สถิติ บทที่ 5

1

LOGO

บทท�� 5 การแจกแจงตั�วอย่�าง

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของค�าท��ได้�จากตั�วอย่�าง

Click to edit Master text stylesLOGO

2

ค�าศั�พท�ท��เก��ย่วข�อง1. ประชากร (Population)

2. กลุ่�มตั�วอย่าง (Sample)

3. พาราม�เตัอร� (Parameter)

4. ค่าสถิ�ตั� (statistic)

5. การส�มตั�วอย่าง (Random Sampling)

การแจกแจงตั�วอย่�าง


3

ป็ระชากร (Population)

หมาย่ถิ�ง • กลุ่�มเป�าหมาย่ที่��เป�นแหลุ่งข้#อม$ลุ่ที่�%งหมดที่��

เก��ย่วข้#องก�บเร(�องที่��สนใจ• ซึ่��งค่รอบค่ลุ่�ม ค่น ส�ตัว� ส��งข้อง ส��งม�ช�ว�ตัหร(อ

เหตั�การณ์�ตัางๆประชากรแบงเป�น 2 ชน�ด1. ประชากรที่��ม�จ.านวนจ.าก�ด เชน จ.านวนน�กศึ�กษา

ใน มรภ.บ#านสมเด2จเจ#าพระย่า2. ประชากรที่��ม�จ.านวนไมจ.าก�ด เชน จ.านวนเมลุ่2ด

ข้#าวในฤด$กาลุ่หน��ง



4

กลุ่#�มตั�วอย่�าง (Sample)

หมาย่ถิ�ง • เป�นสวนหน��งข้องประชากรที่��ถิ$กส�มมา

ที่.าการศึ�กษา • การใช#ประชากรที่�%งหมดอาจม�ข้นาดใหญ่

เก�นไป แลุ่ะเป�นการย่ากที่��จะได#ข้#อม$ลุ่ที่�%งหมด

• ในที่างปฏิ�บ�ตั�จ�งน�ย่มศึ�กษาจากกลุ่�มตั�วอย่าง

• กลุ่�มตั�วอย่างเป�นตั�วแที่นข้องประชากรที่�%งหมด



5

เหตั#ผลุ่ท��ตั�องสุ่#�มตั�วอย่�าง

1 .ประชากรม�ข้นาดใหญ่เก�นไป2. ไมร$ #จ.านวนที่��แนนอนข้องประชากร3. เวลุ่าที่��ใช#ในการเก2บข้#อม$ลุ่แลุ่ะประมวลุ่ผลุ่

ข้#อม$ลุ่ลุ่ดลุ่ง4. ประหย่�ดค่าใช#จาย่แลุ่ะแรงงาน5. การค่วบค่�มค่�ณ์ภาพที่.าได#งาย่ ข้#อม$ลุ่จ�ง

ม�ค่วามถิ$กตั#องแลุ่ะเช(�อถิ(อได#



6

ป็ระชากร VS กลุ่#�มตั�วอย่�าง

ป็ระชากร

ตั�วอย่�าง

Random Sampling

ลุ่�กษณะของป็ระชากร(Parameter)

2p

ลุ่�กษณะของตั�วอย่�าง หร)อตั�ว สุ่ถิ+ตั+ (Statistic) X

2S

p̂

ค�าเฉลุ่��ย่ของตั�วอย่�างค�าเฉลุ่��ย่ของป็ระชากรค�าความแป็รป็รวน่ของป็ระชากร

ค�าความแป็รป็รวน่ของตั�วอย่�างค�าสุ่�ด้สุ่�วน่ของ

ป็ระชากรค�าสุ่�ด้สุ่�วน่ของตั�วอย่�าง



7

ค�าเฉลุ่��ย่แลุ่ะความแป็รป็รวน่ของป็ระชากร

ค่าเฉลุ่��ย่ (Mean) เป�นค่าที่��ได#จากการน.าค่าที่�กค่าในข้#อม$ลุ่มารวมก�น

แลุ่#วหารด#วย่จ.านวนข้#อม$ลุ่ที่�%งหมด ซึ่��งเป�นการหาตั�วแที่นข้องข้#อม$ลุ่

ค่าเฉลุ่��ย่ข้องประชากรใช#ส�ญ่ลุ่�กษณ์� μ

1ii

i

x

N

x



8

ค�าเฉลุ่��ย่แลุ่ะความแป็รป็รวน่ของป็ระชากร ค่วามแปรปรวน (Variance) ค่(อ ค่าที่��แสดง

