Пифагор и его теорема

Проект выполнили: Беловолов А. ,Горский Р. ,Плавский О. , Селвян С. , Якуба А.Руководитель: Мигунова Л.В.

Содержание:

1.Из истории

2.Теорема Пифагора Способы доказательства 1,2,3.

3. Применение теоремы Пифагора• Геометрические задачи

• Задача о лотосе

• Задача из рассказа Л.Толстого «Много ли человеку земли нужно»

4. Египетский треугольник

Пифагор Самосский. (Pythagoras of Samos)

Родился: около 569 г. до нашей эры (жил около 2,5 тысяч лет тому назад) на острове Самос в Ионическом море (Ionii)Умер: около 475 г. до нашей эры.

Биографические сведения:

- 22 года Пифагор набирался мудрости в Египте.-В греческой колонии Южной Италии им была основана знаменитая «Пифагорова школа», сыгравшая важную роль в научной и политической жизни древней Греции. - Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

а

в

сс² = а² + в²

катеты

сс² = а² + в²

гипотенуза

Способ 1

А

М

К

b

a

c

ab

b

a

b

В

P

Дан треугольник AMK с катетами a, b и гипотенузой c. C

D

Достроим треугольник AMK до квадрата со стороной a+b.

S кв = (a+b)² 2

6 3

4

8

5

1

7

Треугольники равны

Четырёхугольник KMNP – квадрат, т.к.<1=<2=<3=<4 и <5=<6=<7=<8 => <1+<8 = <2+<5 = <3+<6 = <4+<7 =90°.

Найдём площадь квадрата ABCD

S кв =4Sтр + S1кв =4x ½ ab + c² = 2ab +c²

Тогда (a+b)² = 2ab+c²

a² + 2ab + b² = 2ab +c² , a² + b² = c².

Способ 2

C

A

B

a

b

M

Da

b

Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник ВМD:BD=b, <BDM=90°, DM=a.

Дан треугольник ABC c катетами a и b.

Точки А и М соединим отрезком АМ.

AMDC – прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD <1 + <2 =90° и <3+<4=90°,

но так как <1 = <3, то <3 + <2 = 90°; тогда <ABM = 180° – 90° = 90°. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три прямоугольных треугольника, тогда по свойствам площадей имеемSABC + S ABM + S BMD = Sтрап , или

½ ab + ½ с²+ ½ ab = ½(a+b)(a+b).

Умножив обе части равенства на 2, получим

ab + c² + ab = (a + b)², 2ab + c²= a² + 2ab + b², откуда c²= a² + b².

Способ 3

Среди пифагорейцев был распространён способ доказательства теоремы “без слов”. Слушателям представляли чертёж (см.рис.), на котором изображены два равных квадрата со стороной a+b, после чего писали одно слово “Смотри”.

Применение теоремы Пифагора:

1. Геометрические задачи

2. Задача из древней Индии в стихах

3. Задача из рассказа Л.Толстого «Много ли человеку земли нужно»

Решение геометрических задач

3x

4

32x

x

x

5

5

Х² = 3² + 4²

Х = 5

Х² + Х² = 32²

Х = 16√2

х² = 5²+ 5²

х =5√2

X

26мм

x

ZY

30’

x VR

T

S 7м

60’

ZY=13ммX²=26²-13²x=√507

RT=14X²=147X=√147

Решение геометрических задач

В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах.Над озером тихимС полфута размеромВысился лотоса цвет.Он рос одиноко, И ветер порывомОтнёс его в сторону. НетБоле цветка над водой.Нашёл же рыбак егоРанней весноюВ двух футах от места, где рос.Итак, предложу я вопрос:“Как озера вода здесь глубока?”

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,

(Х + 0,5 )2 – Х2 = 22,

Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута

Задача из рассказа Л.Толстого “Много ли человеку земли нужно”

Из чертежа видно, что неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

х²=15²-8²=161; 13(вёрст);

S участка= (2 + 10) х 13:2=78 (кв. вёрст);

1 верста(русская мера длины) = 1,0668 км,

78 кв. вёрст =78 кв. км = 7800 га.

Египетский треугольник

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён. Состоит он в следующем. Пусть через точку А к прямой МК требуется провести перпендикуляр. Откладывают от А по направлению АМ четыре раза какое – нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояние между которыми равны 3а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А – прямой. Этот способ, по – видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, - прямоугольный. (3²+4²=5²)

A MK

a

a

a

a a a a

a

a

a

a

a

B

Отрывок из рассказа Л.Толстого “Много ли человеку земли нужно”

Угадывает Пахом, что верст пять прошел. Согреваться стал, снял поддевку, вскинул на плечо, пошел дальше. Отошел еще верст пять. Тепло стало. Взглянул на солнышко — уж время об завтраке. “Одна упряжка прошла, — думает Пахом. — А их четыре в дню, рано еще заворачивать. Дай только разуюсь”. Присел, разулся, сапоги за пояс, пошел дальше. Легко идти стало. Думает: “Дай пройду еще верст пяток, тогда влево загибать стану. Место-то хорошо очень, кидать жалко. Что дальше, то лучше”. Пошел еще напрямик. Оглянулся — шихан уж чуть видно, и народ, как мураши, на нем чернеется, и чуть блестит что-то. “Ну, — думает Пахом, — в эту сторону довольно забрал; надо загибать. Да и разопрел — пить хочется”. Остановился, вырыл ямку побольше, положил дернички, отвязал баклажку, напился и загнул круто влево. Шел он, шел, трава пришла высокая, и жарко стало. Стал Пахом уставать; поглядел он на солнышко, видит — самый обед. “Ну, думает, отдохнуть надо”. Остановился Пахом, присел. Поел хлебца с водой, а ложиться не стал: думает — ляжешь, да и заснешь. Посидел немного, пошел дальше. Сначала легко пошел. От еды силы прибавилось. Да уж жарко очень стало, да и сон клонить стал; однако все идет, думает — час терпеть, а век жить. Прошел еще и по этой стороне много, хотел уж загибать влево, да глядь — лощинка подошла сырая; жаль бросать. Думает: “Лен тут хорош уродится”. Опять пошел прямо. Захватил лощинку, выкопал ямку за лощиной, загнул второй угол. Оглянулся Пахом на шихан: от тепла затуманилось, качается что-то в воздухе и сквозь мару чуть виднеются люди на шихане — верст пятнадцать до них будет. “Ну, — думает Пахом, — длинны стороны взял, надо эту покороче взять”. Пошел третью сторону, стал шагу прибавлять. Посмотрел на солнце — уж оно к полднику подходит, а по третьей стороне всего версты две прошел. И до места все те же верст пятнадцать. “Нет, думает, хоть кривая дача будет, а надо прямиком поспевать. Не забрать бы лишнего. А земли и так уж много”. Вырыл Пахом поскорее ямку и повернул прямиком к шихану.

Результаты:

1. Узнали о Пифагоре много нового2. Доказали теорему Пифагора тремя способами3. Поняли, что теорема Пифагора имеет практическое значение4. Создан электронный ресурс : www.likt590.ru