Иван ИвановПС1 Фак.№ 3594

Обобщения деформационен метод представлява модификация на деформационния метод предназначена за автоматизирано изчисление.

Обобщения деформационен метод е начален етап в развитието на метода на крайните елементи.

Обобщения деформационен метод цели да автоматизира съставянето на основна система и записването на каноничните уравнения.

2

При съставянето на основна система по традиционния деформационен метод човек използва разсъждения каквито машина не може да извърши.

   

q   21

u uu

 

   

q 

   

3

За да се изключи елемента на разсъждението във всеки възел на конструкцията се поставят по 3 връзки без да се съобразяваме с опорните устройства .

Както се вижда от схемата при това решение се включват и осовите сили.

Отчитането на влиянието на напречните сили е по желание, в зависимост от програмния продукт.

 

 

 

 

Z1

Z3

Z9

Z4

Z7

Z8

Z5

Z2

Z11

Z14Z1

3Z10

Z12

Z15

Z6

4

Аналогично на деформационния метод сега трябва да се извършат решения от единични стойности на неизвестните. Тук отново трябва да се изключи човешкият фактор, което налага въвеждането на координатна система.

Отличават се два вида координатни системи: локална, отговаряща за решението на всеки елемент по отделно; и глобална, отговаряща за решението на рамката като цяло.

 

 

 

  X

Y

EI

Локална координатна система

Глобална координатна система

5

За да се извърши това решение е необходимо да се въведът положителни посоки за преместванията и усилията във възлите.

Отделният елемент има константно напречно сечение и константен материал.

i – начален възелj - краен възел

vj

uiE,A,I,G,AQ

j

vi

uj

φi

i

φjMi

Rxi

Riy

реактивниусилия

i j

Rjy

Rxi

Mj

6

Определяне на матрицата на коравина на двойно запънат елемент в локална координатна система.

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxiui = 1

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxi

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxi

vi = 1E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxi

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxi

i = 1

E,A,I,G,AQ

jМi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxi

uj = 1

vj = 1

j = 1

7

Матрицата на коравина на двойно запънат елемент в локална координатна система.

2

1; . ; ; ; ;

1 12 2(1 ) 1,2. .o Q

Q

EA EI EI E Aa G Ai

l l l G A

u1 iv i uj j j

Rix a 0 0 - a 0 0

Riy 2

.12

l

io l

io.6 0 2

.12

l

io l

io.6

Mi )31(4 oi 0 l

io.6

Rjx а 0 0

Rjy симетрично 2

.12

l

io l

io.6

Mj )31(4 oi

8

Определяне на матрицата на коравина на двойно запънат елемент в локална координатна система.

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Rxi

RiyRjy

Rxiui = 1

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Rxi

RiyRjy

Rxi

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxi

vi = 1E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Rxi

RiyRjy

Rxi

E,A,I,G,AQ

j

Мi

i

Mj

Rxi

RiyRjy

Rxi

i = 1

E,A,I,G,AQ

jМi

i

Rxi

RiyRjy

Rxi

uj = 1

vj = 1

j = 1

9

Матрицата на коравина на елемент с дясна става в локална координатна система.

10

Матрицата сформирана от усилията, причинена от единични премествания и завъртания се нарич матрица на коравина;

Матрицата на коравина на елемент съдържащ ставна опора се допълва с нулева колона за да бъде квадратна с размера на тази на двойно запънат елемент.

Матрицата на коравъна има блокова структура по отношение на възлите на елемента.

N N

N ii ij

N N

ji jj

K KK

K K

11

Трансформация на координатната система. За да може да се отчете взаимодействието (връзката) на

отделните елементи е необходимо матриците на коравина на отделните елементи да се трансформира в една обща глобална координатна система.

12

След трансформацията на възловите премествания е необходимо да се извърши трансформация на елементите на матрицата на коравина.

13

Съставяне на глобалната матрица на коравина: За да съставим глобалната матрица на коравина на рамката е

необходимо първо да номерираме възлите и елементите. Представената рамка има 6 възела и 5 елемента. Всички

елементи с от тип запъване-запъване. Опорните уловия ще бъдат отчетени в последствие.

В момента, в който дефинираме първи-втори възел на елемента ние дефинираме и локална координатна система, която определя положителните посоки.

3 36

5

x

y40

5 6

4

31

2

I

II

III

IV

V

q = 8

0

14

За всеки един от крайните елементи се съставя елементна матрица на коравина в локална координатна система, която после се преобразува в глобална координатна система. При съставянето на тези матрици е желателно да се спазва глобалната номерация на възлите. Така в блоков вид матриците на коравина на отделните елементи б глобална координатна система имат вида:

11 13

31 33

I I

I

I I

K KK

K K

22 23

32 33

II II

II

II II

K KK

K K

33 35

53 55

III III

III

III III

K KK

K K

44 45

54 55

IV IV

IV

IV IV

K KK

K K

55 56

65 66

V V

V

V V

K KK

K K

Елемент I: възли 1, 3

Елемент II: възли 2, 3

Елемент III: възли 3, 5

Елемент IV: възли 4, 5

Елемент V: възли 5, 6

15

Глобалната матрица на коравина се съставя чрез сумиране на елементните матрици по възли:

16

Матрицата на коравина е симетрична по отношение на главния диагонал;

Матрицата на коравина има ивична структура. От ширината на тази ивица зависи бързината на решението на системата уравнение;

Детерминантата на глобалната матрица на коравина е нула преди отчитане на опорните условия, а след отчитането им е строго положителна.

17

В глобалната система уравнения векторът на свободните членове съвпада с вектор на компонентите на външното натоварване. Стойностите на тези компоненти се намират както и в деформационния метод.

Подпирането се отчита като за възлите с опорна връзка се поставя голямо число по глвния диагонал на матрицата. Тези места са означени със затъмнение. Голямото число, което трябва да добавим зависи от параметрите на машината, но се приема около 1.1030.

При определяне на възловите премествания се търси обратната на матрицата на коравина. Така големите числа отиват в знаменател и нулират съответното преместване.

18

Вектор на външното натоварване:

40

I1 3

2

4

5

2

22000

16,71220

2 00 16,7

2

e

IV

ql

ql

ql

ql

RR R

2

ql

2

ql12

2ql

12

2ql

q

q

ℓ

1

3

0 0

0 0

40

0 0

0 0

0 0

e

I

MRR R

1

2

3

4

5

6

0

0

40

0

0

0

0

0

0

20

0

16,7

20

0

16,7

0

0

0

R

R

RR

R

R

R

4

5

13+40

-16,7

+20

+20

+16,7

4

5

19

След съставяне на пълната система уравнения и решаването й се получават всички възлови премествания. След това с помощта на елементната матрица на коравина се определят възловите усилия (М-реперно), а от там могат да бъдат определени и пълните диаграми на разрезните усилия.

20

Числен пример:

6

5

x

y

40 3

41

2

I

II

IIIq = 8

2

26

743

227

104,02,1

125,0

;10.5,12)2,01.(2

10.3;10.60,2

;125,05,0.25,0;/10.3

mA

m

kNGmI

mAmkNE

Q

1 2 3 4

x 0 0 6 6

y 5 0 0 5

21

Числен пример:

M

Q N

22

Благодаря за вниманието!