Дуже багато рівнянь є в житті,

Потрібно для кожного корінь знайти.

Ви ж починаєте з парти шкільної,

З пошуків «ікс» та задачі важкої.

Раджу: хай труднощі вас не лякають,

Той переможе, хто їх подолає.Вчитель математики Ціпківської ЗОШ І-ІІ ступенів Ткаченко Н. М.

Означення.Квадратним рівнянням називається рівняння

виду:

ах2 + bх + с = 0,

де х — змінна, а, b, с — деякі числа, причому

а ≠0. Числа а, b, с — коефіцієнти квадратного

рівняння, причому а називається першим

коефіцієнтом, b — другим коефіцієнтом , с —

вільним членом.

Способи розв'язування квадратних рівнянь:

Спосіб групування з наступним розкладанням на множники.

Графічний спосіб.

Спосіб виділення повного квадрата двочлена.

Розв'язування за формулою коренів квадратного рівняння.

Розв'язування за теоремою оберненою до теореми Вієта.

Спосіб групування з наступним розкладанням на множники

2х2– 85х + 875 = 0.

Подамо рівняння у вигляді:

2х2– 50х – 35х + 875 = 0,

тоді

2х (х – 25) – 35(х – 25) = 0,

(х – 25) (2х – 35) = 0,

Прирівнюючи до нуля кожен з множників дістанемо

х1 = 25, х2 = 17,5.

Графічний спосіб

х2– 5х + 6 = 0.

Перепишемо рівняння так:

х2=5х–6.

Побудуємо у спільній системі координат графіки функцій

у 1= х2 і у2 = 5х–6.

Абсциси точок перетину графіків функцій

х1 = 2, х2 = 3

і будуть коренями даного рівняння.

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

Спосіб виділення повного квадрата двочлена

Виділимо повний квадрат двочлена: х 2 +2х -3 = 0;

х2 +2х +1-1-3 = 0;(х +1)2 - 4 = 0.

Можливі два варіанти розв'язання:

І. (х +1 - 2) (х +1 +2) = 0; (х -1 ) (х +3) = 0.

х -1=0; х+3 =0

х 1= 1; х2 = -3

ІІ. (х +1)2 = 4; |х +1| = 2;

х +1= 2; х +1 = -2;

х 1 =1; х2 = -3.

Розв'язування за формулою коренів квадратного рівняння

Формула коренів квадратного рівняння:

, де D =b 2- 4ас (― дискримінант ‖-у

перекладі з латинської мови - розрізнювач)

Причому, якщо D>0, то рівняння має 2 корені;

якщо D=0, то рівняння має 1 корінь;

якщо D<0, то рівняння не має коренів.

Використовуючи таблицю дайте відповідь:

чи існує залежність між знаками коренів квадратного рівняння і знаком вільного члена; чи існує залежність між другим коефіцієнтом і коренями квадратного рівняння;

Розв'язування за теоремою оберненою до теореми Вієтазведених квадратних рівнянь

Рівняння х 1 + х2 х 1 · х2 х 1; х2

х 2 +2х -3 = 0

х 2 +7х + 10 = 0

х 2 -2х -24 = 0

х 2 -7х + 6 = 0

х 2 +3х -10 = 0

-2

-3

2

7

-3

-3

10

-24

6

-10

1;-3

-2;-5

6; -46; 12;-5

У загальному вигляді залежність між

коренями квадратного рівняння

х 2 +pх + q = 0

і його компонентами записується так:

х 1 + х2= –p

х 1 · х2 = q

Франсуа Вієт

Уперше сформульовані залежності виявив Франсуа Вієт (1540-1603), його поправу вважають “ батьком сучасної алгебри ”. Вієт також ввів буквене позначення невідомих, саме від нього бере початок сучасна алгебраїчна символіка. В останні роки свого життя він був радником французьких королів Генріха ІІІ і Генріха ІV.

Хід пошуку коренів квадратного рівняння

Перевірити, чи сума коефіцієнтів дорівнює нулю. Якщо так, то х 1=1, х2= .

Змінити знак другого коефіцієнта і знову обчислити суму

коефіцієнтів. Якщо сума дорівнює нулю, то х 1=–1, х2= – .

Якщо рівняння зведене, то застосувати теорему обернену

до теореми Вієта.

Якщо рівняння повне, визначити, чиє ліва частина повним

квадратом. Якщо так, то застосувати формулу квадрата

двочлена і знайти корінь рівняння кратності два.

Якщо коефіцієнт b поділяється на 2, то .

Окремий випадокРівняння виду ах2 + bх + с = 0 можна розв'язати за

теоремою Вієта.

Розв'язання. 2х2 –3х –2 = 0.

Розв'яжемо схоже зведене квадратне рівняння х2 –3х –4 = 0,

де p=–3, q=а ·с = 2 ·( –2 )=–4.

За теоремою Вієта: –p=х 1 + х2=3, q=х 1 · х2 = –4.

Отже х 1=4, х2 = –1.

Щоб знайти корені рівняння 2х2 –3х –2 = 0 досить знайдені

корені розділити на 2.

Відповідь. х 1=2, х2 = – .

Кросворд1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Запитання 1. Рівняння, що має вигляд ах2 + bх + с = 0, де х — змінна, а, b і с — довільні

числа, причому а ≠ 0, називають...

2. Вираз b 2 -4ас називають ... квадратного рівняння (по вертикалі).

3. Якщо у квадратному рівнянні перший коефіцієнт дорівнює 1, то його називають...

4. Квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ...

5. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння має один ...

8. Якщо хоча б один з коефіцієнтів b або с квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння називають...

7. Для обчислення коренів квадратного рівняння існує ...

8. Якщо значення виразу b 2-4ас є від'ємним числом, то рівняння не має ... розв'язків.

9.Число а в квадратному рівнянні називають першим ...

10. Квадратне рівняння має два корені, якщо дискримінант є ... числом.

11. Зведені квадратні рівняння розв'язуються за теоремою, оберненою до теореми ...

12. Якщо все виконав, то ти ...