НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “КИЄВО-МОГИЛЯНСЬКА АКАДЕМІЯ”

Факультет інформатики Кафедра математики

Городній М.Ф., Митник Ю.В.

Основи математичного аналізу

Частина II

Інтеграли. Ряди.

Київ - 2007

Навчальний посібник є продовженням книги «Основи математичного аналізу. Частина 1. Диференціальне числення функцій однієї змінної» і містить основи інтегрального числення функцій однієї змінної та ряди. Зміст тем відповідає матеріалу, який читається в другому триместрі на першому курсі факультету інформатики університету “Києво-Могилянська Академія”. Для студентів факультетів інформатики вищих навчальних закладів.

Рецензент: доктор фізико-математичних наук, професор

Шевчук І.О.

Рекомендовано до друку

Вченою радою Національного університету

«Києво-Могилянська академія»

Протокол №4 від 29 листопада 2006 року

© Городній М.Ф., Митник Ю.В. 2007 р.

Зміст

3

3

ЗМІСТ Передмова ......................................................................................................................................5 8. Невизначений інтеграл ..........................................................................................................6 8.1. Основні означення…...............................................................................................................6 8.2. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.………………..…………….……….. 6 8.3. Таблиця основних невизначених інтегралів........…………………………………….…….7 8.4. Основні методи інтегрування. ........…………………………………….…………………...8 8.5. Приклад функції, яка не має первісної.........…………………………………….………….9 8.6. Функції, первісні яких не виражаються через основні елементарні функції. ........……...9 8.7. Інтегрування раціональних функцій. ........…………………………………….……………9 Задачі

8А............................................................................................................................................14 8Б ............................................................................................................................................14 8Д ............................................................................................................................................15

9. Інтеграл Рімана (визначений інтеграл) …..………………………………………………16 9.1. Означення інтеграла Рімана… .........…………………………………….…………………16 9.2. Геометрична інтерпретація. ........…………………………………….…………………….17 9.3. Властивості інтеграла Рімана. ........…………………………………….………………….18 9.4. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). ........….…...21 9.5. Формули заміни змінної та інтегрування частинами. ........………………………………22 9.6. Приклади застосування визначеного інтеграла. ........……………………………..……...24 9.7. Інтеграл як функція верхньої межі. ........…………………………………….…….………26 9.8. Невласні інтеграли. ........…………………………………….……………………….……..28 Задачі

9А............................................................................................................................................29 9Б ............................................................................................................................................30 9Д ............................................................................................................................................31

10. Числові ряди ........…………………..……………………….……………………….……..32 10.1. Основні означення. Необхідні умови збіжності числового ряду. ...……………………32 10.2. Критерій Коші збіжності числового ряду…………………… ....………………….……33 10.3. Властивості збіжних рядів. ...………………….………………………………………….34 10.4. Ряди з невід’ємними членами. ...………………….………………………………………35 10.5. Ряди з довільними членами. ...………………….…………………………………………42 10.6. Групування і перестановка членів ряду. ...………………….……………………………44 Задачі

10А..........................................................................................................................................45 10Б ..........................................................................................................................................46 10Д ..........................................................................................................................................47

11. Функціональні ряди………………………………………………………………………..48 11.1 Основні означення. …………………………….…………………………………………..48 11.2 Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій. ……………………………..49 11.3 Рівномірна збіжність функціонального ряду. ……………..……………………………..50 11.4. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів………………………………..52 Задачі

11А..........................................................................................................................................54

Зміст

4

4

11Б ..........................................................................................................................................54 11Д ..........................................................................................................................................55

12. Степеневі ряди.…………………….……………………………………………………….56

12.1. Область збіжності степеневого ряду. .………………………..….………………………56 12..2. Основні властивості степеневих рядів. .…………………..……………………………58 12..3. Ряд Тейлора. .…………………….………………………..……..……………………….59 Задачі

12А..........................................................................................................................................61 12Б ..........................................................................................................................................62 12Д ..........................................................................................................................................63

13. Ряди Фур’є.…………………….…………………………………………………………….64

13.1. Означення коефіцієнтів Фур’є та ряду Фур’є. .…………………….……………………64 13..2. Властивості ряду Фур’є.…………………….…………………………………………….64 Задачі

13А..........................................................................................................................................68 13Б ..........................................................................................................................................68 13Д ..........................................................................................................................................69

14. Відношення “О” і “о”. Еквівалентні функції…………………………………………..70

Список рекомендованої літератури.……………………………………………………………72

5

ПЕРЕДМОВА

Посібник є продовженням книги «Основи математичного аналізу. Частина 1. Диференціальне числення функцій однієї змінної. / Ю.В. Митник, М.Ф. Городній, О.І. Кашпіровський // К:, Вид. дім “КМ Академія”, 2004» і написаний на основі курсу лекцій і практичних занять, які проводились в другому триместрі на першому курсі факультету інформатики НаУКМА. Містить основи інтегрального числення функцій однієї змінної (первісна, визначений інтеграл і його застосування) і теорії рядів (числові ряди, функціональні ряди та їх важливі класи – степеневі ряди і ряди Фур’є). Структура посібника збережена попередньою: за стислим викладом теоретичного матеріалу з розглядом відповідних типових прикладів, зауважень і методичних настанов йдуть задачі для аудиторної роботи (група А), домашні завдання (група Б) і додаткові задачі та задачі підвищеної складності (група Д). В кінці посібника наведено список літератури, якою доцільно скористатися для більш поглибленого оволодіння матеріалом.

6

Розділ 8. Невизначений інтеграл

8.1. Основні означення. Нехай I позначає одну з множин виду );( ba , ];[ ba , ];( ba , );[ ba , );( b−∞ , ];( b−∞ ,

);( +∞a , );[ +∞a , R .

Означення 1. Нехай RIf →: . Функція RIF →: називається первісною або

примітивною функції f на I , якщо для кожного Ix ∈ існує )(' xF і )()(' xfxF = .

Зауваження 1. Якщо F – первісна деякої функції f на I , то F – неперервна

функція на множині I . Означення 2. Невизначеним інтегралом функції RIF →: називається сукупність

усіх первісних f на I .

Позначення: ∫ dxxf )( .

Теорема 1. Якщо F – фіксована первісна f на I , то

CxFdxxf +=∫ )()( ,

де С – довільна стала, тобто дві первісні можуть відрізнятися тільки на сталу. Доведення. Нехай G – відмінна від F первісна f на I . Розглянемо функцію

IxxFxGx ∈−= ),()()(ϕ . Внаслідок означення первісної

.0)()()(')(')(': =−=−=∈∀ xfxfxFxGxIx ϕ (1)

Зафіксуємо .0 Ix ∈ Нехай 0, xxIx ≠∈ . Застосувавши до функції ϕ на відрізку з кінцями

0x і x теорему Лагранжа про скінчений приріст і врахувавши (1), дістанемо:

−)(xϕ ,0))((')( 00 =−= xxcx ϕϕ

тобто, Ixxx ∈= ),()( 0ϕϕ . Тому, поклавши )(: 0xC ϕ= , отримаємо ,)()( CxFxG +=

.Ix∈ Теорему 1 доведено. 8.2. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.

.),()')(()1 Ixxfdxxf ∈=∫

.,)()(')2 IxCxFdxxF ∈+=∫

.,)()(:)3 IxdxxfdxxfR ∈=∈∀ ∫ ∫ααα

.,)()())()(()4 Ixdxxgdxxfdxxgxf ∈±=±∫ ∫ ∫

)5 Нехай F – первісна f на I , −≠ ba ,0 фіксовані дійсні числа,

}.)(|{: IbaxRxJ ∈+∈= Тоді

.,)()( 1 JxCbaxFdxbaxf a ∈++=+∫

Для перевірки властивостей 1) – 5) досить скористатися означенням невизначеного інтеграла і властивостями похідної.

Приклад 1. Обчислити ∫ − .)23cos( dxx

Розв’язання. Оскільки xsin – первісна функції xcos на R , то внаслідок елементарної

властивості 5)

7

∫ ∈+−−=− RxCxdxx ,)23sin()23cos( 21 .

8.3. Таблиця основних невизначених інтегралів.

1. RInZnCn

xdxx

nn =≠∈+

+=

+

∫ ,1,,1

1

.

2. );0(,\,1

1

∞+=∈++

=+

∫ IZRCx

dxx αα

αα .

3. )0;(,ln −∞=+=∫ ICxx

dxабо );0( +∞=I .

4. ∫ =+= RICxxdx ,sincos .

5. ∫ =+−= RICxxdx ,cossin . Znnn ∈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++− ,2

;2

ππππ

6. −+=∫ ICtgxx

dx,

cos2 будь-який з інтервалів Znnn ∈⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++− ,2

;2

ππππ.

7. −+−=∫ ICctgxx

dx,

sin 2будь-який з інтервалів ( ) Znnn ∈+ ,; πππ .

8. Для 1,0 ≠> aa

RICa

adxa

xx =+=∫ ,

ln,

зокрема,

RICedxe xx =+=∫ , .

9. .,1 2

RICarctgxx

dx =+=+∫

10. ).1;1(,arcsin1 2

−=+=−

∫ ICxx

dx

11. Короткий логарифм:

,1

1ln

2

1

1 2C

x

x

x

dx +−+=

−∫ I – один з інтервалів ( ) ( ) ( )∞+−−∞− ;1,1;1,1; .

12. Довгі логарифми:

;,1ln1

22

RIxxx

dx =++=+∫

( ),1;,1ln1

2

2−∞−=−+=

−∫ Ixx

x

dx або );1( +∞=I .

8

8.4 Основні методи інтегрування. Теорема 2 (метод заміни змінної). Нехай F – первісна f на I , IJ →:ϕ така

функція, що для кожного Jx∈ існує )(' xϕ . Тоді

JxCxFdxxxf ∈+=∫ ,))(()('))(( ϕϕϕ .

Доведення. Згідно з означенням невизначеного інтеграла треба переконатися, що ))(( xF ϕ є первісною для )('))(( xxf ϕϕ на J . Для цього відзначимо, що F – первісна f на

I , а отже, ).('))(()('))(('))'(((: xxfxxFxFJx ϕϕϕϕϕ ==∈∀

Теорему 2 доведено. Зауваження 2. При виконанні умов теореми 2 для обчислення невизначеного інтеграла

dxxxf )('))(( ϕϕ∫ використовується заміна змінної )(xt ϕ= . Тоді dxxdt )('ϕ= , а отже,

∫∫ ∈+=+===

== .,))(()()(

)('

)()('))(( JxCxFCtFdttf

dxxdt

xtdxxxf ϕ

ϕϕ

ϕϕ

Приклад 2. Обчислити ∫− .42

dxxex

Розв’язання. Застосуємо заміну змінної 42 −= xt :

.,2

1

2

1

2

1

2

2

2

44

2

4 22

RxCeCedtedx

e

dtxdx

xdxdt

xt

dxxe xtttx ∈+=+===

=

=−=

= −−∫∫∫

Вправа 1. Довести елементарну властивість 5) невизначеного інтеграла за допомогою заміни змінної baxt += .

Теорема 3 (метод інтегрування частинами). Нехай функції RIvRIu →→ :,:

задовольняють такі умови: 1) для кожного Ix ∈ існують )(' xu та );(' xv

2) функція vu' має первісну на I . Тоді функція vu' також має первісну на I і справджується рівність:

∫ ∫ ∈−= .,)(')()()()(')( Ixdxxuxvxvxudxxvxu (2)

Доведення. Внаслідок умови 1) функція uv є первісною функції '' uvvu + на I . Тому з елементарної властивості 4) невизначеного інтеграла й умови 2) випливає, що функція

vuuvvuvu ')''(' −+= також має первісну на I і виконується рівність (2). Теорему 3

доведено. Зауваження. Формулу інтегрування частинами (2) коротко записують так:

∫ ∫−= vduuvudv .

Приклад 3. Обчислити xdxx ln2∫ .

Розв’язання. Застосуємо метод інтегрування частинами:

9

===

===∫

3,

,lnln

32

2

xvdxxdv

x

dxduxu

xdxx x

dxxx

x∫ ⋅−

3ln

3

33

=−= ∫ dxxxx 2

3

3

1ln

3

,9

ln3

33

Cx

xx +−= ).;0( ∞+∈x

8.5. Приклад функції, яка не має первісної. Приклад 4. Довести, що функція

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

==.0,1

,0,0

,0,1

:)(

x

x

x

signxxf

не має первісної на R . Розв’язання. Нехай, від супротивного, функція signxxf =)( має первісну F на R .

Зафіксуємо 0>x і застосуємо до функції F теорему Лагранжа про скінчений приріст на відрізку ];0[ x . Дістанемо:

,)0)((')0()( xxcFFxF =−=−

бо 1)(' == signccF для кожного 0>c . Тому, згідно з означенням похідної,

.1lim0

)0()(lim)0('

0000==

−−=

+→+→ x

x

x

FxFF

xx

Це суперечить рівності 0)0()0(' == fF .

8.6. Функції, первісні яких не виражаються через основні елементарні

функції. Пізніше буде доведена така теорема. Теорема 4 (про існування первісної для неперервної функції). Якщо функція f

неперервна на I , то f має первісну на I .

Корисно запам’ятати, що первісні неперервних на );0( ∞+ функцій x

xsin,

x

xcos,

)sin( 2x , )cos( 2x , x

ex

, x

x

ln,

2axe , 0≠a , не виражаються через основні елементарні

функції. 8.7. Інтегрування раціональних функцій. Раціональною функцією називається відношення двох многочленів. Невизначений інтеграл від раціональної функції завжди виражається через основні

елементарні функції. Для інтегрування раціональних функцій використовуються такі теореми.

10

Теорема 5. Раціональну функцію )(

)(

xQ

xP завжди можна зобразити у вигляді

,)(

)()(

)(

)( 21 xQ

xPxP

xQ

xP += де )(1 xP , )(2 xP – такі многочлени, що степінь многочлена

)(2 xP менший за степінь многочленна )(xQ , тобто дріб )(

)(2

xQ

xP правильний.

Теорема 6. Для кожного многочлена nnnn aaxaxaxQ ++++= −

−1

110 ...)( з дійсними

коефіцієнтами існує єдиний з точністю до перестановки множників розклад

∏∏==

++−=j

i

rii

lm

kk

ik qxpxxxaxQ1

2

10 )()()( , (3)

у якому iik qpx ,, – дійсні числа, ik rl , – натуральні числа і квадратні тричлени

ii qxpx ++2 не мають дійсних коренів.

Теорема 7. Будь-який правильний раціональний дріб )(

)(

xQ

xP можна зобразити у вигляді

суми елементарних дробів, тобто дробів виду

max

A

)( −,

mqpxx

CBx

)( 2 +++

,

де qpaCBA ,,,,, – дійсні числа, Nm ∈ , і квадратний тричлен qpxx ++2 не має дійсних

коренів При цьому вирази вигляду ax − , ( )qpxx ++2 беруться із розкладу многочлена

)(xQ – знаменника дробу )(

)(

xQ

xP.

Внаслідок теорем 6,7 для правильного дробу )(

)(

xQ

xP, знаменник )(xQ якого має розклад

(3), загальний вигляд зображення за допомогою суми елементарних дробів такий:

∑= −

=1

1 1

,1

)()(

)( l

ik

k

xx

A

xQ

xP∑∑

== −++

−+

ml

ik

m

kml

kk

k

xx

A

xx

A

1

,

1 2

,2

)(...

)(

2

∑∑== ++

++

+++

+21

1 222

,2,2

1 112

,1,1

)()(

r

ii

iir

ii

ii

qxpx

CxB

qxpx

CxB++ ... ∑

= +++jr

ii

jj

ijij

qxpx

CxB

12

,,

)(. (4)

Тут rlrlrl CBA ,,, ,, – невизначені коефіцієнти. Відзначимо, що множнику rlrxx )( −

відповідає rl елементарних дробів k

r

kr

xx

A

)(,

−, rlk ≤≤1 , а множнику ir

ii qxpx )( 2 ++

11

відповідає ir елементарних дробів k

ii

kiki

qxpx

CxB

)( 2

,,

+++

, irk ≤≤1 , а також кількість

невизначених коефіцієнтів дорівнює степеню многочлена )(xQ .

Приклад 5. Записати загальний вигляд зображення правильного дробу

2223

2

)22()2)(1(

3

+−+−+

xxxxx

x за допомогою суми елементарних дробів.

