АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

ПРОГРЕССИИПРОГРЕССИИ

Урок - турнирУрок - турнир

МОУ Могочинская СОШ учитель математики Тарасенко Ирина Валерьевна

Цели Цели • обобщение и систематизация теоретического

материала по данной теме;

• отработка умений и навыков применения формул n-го члена прогрессии, суммы n - первых членов, свойств членов прогрессии;

• развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом;

• воспитание эстетических качеств и умения общаться.

ЗадачиЗадачи • повторить формулы, относящиеся к

теме «Прогрессии»;

• расширить кругозор по данной теме;

• показать связь математики с другими дисциплинами (литературой, биологией, экономикой…);

• формирование интереса к изучению математики.

Содержание Содержание

• Лови ошибку! – вспомним теорию.

• Прогрессии в литературе.

• Назад, в историю!

• Прогрессии в древности.

• Прогрессии в жизни и быту.

• Блиц-турнир.

• Заключение.

Лови ошибку!Лови ошибку!Прогрессии

Арифметическая Геометрическая

Определение

Формула n первых членов прогрессии

Сумма n первых членов прогрессии

Свойства

a b

)1(11 ndaan

nnda

Sn

2

)1(2 1

211

nnn

aaa

gbb nn 1

11

nn gbb

1

)1(1

g

gbS

n

n

11 nnn bbb

)1(1 ndaan

Проверь себя!Проверь себя!

Прогрессии

Арифметическая Геометрическая

Определение

Формула n первых членов прогрессии

Сумма n первых членов прогрессии

Свойства

a b

daa nn 1

nnda

Sn

2

)1(2 1

211

nnn

aaa

gbb nn 1

11

nn gbb

1

)1(1

g

gbS

n

n

11 nnn bbb

)1(1 ndaan

ВыводВывод

Зная эти формулы, можно решить Зная эти формулы, можно решить много интересных задач много интересных задач литературного, исторического и литературного, исторического и практического содержания.практического содержания.

Даже в литературе мы встречаемсяДаже в литературе мы встречаемся с математическими с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

......Не мог он ямба от хорея,Не мог он ямба от хорея,Как мы не бились отличить...Как мы не бились отличить...

        ЯмбЯмб -- это стихотворный размер с ударением на четных это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8...слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.прогрессии 2.        ХорейХорей -- это стихотворный размер с ударением на нечетных это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуютслогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Прогрессии в литературеПрогрессии в литературе

ПримерыПримеры

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Ямб Ямб

Хорей

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

Б. Л. Пастернак

НАЗАД, В ИСТОРИЮ!НАЗАД, В ИСТОРИЮ!

Понятие числовой последо -вательности возникло и раз- вивалось задолго до соз - дания учения о функциях.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великийАРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)

Прогрессии в древностиПрогрессии в древности

Задачи на прогрессии, Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из дошедшие до нас из древности, были древности, были связаны с запросами связаны с запросами хозяйственной жизни: хозяйственной жизни: распределение распределение продуктов, делениепродуктов, деление наследства и др.наследства и др.

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

Древний ЕгипетДревний Египет

2

)1(......321

nnn

)1(2......642 nnn

Древний ЕгипетДревний Египет

n

baS

dn

n

Sa

22)1(

Формула, которой пользовались египтяне:

Задача из египетского папируса Ахмеса:«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

8

1

Англия Англия XVIII XVIII веквек

В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

Арифметическая

Геометрическая

ГерманияГермания

Нашел моментально Нашел моментально сумму всех натуральных сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной еще учеником начальной школы. школы.

1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950

Решение Решение

КАРЛ ГАУССКАРЛ ГАУСС(1777 – 1855)(1777 – 1855)

Прогрессии в жизни и бытуПрогрессии в жизни и быту

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и  геометрической прогрессий.

Задача Задача легендалегенда

Индийский царь Шерам позвал к себе Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться? «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

Решение задачи - легендыРешение задачи - легенды

,11 b ,2g n = 64

?64 S

126464 S

Ее сумма равна

18 446 744 073 709 551 615

Дано ; 1, 2, 4, 8, 16…

ВыводВыводЕсли бы царю удалось засеять Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.смог бы рассчитаться.