การกระจาย่ข้องค่าตัางๆ จากค่าเฉลุ่��ย่ข้องข้#อม$ลุ่ช�ดน�%

ค่วามแปรปรวนข้องประชากรใช#ส�ญ่ลุ่�กษณ์� σ²

เม(�อ N = จ.านวนประชากรที่�%งหมด n = จ.านวนตั�วอย่าง Xi = ค่าข้#อม$ลุ่ที่�� i


N

X

N

X

N

ii

i

1

2

22


9

ตั�วอย่�างท�� 5.2.1

ราค่าน.%าอ�ดลุ่มซึ่��งจ.าหนาย่ในสถิานที่��ตัางๆก�น 5 แหง ด�งน�% 6, 8, 10, 12 แลุ่ะ 14

ค�าเฉลุ่��ย่ของป็ระชากร (μ)

105

50

5

141210865

5

54321

5

1

XXXXX

X

N

Xi

i



10

85

40

5

16404165

101410121010108106

.....

22222

25

24

23

22

21

2

2

XXXXX

N

X i

ความแป็รป็รวน่ของป็ระชากร



11

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของค�าเฉลุ่��ย่ตั�วอย่�าง

กรณ�สุ่#�มแบบซ้ำ�.า (With Replacement)• เป�นการส�มตั�วอย่างที่��เม(�อส�มแลุ่#ว น.าตั�วอย่างที่��

ส�มได#ใสกลุ่�บค่(นประชากรอ�ก แลุ่#วจ�งที่.าการส�มใหม

• จ.านวนช�ดตั�วอย่างที่��ส�มได# = N n

X



12

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของเฉลุ่��ย่ตั�วอย่�าง

ป็ระชากร จ�าน่วน่ N=5

สุ่#�มตั�วอย่�างท��ม�ขน่าด้ n, สุ่มมตั+ n = 2 แบบซ้ำ�.า

ค�าน่วณได้�ค�าเฉลุ่��ย่ของแตั�ลุ่ะกลุ่#�มตั�วอย่�าง

6, 8, 10, 12, 14

6, 6 6, 8 6, … 8, 6 8, 8 8, … 10, 6 10, 8 ….… 14, 14

….. ….. ….. ….. ….. ….. 61 372 1425



13

ค�าเฉลุ่��ย่แลุ่ะความแป็รป็รวน่ของ กรณ�สุ่#�มแบบซ้ำ�.าX

ค�าเฉลุ่��ย่ของ

ความแป็รป็รวน่ของ

X

4

25

100

5

1014...107106.........

1025

250

5.........

2

222

2

2

n

i

x

n

i

x

N

x

N

x

2

14...76


X


14

กรณ�สุ่#�มแบบซ้ำ�.า

x

x

x

n

σ

2x

22

โด้ย่ เร�ย่กว�า สุ่�วน่เบ��ย่งเบน่มาตัรฐาน่ของค�าเฉลุ่��ย่ตั�วอย่�าง



15

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของค�าเฉลุ่��ย่ตั�วอย่�าง

กรณ�สุ่#�มแบบไม�ซ้ำ�.า (Without Replacement)

• เป�นการส�มโดย่ไมค่(นตั�วอย่างที่��ส�มได#กลุ่�บไปส$ประชากร

• จ.านวนช�ดตั�วอย่างที่��ส�มได# = NCn หร(อ

=

3! = 3 x 2 x 1 , 10! = 10 x 9 x 8 x … x 2 x 1

n

N

!)!(

!

nnN

N



16

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของเฉลุ่��ย่ตั�วอย่�าง

ป็ระชากร จ�าน่วน่ N=5

สุ่#�มตั�วอย่�างท��ม�ขน่าด้ n, สุ่มมตั+ n = 2 แบบไม�ซ้ำ�.า

ค�าน่วณได้�ค�าเฉลุ่��ย่ของแตั�ลุ่ะกลุ่#�มตั�วอย่�าง

6, 8, 10, 12, 14

6, 8 6, 10 6, 12 6, 14 8, 10 8, 12 8, 14 10, 12 10,14 12, 14

….. ….. ….. ….. ….. ….. 71 93 82 1310



17

ค�าเฉลุ่��ย่แลุ่ะความแป็รป็รวน่ของ กรณ�สุ่#�มแบบไม�ซ้ำ�.าX

ค�าเฉลุ่��ย่ของ

ความแป็รป็รวน่ของ

X

3

10

30

5

1013...108107.........

