Страна удивительной прогрессии

Историяпрогрессии.

Прогрессия вэкономике.

Какие задачи помогает решать прогрессия?

Основные понятия, термины и формулы.

Прогрессия в геометрии.

ПопрактиковатьПопрактиковатьсяся

не хотите ли? не хотите ли?

Определение арифметической Определение арифметической прогрессии.прогрессии.

Арифметическая прогрессия – последовательность, каждый член которой,

начиная со второго, равен предыдущему члену,

сложенному с одним и тем же числом.

Обозначение:

– арифметическая

прогрессия.

na

Главное меню

Формула Формула nn--го члена арифметической го члена арифметической прогрессии.прогрессии.

, , где d – некоторое число.

, d – разность арифметической прогрессии.

– формула n-го члена арифметической прогрессии,

где – первый член арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно записать иначе:

, где k и b – некоторые числа.

daa nn 1

daa nn 1

)1(1 ndaan

)( 1 dadnan

1a

bknan


Формула суммы Формула суммы nn первых членов первых членов арифметической прогрессии.арифметической прогрессии.

– формула суммы n первых членов арифметической

прогрессии.

Подставим в вместо выражение , получим:

, т. е. .

naa

S nn 2

)( 1

naa

S nn 2

)( 1

nа )1(1 nda

nndaa

Sn 2

)1(11 n

ndaSn 2

)1(2 1


Определение геометрической Определение геометрической прогрессии.прогрессии.

Геометрическая прогрессия – – последовательность

отличных от нуля чисел, каждый член которой,

начиная со второго, равен предыдущему члену,

умноженному на одно и то же число.

Обозначение:

– геометрическая прогрессия.

nb

0nb


Формула Формула nn-го члена геометрической -го члена геометрической прогрессии.прогрессии.

, где q – некоторое число.

, q – знаменатель геометрической прогрессии.

– формула n-го члена геометрической прогрессии.

qbb nn 1

qb

b

n

n 1

11

nn qbb


Формула суммы Формула суммы nn первых членов геометрической первых членов геометрической прогрессии.прогрессии.

– формула суммы n первых членов геометрической

прогрессии.

Подставим в вместо выражение , получим

, где .

Сумма бесконечной геометрической прогрессии Сумма бесконечной геометрической прогрессии при .при .

– сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой .

11

q

bqbS n

n0nb

11

q

bqbS n

n nb 11

nqb

0q

1q

q

b

11 1q

q

bS

11


История прогрессии. Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о

вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая:

1) Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на столько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение. Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют

возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда

Доля первого х

Доля второго х+у

Доля третьего х+2у

Доля четвертого х+3у

Доля пятого х+4у.

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

х+(х+у)+(х+2у)+(х+3у)+(х+4у)=100

7[х+(х+у)]=(х+2у)+(х+3у)+(х+4у).

х+2у=20

11х=2у

Ответ: хлеб должен быть разделен на следующие части: , , 20, , .

3

21

6

510

6

129

3

138

3

21х

6

19у


2) Поливка огорода.2) Поливка огорода. В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки,

огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение.Решение.

Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь

14+2,5+16+16+2,5+14=65 м.

При поливке второй он проходит

14+2,5+2,5+16+16+2,5+2,5+14=70 м.

Каждая следующая грядка требует

пути на 5 м длиннее предыдущей.

Имеем прогрессию

65; 70; 75; …; 65+5·29.

Сумма ее членов равна

Ответ: огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

м41252

30)5296565(


3) Кормление кур.3) Кормление кур. Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в

неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок. Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

РешениеРешение..

Пусть запасено было х декалитров корма на у недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то

х=31у В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней

недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было: (31 – 2у+1) дл. Весь запас составлял х=31у=31-30+29+…+(31-2у+1). Сумма 2у членов прогрессии, первый член который 31, а последний 31-2у+1, равна

Так как у не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получим

31=63-2у и у=16 откуда х=31у=496. Ответ: запасено было 496 дл корма на 16 недель.

уууу

у )263(2

2)123131(31


4) Артель землекопов.4) Артель землекопов. Артель землекопов подрядились вырыть канаву. Если бы она работала в полном

составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один землекоп. Спустя некоторое время присоединился второй; еще через столько же времени – третий, за ним через такой же промежуток – четвертый, и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

Решение. Пусть последний землекоп работал х

часов, тогда первый работал 11х часов. Далее, если число членов артели у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой 11х, а последний х, т.е.