Розв’язання. Оскільки квадратний тричлен 222 +− xx не має дійсних коренів, то згідно з формулою (4)

+−

+++=+−+−

+1)22()2)(1(

3322223

2

x

D

x

C

x

B

x

A

xxxxx

x ++

++ 2)2(2 x

F

x

E

222 )22(22 +−++

+−++

xx

STx

xx

NMx,

де STNMFEDCBA ,,,,,,,,, – невизначені коефіцієнти. Для інтегрування раціональної функції треба: 1. виділити правильний дріб; 2. розкласти знаменник правильного дробу на множники і отримати розклад виду (3); 3. методом невизначених коефіцієнтів розкласти правильний дріб на елементарні

дроби; 4. записати раціональну функцію у вигляді суми многочлена і елементарних дробів і

кожен з них інтегрувати окремо.

Приклад 6. Обчислити .23

323

34

dxxx

xx∫ +−

++

Розв’язання. Спочатку виділимо правильний дріб:

а отже,

++=+−++

223

323

34

xxx

xx

23

1433

2

+−−+

xx

xx.

Враховуючи, що

233 +− xx = 223 )1()2)(1()1(2)( −=−+−=−−− xxxxxxx )2( +x ,

для правильного дробу матимемо:

12

2)1(1)2()1(143

22

2

++

−+

−=

+−−+

x

C

x

B

x

A

xx

xx.

(5) Знайдемо коефіцієнти .,, CBA Після зведення правої частини (5) до спільного

знаменника дістанемо тотожність 22 )1()2()2)(1(143 −++++−=−+ xCxBxxAxx . (6)

Наведемо два способи визначення коефіцієнтів CBA ,, з тотожності (6). 1 спосіб. Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях x , складемо систему

рівнянь для визначення CBA ,, :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=−+

=+

.122

,42

,3

CBA

CBA

CA

Звідси знаходимо: 31,2,38 === CBA .

2 спосіб. Тотожність (6) виконується для всіх Rx ∈ . Підставимо замість x корені знаменника.

При 1=x дістанемо CBA ⋅++⋅=−+ 030143 , звідки 2=B . При 2−=x матимемо CBA 9001812 +⋅+⋅=−− , тобто, 31=C .

Тому (6) записується у вигляді 22 )1(3

1)2(2)2)(1(143 −++++−=−+ xxxxAxx .

Звідси, підставивши, наприклад, 0=x , одержимо 3

1411 ++−=− A , тобто, 38=A .

Отже,

231

)1(2

138

)2()1(143

22

2

++

−+

−=

+−−+

xxxxx

xx.

Тому

∫∫∫∫ −+

−++=

+−++

23

34

)1(2

13

8)2(

23

32

x

dx

x

dxdxxdx

xx

xx+

Cxx

xxx

x

dx +++−

−−++=+

+ ∫ 2ln3

1

1

21ln

3

82

223

1 2

, Ix ∈ ,

де ( )2;−∞−=I , або ( )1;2−=I , або ( )∞+= ;1I .

Приклад 7. Обчислити ∫ +−+

22 )54(

)1(

xx

dxx.

Розв’язання. Відзначимо, що дріб 22 )54(

)1(

+−+xx

x елементарний. Виділивши повний

квадрат у знаменнику і зробивши заміну змінної, дістанемо:

13

dxdt

xt

x

dxx

xx

dxx

=−=

=+−

+=+−

+∫∫

2

)1)2((

)1(

)54(

)1(2222

=

∫∫∫ ++

+=

++=

222222 )1(3

)1()1(

)3(

t

dt

t

tdt

t

dtt. (7)

Обчислимо окремо кожен з останніх інтегралів.

∫∫ +−==

=

=+=

=+

Cyy

dy

dytdt

tdtdy

ty

t

tdt

2

1

2

1

2

2

1

)1( 2

2

22C

t+

+−=

)1(2

12

. (8)

Для обчислення ∫ + 22 )1(t

tdt проінтегруємо частинами ∫ +12t

dt. Одержимо:

( )tvdtdv

t

tdtdu

tu

t

dt

==+

−=+

==

+∫,

1

2,

1

1

1222

22

12+

+=

t

t

( ) =+

∫ 22

2

1t

dtt ++12t

t

( )( ) ( ) .

12

12

11

112

222222

2

∫∫∫+

−+

++

=+

−++t

dt

t

dt

t

tdt

t

t

Звідси

( )∫+ 22 1t

dt.

12

1

112

1222

Ctarctgt

t

t

dt

t

t +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

++

+= ∫ (9)

Оскільки 2−= xt , то з (7-9) випливає, що

( ) =+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

++

−=+−

+∫ Ctarctg

t

t

txx

dxx3

1

3

1

1

2

1

54

)1(2222

.,)2(354

73

2

12

RxCxarctgxx

x ∈+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++−

−=

Більш детально різні способи інтегрування розглядаються, наприклад, в [ ].2,1

14

Задачі 8A

Обчислити невизначені інтеграли:

1. 2 3(2 )x dx−∫ ;

2. 3(1 3 )

dx

x−∫ ;

3. 2tg xdx∫ ;

4. 5 2 5xdx−∫ ;

5. 29 4

dx

x −∫ ;

6. 23 2

xdx

x −∫ ;

7. 2xxe dx−

∫ ;

8. 2cos 5xdx∫ ;

9. 7sin cosx xdx∫ ;

10. 21

arctgxdx

x+∫ ;

11. 2xxe dx∫ ;

12. cosx xdx∫ ;

13. 3 lnx xdx∫ ;

14. arctgxdx∫ ;

15. 2 2 10

dx

x x+ +∫ ;

16. 2

2 3

3 10

xdx

x x

++ −∫ ;

17. 2( 1)

dx

x x +∫ ;

18. 2

( 1)

4 13

x dx

x x

+− +∫ ;

19. sin 5 cos3x xdx∫ ;

20. 5cos xdx∫ .

21. Для функції 2, 1,

( )2 , 1

xf x

x x

<⎧= ⎨ ≥⎩

знайти первісну, яка проходить:

а) через точку M(2;4); б) через точку N(0;0).

8Б Обчислити невизначені інтеграли:

1. 3

3 22

3x dx

x x⎛ ⎞− −⎜ ⎟−⎝ ⎠∫ ;

2. 1 32 x dx−∫ ;

3. 22 3

dx

x−∫ ;

4. 22 3

xdx

x−∫ ;

5. 2sin 7xdx∫ ;

6. ctgxdx∫ ;

7. 5

3 2

x

x

e dx

e +∫ ;

8. 2 xx e dx−∫ ;

9. 2 sinx xdx∫ ;

10. arcsin xdx∫ ;

15

11. 2 6

dx

x x− −∫ ;

12. 2

2 3

6 10

xdx

x x

++ +∫ ;

13. 3

2

2 1

1

xdx

x

++∫ ;

14. sin 4 sin 6x xdx∫ ;

15. 2

( 2)xdx

x x

−+∫ ;

16. 1

dx

x+∫ .

17. Для функції 2 , 0,

( )sin , 0

x xf x

x x

<⎧= ⎨ ≥⎩

знайти первісну, яка проходить:

а) через точку M(2

π;1);

б) через точку N(2

π;0).

18. Знайти первісну функції { }2( ) max 1,f x x= .

8Д

Обчислити невизначені інтеграли:

1. sin cos

dx

x x∫ ;

2. sin

dx

x∫ ;

3. cos

dx

x∫ ;

4. cosaxe bxdx∫ , якщо 0ab ≠ ;

5. sinaxe bxdx∫ , якщо 0ab ≠ ;

6. 2 1

dx

x x +∫ ;

7. 1 x

dx

e+∫ ;

8. 1 1

dx

x x+ + −∫ ;

9. 2 3/ 2(1 )

dx

x−∫ ;

10. 2 2( 1)

dx

x −∫ ;

11. 2 2a x dx−∫ , якщо 0a ≠ ;

12. 2 2a x dx+∫ , якщо 0a ≠ ;

13. 2 cos

dx

x+∫ ;

14.3cos sin 1

dx

x x+ +∫ ;

16

Розділ 9. Інтеграл Рімана (визначений інтеграл) 9.1. Означення інтеграла Рімана. Нехай ];[ ba – фіксований відрізок.

Означення 1. Розбиттям відрізка ];[ ba називається такий набір точок

,...,,, 10 nxxx що

....210 bxxxax n =<<<<=

Позначення: λ або λ( ];[ ba ) або λ={ nxxx ...,,, 10 }.

Розбиття λ з означення 1 ділить відрізок ];[ ba на n відрізків. Довжину k-го відрізка

];[ 1+rk xx з розбиття λ позначимо kxΔ . Таким чином, kkk xxx −=Δ +1 .

Означення 2. Діаметром розбиття λ називається число

knk

xΔ=−≤≤ 10

max:λ .

Відзначимо, що λ – це довжина найбільшого з відрізків розбиття λ, а також

∑−

=−=Δ

1

0

n

kk abx .

Нехай Rbaf →];[: – обмежена на ];[ ba функція. У кожному з відрізків розбиття λ

зафіксуємо по точці:

],[ 1+∈ kkk xxξ , 10 −≤≤ nk .

Означення 3. Інтегральною сумою для функції f , що відповідає розбиттю λ і

набору точок }10,{ −≤≤ nkkξ називається число

=:}){,,( kfS ξλ ...)()( 1100 +Δ+Δ xfxf ξξ =Δ+ −− 11 )( nn xf ξ ∑−

=Δ

1

0

)(n

kkk xf ξ

Означення 4. Число I називається границею інтегральних сум }){,,( kfS ξλ при

0→λ , якщо для довільного 0>ε знайдеться таке 0>δ , що для довільного розбиття λ

відрізка ];[ ba , такого, що δλ < і для будь-якого набору точок }10,{ −≤≤ nkkξ , що

відповідає розбиттю λ , справджується нерівність εξλ <− IfS k }){,,( .

Якщо границя I інтегральних сум }){,,( kfS ξλ існує, то вона називається

інтегралом Рімана (або визначеним інтегралом) від функції f по відрізку ];[ ba і

17

позначається ∫b

a

dxxf )( , а функція f називається інтегровною за Ріманом по відрізку

];[ ba .

Позначення: fbaRf ⇔∈ ]);([ інтегровна за Ріманом по відрізку ];[ ba

Вправа 1. Нехай ],[,)( baxcxf ∈= , де c – фіксоване дійсне число. Довести, що

]);([ baRf ∈ і ∫ −=b

a

abcdxxf )()( .

Вправа 2. Нехай

⎩⎨⎧

∈∩∈

=.\]1;0[,0

;]1;0[,1)(

Qx

Qxxf

Довести, що функція f не інтегровна за Ріманом по [0;1].

9.2. Геометрична інтерпретація.

Нехай Rbaf →];[: – невід’ємна та неперервна на ];[ ba функція. Покладемо

)}(0,|),{(: xfybxayxM ≤≤≤≤= .

Фігура M зображена на рис. 1 і називається криволінійною трапецією. Спробуємо обчислити її площу.

Рис.1.

Нехай }){,,( kfS ξλ – інтегральна сума для функції f , що відповідає розбиттю

},,,,{= nxxxx ...210λ відрізка ];[ ba і набору точок }10,{ −≤≤ nkkξ . Відзначимо, що

}){,,( kfS ξλ рівна сумі площ n прямокутників зі сторонами )( kf ξ і kxΔ , 10 −≤≤ nk .

18

Зокрема при n=5 і відповідному виборі λ та 43210 ,,,, ξξξξξ інтегральна сума

}){,,( kfS ξλ рівна сумі площ прямокутників, зображених на рис. 2.

0ξ x1 1ξ x2 2ξ x3 3ξ x4 4ξ x5 5ξ x6 6ξ x7 7ξ

Рис. 2.

Інтуїтивно здається очевидним, що при малих значеннях λ інтегральна сума

}){,,( kfS ξλ мало залежить від вибору точок 1210 ... −,,,, nxxxx і стає близькою до деякого

числа, яке природно вважати площею )(MS криволінійної трапеції M .

Таким чином, площу )(MS можна визначити як границю інтегральних сум

}){,,( kfS ξλ при 0→λ , якщо остання границя існує.

9.3. Властивості інтеграла Рімана.

Справджуються такі твердження.

Теорема 1. Якщо Rbaf →];[: – монотонна або неперервна на ];[ ba функція, то

]);([ baRf ∈ .

Теорема 2. Інтеграл Рімана не залежить від значень функції f у скінченному числі

точок.

Теорема 3. Нехай ]);([ baRf ∈ , },,,{= )(...)()( )(10 nxnxnx nmnλ , 1≥n , – така

послідовність розбиттів відрізка ];[ ba , що 0→nλ , ∞→n , і для кожного 1≥n

}1)(0),({ −≤≤ nmknkξ – набір точок, що відповідає розбиттю nλ .Тоді

=∞→

)})({,,(lim nfS knn

ξλ ∫b

a

dxxf )( .

19

Теорема 4 (лінійність інтеграла Рімана). Якщо RcbaRgf ∈⊂ ]),;([},{ , то

]);([},{ baRgfcf ⊂± і

∫∫ =b

a

b

a

dxxfcdxxcf )())(( ;

.)()())()(( ∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

Теорема 5 (адитивність інтеграла Рімана). Якщо ]);([ baRf ∈ і bca << , то

]);([ caRf ∈ і ]);([ bcRf ∈ , причому

.)()()( ∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf

Теорема 6 (про нерівності для інтегралів Рімана). Нехай ]);([},{ baRgf ⊂ , а

також ).()(:];[ xgxfbax ≤∈∀ Тоді

.)()( ∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf

Теорема 7. Якщо ]);([ baRf ∈ , то ]);([|| baRf ∈ і справджується нерівність

.|)(||)(| ∫∫ ≤b

a

b

a

dxxfdxxf

Теорема 8 (про середнє значення). Нехай ]).;([ baCf ∈ Тоді

∫ −=∈∃b

a

abfdxxfba ).)(()(:];[ θθ

Доведення цих теорем можна знайти, наприклад, в [1,2]. Наведемо тут деякі з них.

Доведення теореми 3. Нехай 0>ε задано. Треба вказати такий номер 0n , що

−≥∀ )})({,,(|:0 nfSn kn ξλ ε<∫ |)(b

a

dxxf . (1)

Нехай 0>δ – відповідне до ε число з означення 4. Оскільки ∞→→ nn ,0|| λ , то

внаслідок означення границі послідовності

20

.||:00 δλ <≥∀∃ nnnn

Тому, згідно з означенням 4, при 0nn ≥ справджуються нерівності (1). Теорему 3 доведено.

Доведення теореми 6. Зафіксуємо таку послідовність розбиттів },,,{= )(...)()( )(10 nxnxnx nmnλ , 1≥n , відрізка ];[ ba , що ∞→→ nn ,0|| λ , і відповідні до

nλ набори точок }1)(0),({ −≤≤ nmknkξ , 1≥n . Оскільки

0≥∀n :1)(0 −≤≤∀ nmk )),(())(( ngnf kk ξξ ≤

то для кожного :0≥n

∑−

=≤Δ=

1)(

0

)())(()})({,,(nm

kkkkn nxnfnfS ξξλ ∑

−

==Δ

1)(

0

)())((nm

kkk nxng ξ )})({,,( nfS kn ξλ .

Також внаслідок теореми 3

→)})({,,( nfS kn ξλ ∫b

a

dxxf )( , →)})({,,( ngS kn ξλ ∫b

a

dxxg )( ; .∞→n

Тому, згідно з теоремою про нерівності для границь, .)()( ∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf Теорему 6

доведено.

Доведення теореми 8. З другої теореми Вейєрштрасса випливає, що досягаються

),(min:];[

xfmbax∈

= )(max:];[

xfMbax∈

= .

При цьому

.)(:];[ Mxfmbax ≤≤∈∀

Тому, скориставшись твердженням теореми 6 і вправи 1, робимо висновок, що

).()()( abMdxxfabmb

a

−≤≤− ∫ (2)

Якщо хоча б одна з нерівностей (2) виконується зі знаком “=”, то твердження теореми 8 справджується внаслідок другої теореми Вейєрштрасса.