1010

100

10.........

2

222

2

2

nN

i

x

nN

i

x

C

x

C

x

13...87


X


18

กรณ�สุ่#�มแบบไม�ซ้ำ�.าการแจกแจงของ จะม�ค�าเฉลุ่��ย่แลุ่ะความ

แป็รป็รวน่ ด้�งน่�.

โด้ย่ เร�ย่กว�าสุ่�วน่เบ��ย่งเบน่มาตัรฐาน่ของค�าเฉลุ่��ย่ตั�วอย่�าง (Standard deviation)

X

2

12

N

nNnx

X

Xx 2



19

ค�า FPC• เร�ย่ก วา ค่าปร�บส.าหร�บประชากรที่��น�บ

ถิ#วย่ (Finite Population Correction หร(อ FPC)

• เม(�อตั�วอย่างม�ข้นาดเลุ่2กมาก เม(�อเที่�ย่บก�บประชากรค่า FPC จะม�ค่าเข้#าใกลุ่# 1

• น�กสถิ�ตั�ให#แนวที่างวา ค่วรใช#ค่า เม(�อตั�วอย่างม�ข้นาดเลุ่2กกวา 5% ข้องประชากร

ด�งน�%น กรณ์�ส�มตั�วอย่างแบบไมใสค่(น แลุ่ะ

1

N

nN

11

N

nN

05.0N

n

n

nσ

σσ

N

nN . x

2

2

12


1


20

ลุ่�กษณะการแจกแจงของ


X

• การแจกแจงข้อง ม�ลุ่�กษณ์ะเป�นโค่#งที่��สมมาตัร แลุ่ะร$ปที่รงค่ลุ่#าย่ ระฆั�งค่ว.�า

• ด�งน�%นการแจกแจงข้อง ม�ลุ่�กษณ์ะใกลุ่#เค่�ย่งก�บการแจกแจงแบบปกตั� (Normal Distribution) ม�ค่าเฉลุ่��ย่ แลุ่ะเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน

• เข้�ย่นเป�นส�ญ่ลุ่�กษณ์�ได#ด�งน�%

X

X

X x

xxNX ,~


21


ค่าเฉลุ่��ย่ข้องตั�วอย่าง จะม�การแจกแจงปกตั�ภาย่ใตั#เง(�อนไข้ 2 ข้#อ ค่(อ1 .เม(�อส�มตั�วอย่างจากประชากรที่��ม�การแจกแจง

ปกตั�2. เม(�อส�มตั�วอย่างจากประชากรที่��ไมม�การ

แจกแจงแบบปกตั�หร(อไมที่ราบลุ่�กษณ์ะการแจกแจง โดย่ตั#องใช#ตั�วอย่างที่��ม�ข้นาดใหญ่ หร(อ n ≥ 30

X


22

กรณ�สุ่#�มแบบไม�ซ้ำ�.ากรณ�สุ่#�มแบบซ้ำ�.า

ค�าสุ่ถิ+ตั+ Z ท��ใช�ใน่การป็ระมาณค�า

X

ตั�วอย่�างม�ขน่าด้เลุ่2กกว�า 5% ของ

ป็ระชากร

ตั�วอย่�างม�ขน่าด้ใหญ่�กว�า 5% ของ

ป็ระชากรn

XZ

n

XZ

1

NnN

n

XZ

.



23

ตั�วอย่�างท�� 5.3.1

สมม�ตั�วาค่วามย่าวข้องกลุ่องที่��ผลุ่�ตัจากโรงงานฯม�ค่า เฉลุ่��ย่เที่าก�บ 185.6 มม. สวนเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน

12.7 มม. จงหาค่วามนาจะเป�นที่��ส�มตั�วอย่างกลุ่องมา 10 กลุ่อง

แลุ่ะพบวาค่าเฉลุ่��ย่ค่วามย่าวข้องกลุ่องมากกวา 190 มม.