С другой стороны, известно, что артель

из у человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24у рабочих часов. Следовательно,

6ху=24у 6х=24 х=4 Ответ: землекоп, приступивший к работе последним, работал 4 часа. Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали узнать,

сколько рабочих входило в артель, то не могли бы этого определить, несмотря на то, что в уравнении число это фигурировало (под буквой у). Для решения этого вопроса в задаче не приведено достаточных данных.

хуухх

62

)11(


5) Яблоки.5) Яблоки. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-

яблока, второму покупателю – половину оставшихся и еще пол-яблока, третьему – половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока, после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение. Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил

второй

третий

седьмой покупатель

Имеем уравнение

или

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем:

Всех яблок было 127.

2

1

2

1

2

хх

22

1

2

1)

2

1(

2

1

ххх

32

1

2

1)

4

1

2

1(

2

1

хххх

72

1х

ххххх

732 2

1...

2

1

2

1

2

1 хх )2

1...

2

1

2

1

2

1)(1(

732

72

11

1

х

х127 х 127х


6) Покупка лошади.6) Покупка лошади. Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал

ее покупать и возвратил продавцу, говоря: - Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: - Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди,

лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ копейки, за второй – ½ копейки, за третий – 1 копейку и т. д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?

Решение. Решение. За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить копеек. Сумма эта равна

т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

.,4

34194303

4

12

124

122

22

21

коп

32432 2...22212

1

4

1


7) Вознаграждение воина.7) Вознаграждение воина. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2

копейки, за третью – 4 копейки и т. д. По истечению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение.

Составляем уравнение

или

,

откуда имеем:

и х=16

– результат, который легко находим путем испытаний.

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 рублей 35 копеек.

132 2...222165535 х

1212

122655351

хх

х265536


Прогрессия в экономике.Прогрессия в экономике. 1) Рабочий обслуживал 6 автоматических станков, каждый из которых производил

30 деталей в час. Станки последовательно вводились в рабочий режим через каждые 10 мин. Но в течение пяти лет конструкция станков была дважды усовершенствована: в начале производительность была доведена до 36 деталей в час, а потом станки стали вводить в рабочий режим в 2 раза быстрее. Найти: а) производительность труда за смену (7 ч) до усовершенствования и после каждого из двух усовершенствований; б) месячный (22 дня) заработок рабочего до усовершенствования и после каждого из двух усовершенствований, если за каждую деталь вначале оплачивали 0,8 к., после первого усовершенствования – 0,77 к. и 0,75 к. после второго усовершенствования.

Решение. Из условия задачи следует, что число выпускаемых деталей увеличивается по

закону арифметической прогрессии, пока станки последовательно вводятся в рабочий режим. До усовершенствования и после первого усовершенствования станки последовательно включаются в рабочий режим за 50 мин, после второго усовершенствования – за 25 мин, поэтому количество выпускаемых деталей можно определить по формуле суммы членов арифметической прогрессии.

Число деталей, выпускавшихся до усовершенствования станков:

Число деталей, выпускавшихся после первого усовершенствования станков:

S2 =126 дет. За 50 мин.

мин. 50 за дет.1052

)1(2 11

n

ndаS

Число деталей, выпускавшихся после второго усовершенствования:Число деталей, выпускавшихся после второго усовершенствования:

SS33=126 дет. За 25 мин. =126 дет. За 25 мин.

а) Производительность труда за смену до усовершенствования станков: а) Производительность труда за смену до усовершенствования станков:

SS1 1 = S= S11+S =+S = 1215 1215 дет.дет.

Производительность труда за смену после первого усовершенствования станков: Производительность труда за смену после первого усовершенствования станков:

SS22 == SS22+S = 1458 +S = 1458 дет.дет.

Производительность труда за смену после второго усовершенствования станков:Производительность труда за смену после второго усовершенствования станков:

SS33 = S = S33 +S = 1548 +S = 1548 дет.дет.