Нехай

).()()( abMdxxfabmb

a

−<<− ∫

21

Покладемо .)(: 1 ∫−=b

aab dxxfL Тоді m<L<M, а отже, функція ],;[,)()( baxLxfxh ∈−=

неперервна на [a; b] і

).(max0)(min];[];[

xhLMLmxhbaxbax ∈∈

=−<<−=

Тому згідно з теоремою Коші про проміжне значення існує таке ];[ ba∈θ , що 0)( =θh ,

тобто ).)(()( abfdxxfb

a

−=∫ θ Теорему 8 доведено.

9.4. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення).

Наступна теорема дає простий зв’язок між поняттям первісної і поняттям інтеграла Рімана.

Теорема 9 (формула Ньютона-Лейбніца). Припустимо, що функція Rbaf →];[:

задовольняє такі умови:

1) ]);([ baRf ∈ ;

2) f має первісну на ];[ ba .

Нехай F – деяка первісна функції f на ];[ ba . Тоді

).()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

Доведення. Нехай },,,,{= nxxxx ...210λ – деяке розбиття відрізка ];[ ba . Внаслідок

умови 2) для кожного 10 −≤≤ nk до функції F на відрізку ];[ 1+kk xx можна застосувати

теорему Лагранжа про скінченний приріст, згідно з якою

:];[ 1+∈∃ kkk xxξ =−+ )()( 1 kk xFxF kkkkk xfxxF Δ=−′ + )())(( 1 ξξ .

Тому для інтегральної суми }){,,( kfS ξλ , що відповідає розбиттю λ і побудованому вище

набору точок }10,{ −≤≤ nkkξ , справджується такий ланцюг рівностей:

}){,,( kfS ξλ =Δ++Δ+Δ= −− 111100 )(...)()( nn xfxfxf ξξξ=−++−+−= − )()(...)()()()( 11201 nn xFxFxFxFxFxF

.)()()()( 0 aFbFxFxF n −=−

22

Зафіксуємо тепер таку послідовність },,,{= )(...)()( )(10 nxnxnx nmnλ , 1≥n , розбиттів

відрізка ];[ ba , що ∞→→ nn ,0|| λ , і підберемо для кожного nλ набір точок

}1)(0),({ −≤≤ nmknkξ вказаним вище способом. Тоді

1≥∀n : ).()()})({,,( aFbFnfS kn −=ξλ

Тому, внаслідок умови 1 і теореми 3,

∫==−∞→

b

akn

ndxxfnfSaFbF )()})({,,(lim)()( ξλ .

Теорему 9 доведено.

Зауваження 9. Часто використовується таке позначення:

|)(:)()(b

axFaFbF =− .

Відзначимо, що формула Ньютона-Лейбніца дає простий метод обчислення інтеграла Рімана і робить інтегральне числення одним з найбільш ефективних знарядь математики при розв’язуванні різноманітних задач.

9.5. Формули заміни змінної та інтегрування частинами.

Означення 6. Для довільної функції f визначеної на множині, яка включає точку a ,

покладемо 0:)( =∫a

a

dxxf .

Для ]);([ baRf ∈ , де ,ba < покладемо ∫∫ −=b

a

a

b

dxxfdxxf )(:)( .

При обчисленні інтеграла Рімана використовуються наступні твердження.

Теорема 10 (формула інтегрування частинами). Нехай функції ,];[: Rbau →

,];[: Rbav → мають неперервні похідні на ];[ ba . Тоді

∫∫ ′−=′b

a

b

a

a

b

dxxuxvxvxudxxvxu .)()()()()()( |

Зауваження. Коротко формулу інтегрування частинами записують так:

∫∫ −=b

a

b

a

a

b

vduuvudv .|

23

Теорема 11 (формула заміни змінної). Припустимо, що:

1) ]);([ dcCf ∈ ;

2) функція ];[];[: dc→βαϕ має неперервну похідну на [α;β].

Позначимо ba == )(,)( βϕαϕ . Тоді

=′∫β

αϕϕ dxxxf )())((

.

,

)(

)(

btx

atx

dxxdt

xt

=⇒==⇒=

′==

βαϕ

ϕ

∫=b

a

dttf .)(

Наведемо приклади обчислення інтеграла Рімана.

Приклад 1. Обчислити ∫1

0

.dxxex

Розв’язання. Застосуємо формулу інтегрування частинами:

===

===∫ xx

x

evdxedv

dxduxudxxe

,

,1

0∫ =−1

0

1

0| dxexe xx 1)1(0 |1

0=−−=−− eeee x

Приклад 2. Обчислити ∫ −1

0

2 .1 dxx

Розв’язання. 1 спосіб. Застосуємо формулу заміни змінної:

∫∫ ==

=⇒=

=⇒==

=∈=

=−2/

0

21

0

2 cos

.2

1

,00,arcsin

,cos],2

;0[,sin

1π

π

π

tdt

tx

txxt

tdtdxttx

dxx

4)

2

2sin(

2

1

2

2cos1|

2

0

2/

0

πππ

=+=+= ∫t

tdtt

.

2 спосіб. Використаємо геометричну інтерпретацію інтеграла Рімана. Шуканий інтеграл дорівнює площі частини круга ,122 ≤+ yx яка лежить у першому квадранті. Тому

24

.4

11

0

2 π=−∫ dxx

Наступний приклад показує, як інтеграл Рімана використовується для обчислення границь деяких числових послідовностей.

Приклад 3. Обчислити ,lim nn

a∞→

якщо .3

1...

2

1

1

11

nnnnan ++

++

++=

Розв’язання. Зауважимо, що

nnnnna

nn

nnn

n 3

11

1

1...

1

1

11

1

11

1

112210

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+++⋅

++⋅

++⋅

+=

−. (3)

Набір точок }2

,12

,...,2

,1

,0

{n

n

n

n

nnnn

−=λ задає розбиття відрізка ]2;0[];[ =ba на n2

однакових відрізків, кожен з яких має довжину n

1. Покладемо

];2;0[,1

1)( ∈

+= x

xxf .120],

1;[)( −≤≤+∈= nk

n

k

n

k

n

knkξ

Тоді, згідно з (3),

.3

1)})({,,

1

1(:1

nn

xSan knn +

+=≥∀ ξλ

Оскільки ])2;0([Cf ∈ , то внаслідок теореми 1 ]).2;0([Rf ∈ Також

.,01

|| ∞→→= nnnλ Тому з теореми 3 і теореми про арифметичні дії над границями

випливає, що

∫ =+=++

=∞→

2

0

2

03ln)1ln(0

1lim |x

x

dxan

n.

9.6. Приклади застосування визначеного інтеграла.

1. Площа криволінійної трапеції. Якщо Rbaf →];[: – невід’ємна і неперервна

на ];[ ba функція, то площа криволінійної трапеції

)}(0,|),{( xfybxayxM ≤≤≤≤=

обчислюється за формулою

25

∫=b

a

dxxfMS .)()(

2. Нехай ]);([},{ baCgf = і

).()(:];[ xgxfbax ≤∈∀

Тоді площа фігури )}()(,|),{( xgyxfbxayxM ≤≤≤≤= обчислюється за формулою

∫ −=b

a

dxxfxgMS .))()(()(

3. Довжина кривої. Якщо ]),;([)1( baCf ∈ то довжина кривої

}|))(,{( bxaxfx ≤≤=Γ обчислюється за формулою

.))((1)( 2 dxxflb

a∫ ′+=Γ

4. Нехай ]).,([},{ )1( baC⊂ψϕ Тоді довжина кривої Γ , заданої параметричним

рівнянням

],,[),(

),(bat

ty

tx∈

⎩⎨⎧

==

ψϕ

обчислюється за формулою

.))(())(()( 22 dtttlb

a∫ ′+′=Γ ψϕ

5. Об’єм тіла обертання. Нехай Rbaf →];[: – невід’ємна і неперервна на ];[ ba

функція. Тоді об’єм тіла T , утвореного обертанням навколо осі Ox криволінійної трапеції )}(0,|),{( xfybxayx ≤≤≤≤ , обчислюється за формулою

∫=b

a

dxxfTV )()( 2π .

26

6. Площа поверхні обертання. Нехай Rbaf →];[: – невід’ємна і неперервно

диференційовна на ];[ ba функція. Тоді площа поверхні ,P утвореної обертанням навколо

осі Ox кривої },|))(,{( bxaxfx ≤≤ обчислюється за формулою

.))((1)(2)( 2∫ ′+=b

a

dxxfxfPS π .

7. Площа криволінійного сектора. Нехай ]).,([,20 βαπβα Cr ∈≤≤≤ Фігура

F , яка визначається в полярних координатах співвідношенням )}(0,|,{ ϕρβϕαϕρ rF ≤≤≤≤><= і зображена на рис. 3, називається криволінійним

сектором.

)(ϕr

α β

рис. 3

Площа криволінійного сектора F обчислюється за формулою

.)(2

1)( 2

∫=β

αϕϕ drFS

8. Довжина кривої, заданої в полярних координатах. Нехай

]).,([,20 )1( βαπβα Cr ∈≤≤≤ Довжина кривої }|),({ βϕαϕϕ ≤≤><=Γ r , заданої в

полярних координатах, визначається за формулою

.))(()()( 22∫ ′+=Γβ

αϕϕϕ drrl

9.7. Інтеграл як функція верхньої межі.

Нехай ]).;([ baRf ∈ Внаслідок теореми 5 ]);([ xaRf ∈ для кожного ],;( bax ∈ а

отже коректно визначена функція

27

,)()( ∫=x

a

dttfxϕ ].;[ bax ∈

Відзначимо, що .0)( =aϕ

Приклад 1. Якщо ],1,0[,)( 2 ∈= xxxf то ].1,0[,3

)(0

32 ∈== ∫ x

xdttx

x

ϕ

Приклад 2. Нехай ],1,0[,)(2

∈= xexf x тоді ],1,0[,)(0

2

∈= ∫ xdtexx

tϕ причому

функція ϕ не виражається через елементарні функції.

Теорема 10. Якщо ]),;([ baRf ∈ то ]),([ baC∈ϕ .

Доведення. Неперервність функції ϕ в точці 0x випливає з того, що з урахуванням

теорем 5, 6, 7 для кожного ];[ bax ∈ , 0xx ≥

|)()(||)()(|0

0 ∫∫ −=−x

a

x

a

dttfdttfxx ϕϕ ≤= ∫ |)(|0

x

x

dttf

0)(|)(|sup|)(| 0],[

0

→−⋅≤∈

∫ xxtfdttfbat

x

x

, 0xx → ,

а для ];[ bax ∈ , 0xx < справджуються аналогічні співвідношення. Теорему 10 доведено.

Теорема 11. Якщо ]),([ baCf ∈ , то ϕ неперервно диференційована на ],[ ba ,

причому

:];[ bax ∈∀ ).())(()( xfdttfxx

a

=′=′ ∫ϕ

Доведення. Зафіксуємо ].;[ bax ∈ Якщо xΔ – таке, що ,0],;[)( ≠Δ∈Δ− xbaxx то

внаслідок теореми про середнє значення

=Δ

−Δ+x

xxx )()( ϕϕ∫∫ ∫Δ+Δ+

=Δ

=−Δ

xx

x

xx

a

x

a

dttfx

dttfdttfx

)(1

))()((1

0),())((1 →Δ→Δ⋅Δ

Δ= xxfxxf

xθ ,

бо )( xΔθ лежить між x та xx Δ+ , а також функція f неперервна в точці x. Теорему 11

доведено.

28

Теорема 12 (про існування первісної). Якщо ]),([ baCf ∈ , то f має первісну на

],[ ba .

Доведення. З теореми 11 випливає, що первісною для f на ],[ ba є функція ϕ . Теорему 12 доведено.

Приклад. Нехай .,)(sin

0

2

RtdtexFx

t ∈= ∫ Обчислимо )(xF ′ .

Покладемо .,)(0

2

Rydteyy

t ∈= ∫ϕ Тоді ,),(sin)( RxxxF ∈= ϕ звідки з урахуванням

теореми 11 матимемо xexxxF x coscos)(sin)(2sin=′=′ ϕ .

9.8. Невласні інтеграли.

1. Невласний інтеграл по необмеженому інтервалу. Нехай Raf →∞);[: – така

функція, що ]),([ AaRf ∈ для кожного .aA >

Означення 7. Якщо існує скінченна границя

∫+∞→

A

aA

dxxf ,)(lim (4)

то вона називається невласним інтегралом від функції f по множині );[ ∞a і

позначається .)(∫+∞

a

dxxf При цьому кажуть, що невласний інтеграл ∫+∞

a

dxxf )( збігається.

Якщо границя (4) не існує або нескінченна, то кажуть, що невласний інтеграл ∫+∞

a

dxxf )(

розбігається.

Приклад 1. Невласний інтеграл ∫+∞

−

0

dxe x збігається, бо

∫+∞

−

0

dxe x == ∫−

+∞→

Ax

Adxe

0

lim )(lim |0Ax

Ae−

+∞→− .1)1(lim =−= −

+∞→

A

Ae

Вправа 1. Довести, що ∫+∞

1αx

dx збігається при 1>α і розбігається при .1≤α

29

2. Невласний інтеграл від необмеженої функції. Нехай Rbaf →);[: – така

функція, що ]),([ caRf ∈ для кожного ),( bac ∈ і f необмежена на множині ),[ ba .

Означення 8. Якщо існує скінченна

∫−→

c

abc

dxxf ,)(lim0

(5)

то вона називається невласним інтегралом від функції f по множині ),[ ba і позначається

∫b

a

dxxf )( . При цьому кажуть, що невласний інтеграл ∫b

a

dxxf )( збігається. Якщо границя

(5) не існує або нескінченна, то кажуть, що невласний інтеграл ∫b

a

dxxf )( розбігається.

Зауваження. Якщо Rbaf →];(: – така функція, що ]),([ bcRf ∈ для кожного

),( bac ∈ і f необмежена на ],( ba , то

=∫ :)(b

a

dxxf ∫+→

b

cac

dxxf ,)(lim0

якщо ця границя існує і скінченна.

Приклад 2. Невласний інтеграл ∫1

0

ln xdx збігається, бо

=∫1

0

ln xdx ∫ =+→

1

00lnlim

cc

xdx =−+→

)ln(lim |1

00 ccxxx .1)ln1(lim

00−=+−−

+→ccc

c

Вправа 2. Довести, що ∫1

0αx

dx збігається при 1<α і розбігається при .1≥α

Задачі 9A

Обчислити визначені інтеграли (1-4):

1. 2

0

|1 |x dx−∫ ;

2. 0

sinx xdxπ

∫ ;

30

3. 9

21 1

xdx

x+∫ ;

4. sin sinmx nxdxπ

π−∫ , якщо m, n – цілі числа.

Обчислити площі фігур, обмежених кривими (5-7): 5. 2 ,y x= 2x y+ = ;

6. 22 ,y x x= − 0x y+ = ;

7. 2 18cos 2ρ ϕ= . Обчислити довжини дуг кривих (8-10): 8. [ ]3/ 2 , 0;4y x x= ∈ ;

9. ( sin )x a t t= − , (1 cos )y a t= − , [ ]0;2t π∈ ;

10. [ ]4 , 0;eϕρ ϕ α= ∈ .

11. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями 22 ,y x x= − 0y = , навколо: 1) осі Ox; 2) осі Oy.

12. Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням кривої [ ]2 , 1;2y x x= ∈ , навколо

осі Ox . Обчислити невласні інтеграли (або встановити їх розбіжність) (13-16):

13. 2

0 1

dx

x

+∞

+∫ ;

14. 1

21 1

dx

x− −∫ ;

15. 2

1 1

dx

x −∫ ;

16. 0

sin xdx+∞

∫ .

9Б

Обчислити визначені інтеграли (1-4):

1. 2

2

2

4 x dx−

−∫ ;

2. 2

3

0

xxe dx∫ ;

31

3. 9

41 1

xdx

x+∫ ;

4. 2

0

sin cosmx nxdxπ

∫ , якщо m, n – цілі числа.

Обчислити площі фігур, обмежених кривими (5-7): 5. lg ,y x= 0y = , 10x = , 1/10x = ;

6. 2( 1)y x= + sinx yπ= , 0y = , 0 1y≤ ≤ ; 7. 9cos 2ρ ϕ= . Обчислити довжини дуг кривих (8-10): 8. [ ]2 4 , 0;4y x x= ∈ ;

9. (cos sin )x a t t t= + , (sin cos )y a t t t= − , [ ]0;2t π∈ ;

10. [ ]5 , 0;ρ ϕ ϕ π= ∈ .

11. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням еліпса 2 2

2 21

x y

a b+ = навколо:

1) осі Ox; 2) осі Oy. 12. Обчислити площу поверхні, отриманої обертанням кривої [ ]sin , 0; / 3y x x π= ∈ , навколо

осі Ox . Обчислити невласні інтеграли (або встановити їх розбіжність) (13-14):

13. 0

2 xx dx+∞

−∫ ;

14. 2

1 ln

dx

x x∫ .

9Д

Обчислити границі послідовностей:

1. 1

1lim

n

nk

k

n k n→∞ = +∑ ; 2. 2 1

2 20

limn

nk

n

k n

−

→∞ = +∑ .

3. Порівняти числа 1

0

xe dx−∫ та

21

0

xe dx−∫ .

4. Обчислити довжину дуги кривої ( ], ;0bae ϕρ ϕ= ∈ −∞ , де a, b – фіксовані додатні числа.

32

Розділ 10. Числові ряди 10.1 Основні означення. Необхідні умови збіжності числового ряду. Нехай { }1: ≥nan – числова послідовність. Числовим рядом називається вираз

∑∞

==++++

121 :......

nnn aaaa . (1)

Додати звичайним чином нескінченну кількість чисел не можна. Тому треба визначити, яким чином підсумовувати числовий ряд.

Для кожного Nn ∈ покладемо

∑=

=+++=n

kknn aaaaS

121 :...: .

Число na називається n -м членом, а число nS – n -ою частковою сумою ряду (1).

Означення 1. Якщо послідовність ( nS ) збігається до дійсного числа S , то кажуть, що ряд

(1) збігається і його сума дорівнює S . Якщо послідовність ( nS ) не має скінченої границі, то

ряд (1) називається розбіжним.

Приклад 1. Доведемо, що ряд ∑∞

= +1 )1(

1

n nn збігається і його сума дорівнює 1.

Справді, для кожного 1≥n

1

11

1

11...

3

1

2

1

2

11

)1(

1...

32

1

21

1

+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

+−++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=+

++⋅

+⋅

=nnnnn

Sn ,

а отже, .1lim =∞→ n

nS

Теорема 1 (перша необхідна умова збіжності числового ряду). Якщо ряд ∑∞

=1nna

збігається, то ∞→→ nan ,0 .

Доведення. Для кожного 2≥n

nnnnn aaaaaaaSS =+++−+++=− −− )...()...( 121211 ,

а також за умовою теореми існує таке RS ∈ , що ∞→→ nSSn , .

Тому ∞→=−→−= − nSSSSa nnn ,01 . Теорему 1 доведено.

Наслідок 1. Якщо ∞→→/ nan ,0 , то ряд ∑∞

=1nna розбігається.

Теорема 2 (друга необхідна умова збіжності числового ряду). Якщо ряд ∑∞

=1nna

збігається, то ∞→→− nSS nn ,02 .

33

Доведення. За умовою теореми існує таке RS ∈ , що ∞→→ nSSn , . Тому

∞→=−→− nSSSS nn ,02 . Теорему 2 доведено.

Приклад 2. Геометричний ряд. Зафіксуємо дійсні числа qa ,0≠ . Геометричним рядом називається ряд

∑∞

=

−− =+++++1

112 ......n

nn aqaqaqaqa .

Доведемо, що геометричний ряд розбігається при 1≥q і збігається при 1<q до суми

q

a

−1.

Якщо 1≥q , то ,01 →/= −nn aqa ∞→n , а отже, геометричний ряд розбігається.

Нехай 1<q . Скориставшись формулою суми n перших членів геометричної прогресії,

матимемо:

1... −+++= nn aqaqaS ∞→

−→

−−= n

q

a

q

qa n

,11

)1(.

Приклад 3. Гармонійний ряд. Ряд ∑∞

=1

1

n n називається гармонійним рядом. Доведемо, що

гармонійний ряд розбігається. Справді, для кожного 1≥n

)2

1...

1

11...

2

11(2 nnn

SS nn +++

++++=− =+++− )1

...2

11(

n

2

1

2

1

2

1...

2

1

1

1 =⋅≥+++

++

=n

nnnn

.

Тому ∞→→/− nSS nn ,02 , тобто для гармонійного ряду не виконується друга

необхідна умова збіжності числового ряду.

Зауваження 1. Приклад 3 показує, що коли 0→na , ∞→n , то ряд ∑∞

=1nna не

обов’язково збігається. 10.2. Критерій Коші збіжності числового ряду. Застосувавши до послідовності часткових сум ряду критерій Коші, збіжності числової

послідовності, можна переконатися, що справджується така теорема.

Теорема 3 (критерій Коші збіжності числового ряду). Для того, щоб ряд ∑∞

=1nna збігався,

необхідно і достатньо, щоб

Nn ∈∃>∀ 00ε 10 ≥∀≥∀ pnn : ε<+++ +++ pnnn aaa ...21 .

34

Вправа 1. Довести збіжність ряду ∑∞

= +1 )1(

sin

n nn

n.

10.3. Властивості збіжних рядів.

Теорема 4 (про арифметичні дії з рядами). Нехай ∑∞

=1nna , ∑

∞

=1nnb – збіжні ряди. Тоді:

1) для довільного Rc ∈ ряд ∑∞

=1

)(n

nca збігається і ∑∑∞

=

∞

==

11

)(n

nn

n acca ;

2) ряд ∑∞

=+

1

)(n

nn ba збігається і ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=+=+

111

)(n

nn

nn

nn baba .

Доведення теореми 4 випливає з означення збіжного ряду і теореми про арифметичні дії з границями для послідовностей.

Вправа 2. Довести, що коли ряд ∑∞

=1nna збігається, а ряд ∑

∞

=1nnb розбігається, то ряд

∑∞

=+

1

)(n

nn ba розбігається, тобто ряд, отриманий почленним додаванням збіжного та

розбіжного ряду, обов’язково розбігається. Вправа 3. Навести приклад двох розбіжних рядів, для яких отриманий їхнім почленним

додаванням ряд збігається.

Означення 2. Для ряду ∑∞

=1nna і числа Nm∈ ряд

=++++ +++ ......21 pmmm aaa ∑∞

+= 1mkka (2)

називається m -им залишком початкового ряду. Теорема 5 (про залишок ряду). Справджуються такі твердження.

1) Якщо ряд ∑∞

=1nna збігається, то будь-який його залишок теж збігається.

2) Якщо для деякого Nm ∈ залишок (2) збігається, то початковий ряд теж збігається.

3) Якщо ряд ∑∞

=1nna збігається, то сума його m -ого залишка прямує до нуля при

∞→m .

Доведення. 1) Нехай ряд ∑∞

=1nna збігається до суми S . Зафіксуємо Nm∈ і позначимо

через )(mS p p -ту часткову суму залишку (2), тобто pmmmp aaamS +++ +++= ...)( 21 .

Якщо ∞→→ nSSn , , то mp SSmS −→)( , ∞→p , тобто залишок (2) збігається.

Позначивши його суму через mr , робимо висновок, що

35

mm SSr −= . (3)

2) Нехай при фіксованому m залишок (2) збігається, і його сума дорівнює mr , тобто

mp rmS →)( , ∞→p . Оскільки при 1+≥ mn

)...()...( 2121 nmmmn aaaaaaS +++++++= ++ )(mSS mnm −+= ,

то mmn rSS +→ , ∞→n , тобто ряд ∑∞

=1nna збігається до суми mm rSS += .

3) Якщо ряд ∑∞

=1nna збігається, то внаслідок (3) ∞→=−→−= mSSSSr mm ,0 . Теорему 5

доведено. 10.4. Ряди з невід’ємними членами.

Якщо 0≥na для кожного 1≥n , то ряд ∑∞

=1nna називається рядом з невід’ємними

членами. У цьому пункті вивчається питання про збіжність такого ряду. Теорема 6 (критерій збіжності ряду з невід’ємними членами). Нехай 0≥na для

кожного 1≥n . Для того, щоб ряд ∑∞

=1nna збігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність

його часткових сум ( nS ) була обмеженою.

Доведення. Необхідність. Нехай ряд ∑∞

=1nna збігається. Тоді послідовність ( nS ) збіжна, а

отже, вона обмежена. Достатність. Нехай послідовність ( nS ) обмежена. Оскільки

,:1 11 nnnn SaSSn ≥+=≥∀ ++

то послідовність ( nS ) також неспадна. Тому послідовність ( nS ) збіжна за теоремою про

границю монотонної послідовності. Теорему 6 доведено. Зауваження 2. Із доведення теореми 6 випливає, що коли ряд з невід’ємними членами

∑∞

=1nna збігається до суми S , то SSn ≤ для кожного 1≥n .

У подальшому використовується така лема.

Лема 1. Нехай ∑∞

=1nna – збіжний ряд з невід’ємними членами, { }1: ≥ndn – така

послідовність, що :10 ≥∀>∃ nα α≤≤ nd0 .

Тоді ряд ∑∞

=1nnnad збігається.

36

Доведення. Позначимо часткові суми рядів ∑∞

=1nna і ∑

∞

=1nnnad відповідно через nS та nS

~. Із

умов леми і зауваження 2 випливає, що

=≥∀ nSn~

:1 SSaad n

n

kk

n

kkk ααα ≤=≤ ∑∑

== 11

,

де S – сума ряду ∑∞

=1nna . Тому ряд ∑

∞

=1nnnad збігається за критерієм збіжності ряду з

невід’ємними доданками. Лему 1 доведено. Теорема 7 (1-ша ознака порівняння). Нехай nn ban ≤≤≥∀ 0:1 . Тоді справджуються

такі твердження.

1) якщо ряд ∑∞

=1nnb збігається, то ряд ∑

∞

=1nna теж збігається;

2) якщо ряд ∑∞

=1nna розбігається, то ряд ∑

∞

=1nnb теж розбігається.

Доведення. 1) Нехай ряд ∑∞

=1nnb збігається. Покладемо 0, ≠= n

n

nn b

b

ad , і 0=nd , коли

0=nb . Тоді внаслідок умови теореми

nnnn abddn =⋅≤≤≥∀ ,10:1 .

Тому ряд ∑∞

=1nna збігається за лемою 1.

Твердження 2) теореми рівносильне твердженню 1). Теорему 7 доведено. Теорема 8 (2-га ознака порівняння). Припустимо, що виконуються такі умови: 1) 0,0:1 >>≥∀ nn ban ;

2) існує α=∞→

n

n

n b

alim , причому +∞<< α0 .

Тоді ряди ∑∞

=1nna і ∑

∞

=1nnb одночасно або збігаються, або розбігаються.

Доведення. Нехай +∞<α і ряд ∑∞

=1nnb збігається. Перевіримо, що ряд ∑

∞

=1nna теж

збігається. Покладемо 1, ≥= nb

ad

n

nn . Із умов теореми випливає, що послідовність ( )nd

невід’ємна й обмежена. Тому внаслідок леми 1 ряд ∑∞

=1nnnbd ∑

∞

==

1nna збігається.

37

Якщо 0>α , то існує +∞<=∞→ α

1lim

n

n

n a

b, а отже, із збіжності ряду ∑

∞

=1nna за доведеним

вище випливає, що ряд ∑∞

=1nnb теж збігається. Теорему 8 доведено.

Зауваження 3. Із доведення теореми 8 випливає, що коли 0,0 >> nn ba для кожного

1≥n і 0→n

n

b

a, ∞→n , то зі збіжності ряду ∑

∞

=1nnb випливає збіжність ряду ∑

∞

=1nna .

Теорема 9 (ознака Коші збіжності ряду з невід’ємними членами). Нехай члени ряду

∑∞

=1nna задовольняють такі умови:

1) 0:1 ≥≥∀ nan ;

2) існує ρ=∞→

nn

nalim .

Якщо 1<ρ , то початковий ряд збігається.

Якщо 1>ρ , то початковий ряд розбігається.

Доведення. Нехай 1<ρ . Зафіксуємо дійсне число r , яке задовольняє нерівність

1<< rρ . Із умови 2 і означення границі послідовності випливає, що

Nn ∈∃ 0 rann nn ≤≥∀ :0 ,

звідки nn ra ≤≤0 для кожного 0nn ≥ . Оскільки 1<r , то геометричний ряд ∑

∞

=1n

nr

збігається. Тому з 1-шої ознаки порівняння і теореми про залишок ряду випливає, що ряд

∑∞

=1nna теж збігається.

Якщо 1>ρ , то із умови 2 і означення границі послідовності випливає, що

Nn ∈∃ 0 1:0 ≥≥∀ nnann .

Тому 1≥na для кожного 0nn ≥ . Звідси робимо висновок, що 0→/na , ∞→n , а отже, ряд

∑∞

=1nna розбігається. Теорему 9 доведено.

Зауваження 4. якщо при перевірці умов ознаки Коші дістанемо 1=ρ , то про поведінку початкового ряду нічого певного сказати не можна.

Справді, 1=ρ для рядів ...1...11 ++++ і ∑∞

= +1 )1(1

n nn , але перший з них розбігається, а

другий – збігається.

38

Теорема 10 (ознака д’Аламбера збіжності ряду з невід’ємними членами). Нехай члени

ряду ∑∞

=1nna задовольняють такі умови:

1) 0:1 >≥∀ nan ;

2) існує ρ=+

∞→n

n

n a

a 1lim .

Якщо 1<ρ , то початковий ряд збігається.

Якщо 1>ρ , то початковий ряд розбігається. Зауваження 5. Якщо при перевірці умов ознаки д’Аламбера дістанемо 1=ρ , то про

поведінку початкового ряду нічого певного сказати не можна. Зауваження 6. Відзначимо, що коли в ознаці Коші або ознаці д’Аламбера 1>ρ , то

додатково 0→/na , ∞→n .

Теорема 11 (інтегральна ознака Маклорена-Коші). Нехай m – фіксоване натуральне

число, Rmf →+∞);[: – невід’ємна і незростаюча на );[ +∞m функція. Тоді ряд ∑∞

=mn

nf )(

збігається у тому і тільки в тому випадку, коли збігається невласний інтеграл ∫+∞

1

)( dxxf .

Ідея доведення. Нехай 1=m . З геометричної точки зору ∫+∞

1

)( dxxf дорівнює площі

)(MS , зображеної на рис.1 необмеженої криволінійної трапеції M .

Нехай ряд ∑∞

=mn

nf )( збігається. Сума цього ряду дорівнює сумі площ прямокутників,

зображених на рис.2.

X

Y

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 1

39

Оскільки ≤)(MS ∑∞

=1

)(n

nf , то ∫+∞

1

)( dxxf збігається.

Нехай ряд ∑∞

=1

)(n

nf розбігається. Згідно з рис. 3, ≥)(MS ∑∞

=2

)(n

nf , а отже, ∫+∞

1

)( dxxf теж

розбігається.

Приклад 4. Узагальнений гармонійний ряд. Ряд ∑∞

=1

1

n nα , де R∈α , називається

узагальненим гармонійним рядом. Доведемо, що цей ряд збігається при 1>α і розбігається при 1≤α .

Нехай 1>α . Тоді функція αxxf

1)( = , );1[ +∞∈x , невід’ємна і незростаюча на );1[ +∞ ,

а також ∫+∞

1αx

dx збігається. Тому ряд ∑

∞

=1

1

n nα збігається за інтегральною ознакою Маклорена-

Коші.

Якщо 1=α , то отримаємо гармонійний ряд ∑∞

=1

1

n n, який розбігається (див. приклад 3).

Нехай 1<α . Тоді αnn

110 ≤< для кожного 1≥n . Тому ряд ∑

∞

=1

1

n nα розбігається за 1-

шою ознакою порівняння.

X

Y

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 2

X

Y

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 3

40

Вправа 4. За допомогою інтегральної ознаки Маклорена-Коші довести, що ряд

∑∞

=2 ln1

n nn α , де R∈α , збігається при 1>α і розбігається при 1≤α .

У наступних прикладах показано, як досліджувати на збіжність числові ряди за допомогою наведених вище ознак порівняння та ознак збіжності.

Приклад 5. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑∞

= +1 )1ln(n n

n.

Розв’язання. Оскільки +∞→+

=)1ln(n

nan , ∞→n , то початковий ряд розбігається, бо

0→/na , ∞→n .

Приклад 6. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑∞

=1 !

2

n

n

n.

Розв’язання. Скористаємося ознакою д’Аламбера. Відзначимо, що 0!

2 >=n

an

n для

кожного 1≥n , а також

( ) =⋅+

=+

+n

n

n

n n

na

a

2!