ใน่ท��น่�.ทราบค�า n = 10

02.410

7.12

7.12

6.185

1

nx

x

85.6



24

1379.0

3621.05.0

09.1

02.4

4.4

02.4

6.185190

190

ZP

ZP

XP

XP

x

x

0.3621

0 1.09


0.1379


25

ตั�วอย่�าง สมม�ตั�ราย่ได#เฉลุ่��ย่ข้องข้#าราชการที่��ม�อาย่�น#อย่กวา 30

ป= แลุ่ะที่.างานในกร�งเที่พมหานค่ร เที่าก�บ 9,500 บาที่ สวนเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน 1,400 บาที่

จงหาค่วามนาจะเป�นที่��ส�มตั�วอย่างข้#าราชการ 49 ค่น แลุ่ะม�ราย่ได#

1. อย่$ระหวาง 9,300 – 9,800 บาที่2. มากกวา 9,600 บาที่

ใน่ท��น่�.ทราบค�า n = 49

2007

400,1

49

400,1

400,1

500,9

500,9

nx

X



26

ตั�วอย่�าง

7745.0

4332.03413.0

5.10.1200

300

200

200

200

500,9800,9

200

500,9300,9

800,9300,9.1

ZPZP

XP

XP

x

x

0.3413 0.4332

-1.0 0 1.5



27

2 .จงหาค่วามนาจะเป�นที่��ส�มตั�วอย่างข้#าราชการมา 49 ค่น จะม�ราย่ได#มากกวา 9,600 บาที่

เป>ดตัาราง Z (ตัารางการแจกแจงปกตั�มาตัรฐาน)

= 0.5 - 0.1915 = 0.3085

5.0

200

500,9600,9

600,9

ZP

ZP

XZPXP

0.1915

0.3085

0 0.5



28

ตั�วอย่�าง อาย่�การใช#งานข้องหลุ่อดภาพโที่รที่�ศึน�ม�การแจกแจงแบบ

ปกตั�เฉลุ่��ย่ 6,000 ช��วโมง สวนเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน 900 ช��วโมง ส�มตั�วอย่างโที่รที่�ศึน�มา 36 เค่ร(�อง จงหาค่วามนาจะเป�นที่��จะได#โที่รที่�ศึน�ที่��ม�อาย่�การใช#งานข้องหลุ่อดภาพเฉลุ่��ย่มากกวา 5,800 ช��วโมง

เป>ดตัาราง Z (ตัารางการแจกแจงปกตั�มาตัรฐาน) = 0.4082 + 0.5 =

0.9082

33.1150

000,6800,5

800,5

15036

900

900000,6

ZPZP

n

XZPXP

nX

X

0.4082 0.5

-1.33 0



29

การแจกแจงของค�าสุ่�ด้สุ่�วน่ตั�วอย่�าง

ค�าสุ่�ด้สุ่�วน่ป็ระชากร ค่(อ อ�ตัราสวนข้องจ.านวนหนวย่ประชากรที่��สนใจศึ�กษา เม(�อเที่�ย่บก�บจ.านวนประชากรที่�%งหมด

ค�าสุ่�ด้สุ่�วน่ตั�วอย่�าง ค่(อ อ�ตัราสวนข้องจ.านวนหนวย่ตั�วอย่างที่��สนใจศึ�กษา เม(�อเที่�ย่บก�บข้นาดตั�วอย่างที่�%งหมด


N

XP

n

xp ˆ


30

การส�มตั�วอย่างที่��ม�ข้นาดใหญ่ (n ≥ 30) จากประชากรที่��ม�หร(อไมม�การแจกแจงปกตั� จะที่.าให#การแจกแจงข้อง p ใกลุ่#เค่�ย่งการแจกแจงปกตั� ซึ่��งม�ค่าเฉลุ่��ย่

สวนเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน

สามารถิหาค่า Z ได#จาก


n

pp

ppppZ

p

1

ˆˆ

เม(�อ p = ค่าส�ดสวนข้องประชากร = ค่าส�ดสวนตั�วอย่างที่��สนใจ n = ข้นาดตั�วอย่าง

p̂

Pp

n

ppp

1


31

ตั�วอย่�างท�� 5.5.1 สมมตั�วาประชากรกลุ่�มหน��งจะไมซึ่(%อสบ$โพรเที่ค่ส( ใน

ส�ดสวน 0.08 ข้องประชากรที่�%งหมด ถิ#าส�มตั�วอย่างจาก 100 ค่น พบวา 15 ค่น ไมซึ่(%อสบ$โพร

เที่ค่ส�

หา


0221.000049.0

150

92.008.01

n

ppp

001.0

499.05.0

18.3

0221.0

08.015.0ˆ15.0

ZP

ppPpP

p

0.15100

15p̂

0 3.18

0.499

08.0P

0.001


32

ตั�วอย่�าง ถิ#าค่วามนาจะเป�นที่��น�กศึ�กษาหญ่�งจะเชาหอพ�กม�ค่า

เที่าก�บ 0.35 ถิ#าส�มตั�วอย่างน�กศึ�กษาหญ่�งมา 36 ค่น จงหาค่วามนาจะเป�นที่��จะเชาหอพ�กอย่$ระหวาง 0.3 แลุ่ะ