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.человечеством до настоящего времени.

Задача из арифметики Задача из арифметики МагницкогоМагницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей.Некто продал лошадь за 156 рублей. Но Но покупатель,покупатель, обретя лошадь,обретя лошадь, раздумал и раздумал и возвратил продавцу,возвратил продавцу, говоря: «Нет мне говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь,расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:продавец предложил другие условия:"Если по-твоему цена  лошади высока,"Если по-твоему цена  лошади высока, то то купи ее подковные гвозди,купи ее подковные гвозди, лошадьлошадь же же получишь тогда в придачу бесплатно.получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6.Гвоздей в каждой подкове 6. За первый За первый гвоздь дай мне 1/4 коп.,гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“за третий-1коп., и т.д.“ Покупатель,Покупатель, соблазненный низкой ценой,соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь,и желая даром получить  лошадь, принялпринял условия продавца,условия продавца, рассчитывая,рассчитывая, что за что за гвозди придется уплатить не более гвозди придется уплатить не более 10 рублей.10 рублей.

Решение задачи из Решение задачи из арифметики Магницкогоарифметики Магницкого

1. Составим последовательность чисел .2;2;2;1;2

1;4

1 212

2. Данная последовательность является геометрической

прогрессией со знаменателем q =2, n = 24. 4

11 b

3. Попытаемся подсчитать сумму .2;2;2;1;2

1;4

1 212

5. Имеем pS 420004

34194303

4

12

4

12

2

1

124

12

4

12224

2

24

24

111

q

bqbS

n

n4. Зная формулу

НАСЛЕДСТВОНАСЛЕДСТВО

Джентльмен получил наследство. Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной хватило на год такой безбедной жизни?жизни?

РешениеРешение ?10;50;100 101 anda

Применив формулу )1(1 ndaan ,получаем:

$550)110(5010010 a

42340003652

)1365(50200365

S

?;365;50;1001 nSnda

nnda

Sn

2

)1(2 1Применив формулу

БАКТЕРИИБАКТЕРИИ

В благоприятных В благоприятных условиях бактерии условиях бактерии размножаются так, что размножаются так, что на протяжении одной на протяжении одной минуты одна из них минуты одна из них делится на две. Указать делится на две. Указать количество бактерий, количество бактерий, рожденных одной рожденных одной бактерией за 7 минут.бактерией за 7 минут.

РешениеРешение

111

q

bqbS

n

n Зная формулу

Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем

q =2, n = 7. 11 b

12712

121 7

7

SПолучаем м

ПеременкаПеременка

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

РешениеРешение Составим последовательность чисел

;2

1;4

1;2

1;1

1n3nS

111

q

bqbS

n

n Зная формулу

;1

21

121

3

n

Значит

Вывод: не дойдет!Вывод: не дойдет!

Откуда 2

1

2

1

n

Блиц-турнирБлиц-турнир

Под скрип пера о лист бумагиЗаполните сие листы!Да помогут вам ваши знания!

Расшифруйте ответыРасшифруйте ответы

Р Г С И П О Е Р С Я

-221 -1 210 -8 -45 10 -16 -31 15 -32

Д В Н Ж Е И И Е

48 345 -32 -1 - 62 -45 12 6120

П В Е Д Е О

525 14 425 12 1210 162

Изрядно потрудившись, собрали вы слова

И поиск их был вами оценен.

Слова же следует теперь соединить,

В какую фразу можно их объединить?

П Р О Г Р Е С С И Я

-221 -1 210 -8 -45 10 -16 -31 15 -32

Д В И Ж Е Н И Е

48 345 -32 -1 - 62 -45 12 6120

В П Е Р Е Д

525 14 425 12 1210 162

Проверь себя!Проверь себя!

ЗаключениеЗаключение

Закончился двадцатый век.Куда стремится человек? Изучен космос и моря,Строенье звезд и вся земля.Но математиков зовет Известный лозунг

«Прогрессия — движение вперед».

Домашнее заданиеДомашнее задание

• Подготовить выступления о жизнедеятельности К. Гаусса и Л. Ф. Магницкого.

• Подобрать «исторические» задачи по теме «Прогрессии».

• Составить контрольную работу по теме «Прогрессии».