!12 1

1 ∞→→+

nn

,01

2.

Отже, 10 <=ρ , тому початковий ряд збігається за ознакою д’Аламбера.

Приклад 7. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑∞

= ++−−

14

2

1ln31cos2

n nn

nn.

Розв’язання. 1 спосіб. Скористаємося 2-гою ознакою порівняння. Оскільки

44

2

34

2

1ln3

1cos211

1ln31cos2

nn

nnn

n

nnn

nnan

++

−−⋅=

++−−= ,

то 0>na при кожному 3≥n і ∞→→ nan ,0 . Покладемо 3

1n

bn = , 3≥n . Тоді

=n

n

b

a

44

2

1ln3

1cos21

nn

nnn

n

++

−−→

3

1, ∞→n ,

41

причому ряд ∑∑∞

=

∞

==

33

3

1

nnn n

b збігається як залишок узагальненого гармонійного ряду з

13 >=α . Тому, з урахуванням теореми про залишок ряду, початковий ряд збігається за 2-гою ознакою порівняння.

2 спосіб. Скористаємося 1-шою ознакою порівняння. Відзначимо, що

3≥∀n : 344

2

31

31ln31cos2

0nn

n

nn

nnan ≤≤

++−−=≤ ,

причому ряд ∑∞

=33

1

n n збігається. Отже, з урахуванням теореми про залишок ряду, початковий

ряд збігається за 1-шою ознакою порівняння.

Приклад 8. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑∞

=32/3

2ln

n n

n.

Розв’язання. 1 спосіб. Скористаємося 1-шою ознакою порівняння. Зауважимо, що

1≥∀n : 0ln1ln

4/1

2

4/52/3

2

≥⋅==n

n

nn

nan , (4)

а також 0ln

4/1

2

→n

n, ∞→n . Тому

4/500

10:

nannNn n ≤≤≥∀∈∃ .

Оскільки ряд ∑∑∞

=

∞

==

14/5

1

1

nnn n

b збігається, то, з урахуванням теореми про залишок ряду,

початковий ряд збігається за 1-шою ознакою порівняння.

2 спосіб. Покладемо 45

1n

bn = , 1≥n . Внаслідок (4)

=n

n

b

a0

ln4/1

2

→n

n, ∞→n .

Тому початковий ряд збігається за зауваженням 3.

Приклад 9. Дослідити на збіжність числовий ряд ∑∞

= +1 )1ln(1

n nn.

Розв’язання. Відзначимо, що 0)1ln(

1 >+

=nn

an при кожному 1≥n і 0→na ,

∞→n . Покладемо nn

bn ln1= , 2≥n . Тоді

1)1ln(

ln →+

=n

n

b

a

n

n , ∞→n , (5)

42

бо за 2-м правилом Лопіталя

1)1

1(lim)1/(1

/1lim

)1ln(ln

lim =+=+

=+ +∞→+∞→+∞→ xx

x

x

xxxx

.

Ряд ∑∑∞

=

∞

==

22 ln1

nnn nn

b розбігається за інтегральною ознакою Маклорена-Коші (див.

вправу 4). Тому внаслідок (5) початковий ряд збігається за 2-гою ознакою порівняння. Зауваження 7. Відзначимо, що ряд із прикладу 9 не можна дослідити на збіжність за

допомогою ознаки Коші або ознаки д’Аламбера (отримаємо 1=ρ ), а пряме застосування інтегральної ознаки Маклорена-Коші зводить початкову задачу до рівносильної за

складністю задачі щодо дослідження на збіжність невласного інтеграла ∫+∞

+1 )1ln(xx

dx.

10.5. Ряди з довільними членами. Якщо члени ряду починаючи з деякого номера зберігають знак, то за допомогою теореми

про арифметичні дії з рядами та теореми про залишок ряду задача про дослідження на збіжність такого ряду зводиться до задачі про дослідження на збіжність ряду з невід’ємними доданками. Суттєво новий випадок виникає, коли ряд має нескінченну кількість як додатних, так і від’ємних членів.

Означення 3. Ряд ∑∞

=1nna називається абсолютно збіжним якщо збігається ряд ∑

∞

=1nna .

Означення 4 . Ряд ∑∞

=1nna називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд ∑

∞

=1nna

розбігається. Вправа 5. Довести, що коли члени ряду, починаючи з деякого номера, зберігають знак, то

ряд не може збігатися умовно.

Теорема 12. Якщо ряд ∑∞

=1nna абсолютно збігається, то він збігається, а також

∑∑∞

=

∞

=≤

11 nn

nn aa . (6)

Доведення. За умовою теореми ряд ∑∞

=1nna збігається. Оскільки

NpNn ∈∀∈∀ pnnnpnnn aaaaaa ++++++ +++≤+++ ......: 2121 ,

то, скориставшись критерієм Коші збіжності числового ряду, робимо висновок, що ряд ∑∞

=1nna

збігається.

43

Перейшовши в нерівностях ∑∑==

≤n

kk

n

kk aa

11

, 1≥n , до границі при ∞→n і врахувавши

означення суми ряду, дістанемо нерівність (6). Теорему 12 доведено. Теорема 13 (ознака Лейбніца збіжності знакопочергового ряду). Нехай послідовність

{ }1: ≥nnβ задовольняє такі умови:

1) nnn ββ ≤≤≥∀ +10:1 ;

2) ∞→→ nn ,0β .

Тоді ряд

=+−+−+− + ...)1(... 1321 n

n ββββ ∑∞

=

+−1

1)1(n

nn β (7)

збігається. Доведення. Спочатку перевіримо, що послідовність часткових сум ряду (7) з парними

номерами )( 2kS збіжна. Справді,

kkkkk SSSk 2)1(2122)1(2:1 ≥−+=≥∀ +++ ββ ,

бо 0)1(212 ≥− ++ kk ββ за умовою 1). Також внаслідок умови 1) для кожного 1≥k

121222543212 )(...)()( βββββββββ ≤−−−−−−−−= −− kkkkS . (8)

Тому послідовність ( )kS2 неспадна і обмежена, а отже, ця послідовність збіжна за теоремою

про границю монотонної послідовності. Таким чином, існує таке RS ∈ , що

SS k →2 , ∞→k . (9)

Також, з урахуванням умови 2, =+12kS ∞→→+ + kSS kk ,122 β (10)

Доведемо, що SSn → , ∞→n . Нехай 0>ε задано. Внаслідок (9), (10)

ε<−≥∀∈∃ SSkkNk k211 : ;

ε<−≥∀∈∃ + SSkkNk k 1222 : .

Покладемо { } 1,max2 210 += kkn . Тоді

0nn ≥∀ : ε<− SSn .

Теорему 13 доведено. Зауваження 8. Аналогічно (8) можна перевірити, що при виконанні умов 1), 2) теореми 13

для m -го залишку ряду (7) справджується оцінка 1+≤ mmr β . Ця оцінка важлива для

наближеного обчислення суми ряду (7).

Вправа 5. Довести, що ряд ∑∞

=

+−1

1)1(

n

n

n, який називається рядом Лейбніца, збігається

умовно.

44

Приклад 11. Дослідити на абсолютну й умовну збіжність числовий ряд

∑∞

=

+−1

21 1

sin)1(n

n

nn .

Розв’язання. 1) Перевіримо, чи збігається заданий ряд абсолютно. Оскільки

,1

sin)1( 21

nna n

n+−= то 1,

1sin|| 2 ≥= n

nnan . Покладемо

nbn

1= , 1≥n . Тоді

,11

1sin

2

2

→=

n

nb

a

n

n ∞→n .

Ряд ∑∑∞

=

∞

==

11

1

nnn n

b розбігається (це гармонійний ряд). Тому ряд ∑∞

=1nna розбігається за 2-гою

ознакою порівняння. Отже, початковий ряд не збігається абсолютно. 2) Перевіримо, чи збігається початковий ряд умовно. Цей ряд є знакопочерговим з

2

1sin

nnn =β , 1≥n . Застосуємо ознаку Лейбніца збіжності знакопочергового ряду. Для

перевірки умови 1) цієї ознаки розглянемо функцію );1[,1

sin)(2

+∞∈= xx

xxf . Зауважимо,

що

02

221

11cos

211cos

21sin)('

2222222<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≤−≤−=

xxxxxxxxf

при <04

12

π≤x

, бо ≥< ttt cos,sin22

при 4

0π≤< t . Тому функція f строго спадає на

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞,2

π, а отже,

nnn ββ <<≥∀ +10:2 .

Також nn

1=β . ∞→→ n

n

n ,01

1sin

2

2

. Отже, з урахуванням теореми про залишок ряду, ряд

21

1 1sin)1(

nn

n

n∑∞

=

+− збігається за ознакою Лейбніца збіжності знакопочергового ряду.

Таким чином, початковий ряд збігається умовно. 10.6. Групування і перестановка членів ряду. Значення скінченної суми чисел не зміниться, якщо згрупувати або переставити

доданки. Для числового ряду це, взагалі кажучи, неправильно. Наприклад, ряд 1-1+1-1+… розбігається, але отриманий з нього групуванням доданків (тобто, розстановкою дужок) ряд

45

...)11(...)11()11( +−++−+−

збігається. Відзначимо, що членами останнього ряду є значення скінченних сум, записаних в дужках.

Справджуються такі теореми. Теорема 14. У збіжному ряді можна довільним чином розставляти дужки (тобто,

групувати доданки без зміни їхнього порядку). Отриманий ряд збігається до тієї самої суми, що й початковий.

Теорема 15. У ряді з невід’ємними членами можна довільним чином переставляти члени

ряду. Отриманий ряд збігається до тієї ж суми, що й початковий, якщо початковий ряд збігається, і розбігається у випадку, коли початковий ряд розбігається.

Теорема 16. В абсолютно збіжному ряді можна довільним чином переставляти доданки.

Отриманий ряд збігається до тієї самої суми, що ї початковий. Теорема 17 (теорема Рімана). Якщо числовий ряд збігається умовно, то для кожного

{ }+∞∞−∪∈ ;RS існує така перестановка членів ряду, що отриманий після цієї

перестановки ряд збігається до S . Доведення усіх теорем, а також інші ознаки збіжності числових рядів та приклади їхнього

застосування можна знайти, наприклад, в [1,2].

Задачі 10А

Обчислити суми рядів (1-4):

1. 1

1

( 1)

2

n

nn

−∞

=

−∑ ;

2. / 2

1

1

3nn

∞

=∑ ;

3. 1

1

(2 1)(2 1)n n n

∞

= − +∑ ;

4. 1

1

( 2)n n n

∞

= +∑ .

Використовуючи необхідну ознаку збіжності та ознаки порівняння дослідити на збіжність такі ряди (5-10):

5. 1

sin

2nn

n∞

=∑ ;

6. 2 lnn

n

n

∞

=∑ ;

7. 1

cos

3nn

n n

n

∞

=

+∑ ;

8. 4

1 1n

n

n n

∞

= − +∑ ;

9. 2

ln

n

n

n

∞

=∑ ;

10. 1/

2

l( 1)n

n

en

∞

=

−∑ .

Використовуючи ознаки д’Ааламбера або Коші дослідити на збіжність такі ряди (11-16):

11. 1

2 1

2nn

n∞

=

+∑ ; 12.

/ 3

1

5

!

n

n n

∞

=∑ ;

46

13. 1 !2

n

nn

n

n

∞

=∑ ;

14. 1

larcsin

n

n n

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ;

15. 1

1

2 1

n

n

n

n

∞

=

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ ;

16. 3

1 (2 1)nn

n

n

∞

= +∑ .

Використовуючи інтегральну ознаку Маклорена-Коші дослідити на збіжність такі ряди (17-18):

17. 2

1

lnn n n

∞

=∑ ; 18.

22

1

lnn n n

∞

=∑ .

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди (19-22):

19. 1

1

( 1)

2 1

n

n n

−∞

=

−+∑ ;

20. 3

1

( 1)

1

n

n n

∞

=

−+

∑ ;

21. 4

1

( 1) 2n n

n n

∞

=

−∑ ;

22. 1

1

( 1)

ln( 1)

n

n n

−∞

=

−+∑ .

10Б

Обчислити суми рядів (1-3):

1. 2 2

1

2 1

( 1)n

n

n n

∞

=

++∑ ; 2.

1

1

(3 2)(3 1)n n n

∞

= − +∑ ; 3. 1

1

( 3)n n n

∞

= +∑ .

Дослідити на збіжність ряди (3-11):

4. 6

1 4 3n

n

n n

∞

= − +∑ ;

5. 1

1sin

2nn

n∞

=∑ ;

6. 1

1 3 (2 1)

3 !nn

n

n

∞

=

⋅ ⋅ ⋅ −∑

K

;

7.

2

1

1 1

3

n

nn

n

n

∞

=

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ;

8. 1

2 1

!

n

n n

∞

=

+∑ ;

9. 1

!n

n

n

n

∞

=∑ ;

10. 1 2n

n

ntg

∞

=∑ ;

11. 2

1

1

ln ( 2)n n n

∞

= +∑ .

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди (12-15):

12. 1

21

( 1)

(2 1)

n

n n

−∞

=

−+∑ ;

13. 2

1

( 1)

2 1

n

n n

∞

=

−+

∑ ;

14. 1

1( 1) sinn

n n

∞

=

−∑ ;

15. 1

1

( 1)

ln( 1)

n

n

n

n

−∞

=

−+∑ .

47

10Д Дослідити на збіжність ряди (1-4):

1. 1

1

2 1n

n n

n

∞

=

+ −+∑ ;

2. 1 (2 )!

n

n

n

n

∞

=∑ ;

3. 1

1

2 nn

∞

=∑ ;

4. 1

1

ln ln(ln )n n n n

∞

=∑ .

5. Довести, що коли ряд 1

nn

a∞

+∑ абсолютно збігається, то ряд 2

1n

n

a∞

+∑ теж збігається.

6. Нехай ряди 2

1n

n

a∞

+∑ та 2

1n

n

b∞

+∑ збігаються. Довести, що тоді ряд

1n n

n

a b∞

+∑ абсолютно

збігається. Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряди (7-8):

7. 1

1

( 1) sin(1/ )n

n

n

n

−∞

=

−∑ ; 8.

1

1

( 1) cos(1/ )n

n

n

n

−∞

=

−∑ .

48

Розділ 11. Функціональні ряди

11.1 Основні означення. Нехай RA ⊂ ; ,1,: ≥→ nRAan – задана послідовність функцій. Ряд

∑∞

=1

),(n

n xa ,Ax ∈ (1)

називається функціональним рядом. Ряд (1) може збігатися при одних значеннях Ax ∈ і розбігатися при інших.

Означення 1. Множина всіх тих точок Ax ∈ , для яких ряд (1) збігається, називається областю збіжності функціонального ряду (1).

Означення 2. Множина всіх тих точок Ax ∈ , для яких ряд (1) збігається абсолютно (збігається умовно), називається областю абсолютної збіжності (областю умовної збіжності) функціонального ряду (1).

Приклад 1. Знайти область абсолютної і умовної збіжності функціонального ряду

(2) Розв’язання. Знайдемо область абсолютної збіжності цього ряду. Зауважимо, що

(3)

При кожному Rx ∈ застосуємо до ряду (3) ознаку Коші збіжності ряду з невід’ємними доданками. Оскільки тобто ,sin2 x=ρ то ряд (3) збігається, коли

і розбігається, коли .1sin2 >x

Якщо 1sin2 =x , то ряд (3) записується у вигляді ,1

1∑∞

=n n а отже, він розбігається.

Таким чином, областю абсолютної збіжності функціонального ряду (2) є множина

.6

;6

UΖ∈

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−n

nn ππππ

Знайдемо область умовної збіжності ряду (2). Спочатку відзначимо, що коли ,1sin2 >= xρ то внаслідок зауваження 6 розділу 10 додатково .,0)( ∞→→/ nxan

Звідси випливає, що ,,0)( ∞→→/ nxan а отже, при 1sin2 >x ряд (2) розбігається.