0.38


0794.0

36

65.035.01

n

ppp

3837.0

1480.02357.0

38.063.0

0794.0

35.038.0ˆ

0794.0

35.03.038.0ˆ3.0

ZP

ppPpP

p

3665.035.01135.0 npp , ,

-0.63 0 0.38

0.2357 0.1480


33

การแจกแจงของผลุ่ตั�างระหว�างค�าเฉลุ่��ย่ตั�วอย่�างสุ่องค�า

• เป�นการศึ�กษาข้#อม$ลุ่จาก 2 ประชากรพร#อมๆ ก�น• ม�กศึ�กษาเก��ย่วก�บค่วามแตักตัางระหวางค่าเฉลุ่��ย่

ข้อง 2 ประชากร• เชน ตั#องการที่ราบวาค่าเฉลุ่��ย่ข้องอ�ตัราการใช#

น.%าม�นข้องรถิย่นตั� Toyota ร� น Yaris ก�บ รถิย่นตั� Honda ร� น Jass หร(อค่าเฉลุ่��ย่ข้อง

1X 2X

21 XX



34

การแจกแจงของ


21 XX

• ถิ#าส�มตั�วอย่างที่��เป�นอ�สระก�นในข้นาดที่��เที่าก�บ n1 แลุ่ะ n2 จากประชากรที่��ม�การแจกแจงปกตั�

• ม�ค่าเฉลุ่��ย่ μ1 แลุ่ะ μ2

• ม�ค่าค่วามแปรปรวน แลุ่ะ• การแจกแจงข้อง จะม�การแจกแจง

แบบปกตั�• ค่าเฉลุ่��ย่ข้อง• ค่วามแปรปรวนข้อง

ด�งน�%น

1

22

2

21 XX

2121 21

XXXX

21

21

2

2

1

2

2

21 nnXXσXX

21

2121

2

2

1

2

nn

ZXX


35

ตั�วอย่�างท�� 1.6

อ�ตัราการใช#น.%าม�นข้องรถิย่��ห#อ A ม�การแจกแจงปกตั�เฉลุ่��ย่ระย่ะที่าง 152 กม. ตัอน.%าม�น 10 ลุ่�ตัร สวนเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน 10.5 กม. สวนรถิย่��ห#อ B ม�การแจกแจงปกตั�เฉลุ่��ย่ระย่ะที่าง 148 กม. ตัอน.%าม�น 10 ลุ่�ตัร สวนเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน 8.8 กม. ส�มตั�วอย่างรถิย่��ห#อ A จ.านวน 36 ค่�น แลุ่ะ รถิย่��ห#อ B จ.านวน 49 ค่�น

จงหาค่วามนาจะเป�นที่��ผลุ่ตัางข้องระย่ะที่างเฉลุ่��ย่ข้องรถิย่��ห#อ A จะมากกวารถิย่��ห#อ B อย่างน#อย่ 3 กม.



36

ก.าหนดให# เป�นระย่ะที่างเฉลุ่��ย่ที่��รถิย่��ห#อ A ว��งได#ก.าหนดให# เป�นระย่ะที่างเฉลุ่��ย่ที่��รถิย่��ห#อ B ว��งได#ผลุ่ตัางข้องระย่ะที่างเฉลุ่��ย่ข้องรถิย่��ห#อ A แลุ่ะ B

ค่(อ ม�การแจกแจงปกตั�ม�ค่าเฉลุ่��ย่

สวนเบ��ย่งเบนมาตัรฐาน


ตั�วอย่�างท�� 1.6X

Y

BA BA

4148152 BABAμ

2.15471.58043.0625

49

28.836

210.5

21

22

nn

BA

B-Aσ


37


ตั�วอย่�างท�� 1.6

67.72% หร(อ 0.67752 0.50.1772 0.46ZP

2.154743

BA

BABAP 3BAP

σμμ

ค่วามนาจะเป�นที่��ผลุ่ตัางข้องระย่ะที่างเฉลุ่��ย่ข้องรถิย่��ห#อ A จะมากกวา ย่��ห#อ B อย่างน#อย่ 3 กม. ค่(อ 67.72%

Documents

สถิติ บทที่ 5