б) Месячный заработок рабочего ( за 22 дня ):б) Месячный заработок рабочего ( за 22 дня ):

0,8 к. 0,8 к. ·· 1215 1215 ·· 22 = 213 р. 84 к. – до первого усовершенствования станков; 22 = 213 р. 84 к. – до первого усовершенствования станков;

0,77 к. 0,77 к. ·· 1458 1458 ·· 22 = 246 р. 84 к. – после первого усовершенствования станков; 22 = 246 р. 84 к. – после первого усовершенствования станков;

0,75 к. 0,75 к. ·· 1548 1548 ·· 22 = 255 р. 42 к. – после второго усовершенствования станков. 22 = 255 р. 42 к. – после второго усовершенствования станков.


2) Молодежная бригада строителей перечислить в фонд мира 500 рублей, которые заработает на стройке оросительного канала. В первый день бригада заработала 90 рублей, а в каждый последующий день она зарабатывала на 5 рублей больше, чем за предыдущий. За сколько дней бригада заработает эту сумму?

Решение. а1 = 90 d = 5 Sn = 500 Найти: n.

- посторонний корень, т. к.

Ответ: за 5 дней.

500

2

15180

n

nSn

100015180 nnn

010055180 2 nnn

010001755 2 nn

0200352 nn24520258001225 D

402

80

2

45352

n

52

10

2

45351

n

Nn


3) Бригада рабочих нанялась вырыть колодец с условием, что за первый метр глубины они получают 40 гривень, а за каждый следующий на 15 гривень больше, чем за предыдущий. Какой глубины получится колодец, если им заплатили за всю работу 1690 гривень.

Решение. Рассмотрим последовательность чисел а1, а2, а3, …, равных плате за каждый выкопанный

метр колодца. Из условия задачи видно что эти числа составляют арифметическую прогрессию с первым членом а1=40 гривень и разностью d=15 гривень. Сумма прогрессии равна по условию 1690 гривень. Обозначим через n глубину получившегося колодца, т. е. число членов прогрессии.

Это уравнение относительно n. Преобразуем его.

Второй корень отбрасываем, т. к. глубина колодца не может быть отрицательным числом. Ответ: 13 метров.

1690

2

115402

n

nSn

nn 1515803380

nn15653380

033806515 2 nn 20676133 2 nn

2918281811216967634169 D

3

117

6

104

6

9113

136

78

6

9113

2

1

n

n


4) Один гражданин взял кредит в коммерческом банке на n месяцев с условием, что в первый месяц он возвращает 1/n часть кредита, а за каждый последующий месяц выплата увеличивается на 5 долларов по сравнению с предыдущим месяцем. Всего он вынужден будет отдать 1995 долларов, при этом в последний месяц 150 долларов. Сколько денег было взято первоначально?

Решение. Обозначим через а1, а2, …, аn ежемесячные выплаты гражданина банку. По условию эти

числа образуют арифметическую прогрессию, для которой разность d=5 долларов, а n-й член an=150 долларов. При этом сумма прогрессии Sn =1995 долларов.

Решим полученную систему. Выразим из первого уравнения а1 и подставим во второе:

Преобразуем:

nna

nа

2

1521995

15150

1

1

nnn

nа

2

151515021995

151501

nn

2

553001995

nn53053990

039903055 2 nn

0798612 nn

22352931923721 D

Рассмотрим оба случая:

1) n=42.

Найдем выплату за первый месяц.

а1=159 – 5(n – 1) = 150 – 5 ∙ 41= – 55 < 0

Т. к. выплата не может быть отрицательной, то этот случай не возможен.

2) n=19

Найдем выплату за первый месяц.

а1=150 – 5 ∙ ∙ 18 = 60

Следовательно в первый месяц выплата составила 60 долларов. По условию это взятого. Следовательно весь кредит составлял:

60 ∙ 19 = 1140 долларов.

Ответ: 1140 долларов.

192

3261

422

2361

2

1

n

n

19

11

n


5) За изготовление и установку первого железобетонного кольца колодца заплатили 10 рублей, а за каждое следующее кольцо платили на 2 рубля больше, чем за предыдущее. На постройку колодца израсходовали 9 колец. Сколько уплатили за постройку колодца?

Решение.

а1 = 10 руб.

d = 2 руб.

n = 9 колец

Найти: S9.

a9 = 10 + (9 - 1) ∙ 2 = 10+16=26

Ответ: 162 рубля.

16291892

369

2

26109

S


6) За рытье колодца колхоз оплачивает за первый метр глубины 15 рублей, а за каждый следующий – на 10 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей колхоз уплатил рабочим за рытье колодца глубиной 10 метров.