Таким чином, залишилось з’ясувати поведінку ряду (2) при .1sin2 == xρ

Якщо ,1sin2 =x то ряд (2) розбігається, бо він записується у вигляді .1

1∑∞

=n n

.,sin2

1

Rxn

x

n

nn

∈∑∞

=

.)sin2(

)(1 1

∑ ∑∞

=

∞

==

n n

n

n n

xxa:Rx ∈∀

,,sin2sin2

)( ∞→→= nxn

xxa

nn

n

,),6

;6

(1sin2 Ζ∈++−∈⇔< nnnxx ππππ

49

Якщо ,,6

)1(1sin2 1 Ζ∈+−=⇔−= + nnxx n ππ то ряд (2) записується у вигляді

∑∞

=

−1

)1(

n

n

n і збігається за ознакою Лейбніца збіжності знакопочергового ряду. Отже, областю

умовної збіжності ряду (2) є множина .|6

)1( 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ Ζ∈+− + nnn ππ

Нехай областю збіжності функціонального ряду ∑∞

=∈

1

,),(n

n Axxa є вся множина A .

Тоді визначена функція ∑∞

=∈=

1

.),(:)(n

n Axxaxa Для дослідження цієї функції на

неперервність, диференційовність і т.д. використовується поняття рівномірної збіжності послідовності функцій та функціонального ряду.

11.2 Поточкова і рівномірна збіжність послідовності функцій. Нехай ;RA ⊂ ;1,: ≥→ nRAfn .: RAf →

Означення 3. Послідовність функцій )( nf збігається поточково на множині A до

функції f , якщо

.),()(: ∞→→∈∀ nxfxfAx n

Означення 4. Послідовність функцій )( nf збігається рівномірно на множині A до

функції f , якщо

0>∀ε Nn ∈∃ 0 0nn ≥∀ .)()(: ε<−∈∀ xfxfAx n

Означення 4 рівносильне такому означенню. Означення 5. Послідовність функцій )( nf збігається рівномірно на множині A до

функції f , якщо

.,0)()(: sup ∞→→−=∈

nxfxfd nAx

n

Зауваження 1. Із рівномірної збіжності на множині A послідовності функцій випливає її поточкова збіжність на A .

Зауваження 2. Послідовність функцій може збігатися рівномірно на множині A тільки до своєї поточкової границі на A .

Приклад 2. Дослідимо на поточкову і рівномірну збіжність послідовність функцій

,1),1;0(,)( ≥∈= nxxxf nn на множині )1;0(=A .

Оскільки ∞→→ nxn ,0 для кожного фіксованого ),1;0(∈x то ця послідовність

функцій збігається поточково на (0;1) до функції ).1;0(,0)( ∈= xxf

Внаслідок зауваження 2 рівномірною границею на (0;1) цієї послідовності може бути тільки функція ).1;0(,0)( ∈= xxf Але з того, що

,,010)()(: supsup)1;0()1;0(

∞→→/=−=−=∈∈

nxxfxfd n

xn

xn

робимо висновок, що початкова послідовність не є рівномірно збіжною на множині (0;1). Приклад 3. Нехай ).;0(:),1;0( αα α =∈ A Дослідимо на поточкову і рівномірну

збіжність послідовність функцій ,)( nn xxf = ,αAx ∈ ,1≥n на множині .αA

Під час розв’язування прикладу 2 встановлено, що послідовність )( nf збігається

поточково на (0;α ) до функції ).;0(,0)( α∈= xxf Також

50

,,00)()( supsup);0();0(

∞→→=−=−=∈∈

nxxfxfd nn

xn

xn α

αα

а отже, послідовність )( nf збігається рівномірно на );0( α до функції ).;0(,0)( α∈= xxf

11.3 Рівномірна збіжність функціонального ряду. Означення 6. Функціональний ряд

∑∞

=∈

1

,),(n

n Axxa (4)

називається рівномірно збіжним на множині A , якщо послідовність його часткових сум

∑=

∈=n

kkn AxxaxS

1

,),()(

збігається рівномірно на A . Зауваження 3. Рівномірно збіжний ряд на множині A є збіжним для кожного

.Ax ∈

Покладемо ∑∞

=∈=

1

.),(:)(n

n Axxaxa

Зауваження 4. Функціональний ряд (4) може збігатися рівномірно тільки до функції .),( Axxa ∈

Наступне означення рівносильне означенню 6 і більш зручне для застосувань. Означення 7. Функціональний ряд (4) називається рівномірно збіжним на множині

A , якщо

.,0)()()(1

supsup ∞→→=−= ∑∞

+=∈∈

nxaxSxadnk

kAx

nAx

n

Наведемо ознаки рівномірної збіжності функціонального ряду. Теорема 1 (ознака Вейєрштрасса). Нехай функції ,1,: ≥→ nRAan і дійсні

числа ,1, ≥nCn задовольняють такі умови:

1) 1≥∀n :Ax ∈∀ ;)( nn Cxa ≤

2) ряд ∑∞

=1nnC збігається.

Тоді функціональний ряд ∑∞

=∈

1

,),(n

n Axxa збігається рівномірно на множині A .

Доведення. Внаслідок умов 1), 2) і 1-шої ознаки порівняння для кожного

фіксованого Ax ∈ числовий ряд ∑∞

=1

)(n

n xa абсолютно збігається. З теореми 12 розділу 10 і

умови 1) випливає, що

1≥∀n :Ax ∈∀ .)()(111

∑∑∑∞

+=

∞

+=

∞

+=≤≤

nkk

nkk

nkk Cxaxa

Тому

,,0)(11

sup ∞→→≤= ∑∑∞

+=

∞

+=∈

nCxadnk

knk

kAx

n

за теоремою про залишок ряду. Теорему 1 доведено.

Приклад 3. Доведемо, що функціональний ряд ,,cos

12

Rxn

nx

n

∈∑∞

= збігається

рівномірно на R .

51

Справді,

1≥∀n :Rx ∈∀ ,1cos

)(22 nn

nxxan ≤=

причому ряд ∑∞

=12

1

n n збігається. Тому початковий ряд збігається рівномірно на R за ознакою

Вейєрштрасса.

Приклад 4. Доведемо, що функціональний ряд ,,11

25Rx

xn

nx

n

∈+∑

∞

= збігається

рівномірно на R .

Із нерівності Коші для двох доданків випливає, що xnxn 2525 21 ≥+ для

довільних ., RxNn ∈∈ Тому

1≥∀n :Rx ∈∀ .2

111

21

1

2

21

1)(

2325

25

2325

25

2325 nxn

xn

nxn

xn

nxn

xnxan =

++⋅≤

+⋅=

+=

Оскільки ряд ∑∞

=1232

1

n n збігається, то початковий ряд збігається рівномірно на R за ознакою

Вейєрштрасса. Теорема 2 (ознака Діріхле). Нехай функції ,: RAan → ,1,: ≥→ nRAbn

задовольняють такі умови: 1) для кожного Ax ∈ послідовність { }1:)( ≥nxan монотонна;

2) ;,0)(sup ∞→→∈

nxanAx

3) 0>∃C 1≥∀n :Ax ∈∀ .)(1

Cxbn

kk ≤∑

=

Тоді функціональний ряд ,,)()(1

Axxbxan

nn ∈∑∞

= збігається рівномірно на множині A .

Приклад 5. Зафіксуємо ).;0( πδ ∈ Доведемо, що функціональний ряд

[ ],2;,sin

1

δπδ −∈∑∞

=x

n

nx

n

збігається рівномірно на множині [ ].2; δπδ −

Застосуємо ознаку Діріхле. Покладемо ,1

)(n

xan = ,sin)( nxxbn = [ ],2; δπδ −∈x

.1≥n Умови 1, 2 для послідовності функцій )( na виконуються. Для перевірки умови 3

зауважимо, що для кожного )2;0( π∈x

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−⋅=⋅⋅= ∑∑∑===

n

k

n

k

n

k

xkxkx

xkx

xkx

111

)21

cos()21

cos()2sin(2

12

sinsin2)2sin(2

1sin

.)2sin(

1)2sin(2

)21cos()2cos(

xx

xnx≤

+−=

Тому

1≥∀n [ ]:2; δπδ −∈∀x ,)2sin(

1)2sin(

1sin

1 δ≤≤∑

= xkx

n

k

52

тобто умова 3) виконується з .)2sin(

1δ

=C Отже, початковий ряд збігається рівномірно на

множині [ ]δπδ −2; за ознакою Діріхле.

Теорема 3 (ознака Абеля). Нехай функції ,:)( RAxan → ,1,:)( ≥→ nRAxbn

задовольняють такі умови: 1) для кожного Ax ∈ послідовність { }1:)( ≥nxan монотонна;

2) 0>∃C 1≥∀n :Ax ∈∀ ;)( Cxan ≤

3) функціональний ряд ∑∞

=∈

1

,),(n

n Axxb збігається рівномірно на A .

Тоді функціональний ряд ∑∞

=∈

1

,),()(n

nn Axxbxa збігається рівномірно на множині A .

Вправа 1. Довести, що функціональний ряд [ ],2;,)()sin(

1

δπδ −∈⋅∑∞

=x

n

nxarctgnx

n

збігається рівномірно на множині [ ] .2; δπδ − Тут ).;0( πδ ∈

11.4 Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів.

Теорема 4 (про неперервність суми функціонального ряду). Нехай функції ,1,: ≥→ nRAan задовольняють такі умови:

1) :1≥∀n );(ACan ∈

2) функціональний ряд ∑∞

=∈

1

,),(n

n Axxa рівномірно збігається на множині A .

Тоді функція ∑∞

=∈=

1

,),()(n

n Axxaxa неперервна на множині A .

Приклад 6. Доведемо, що функція

,)(1

∑∞

==

nnx

nxf ),;1( +∞∈x (5)

неперервна на ).;1( +∞

Зафіксуємо γ >1 і застосуємо до функціонального ряду (5) теорему про

неперервність суми функціонального ряду на множині ).;[ +∞= γA Зауважимо, що для

кожного 1≥n функція );[,)( +∞∈= γxx

nxa

nn неперервна на ),;[ +∞γ а також

1≥∀n :);[ +∞∈∀ γx ,)(nnn

n

x

nxa

γ≤=

причому ряд ∑∞

=1nn

n

γ збігається, а отже, функціональний ряд (5) рівномірно збігається на

);[ +∞γ за ознакою Вейєрштрасса. Тому ));([ +∞∈ γCf за теоремою про неперервність

суми функціонального ряду. Оскільки для кожного );1( +∞∈x знайдеться таке ,1>γ що точка x разом з

деяким своїм околом міститься в ),;[ +∞γ то з доведеного вище випливає, що функція f

неперервна в кожній точці ),;1( +∞∈x тобто f неперервна на інтервалі ).;1( +∞

Зауваження 5. Функціональний ряд (5) не збігається рівномірно на ),;1( +∞ бо для

кожного 1≥n

53

.)1(

111

11

supsupsupsup);1(

1

);1(1);1(1);1(

+∞=−

=−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≥=+∞∈

+

+∞∈

∞

+=+∞∈

∞

+=+∞∈∑∑

xxxx

xx

kd

nx

n

xnkk

xnkk

xn

Тому приклад 6 свідчить, що умова 2) теореми про неперервність суми функціонального ряду не є необхідною. Також цей приклад демонструє загальний метод перевірки неперервності у такій ситуації.

Теорема 5 (про почленне інтегрування функціонального ряду). Нехай функції ,1,];[: ≥→ nRan βα задовольняють такі умови:

1) :1≥∀n ]);,([ baRan ∈

2) функціональний ряд ∑∞

=∈

1

],,[),(n

n xxa βα рівномірно збігається на

відрізку ].;[ βα

Тоді функція ∑∞

=∈=

1

],,[),()(n

n xxaxa βα інтегровна за Ріманом на відрізку ],,[ βα

причому

.)()()(11

∑∫∫ ∑∫∞

=

∞

==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=n

nn

n dxxadxxadxxaβ

α

β

α

β

α

Теорема 6 (про почленне диференціювання функціонального ряду). Нехай функції ,1,];[: ≥→ nRan βα задовольняють такі умови:

1) існує таке ],,[0 βα∈x що ряд ∑∞

=10 )(

nn xa збігається;

2) для кожного 1≥n функція na має неперервну похідну на ];;[ βα

3) функціональний ряд ∑∞

=′

1

)(n

n xa рівномірно збігається на відрізку ].;[ βα

Тоді для кожного ];[ βα∈x ряд ∑∞

=1

)(n

n xa збігається, функція ∑∞

=∈=

1

],;[),()(n

n xxaxa βα

має неперервну похідну на ],[ βα і

:];[ βα∈∀x ∑∑∞

=

∞

=′=

′⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=′11

).()()(n

nn

n xaxaxa

Приклад 7. Доведемо, що функція

,,sin

)(1

3 Rxn

nxxf

n

∈= ∑∞

= (6)

має неперервну похідну на R . Зафіксуємо 0>α і застосуємо теорему про почленне диференціювання

функціонального ряду на відрізку ].;[ αα− Зауважимо, що для кожного 1≥n функція

3

sin)(

n

nxxan = має неперервну похідну

2

cos)(

n

nxxan =′ на ].;[ αα− Також при 0=x ряд

∑∞

=++=

1

...00)0(n

na збігається і функціональний ряд ],;[,cos

)(1

21

αα−∈=′ ∑∑∞

=

∞

=x

n

nxxa

nnn

рівномірно збігається на ];[ αα− за ознакою Вейєрштрасса. Тому функція f має

неперервну похідну на ];[ αα− за теоремою про почленне диференціювання функціонального ряду.

54

Оскільки для кожного Rx ∈ знайдеться таке ,0>α що точка x разом з деяким

своїм околом міститься в ],;[ αα− то, міркуючи як і в прикладі 6, робимо висновок, що f

має неперервну похідну на R .

Задачі 11А

Знайти область абсолютної і умовної збіжності функціональних рядів:

1. 2

1

2 sinn n

n

x

n

∞

=∑ ; 2.

1

1

( )nn nx

∞

=∑ ; 3.

1

( 1)

2 ( 5)

n

n nn n x

∞

=

−−∑ .

4. Відомо, що ряд 1

( )nn

a x∞

=∑ має область збіжності ( ]1;2− . Знайти область збіжності рядів:

а) 1

(5 2 )nn

a x∞

=

−∑ б) 1

(1/ )nn

a x∞

=∑ в)

1

(sin )nn

a x∞

=∑

5. Дослідити послідовності функцій на поточкову і рівномірну збіжність на вказаних множинах: а) 1( ) n n

nf x x x += − , [ ]0;1A = ;

б) ( ) sinn

xf x n

n= , [ ]0;1A = ;

в) sin

( )n

nxf x

n= , [ ]0;1A = ;

г) ( )1

n

n n

xf x

x=

+, [ ]0;1/ 2A = ; [ ]0;1B = ; [ )2;C = +∞ .

6. Застосувавши ознаку Веєрштраса, довести, що наступні ряди рівномірно збігаються на вказаних множинах:

а) 2 21

( 1)n

n x n

∞

=

−+∑ , A R= ;

б) 2

1

nx

n

x e∞

−

=∑ , [ ]0;A = +∞ ;

в) 4 4

1

sin

n

nx

n x

∞

= +∑ , A R= ;

г) 2 4

1 1n

x

x n

∞

= +∑ , A R= .

11Б

Знайти область абсолютної і умовної збіжності функціональних рядів:

1. 1

1

( 1)n

xn n

+∞

=

−∑ ; 2.

1 1 2 1

n

n

n x

n x

∞

=

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ ; 3.

1

nx

n

ne∞

=∑ .

4. Відомо, що ряд 1

( )nn

a x∞

=∑ має область збіжності[ )1;1− . Знайти область збіжності рядів:

а) 1

(3 1)nn

a x∞

=

−∑ б) 2

1

(1/ )nn

a x∞

=∑ в)

1

(cos )nn

a x∞

=∑

5. Дослідити послідовності функцій на поточкову і рівномірну збіжність на вказаних множинах:

55

а) 2( ) n nnf x x x= − , [ ]0;1A = ;

б) 2 2

2( )

1n

nxf x

n x=

+, [ ]0;1A = ; [ )1;B = +∞ ;

в) ( ) sinn

xf x

n= , A R= ;

г) 2 1( )nf x x

n= + , A R= .

6. Застосувавши ознаку Веєрштраса, довести, що наступні ряди рівномірно збігаються на вказаних множинах:

а) 2 21

( 1)sin

n

n x n

∞

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ , A R= ;

б) 2

1

sin

2nn

n nx

x

∞

= +∑ , A R= ;

в) 2 4

1n

xarctg

x n

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ , A R= .

