2log (2 1) 1x е: (2 1)

2x k

cos cos cos2log (2 1) 1 2 1 2 2 1 cos 0 (2 1)

2x x x x x k

261. Множеството вредности на степенот ni каде i е имагинарната единица, има елементи:

{ , 1, ,1}i i 1 ,i i 2 1,i 3 2 ,i i i i 4 2 2 1,i i i ..... 4 ,k r ri i , 0,1, 2,3k Z r

262. Кој од записите е тригонометриска форма на комплексен број?

(cos sin )z r i во записот 0,r знакот пред реалниот и имагинарниот дел е секогаш „+“, и

аголот при sin и cos е еден ист агол. Доколку е потребно примени sin( ) sin ,x x cos( ) cosx x

263. Количникот од комплексните броеви 1 1 1 1(cos sin )z r i и 2 2 2 2(cos sin )z r i се

одредува по формулата: 1 11 2 1 2

2 2

(cos( ) sin( ))z r

iz r

264. Вредноста на степенот 2i е еднаков на: 2 1i

265. Комплексен корен од бројот 1, т.е. 1 изнесува:{ 1,1}

33

00

1tg , 0 ,

2 21 cos sin | 0,1 cos sin | 0,1 { 1,1}

2 2

k ki k k i k k

266. Комплексен корен од бројот –1, т.е. 1 изнесува: { , }i i

00

1tg

, ,

2 21 cos sin | 0,1 { , }

2 2

k ki k i i

267. Комплексен четврти корен од бројот 1, т.е. 4 1 изнесува: 0

01

tg , 0 ,

4 2 21 cos sin | 0,1,2,3 cos sin | 0,1,2,3 { 1,1, , }

4 4 2 2

k k k ki k i k i i

268. Множеството на комплексниот трети корен од i т.е. 3 i има елементи:

3 1 3 1, ,

2 2 2 2i i i

1

0tg

, 2

,

3 2 22 2cos sin | 0,1,2

3 3

5 5 9 9 3 1 3 1cos sin ,cos sin ,cos sin , ,

6 6 6 6 6 6 2 2 2 2

k ki i k

i i i i i i

269. Бројот на вредностите од четвртиот комплексен корен од 2 2 3i , претставен со

4 2 2 3i е: четири

270. Комплексните броеви a ib и a ib се: заемно конјугирани комплексни броеви

271. Нека R ( ) ( ).e mz z i J z Тогаш ( )mJ z е еднакво на: ( )2

m

z zJ z

i

R ( ) ( ), R ( ) ( ),e m e mz z i J z z z i J z 2 ( ),mz z iJ z ( )2

m

z zJ z

i

272. Нека 0 01 2 2(cos50 sin 50 )z i и 0 0

2

1(cos10 sin10 ),

2z i тогаш 1 2z z изнесува:

0 0 0 0 0 01 2

1 1 32 2 (cos(50 10 ) sin(50 10 ) 2(cos 60 sin 60 ) 2( ) 1 3

2 22z z i i i i

273. Количникот на броевите 0 01 cos130 sin130z i и 0 0

2 cos 40 sin 40z i изнесува:

0 0 0 0 0 01

2

cos(130 40 ) sin(130 40 ) cos90 sin 90z

i i iz

274. Вредноста на степенот 12( 3 )i е: 122 4096

3z i , 1 3

,33

tg 6

, 3 1 2r , 2(cos( ) sin( ))

6 6z i

,

34

12 12 12 12 1212 12[2(cos( ) sin( )] 2 (cos( ) sin( ) 2 (cos 2 sin 2 ) 2 4096

6 6 6 6z i i i

275. Степенот ( 3 )ni трансформиран во тригонометриски облик е:

3z i , 1 3

,33

tg 6

, 3 1 2r , 2(cos( ) sin( ))

