Прогрессии и их Прогрессии и их применение в жизни.применение в жизни.

Туманян Артак Туманян Артак 11 «А» 11 «А» класс СОШ №4«ЦО».класс СОШ №4«ЦО».

Закончился двадцатый век.Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?Куда стремится человек?

Изучены космос и море,Изучены космос и море,

Строение звезд и вся Земля.Строение звезд и вся Земля.

Но математиков зоветНо математиков зовет

Известный лозунг:Известный лозунг:

«Прогрессия - «Прогрессия - движение вперед».движение вперед».

Арифметическая прогрессияАрифметическая прогрессия

Определение:Определение: Последовательность, у Последовательность, у которой задан первый член aкоторой задан первый член a11, а каждый , а каждый следующий равен предыдущему, следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:называется арифметической прогрессией:

aann+1+1 = a = ann + d, + d, где d - разность прогрессии. где d - разность прогрессии.

Геометрическая прогрессияГеометрическая прогрессия

ОпределениеОпределение:: Последовательность (b Последовательность (bnn), у ), у которой задан первый член bкоторой задан первый член b11≠≠0, а каждый 0, а каждый следующий равен предыдущему, следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q умноженному на одно и то же число q ≠≠ 0, 0, называется геометрической прогрессией: называется геометрической прогрессией:

bbn+1n+1=b=bnnq ,q ,

где q -знаменатель прогрессиигде q -знаменатель прогрессии

ШКОЛЬНЫЕ ЗАДАЧКИ ШКОЛЬНЫЕ ЗАДАЧКИ

НА НА

АРИФМЕТИЧЕСКУЮ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ

ИИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ

ПРОГРЕССИИПРОГРЕССИИ

1.1. Сколько надо взять положительных членов арифметической прогрессии 72, 68, 64, …, чтобы их Сколько надо взять положительных членов арифметической прогрессии 72, 68, 64, …, чтобы их сумма была в 1,4 раза больше суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма была в 1,4 раза больше суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первые два члена которой равны соответственно четвертому и седьмому членам данной первые два члена которой равны соответственно четвертому и седьмому членам данной арифметической прогрессии?арифметической прогрессии?

2.2. За изготовление и установку первого железобетонного кольца для колодца уплачено 10 За изготовление и установку первого железобетонного кольца для колодца уплачено 10 долларов, а за каждый следующий платили на 2 доллара больше, чем за предыдущий. Кроме долларов, а за каждый следующий платили на 2 доллара больше, чем за предыдущий. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 40 долларов. Средняя стоимость того, по окончании работы было уплачено еще 40 долларов. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца оказалась равной доллара. Сколько колец было изготовления и установки одного кольца оказалась равной доллара. Сколько колец было установлено?установлено?

3.3. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. За какое Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч. За какое время пройдет все расстояние каждый из них, если первый пришел в то место, из которого время пройдет все расстояние каждый из них, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?вышел второй, на позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?

44. Некоторое положительное число увеличили на 40 %, после чего результат уменьшили тоже на 40 . Некоторое положительное число увеличили на 40 %, после чего результат уменьшили тоже на 40 %. Сколько процентов составляет окончательная величина от исходной?%. Сколько процентов составляет окончательная величина от исходной?

5.5. Три землечерпалки углубляли фарватер при входе в гавань. Если бы работала только первая из Три землечерпалки углубляли фарватер при входе в гавань. Если бы работала только первая из них, то на работу потребовалось бы на 10 дней больше, а если бы только вторая, то на 20 дней них, то на работу потребовалось бы на 10 дней больше, а если бы только вторая, то на 20 дней больше. При работе одной лишь третьей землечерпалки углубление фарватера заняло бы в 6 больше. При работе одной лишь третьей землечерпалки углубление фарватера заняло бы в 6 раз больше времени, чем при одновременном действии всех трех машин. Сколько времени раз больше времени, чем при одновременном действии всех трех машин. Сколько времени потребуется для выполнения всей работы каждой землечерпалкой в отдельности?потребуется для выполнения всей работы каждой землечерпалкой в отдельности?

6.6. Величина процентного содержания кислоты в трех растворах образуют геометрическую Величина процентного содержания кислоты в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Если же смешать их в отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Если же смешать их в отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержит каждый получится раствор, содержащий 22 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержит каждый раствор?раствор?

7.7. Маршрут велосипедиста состоит из двух частей: на подъеме он двигается со скоростью 12 км/ч, а Маршрут велосипедиста состоит из двух частей: на подъеме он двигается со скоростью 12 км/ч, а затем поворачивает обратно и спускается со скоростью 20 км/ч. Определите среднюю скорость затем поворачивает обратно и спускается со скоростью 20 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста на данном маршруте?велосипедиста на данном маршруте?

8.8. Найти арифметическую прогрессию, в которой среднее арифметическое Найти арифметическую прогрессию, в которой среднее арифметическое n n первых членов равно первых членов равно 22nn..

9.9. Найти сумму членов геометрической прогрессии с 15 по 21 включительно, если сумма первых Найти сумму членов геометрической прогрессии с 15 по 21 включительно, если сумма первых семи членов прогрессии равна 14, а сумма первых четырнадцати ее членов равна 18.семи членов прогрессии равна 14, а сумма первых четырнадцати ее членов равна 18.

Рассуждая об арифметической и Рассуждая об арифметической и геометрической прогрессиях, геометрической прогрессиях, хочется лишний раз повторить, хочется лишний раз повторить, что за видимой простотой что за видимой простотой прогрессии скрывается большой прогрессии скрывается большой прикладной потенциал этого прикладной потенциал этого раздела алгебры. раздела алгебры. Доказательство следует.Доказательство следует.

Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 м2 и даёт в год около 100 летучих семян.

а) Сколько квадратных километров площади покроет всё потомство одной особи одуванчика через 10 лет при условии, если он размножается беспрепятственно по геометрической прогрессии?

б) Хватит ли этим растениям на 11-ый год места на поверхности суши земного шара?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Число делений

Рост численности инфузорий при неограниченном размножении

1

2

3

15 : 32 768

Быстрота размножения бактерий

за 1месяц–

300миллионов потомков

за 35 лет может покрыть

весьземной шар

Кривая выживаемости потомства дальневосточной горбуши

ЗаключениеЗаключениеВ своей работе я постарался В своей работе я постарался рассмотреть арифметическую и рассмотреть арифметическую и геометрическую прогрессии с геометрическую прогрессии с теоретической и практической теоретической и практической точки зрения. Я думаю, что точки зрения. Я думаю, что прогрессии – удивительно полезная прогрессии – удивительно полезная штука. Нам было бы очень трудно штука. Нам было бы очень трудно в жизни без таких уникальных в жизни без таких уникальных способов вычислений. А способов вычислений. А математика нам любезно помогла .математика нам любезно помогла .