Решение.

а1 = 15 руб.

d = 10 руб.

n = 10 метров

Найти: S10.

а10 = 15+(10-1) ∙ 10 = 15+90 = 105

Ответ: 600 рублей.

6005120102

1051510

S


1) Известно, что y=f (x) – линейная функция и , , , … – арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность f ( ), f ( ), f ( ) также является арифметической прогрессией.

Доказательство.

I способ.

Из определения арифметической прогрессии следует, что при любом натуральном n верно равенство , где d – разность данной арифметической прогрессии ( ) . Если f (x) – линейная функция, заданная формулой f (x)=kx+b, где x – независимая переменная, k и b – числа, то Таким образом, для любого натурального n выполняется условие , где d1 – некоторое число, т. е. последовательность f ( ), f ( ), f ( ) – арифметическая прогрессия.

II способ.

Предварительно целесообразно доказать теорему: чтобы последовательность , , …, ,. была арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы каждый ее член, начиная со второго, был средним арифметическим между предыдущим и последующим членами. Так как , , … – арифметическая прогрессия, то Пусть линейная функция f (x) выражается формулой f (x)=kx+b. Чтобы доказать, что последовательность f ( ), f ( ), f ( ) … является арифметической прогрессией, достаточно

доказать, что

Действительно, f (xn)=kxn+b ,

, что и требовалось доказать.

1x 2x 3x

1x 2x 3x

dxx nn 1 nx

.)()()()( 1111 dkdxxkbkxbkxxfxf nnnnnn

11 )()( dxfxf nn

1x 2x 3x

1x 2x nx

1x 2x 3x .2

11 nn

n

xxx

2x1x 3x

.2

)()()( 11 nn

n

xfxfxf

)(222

)()( 111111nn

nnnnnn xfbkxbxx

kbkxbkxxfxf

III способ.

Для доказательства используем теорему: для того чтобы последовательность (аn) была арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (аn) могла быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа.

Поэтому арифметическая прогрессия (xn) может быть задана формулой , где k и b – некоторые числа.

Чтобы доказать, что последовательность , , ,… является арифметической прогрессией, достаточно показать что эта последовательность может быть задана формулой , где c и r – некоторые числа.

Так как по условию f – линейная функция, то (по определению линейной функции) ее можно задать формулой , где х – независимая переменная, k1 и b1 – числа. Тогда , где , ,т.е. c и r – некоторые числа (что и требовалось доказать).

bknan bknx n

)( 1xf )( 2xf )( 3xf

rсnxf n )(

11)( bxkxf rcnbbkknkbbknkbxkxf nn 1111111 )()( kkc 1 11 bbkr


2) Пусть а1, а2,… - арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма n первых членов последовательности ( ) равна , если Доказательство.

, где d – разность данной арифметической прогрессии.

Утверждение доказано.

nx

11 naa

n

11

1

n

naa

x

d

aa

aa

aa

aax 12

12

12

21

1

1

d

aa

aa

aa

aax 23

23

23

32

2

1

d

aa

aa

aa

aax 34

34

34

43

3

1

d

aa

aaaa

aa

aax nn

nnnn

nn

nn

n

1

11

1

1 ))((

1

.

......

1111

11

11

11

11

1111

111342312321

nnn

n

n

nn

nnnn

aa

n

aad

adna

aad

aa

aad

aaaa

d

aa

d

aaaaaaaaxxxx


3)

Найдите сумму всех несократимых дробей вида , где n – натуральное число, .

Решение.

Искомую сумма найдем как разность суммы всех дробей вида , где и , и суммы всех сократимых дробей указанного вида.

Сумму всех дробей вида , где и , найдем как сумму 50 членов

арифметической прогрессии , , , … , :

Среди дробей рассматриваемого вида сократимыми являются дроби, в числителе которых числа, кратные 5 (5, 10, … , 50). Значения дробей, в числителях которых содержатся эти числа, составляют арифметическую прогрессию 1, 2, 3, … , 10. Найдем сумму ее десяти членов:

Теперь легко найдем искомую сумму:

Ответ: 200 .

50n

5

n5n

Nn 50n

5

nNn 50n

5

1

5

2

5

3

5

50

255502

550

51

1

S

55102

1012

S

2005525521 SSS


4) Подготовка к экзамену.

