Теория выбора в условиях неопределенности - 2

Модель спроса на страховку как приложение теории ожидаемой полезности

Частный случай: спрос рискофоба на актуарно справедливую страховку

Контингентные благаМодель спроса на страховку в терминах контингентных благФункция ожидаемой полезности в пространстве контингентных благ: иллюстрация отношения к риску

Примеры использования теории ожидаемой полезности:

модель спроса на страховку

- индивид-рискофоб, предпочтения описываются функцией ожидаемой полезности

- первоначальное богатство составляет w

- с вероятностью p (0; 1) происходит несчастный случай

- если он происходит, индивид несет потери L (0; w)

- Страховая компания предлагает индивиду застраховать ущерб:

- стоимость страховки: γ за каждую единицу покрытия (то есть, заплатив γx долларов, индивид, в случае наступления ущерба, получит возмещение x долларов).

На какую сумму индивид застрахует свой ущерб?

Индивид стремится выбрать размер покрытия x так, чтобы максимизировать свою ожидаемую полезность:

Поскольку индивид – рискофоб, v(.) – строго вогнутая функция. Функция ожидаемой полезности, таким образом, тоже оказывается строго вогнутой.

Условия первого порядка, необходимые и достаточные для ее максимизации:

Несколько непривычный вид F.O.C. связан с тем, что на рынке страховых услуг запрещено страховаться на сумму, превышающую стоимость ущерба - это считается мошенничеством!

Так на какую же сумму индивид застрахует ущерб?

Чтобы ответить, нам нужны какие-то предположения о p, γ и v(.)!

0max ( ) (1 ) ( )L x

pv w L x x p v w x

'( )(1 ) (1 ) '( ) 0, 0 (1)

'( )(1 ) (1 ) '( ) 0, 0 (2)

'( )(1 ) (1 ) '( ) 0, (3)

pv w L x x p v w x L x

pv w L x x p v w x x

pv w L x x p v w x x L

Давайте рассмотрим один из наиболее важных случаев: случай актуарно справедливой страховки.

Актуарно справедливой называется схема страховки, при которой цена единицы страхового покрытия равна вероятности наступления страхового случая: γ = p. В этом случае страховая компания, не имеющая иных издержек, кроме страховых выплат, имела бы нулевую прибыль при любом объеме продаваемой страховки: (γx – px = 0).

Перепишем выведенные ранее условия первого порядка, заменив γ на p. Начнем с условия (1):

Последнее равенство может выполняться только при x = L, т.к. v(.) – монотонно возрастающая функция. Но L > x >0 этот случай не является решением задачи!

'( )(1 ) (1 ) '( ) 0, 0

(1 ) '( ) '( ) 0

'( ) '( )

pv w L x px p p v w px p L x

p p v w L x px v w px

v w L x px v w px

Теперь рассмотрим случай (2):

Это условие не может выполняться, т.к. по нашим предположениям, индивид является рискофобом:

v”(.) < 0

v’(.) - монотонно убывающая функция, ее значения могут быть одинаковы только тогда, когда одинаковы аргументы!

'( )(1 ) (1 ) '( ) 0, 0

(1 ) '( ) '( ) 0

'( ) '( ) 0

pv w L p p v w p x

p p v w L v w

v w L v w

Наконец, рассмотрим условие (3):

Именно оно и характеризует решение задачи этого индивида.

Мы приходим к важному выводу:

при актуарно справедливой страховке, рискофоб всегда страхуется на полную стоимость ущерба!

'( )(1 ) (1 ) '( ) 0,

(1 ) '( ) '( ) 0

'( ) '( )

pv w L x px p p v w px p x L

p p v w pL v w pL

v w pL v w pL

Контингентные блага

Для описания выбора в условиях неопределенности иногда бывает удобно переопределить понятие блага:

- Пусть S – мн-во состояний мира- ps – объективная вероятность состояния мира s S

Будем называть контингентным благом xis право на получение x единиц i-того физического блага в состоянии мира s.

Реальный пример контингентного блага – фьючерсный контракт.

Эта конструкция оказывается очень полезной при формулировке, например, моделей общего равновесия в экономике с неопределенностью.

Но помимо этого, она также позволяет создавать красивые и удобные иллюстрации для более простых моделей – например, модели спроса на страховку

Модель спроса на страховку в терминах контингентных благ

Вернемся к модели спроса на страховку.

В ней фигурирует только одно физическое благо – деньги или богатство, и имеется два состояния мира:

L: страховой случай наступает (вероятность: p)NL: страховой случай не наступает (вероятность: 1 – p)

Таким образом, можно задать два контингентных блага:

xL: богатство в состоянии мира L

xNL: богатство в состоянии мира NL

Предположительно, вначале агент не имеет никакой страховки, поэтому его богатство составляет w – L рублей, если страховой случай наступает, и w, если он не наступает. Таким образом, его первоначальный запас контингентных благ:

(w – L, w)

Выведем уравнение бюджетной линии в терминах контингентных благ:

Как и прежде, обозначим объем приобретаемой индивидом страховки за x. Тогда богатство индивида в состояниях мира L и NL описывается следующей системой уравнений:

Эта система задает уравнение бюджетной линии параметрически; XL, и XNL выражены через переменную x. Чтобы получить собственно уравнение бюджетной линии в терминах контингентных благ, выразим x, например, из второго уравнения системы и подставим в первое.