11Д

1. Застосувавши ознаку Діріхле або Абеля, довести, що наступні ряди рівномірно збігаються на вказаних множинах:

а) 21

( 1)n

n

arctgnx

x n

∞

=

−+∑ , A R= ;

б) 1

( 1)n

xn n

∞

=

−∑ , [ );A ε= +∞ , де ( )0;ε ∈ +∞ ;

в) 1

sin sin

n

x nx

n x

∞

=

⋅+∑ , [ )0;A = +∞ .

2. Довести, що ряд 1

(1 )n

n

x x∞

=

−∑ нерівномірно збігається на [ ]0;1 .

56

Розділ 12. Степеневі ряди

12.1 Область збіжності степеневого ряду. Нехай }0:{ ≥nan – числова послідовність, Rx ∈0 . Степеневим рядом називається

функціональний ряд виду

∑∞

=−

00 )(

n

nn xxa , Rx ∈ . (1)

Для знаходження області збіжності степеневого ряду використовується поняття верхньої границі числової послідовності.

Нехай }1:{ ≥nnβ – фіксована числова послідовність.

Означення 1. Кажуть, що };{ +∞−∞∪∈ Rα є частковою границею послідовності

}1:{ ≥nnβ , якщо знайдеться така її послідовність }1:{ ≥kknβ , що ∞→→ k

kn ,αβ .

Теорема 1. Кожна числова послідовність має непорожню множину часткових границь. Позначимо через B множину усіх часткових границь послідовності }1:{ ≥nnβ .

Означення 2. Верхньою границею послідовності }1:{ ≥nnβ називається величина

, якщо послідовність }1:{ ≥nnβ необмежена зверху;

, якщо }1:{ ≥nnβ обмежена зверху, };{−∞≠B

, якщо }.{−∞=B

Приклад 1. Нехай ,,, 122 ∞→→→ + kvu kk ββ де u ,v – такі дійсні числа, що

vu < . Доведемо, що vnn

=∞→βlim .

Внаслідок означення 2 досить переконатися, що у цьому випадку },{ vuB = . Для

перевірки останньої рівності зауважимо, що кожна підпослідовність послідовності }1:{ ≥nnβ містить або скінченну кількість елементів з парними індексами, або скінченну

кількість елементів з непарними індексами, або нескінченну кількість елементів з парними і нескінченну кількість елементів з непарними індексами. У першому випадку підпослідовніcть збігається до v , у другому – до u , а в третьому не має границі. Таким чином, частковими границями }1:{ ≥nnβ є тільки числа u і v .

Для знаходження області збіжності степеневого ряду (1) використовуються величини n

nn

a∞→

= lim:ρ , ;0 +∞≤≤ ρ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∞++∞<<

+∞==

.0,

;0,/1

;,0

:

ρρρ

ρr

Означення 3. Величина r називається радіусом збіжності степеневого ряду (1).

Зауваження 1. Якщо існує nn

na

∞→lim , то n

nn

a∞→

= limρ .

Зауваження 2. Якщо ,0:0 00 ≠≥∀≥∃ nannn

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞−

∞+=

∞→Bn

nsup:limβ

57

а також існує 1

lim+

∞→n

n

n a

a, то

1

lim+

∞→=

n

n

n a

ar .

Теорема 2 (Коші - Адамара). Справджуються такі твердження.

1) Якщо ,0=r то степеневий ряд (1) розбігається для кожного 0xx ≠ .

2) Якщо ,+∞=r то ряд (1) збігається абсолютно для кожного Rx ∈ .

3) Якщо ,0 +∞<< r то ряд (1) збігається абсолютно для всіх таких x , що

,|| 0 rxx <− і розбігається для всіх таких x , що .|| 0 rxx >−

Зауваження 3. Для встановлення поведінки ряду при rxx =− || 0 треба проводити

додаткове дослідження. Приклад 2. Знайдемо радіус збіжності і область абсолютної та умовної збіжності

степеневого ряду

∑∞

=

+−0

12

4)1(

nn

nx. (2)

Для заданого ряду 10 =x , nna

41

12 =+ , 0,02 ≥= na n . Оскільки

,21

41 12

1212 →⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=+

++

n

n

nna ∞→→= nan

n ,0022 , то, згідно з прикладом 1,

21=ρ . Тому

2=r , і скориставшись теоремою Коші-Адамара робимо висновок, що степеневий ряд (2) абсолютно збігається при )3;1(2|1| ∈⇔<− xx і розбігається при 2|2| <−x .

Нехай 1|1| =−x . Тоді 1=x або 3=x . При 3=x ряд (2) записується у вигляді

2+2+2+..., а при 1=x – у вигляді -2-2-2-2-.... Отже, в точках 1=x та 3=x ряд розбігається. Таким чином, для степеневого ряду (2) радіус збіжності 2=r , область абсолютної

збіжності – інтервал (1;3), область умовної збіжності порожня. Приклад 3. Знайдемо радіус збіжності і область абсолютної та умовної збіжності

степеневого ряду

∑∞

=

+−1

)2)5((

n

nnn

n

x. (3)

Для заданого ряду .1,2)5(

,0,0 00 ≥+−=== nn

aaxnn

n Згідно із заува-

женням 2,

==+

∞→1

limn

n

n a

ar =

−++⋅−+

++∞→ 11 )2(51)2(5

limnn

nn

n

n

n

( )( ) 5

1

521

52111

51

lim 1 =−+−+⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅ +∞→ n

n

n n.

Тому з теореми Коші-Адамара випливає, що степеневий ряд (3) абсолютно збігається при

51<x і розбігається при

51>x .

Якщо 51−=x , то ряд (3) записується у вигляді

58

( )∑∑∞

=

∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=−

+−11

.521

)5(2)5(

n

n

nn

nn

nnn (4)

Цей ряд розбігається, бо він отриманий почленним додаванням розбіжного ряду ∑∞

=1

1

n n

та абсолютно збіжного ряду ( )n

n n52

1

1

−⋅∑∞

=.

Якщо 51=x , то ряд (3) записується у вигляді

( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

1

.52)1(

n

nn

nn Цей ряд

збігається умовно, бо він отриманий почленним додаванням двох збіжних рядів, а ряд з модулів його членів співпадає з рядом (4) і розбігається.

Отже, для степеневого ряду (3) радіус збіжності 51=r , область абсолютної збіжності

– інтервал ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−5

1;

5

1, а область умовної збіжності – одноточкова множина

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

51

.

12.2. Основні властивості степеневих рядів. Теорема 3 (про неперервність суми степеневого ряду). Сума степеневого ряду є

неперервною функцією на області його збіжності. Теорема 4 (про арифметичні дії зі степеневими рядами). Степеневі ряди

∑ ∑∞

=

∞

=−=−=

0 000 )()(,)()(

n n

nn

nn xxbxbxxaxa (5)

мають непорожній перетин областей абсолютної збіжності (інколи це тільки точка 0x ). Для

кожного x з цього перетину

∑∞

=−+=+

00 ,))(()()(

n

nnn xxbaxbxa

∑∞

=−=

00 ,)()()(

n

nn xxcxbxa

де ,000 bac =

,01101 babac +=

........................................................... ,... 11110 babababac nnnnn ++++= −−

........................................................ . Теорема 5 (про єдиність степеневого ряду). Нехай степеневі ряди (5) мають

ненульові радіуси збіжності і ).()(:);(0 00 xbxaxxx =+−∈∀>∃ δδδ

Тоді nn ba = для кожного .0≥n

59

Теорема 6 (про почленне інтегрування степеневого ряду). Нехай

∑∞

=−=

00 )()(

n

nn xxaxa – степеневий ряд з радіусом збіжності .0>r Тоді

:);( 00 rxrxx +−∈∀ ∫ ∑∞

=

+−+

=x

x n

nn xxn

adtta

00

10 ,)(

1)( (6)

причому радіус збіжності степеневого ряду із (6) дорівнює r . Теорема 7 (про почленне диференціювання степеневого ряду). Нехай

∑∞

=−=

00 )()(

n

nn xxaxa – степеневий ряд з радіусом збіжності .0>r Тоді функція a має

неперервну похідну на );( 00 rxrx +− і

:);( 00 rxrxx +−∈∀ ,)()(1

10∑

∞

=

−−=′n

nn xxnata (7)

причому радіус збіжності степеневого ряду із (7) дорівнює r . Наслідок 1. При виконанні умови теореми 7 функція а нескінченно диференційовна на

);( 00 rxrx +− і її похідні можна отримати почленним диференціюванням початкового

ряду. Наслідок 2. При виконанні умови теореми 7 справджуються такі рівності:

);( 00 xaa = 1,!

)( 0)(

≥= nn

xaa

n

n .

12.3. Ряд Тейлора. Часткові суми степеневого ряду є многочленами, а також, згідно з наслідком 2,

основними частинами формули Тейлора для суми початкового степеневого ряду. Тому степеневий ряд є природним узагальненням многочлена і, як свідчать попередні пункти, найбільш простим функціональним рядом. Отже, важливе таке питання: які функції є сумами степеневих рядів?

Означення 4. Нехай ,0,0 +∞≤<∈ rRx функція Rrxrxf →+− );(: 00

нескінченно диференційовна на );( 00 rxrx +− . Степеневий ряд

...)(!1

)()( 0

00 +−

′+ xx

xfxf =+−+ ...)(

!

)(0

0)(

nn

xxn

xf∑∞

=−

00

0)(

)(!

)(

n

nn

xxn

xf

називається рядом Тейлора функції f в околі точки 0x .

При 00 =x ряд Тейлора часто називають рядом Маклорена.

Наступні теореми містять умови, при виконанні яких функція f є сумою свого ряду

Тейлора. Теорема 8. Припустимо, що ,0,0 +∞≤<∈ rRx функція

Rrxrxf →+− );(: 00 задовольняє такі умови:

1) f нескінченно диференційовна на );( 00 rxrx +− ;

2) .)(:);(10 )(00

nn CxfrxrxxnC ≤+−∈∀≥∀>∃

Тоді

60

:);( 00 rxrxx +−∈∀ .)(!

)()(

00

0)(

∑∞

=−=

n

nn

xxn

xfxf

Теорема 9. Степеневий ряд з радіусом збіжності 0>r є рядом Тейлора для своєї суми.

Наведемо шість основних розкладів функцій у ряд Тейлора.

1. =+++++= ...!

...!2

12

n

xxxe

nx

∑∞

=∈

0

.,!n

n

Rxn

x

2. =++

−+−+−=+

...)!12(

)1(...

!5!3sin

1253

n

xxxxx

nn

∑∞

=

+

∈+

−0

12

.,)!12(

)1(

n

nn

Rxn

x

3. =+−+−+−= ...)!2(

)1(...

!4!21cos

242

n

xxxx

nn

∑∞

=∈−

0

2

.,)!2(

)1(

n

nn

Rxn

x

4. =+−+−+−=++

...)1(

...32

)1ln(132

n

xxxxx

nn

∑∞

=

+

−∈−1

1

].1;1(,)1(

n

nn

xn

x

5. =+++++=−

......11

1 2 nxxxx

∑∞

=−∈

0

).1;1(,n

n xx

6. Для довільного фіксованого R∈α

+=+ 1)1( αx ∑∞

=−∈+−−−

1

).1;1(,!

)1)...(2)(1(

n

n

xn

xnαααα

Наступні приклади демонструють деякі методи, які використовуються для розкладу функцій у ряд Тейлора.

Приклад 4. Розкладемо у ряд Тейлора в околі точки 10 =x Функцію xxf 2)( = .

Скориставшись основним розкладом 1, дістанемо:

.)1(!

2ln2!

22|2ln)2(|222200

2ln)1(1∑∑∞

=

∞

=

−− −===−==⋅=⋅=n

nn

n

ntxxx x

nn

texte

Цей ланцюг рівностей виконується для кожного ,Rt ∈ а отже і для кожного .Rx ∈

Залишилось зауважити, що ми розклали функцію x2 в степеневий ряд по степенях )1( −x ,

який, згідно з теоремою 9, є рядом Тейлора для цієї функції. Приклад 5. Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки 00 =x функцію

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠=

.0,1

,0,sin

)(x

xx

xxf

Помноживши при 0≠x рівність з основного розкладу 2 на x1 , дістанемо:

x

xsin=∑

∞

=≠

+−

0

2

.0,)!12(

)1(

n

nn

xn

x (8)

Зауважимо, що при 0=x сума ряду з (8) дорівнює 1. Тому, з урахуванням теореми 11, розклад функції f в ряд Тейлора в околі точки 00 =x такий:

61

=)(xf ∑∞

=∈

+−

0

2

.,)!12(

)1(

n

nn

Rxn

x

Приклад 6. Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки 00 =x функцію .)( arctgxxf =

Скориставшись основним розкладом 5, дістанемо:

=+++++=−

=−==+

=′ ......11

1||

11

)( 222

ntttt

xtx

xf

...)1(...1 242 +−+−+−= nn xxx

при )1;1()1;1( −∈⇔−∈ xt . Тому, внаслідок теореми про почленне інтегрування

степеневого ряду,

∫ =+

=−∈∀x

dyy

arctgxx0

211

:)1;1( ∫ =+−+−+−x

nn dyyyy0

242 ...))1(...1(

∫∫∫∫ =+−+−+−=x

nnxxx

dyydyydyydy0

2

0

4

0

2

0

...)1(... (9)

...12

)1(...

53

1253

++

−+−+−=+

n

xxxx

nn

.

Але останній ряд має область збіжності ]1;1[− (перевірте самостійно!). Отже, за теоремою

про неперервність суми степеневого ряду, його сума є неперервною функцією на ]1;1[− .

Оскільки функція arctgx теж неперервна на ]1;1[− , то рівність (9) виконується і при 1=x та

1−=x . Тому розклад функції arctgx в ряд Тейлора в околі точки 00 =x такий:

].1;1[,12

)1(

0

12

−∈+

−= ∑∞

=

+

xn

xarctgx

n

nn

(10)

Зауваження 4. Із рівності (10) при 1=x випливає, що

...12

)1(...

51

31

14

++

−+−+−=n

nπ .

Задачі 12A

Знайти радіус збіжності і область абсолютної і умовної збіжності степеневих рядів (1-6):

1. 1 10

n

nn

x

n

∞

= ⋅∑ ;

2. 0

! n

n

n x∞

=∑ ;

3. 2 1

0

( 1) ( 1)

(2 1)(2 1)!

n n

n

x

n n

+∞

=

− −+ +∑ ;

4.

2

0 5

n

nn

x∞

=∑ ;

5.

2

0

11 ( 2)

nn

n

xn

−∞

=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

6. 2

1 9

n

nn

x

n

∞

= ⋅∑ .

62

Розкласти наступні функції в ряди Тейлора в околі точки 0x (7-14):

7. ( ) lnf x x= , 0 1x = ;

8. 2 2( ) xf x x e= , 0 0x = ;

9. 2( ) ln 1 3f x x= − , 0 0x = ;

10. 2( ) sinf x x= , 0 0x = ;

11. 2( ) 4f x x= − , 0 0x = ;

12. 1

( ) ln1

xf x

x

+=−

, 0 0x = ;

13. sin 2

, 0;( )

2 , 0.

xx

f x xx

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

0 0x = ;

14. 2

0

( )x

tf x e dt= ∫ , 0 0x = .

Застосувавши почленне диференціювання або інтегрування, визначити суми рядів (15-17):

15. 2 4

13 5

x x+ + +K ;

16. 2 32 3x x x+ + +K ;

17. 2 31 2 2 3 3 4x x x⋅ + ⋅ + ⋅ +K .

18. Обчислити з точністю до 510− значення виразів(15-18):

а) cos1; б) 10 29 ; в) 2

1

0

xe dx−∫ .

12Б

Знайти радіус збіжності і область абсолютної і умовної збіжності степеневих рядів (1-6):

1. 1

0

( 1)n n

n

x

n

+∞

=

−∑ ;

2. 2

0

2 ( 4)n n

n

x∞

=

+∑ ;

3. 0

( 1)

( 1)( 1)

n

n

x

n n

∞

=

−+ +∑ ;

4. 0 5 ln( 2)

n

nn

x

n

∞

= +∑ ;

5. 0

11 ( 2)

nn

n

xn

∞

=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

6. 2 1

0 4

n

nn

x +∞

=∑ .