Готовясь к экзамену, студент в первый день прочитал несколько страниц учебника. В каждый последуюший день, в связи с усложнением материала, студент прочитывал по 80% количества страниц, прочитанных в предыдущий день. Всего он готовился к экзамену 4 дня. В учебнике было 369 страниц текста. На сколько страниц прочитал студент в первый день больше, чем в последний?

Решение. Обозначим числа страниц, которые студент прочитывал в каждый из этих четырех дней

через b1, b2, b3 и b4 соответственно. По условию они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,8. Кроме того, нам известно, что

Нам нужно найти b1 – b4.

Теперь ответим на вопрос задачи:

Ответ: на 61 страницу.

36943214 bbbbS

369

8,01

8,01 41

b

1

11 952,22,0

5904,0

8,01

4069,01369 b

bb

125952,2

3691 b

648,0125 3314 qbb

616412514 bb


5)Числа гектаров, отведенных колхозом под посев пшеницы, ржи и ячменя составляли геометрическую прогрессию, а урожайность пшеницы, ржи и ячменя, (в центнерах с гектара) составляла убывающую арифметическую прогрессию с разностью в 4 центнера. Сколько гектаров было засеяно пшеницей, рожью и ячменем вместе, если пшеницы было собрано 1400 ц, ржи – 9600 ц, а ячменя – 6400ц.?

Решение. Обозначим через а1, а2, а3 урожайность пшеницы, ржи и ячменя соответственно. По условию

эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью – 4 т. е. :

а2 – а1= а3 – а2= – 4. (1)

Обозначим b1, b2, b3 количество гектаров, засеянных пшеницей, рожью и ячменем соответственно. По условию эти числа образуют геометрическую прогрессию, т. е.

(2)

Нужно найти S3 для этой геометрической прогрессии. По условию задачи:

а1 ∙ b1 = 14000 а2 ∙ b2 = 9600 а3 ∙ b3 = 6400

Из равенств (1) и (2):

а2 = а1 – 4; а3 = а1 – 8; b2 = b1 ∙ q; b3 = b1 ∙

Получаем систему уравнений:

qb

b

b

b

2

3

1

2

2q

64008

96004

1400

211

11

11

qba

qba

ba

Разделим второе уравнение на первое, третье на второе:

Разделим второе уравнение на первое:

Решая это квадратное уравнение, получаем:

1) а1 = 28; 2) а1 = – 20 ( не подходит)

Значит а1 = 28 → b1 = 500; q = 0,8

Ответим теперь на вопрос задачи. По формуле:

Ответ: 1220 гектаров.

3

2

9600

6400

4

8

35

24

1400

96004

1

1

1

1

qa

a

qa

a

36

35

4

82

1

11

a

aa

05608 121 aa

1220

2,0

488,0500

8,01

8,01500

1

1 331

3

q

qbS


6) Цифры трехзначного числа образуют геометрическую прогрессию. Сумма их равна 13. Если к данному числу прибавить 792, то получится чисто написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти первоначальное число.

Решение.

с=b1

b=b1q

a+b+c=13

100a+10b+c+792=100c+10b+a

99c-99a=792

c – a = 8

c = a+8, a=1; b=3; c=9.

Ответ: 139.

abc

21qba

cbaabc 792


7) Найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии, если известно, что третий член равен 3, а произведение первого и четвертого членов равно 27.

Решение.

b3 = 3

b1 ∙ b4 = 27

Найти: S3.

=> => =>

Ответ: 39.

3213 qbb

314 qbb

2732141 qbbb

27

332

1

21

qb

qb

27

932

1

421

qb

qb

39

13

1

1b

q

273

1

1b

q

393132

326

3

227

2627

13

1

127

127

3

S


8) Произведение первого и шестого членов геометрической прогрессии равно 18, а третий член равен 6. Найти сумму первых четырех членов этой прогрессии.

Решение.

b1 ∙ b6 = 18

b3 = 6 Найти: S4

Ответ: 45.

516 qbb

213 qbb

6

182

1

521

qb

qb

64

12

1

1b

q

242

1

1b

q

4516

1548

2

1

116

124

nS


1) Докажите, что если длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то разность этой прогрессии равна радиусу вписанной в этот треугольник окружности.