6 6z i

,

[2(cos( ) sin( )] 2 (cos( ) sin( ))6 6 6 6

n n n n nz i i

276. Вредностите на степенот

6

1 3

2 2i

е: 1

1 3

2 2z i , 3,tg

3

,

3 11

4 4r , cos sin

3 3z i

,

6 6 6 6(cos sin ) cos sin cos 2 sin 2 1

3 3 3 3z i i i

277. Биномот 4 4x трансформиран во производ е:

4 4 2 2 2 2 2 2 24 4 4 4 ( 2) (2 ) ( 2 2)( 2 2)

( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )

x x x x x x x x x x

x i x i x i x i

278. Модулот на комплексниот број 1 3

2 2z i е:

1 31

4 4r

279. Со примена на Ојлеровата формула cos sin ,ie i може да се покаже дека sin3φ е

еднакво на: 34cos 3cos 2sin 2 Im{ } Im{ } Im{ (( ) )} Im{ (2cos )}

Im{ 2cos 1} 2sin cos

i i i i i i i i i

i

e e e e e e e e e

e

3 2 2 2m m

2 3

sin 3 { } { } { (( ) )} { (2cos )}

{ 2cos )} (2sin cos )2cos sin 4sin 3sin

i i i i i i i i im m

i im

J e J e e J e e e e J e e

J e e

280. Со примена на Ојлеровата формула cos sin ,ie i може да се покаже дека cos3φ е

еднакво на: 34cos 3cos 2

2

cos 2 { } { } { (( ) )} { (2cos )}

{ (2cos )} { 2cos 1)} 2cos 1

i i i i i i i i ie e e e

i i ie e

R e R e e R e e e e R e e

R e e R e

3 2 2 2

2 2 2 3

cos3 { } { } { (( ) )} { (2cos )}

{ (2cos )} { 2cos } (2cos 1)2cos cos 4cos 3cos

i i i i i i i i ie e e e

i i i ie e

R e R e e R e e e e R e e

R e e R e e

281. Комплексниот број 1

1

xiz

xi

каде x R има модул: | | 1z

2

2

1 |1 | 1| | 1

1 |1 | 1

xi xi xz

xi xi x

,

35

282. Ако (1 ) (1 )n ni i тогаш вредноста на n е: 4n k , k Z

(1 ) 1 1 1 2(1 ) (1 ) 1 1 1 1 1 4 ,

(1 ) 1 1 1 2

n n nnn n n

n

i i i i ii i i n k k Z

i i i i

283. Комплексен корен од ,i односно i изнесува:

1,

0tg

2

,

2 22 2 5 5cos sin | 0,1 cos sin ,cos sin ,

2 2 4 4 4 4

2 2 2 2,

2 2 2 2

k ki i k i i

i i

284. Комплексен корен од ,i односно i од изнесува:

1,

0tg

2

,

2 22 2cos sin | 0,1

2 2

3 3 2 2 2 2cos sin ,cos sin ,

4 4 4 4 2 2 2 2

k ki i k

i i i i

285. Комплексен трети корен од бројот 1, односно 3 1 изнесува: 1 3 1 3

1, ,2 2 2 2

i i

00

1tg , 0 ,

3 2 21 cos sin | 0,1,2

3 3

2 2 4 4 1 3 1 3cos0 sin 0,cos sin ,cos sin 1, ,

3 3 3 3 2 2 2 2

k ki k

i i i i i

286. Комплексен трети корен од бројот 1, односно 3 1 изнесува: 1 3 1 3

, 1,2 2 2 2

i i

00

1tg

, ,

3 2 21 cos sin | 0,1,2

3 3

5 5 1 3 1 3cos sin ,cos sin ,cos sin , 1,

3 3 3 3 2 2 2 2

k ki k

i i i i i

287. Комплексен трети корен од i т.е. 3 i изнесува: 3 1 3 1

, ,2 2 2 2

i i i

1

0tg

, 2

,

3 2 22 2cos sin | 0,1,2

3 3


6 6 6 6 6 6 2 2 2 2

k ki i k

i i i i i i

36

288. Комплексен трети корен од i т.е. 3 i изнесува: 3 1 3 1

, 1,2 2 2 2

i i

1

0tg

, 3

2

,

3 33 2 22 2

cos sin | 0,1,23 3


2 2 6 6 6 6 2 2 2 2

k ki i k

i i i i i i

289. Вредноста на степенот

2013

1 3

2 2i

изнесува: 1

1 3

2 2z i , 3tg ,

3

,

1 31

4 4r ,

1 3cos sin

2 2 3 3i i

2013 20131 3 2013 2013

cos sin cos sin2 2 3 3 3 3

cos671 sin 671 1

i i i

i

290. По степенувањето на 1

2

i со 2014 се добива: i

1 1 2 2,

2 22 2z i i 1tg ,

4

,

2 21

4 4r ,

2 2cos sin

2 2 4 4z i i

2014 20142 2 2014 2014

cos sin cos sin2 2 4 4 4 4

1007 1007 3 3cos sin cos 502 sin 502

2 2 2 2

i i i

i i i

291. По упростувањето, изразот 2014 2014(1 ) (1 )i i има вредност: 0

20142014

2014 2014

1007 1007

1007

(1 ) (1 ) 2 cos sin 2 cos sin4 4 4 4

2014 2014 2014 20152 cos sin 2 cos sin

4 4 4 4

2014 20142 cos sin

4 4

i i i i

i i

i

1007

1008

2014 20152 cos sin

4 4

32 cos 502 0

2

i

292. Модулот на комплексниот број 1 2 ( 2 1)i е: 6

2 2|1 2 ( 2 1) | (1 2) ( 2 1) 6i

293. Равенката со реални коефициенти, со корен 1 cos sini е:

1 2(1 cos ) sin , (1 cos ) sinx i x i , 1 2x x p , 1 2x x q

37

1 2( ) 2(1 cos )p x x , 2 2

1 2 ((1 cos ) sin )( (1 cos ) sin ) (1 cos ) sin 2 2cosq x x i i 2 0,x px q 2 2(1 cos ) 2(1 cos ) 0x x

294. Ако 2 1

2cos ,x

x

тогаш

2 1n

n

x

x

е еднакво на:

2 12cos

n

n

xn

x

cos sin ,x i 1 1

cos sincos sin

ix i

(заради условот x е комплексен број со модул 1.

cos sin ,nx n i n 1 1

cos sincos sinn

n i nx n i n

, 2 1 1

2cosn

n

n n

xx n

x x

295. Ако 2 1

2cos ,x

x

тогаш

2 1n

n

x

x

е еднакво на:

2 12 sin

n

n

xi n

x

cos sin ,x i 1 1

cos sincos sin

ix i

(заради условот x е комплексен број со модул 1.

cos sin ,nx n i n 1 1

cos sincos sinn

n i nx n i n

, 2 1 1

2 sinn

n

n n

xx i n

x x

296. Ако 2 11 ,z i тогаш вредноста на 3 3z z е:

ЗАБЕЛЕШКА: ПОГРЕШНА ЗАДАЧА, 3 ,z и 3 z се множества

297. Со примена на Ојлеровата формула cos sin ,ie i може да се докаже дека cos x може да

се изрази како:

cos sin ,ie i cos sin ,ie i cos2

i ie e

298. Со примена на Ојлеровата формула cos sin ,ie i може да се докаже дека sinx може да се

изрази како:

cos sin ,ie i cos sin ,ie i sin2

i ie e

i

299. Ако бројот 1

1

z

z

е чисто имагинарен, тогаш модулот на z е еднаков на: 1

1 1 1 11 | | 1

1 1 1 1

z z z zzz z

z z z z

300. Множество од сите точки z x iy од комплексната рамнина кои го задоволуваат условот

0 | | 3z е: затворен круг (ја содржи граничната кружница) со центар во координатниот почеток и

радиус 3, без координатниот почеток.

Documents

Алгебра 42 9 16 25 5 - EKSTERNO TESTIRANJE ODGOVORI · 1 Алгебра 1. Вредноста на коренот 32 42 е: 32 42 9 16 25 5 2. Производот на корените