Розкласти наступні функції в ряди Тейлора в околі точки 0x (7-14):

7. 2( ) xf x e= , 0 1x = ;

8. 2( ) ( 1)sin 3f x x x= + , 0 0x = ;

9. ( ) ln 4f x x= − , 0 0x = ;

63

10. ln(1 )

, 0;( )

1 , 0.

xx

f x xx

−⎧ ≠⎪= ⎨⎪ − =⎩

0 0x = ;

11. 0

sin( )

x tf x dt

t= ∫ , 0 0x = .

12. Обчислити з точністю до 510− значення виразів(15-18):

а) sin1; б) 18 ; в) 2

1/

1

xe dx−∫ .

12Д

Знайти радіус збіжності і область абсолютної і умовної збіжності степеневих рядів (1-2):

1.

2

1

11 ( 1)

nn

n

xn

∞

=

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ;

2. 1 sin

n

nn

x

n

∞

=∑ .

3. Визначити суми ряду 2 4

12! 4!

x x+ + +K .

4. Нехай ряд 0

nn

n

a x∞

=∑ має радіус збіжності ( )0;r ∈ ∞ . Визначити радіуси збіжності рядів

0

2 ( 4)n nn

n

a x∞

=

+∑ ; 0

2 n nn

n

a x∞

−

=∑ ;

0 !

nn

n

a x

n

∞

=∑ .

64

Розділ 13. Ряди Фур’є 13.1. Означення коефіцієнтів Фур’є та ряду Фур’є. Теорія рядів Фур’є, основи якої розглядаються у цьому розділі, відіграє важливу роль

як у самій математиці, так і в її застосуваннях. Зафіксуємо число 0>l . Набір функцій

;2

1;cos

l

xπ;sin

l

xπ...; ;cos

l

nxπ;sin

l

nxπ...; (1)

називається основною тригонометричною системою на відрізку [ ]ll;− .

Вправа 1. Довести, що дві довільні функції 21 gg ≠ з основної тригонометричної

системи ортогональні на відрізку [ ]ll;− , тобто ∫−

=l

l

dxxgxg .0)()( 21

Означення 1. Нехай функція RRf →: l2 -періодична і [ ]( )llRf ;−∈ . Числа

( ) ,1

0 dxxfl

al

l∫−

=

( ) ,1,cos1 ≥= ∫

−

ndxl

nxxf

la

l

ln

π

( ) ,1,sin1 ≥= ∫

−

ndxl

nxxf

lb

l

ln

π

називаються коефіцієнтами Фур‘є функції f за основною тригонометричною системою, а

функціональний ряд

∑∞

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++1

0 sincos2 n

nn l

nxb

l

nxa

a ππ

називається рядом Фур‘є функції f .

Зауваження 1. Якщо додатково функція f парна, то 0=nb для кожного 1=n ; якщо

f непарна, то 0=na для кожного 0≥n .

13.2. Властивості ряду Фур’є. Ряд Фур’є функції f не обов’язково збігається до f навіть поточково. Наступні

теореми відповідають на такі питання: у якому сенсі можна гарантувати збіжність ряду Фур’є функції f до f ? При яких умовах ряд Фур’є функції f збігається в заданій точці? Яка його

сума? Коли ряд Фур’є можна інтегрувати або диференціювати почленно? Теорема 1. Якщо функція RRf →: l2 -періодична і [ ]( )llRf ;−∈ , то ряд Фур’є

функції f збігається до f у середньому квадратичному, тобто

( ) ,,0sincos2

2

1

0 ∞→→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−∫ ∑− =

ndxl

kxb

l

kxa

axf

l

l

n

kkk

ππ

65

а також виконується рівність Парсеваля

( ) ( )∑∫∞

=−

++=1

22202 .

2

1

nnn

l

l

baa

dxxfl

Теорема 2 (про збіжність ряду Фур’є в точці). Нехай функція RRf →:

l2 -періодична і [ ]( )llRf ;−∈ . Тоді справджуються такі твердження.

1). Якщо функція f має похідну в точці 0x , то ряд Фур’є функції f

збігається в точці 0x до ( )0xf .

2). Припустимо, що існують скінченні границі

( ) ( )xfxfxx

lim0

00 +→

=+ , ( ) ( )xfxfxx

lim0

00 −→

=− ,

u

xfuxf

u

)()( 00

00lim

−−+−→

, u

xfuxf

u

)()( 00

00lim

+−++→

.

Тоді ряд Фур’є функції f збігається в точці 0x до числа 2

)()( 00 −++ xfxf.

Нехай { }0: ≥nnα , { }0: ≥nnβ – фіксовані числові послідовності. Функціональний

ряд

,,sincos1

0 Rxl

nx

l

nx

nnn ∈⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++ ∑∞

=

πβπαα

називається тригонометричним рядом відносно основної тригонометричної системи (1). Теорема 3. Рівномірно збіжний на R тригонометричний ряд є рядом Фур’є для своєї

суми. Теорема 4 (про рівномірну збіжність ряду Фур’є). Нехай функція ( )RCf ∈

періодична з періодом l2 , диференційована на [ ]ll;− крім, можливо, скінченного числа

точок, а також [ ]( )llRf ;−∈′ . Тоді

:Rx ∈∀ ( ) ∑∞

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=1

0 sincos2 n

nn l

nxb

l

nxa

axf

ππ,

причому ряд Фур’є функції f збігається рівномірно на R .

Теорема 5 (про почленне диференціювання ряду Фур’є). Нехай функція RRf →: l2 -періодична, має неперервну похідну на R , на [ ]ll;− крім, можливо,

скінченного числа точок існує f ′′ , а також [ ]( )llRf ;−∈′′ . Тоді ряд Фур’є функції f

можна почленно диференціювати, причому

:Rx ∈∀ ( ) ∑∞

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=′1

cossinn

nn

l

nx

l

nb

l

nx

l

naxf

ππππ, (2)

і ряд із (2) збігається рівномірно на R . Теорема 6 (про по членне інтегрування ряду Фур’є). Нехай функція RRf →:

l2 -періодична і [ ]( )llRf ;−∈ . Тоді ряд Фур’є функції f можна почленно інтегрувати,

66

причому отриманий за допомогою почленного інтегрування ряд ряд рівномірно на R

збігається до функції ( ) ( )∫ ∈=x

RxdttfxF0

, .

Приклад 1. Розкладемо в ряд Фур’є π2 -періодичну функцію ( ) Rxxxf ∈= ,sin3 .

Оскільки xxx 3sin4sin33sin −= , то f є сумою рівномірно збіжного на R

тригонометричного ряду:

( ) K+++−= 003sin4

1sin

4

3xxxf .

Отже, згідно з теоремою 3 ряд Фур’є функції f має вигляд xx 3sin4

1sin

4

3 − .

Приклад 2. Нехай π=l , RRf →: – така π2 -періодична функція, що ( ) xxf = ,

[ )ππ ;−∈x (див. рис. 1).

Розкладемо функцію f в ряд Фур’є і дослідимо його на поточкову збіжність.

Зауважимо, що π=l , а також інтеграл Рімана не залежить від значень підінтегральної функції в скінченій кількості точок. Тому

( )∫ ∫− −

===π

π

π

πππ0

110 xdxdxxfa ,

( )∫ ∫− −

≥===π

π

π

πππ,1,0cos

1cos

1nnxdxxnxdxxfan

бо інтеграл від непарної функції по симетричному відносно нуля відрізку [ ]ππ ;− дорівнює

нулю. Також інтеграл від парної функції по [ ]ππ ;− дорівнює двом інтегралам від цієї

функції по відрізку [ ]π;0 , а отже, для кожного 1≥n

( ) ∫∫ ∫ ====− −

ππ

π

π

π πππ 0

sin2

sin1

sin1

nxdxxxdxxnxdxxfbn

67

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=−==

=== ∫

ππ

π 00

cos1cos2

cos,sin

,nxdx

nn

nxx

n

nxvnxdxdv

dxduxu

nn

nx

n

n n 1

02

)1(2sincos2 +−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

ππππ

.

Тому ряд Фур’є функції f такий:

nxnn

n

sin)1(2

1

1

∑∞

=

+−. (3)

Дослідимо ряд Фур’є (3) на поточкову збіжність. Якщо ππ nx 2+≠ , Zn ∈ , то існує ( )xf ′ , бо в деякому околі точки x функція f співпадає з лінійною функцією. Тому,

внаслідок твердження 1 теореми про збіжність ряду Фур’є в точці, при ππ nx 2+≠ , Zn ∈ , ряд Фур‘є (3) збігається до числа ( )xf .

Оскільки функція f π2 -періодична, то поведінка її ряду Фур’є у всіх точках виду

ππ n2+ , Zn ∈ , однакова. Дослідимо його на збіжність в точці π=x . 1 спосіб. Скористаємося твердженням 2 теореми про збіжність ряду Фур’є в точці.

Зауважимо, що ( ) ππ

π==−

−→xf

x 0lim , ( ) ( ) πππ

π−=−=+

+→2lim

0xf

x.

Також, з урахуванням означення похідної, ( )

u

fufu

)(lim

00

−−+−→

ππ співпадає з похідною

функції x в точці π , а отже, дорівнює 1. Аналогічно ( ) ( ) 12

)(lim

00=′−=+−+

=+→ ππππ

xux

u

fuf.

Тому ряд Фур’є (3) збігається в точці π=x до числа ( ) ( )

022

=−=−++ ππππ ff.

2 спосіб. При π=x ряд (3) записується у вигляді K++ 00 . Отже, його сума дорівнює нулю.

Таким чином, ряд Фур’є функції f збігається до ( )xf , коли ππ nx 2+≠ , Zn ∈ , і

збігається до нуля, коли ππ nx 2+= , Zn ∈ . Зауваження 2. Рівність Парсеваля для функції f із прикладу 2 має вигляд

∫ ∑−

∞

==

π

ππ 12

2 41

n ndxx .

З цієї рівності випливає, що ∑∞

==

1

2

2 6

1

n n

π.

68

Задачі 13A

Розкласти в ряд Фур’є 2l-періодичну функцію f і дослідити отриманий ряд на поточкову збіжність(1-3):

1. [ ]( )

4, 2;0 ,( )

0, 0;2 ,

xf x

x

⎧ ∈ −⎪= ⎨∈⎪⎩

2l = ;

2. [ ]

( ), 3;0 ,

( )0, 0;3 ,

x xf x

x

⎧− ∈ −⎪= ⎨∈⎪⎩

3l = ;

3. [ ]( ] [ )

, 2;2 ,( )

0, 4;4 \ 2;2 ,

x xf x

x

⎧ ∈ −⎪= ⎨∈ − −⎪⎩

4l = .

4. На інтервалі (0; )π розкласти функцію 2( )f x x= в ряд: a) за косинусами кратних дуг; б) за синусами кратних дуг.

5. Скориставшись розкладом 1

1

( 1)sin

n

n

nxn

+∞

=

−∑ , ( ; )x π π∈ − , по членним інтегруванням

отримати розклад в ряд Фур’є на ( ; )π π− функцій 2 3,x x .

13Б

Розкласти в ряд Фур’є 2l-періодичну функцію f і дослідити отриманий ряд на поточкову збіжність(1-4):

1. [ ]

( )3, 2;0 ,

( )3, 0;2 ,

xf x

x

⎧− ∈ −⎪= ⎨∈⎪⎩

2l = ;

2. 2( )f x x= , ( ]5;5x ∈ − , 5l = ;

3. [ ]( ] [ )

4, 2;2 ,( )

0, 4;4 \ 2;2 ,

xf x

x

⎧ ∈ −⎪= ⎨∈ − −⎪⎩

4l = ;

4. ( ) sinf x x= , ( ]/ 2; / 2x π π∈ − / 2l π= .

5. На інтервалі (0; / 2)π розкласти функцію ( )2

f x x xπ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ в ряд:

a) за косинусами непарних дуг дуг; б) за синусами непарних дуг.

6. Нехай (0; )α π∈ . Розкласти в ряд Фур’є 2π -періодичну функцію 1, ,

( )0, .

xf x

x

αα π

⎧ <⎪= ⎨≤ ≤⎪⎩

Скориставшись рівністю Парсеваля для отриманого ряду, обчислити суми рядів

2

21

sin

n

n

n

α∞

=∑ ;

2

21

cos

n

n

n

α∞

=∑ .

69

13Д

Розкласти в ряд Фур’є такі періодичні функції: 1. [ ]( )f x x x= − ;

2. ( ) arcsin(sin )f x x= ;

3. ( )f x x= - відстань від x до найближчого цілого числа.

4. Які особливості має ряд Фур’є 2π -періодичної функції f , якщо : ( ) ( )x R f x f xπ∀ ∈ + = − ?

70

Розділ 14. Відношення “О” і “о”. Еквівалентні функції. Відношення “О” і “о” та поняття еквівалентних функцій часто використовуються

в сучасній математиці та її застосуваннях. Наприклад, спеціалістам з програмування

відомо, що метод Гаусса для розв’язання системи з n лінійних рівнянь вимагає О( 3n ) арифметичних операцій. Що означає це твердження?

У загальній ситуації властивості відношень “О” і “о” та еквівалентних функцій викладені в [1]. У цьому розділі наведено їх означення у випадку, достатньому для застосувань, а також розглянуто кілька прикладів.

Нехай ,RA ⊂ 0x – гранична точка A , RAgRAf →→ :,: – такі функції,

що 0)( ≠xg для кожного .Ax ∈

Означення 1. Нехай .0 Rx ∈ кажуть, що ,)),(()( 0xxxgOxf →= якщо

0>∃L 0>∃δ ,Ax ∈∀ ,0 δ<− xx :0xx ≠ .)(

)(L

xg

xf ≤

Означення 2. Нехай .0 +∞=x Кажуть, що ,)),(()( +∞→= xxgOxf якщо

0>∃L 0>∃c ,Ax ∈∀ :cx > .)(

)( α≤xg

xf

Аналогічно визначається відношення .)),(()( −∞→= xxgOxf

Зауваження 1. Якщо існує скінченна границя ,)(

)(lim

0 xg

xf

xx→ то

.)),(()( 0xxxgOxf →=

Означення 3. Нехай { }.;0 +∞∞−∪∈ Rx Кажуть, що ,)),(()( 0xxxgoxf →=

якщо .0)(

)(lim

0

=→ xg

xf

xx

Означення 4. Нехай { }.;0 +∞∞−∪∈ Rx Кажуть, що функції f і g

еквівалентні при ,0xx → якщо .1)(

)(lim

0

=→ xg

xf

xx

Позначення: .,~ 0xxgf →

Приклад 1. ,),(sin +∞→= xxOxx бо

:1>∀x .1sinsin ≤= xx

xx

Приклад 2. ,),1( +∞→= xOarctgx бо

:1>∀x .21

π<arctgx

Приклад 3. ,0,~ →xxarctgx бо внаслідок 1-ого правила Лопіталя

.11

1

12

00limlim =+=

→→

xx

arctgx

xx

Приклад 4. ,),(ln ∞→= nnon бо .0ln

lim =∞→ n

n

n

71

Приклад 5. Твердження, сформульоване на початку розділу, означає, що коли позначити через )(nf кількість арифметичних операцій, які треба виконати для

розв’язання системи з n лінійних рівнянь методом Гауса, то ,),()( 3 ∞→= nnOnf

тобто

0>∃L Nn ∈∃ 0 :0nn ≥∀ .)( 3Lnnf ≤

Вправа 1. Нехай NA = . Довести, що ,)),(()( ∞→= nngOnf тоді і тільки

тоді, коли 0>∃C :1≥∀n .)()( ngCnf ≤

72

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. Краткий курс в современном

изложении.- К. Факт, 2004 – 560 с. 2. Вишенський В.А., Оленко А.Я. Основи координатного методу. Функції

однієї змінної. Навч. посібник. - Київ: НаУКМА, 1994 – 90 с. 3. Вишенський В.А., Оленко А.Я. Ряди. Навч. посібник. - Київ: НаУКМА,

1995 – 36 с. 4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

анализу. - М.: Наука, 1969 – 544 с. 5. Основи математичного аналізу. Частина 1. Диференціальне числення

функцій однієї змінної. / Ю.В. Митник, М.Ф. Городній, О.І. Кашпіровський // навчальний посібник, К:, Вид. дім “КМ Академія”, 2004. - 101 с.

6. Босс В. Лекции по математике: анализ. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 216с.

7. Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1958 – 404 с.

8. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. - М.: Наука, 1981 – 544 с. 9. Радченко О.М. Математичний аналіз.Ч.1. Диференціальне та інтегральне

числення функцій однієї змінної - Київ: ТВІМС, 1999 – 152 с.