Пусть ∆АВС прямоугольный, в котором ВС=а, АС=a+d, АВ=а+2d. Тогда

, или , откуда а=3d . Поэтому ВС=3d, АС=4d, АВ=5d. Имеем

AB=AL+LB=AK+MB,

BM=BC-MC=3d-r,

AK=AC-KC=4d-r,

AB=AK+MB=(4d-r)+(3d-r)=7d-2r,

7d - 2r = 5d,

откуда d=r, что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е. Полезно обратить внимание на то, что в ходе решения этой задачи были найдены все прямоугольные треугольники, стороны которых составляют арифметическую прогрессию.

222 2dadaa 032 22 dada 0a


2) Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.


Пусть одна сторона треугольника равна а. Тогда две другие – aq и .

Из формулы найдем высоты треугольника: они равны , , и, очевидно,

образуют геометрическую прогрессию, первый член которой , а знаменатель равен . Утверждение доказано.

2aq

aahS2

1

a

S2

aq

S22

2

aq

S

a

S2

q

1


3) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника образовать геометрическую прогрессию? Если могут, то найдите величины углов этого треугольника.

Решение.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Если a и b – катеты прямоугольного треугольника (b – меньший катет), с – гипотенуза, то

(каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим между предыдущим и последующим членами).

По теореме Пифагора имеем . Так как , то

Можно найти угол А другим способом, если предварительно найти знаменатель прогрессии.

Так как , то . Тогда .

bca 2

0, 222222 bbссbbcbac или 0с

2

51

2

5

bbbс

BAc

bB

90;

51

2sin

2bqс 2

15

b

cq

51

21sin

2

qbq

bq

c

aA


Попрактиковаться не хотите ли? 1.1. Найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если известно, что четвертый член равен 8,

а удвоенный седьмой равен 14.

22. Разность десятого и третьего членов арифметической прогрессии равна 21, а сумма пятого и второго равна 9. Найти седьмой член этой прогрессии.

3.3. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 40, а шестой член равен 17. Найти пятый член этой прогрессии.

4.4. В январе рабочий заработал 720 рублей. В последующие месяцы, благодаря росту квалификации и компенсации за инфляцию, зарплата рабочего ежемесячно увеличивалась на 140 рублей. В течение какого времени рабочий получил 6420 рублей?

5.5. Во время строительства оросительной системы бригада студентов получила задание выкопать канаву длиной 671 метр. В результате улучшения условий работы производительность труда в каждой последующий день составляла 120% производительности предыдущего дня, а вся работа была выполнена за 4 дня. Сколько метров канавы было выкопано в последний день?

6.6. Четыре положительных числа составляют последовательные члены геометрической прогрессии, в которой произведение крайних членов равно 108, а произведение второго члена на четвертый равно 324. Найти сумму двенадцати членов арифметической прогрессии, первый член которой равен третьему члену данной геометрической прогрессии, а десятый – четвертому члену той же геометрической прогрессии.

7.7. Три различных числа, сумма которых равна 93, составляют геометрическую прогрессию. Их так же можно рассматривать, как первый, второй и седьмой члены арифметической прогрессии. Найти эти числа.

8.8. Могут ли три числа составлять одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию. Ответ объяснить.


Список использованной литературы.Список использованной литературы. 1) АЛГЕБРА –1) АЛГЕБРА – учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений ( под редакцией учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений ( под редакцией

С. А. Теляковского ). Издательство «Просвещение».С. А. Теляковского ). Издательство «Просвещение».

2) ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА ( Я. И. Перельман, под редакцией и с дополнениями В. 2) ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА ( Я. И. Перельман, под редакцией и с дополнениями В. Г. Болтянского).Г. Болтянского).

3) ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7-9 КЛАССОВ 3) ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7-9 КЛАССОВ ( Н. П. Кострикина ).( Н. П. Кострикина ).

4) СБОРНИК МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ с практическим содержанием ( П. Т. Апанасов, 4) СБОРНИК МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ с практическим содержанием ( П. Т. Апанасов, Н. П. Апанасов ). Н. П. Апанасов ).

5) РЕПЕТИТОР по математике для поступающих в вузы ( Ю. В. Кириченко, С. Ю. 5) РЕПЕТИТОР по математике для поступающих в вузы ( Ю. В. Кириченко, С. Ю. Кириченко ). Кириченко ).


Documents

Страна удивительной прогрессии