После некоторых преобразований, мы получим:

0

L

NL

X w L x x

X w x

x L

1 1;

;

;

L NL

L

NL

X X w L w

w L X w L

w L X w

1) Пунктирная 45º линия – это т.н. «безрисковая линия». В любом наборе, принадлежащем ей, индивид обладает одинаковым богатством в каждом состоянии мира.

2) Зеленый отрезок – это бюджетная линия. Он ограничен двумя точками:

Точка ω (первоначальный набор контингентных благ, (w – L, w)) соответствует минимальному

(x = 0) объему страхового покрытия.

Точка на безрисковой линии (w – γL, w – γL) соответствует максимально возможному (x = L)

объему страхового покрытия.

Между двумя этими точками расположены те наборы

контингентных благ, которые достигаются при 0 < x < L.

А вот графическая иллюстрация бюджетного ограничения в модели спроса на страховку в терминах контингентных благ.

0 XL

XNL

ωw

w –γL

w – L w – γL

«безрисковая линия»

бюджетная линия

Теперь давайте перейдем к иллюстрации предпочтений в пространстве контингентных благ.

NB! В наших иллюстрациях мы будем опираться на т.н. обобщенную функцию ожидаемой полезности, в которой элементарная ф-ция полезности v(.) может зависеть от состояния мира.

Вначале, рассмотрим несколько простых, но довольно радикальных примеров:

Пример 1: Индивид заботится только о своем богатстве в состоянии мира L. Такая предпосылка реалистична для тех, кто склонен сильно переоценивать вероятность несчастных случаев.

Этим людям неважно, каким будет их богатство, если несчастного случая не будет – ведь они уверены,что беда обязательно случится!

XNL

0XL

Пример 2: Индивид заботится только о своем богатстве в состоянии мира NL. Эта предпосылка характеризовала бы чрезвычайно беспечных людей, сильно недооценивающих вероятность несчастных случаев.

Этим людям неважно, каким будет их богатство, если несчастный случай все-таки произойдет: каждый из них уверен, что «уж со мной-то такого точно не случится!»

XNL

0XL

Пример 3: Герой этого примера – индивид, нейтральный к риску. Его обобщенная функция ожидаемой полезности имеет вид:

U(.) = pLvL(xL) + (1 – pL)vNL(xNL)

где vL(xL) = aL + bLxL и vNL(xNL) = aNL + bNLxNL

Предельная норма замещения блага контингентного блага xL контингентным благом xNL для такого агента постоянна и отрицательна:

Кривые безразличия функцииожидаемой полезностиэтих людей представляют собой прямые линии.

XNL

0XL

(1 )L L

L NLL NL

p bMRSx x

p b

Пример 4: Рассмотрим радикальную форму рискофобии, когда индивид заботится только о той сумме, которую он получит гарантированно (независимо от состояния мира), а в возможность случайно выиграть что-то сверх нее он просто не верит.

Кривые безразличия для функции ожидаемой полезности такого агента были бы сходны с таковыми для Леонтьевской функции:

XNL

0XL

безрисковая линия

Пример 5: Рассмотрим классического рискофоба, чья элементарная функция полезности строго вогнута и не зависит от состояния мира. Его функция ожидаемой полезности имеет вид:

U(.) = pLv(xL) + (1 – pL)v(xNL)

где v’(.) > 0, v”(.) < 0

Модуль предельной нормы замещения контингентного блага xL контингентным благом xNL непрерывно убывает по xL (и непрерывно

возрастает по xN):

Кривые безразличия функцииожидаемой полезностидля него строго выпуклы.

XNL

0XL

'( )

(1 ) '( )L L

L NLL NL

p v xMRSx x

p v x

Пример 6: Рассмотрим классического рискофила, чья элементарная функция полезности строго выпукла и не зависит от состояния мира. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно показать, что кривые безразличия его функции ожидаемой полезности строго вогнуты:

XNL

0XL

Вернемся к нашей модели, и проиллюстрируем рассмотренный ранее пример со спросом рискофоба на актуарно справедливую страховку:

XNL XL = XNL, “certainty line”

)()1()( NLL XvpXpvU

w w

1

tg

w – γL

wLwXX NLL

11

0 w – L w – γL α XL

Графическая иллюстрация решения задачи страхователя является очень удобным инструментом для быстрого ответа на качественные вопросы, касающиеся сравнительной статики, например: как меняется спрос на страховку с изменением вероятности несчастного случая? с изменением цены страховки? с изменением отношения к риску, и т.д.

Но при необходимости (если ответ не очевиден сразу, или решение внутреннее и нам необходим точный ответ) мы могли бы сформулировать и решить задачу страхователя в терминах контингентных благ аналитически:

Решать ее «в лоб» довольно тяжело: к счастью, при монотонных предпочтениях и некоторых предпосылках о v(.) для каждого из трех типов страхователей (рискофоб, рискофил, риск-нейтрал) есть лишь три типа решений:

,max ( ) (1 ) ( )

1 1;

;

;

L NLL NL

X X

L NL

L

NL

pv X p v X

X X w L w

w L X w L

w L X w

0 XL

XNL

w

w –γL

w – L w – γL

Для рискофоба существует всего три возможных типа решений:

Тип 1: Ущерб не страхуется.

Это решение имеет место, если тангенс угла наклона бюджетной линии превышает тангенс угла наклона кривой безразличия в точке (w – L, w):

*

*

'( )

1 (1 ) '( )

L

NL

X w L

X w

pv w L

p v w

0 XL

XNL

w

w –γL

w – L w – γL

Тип 2: Ущерб страхуется частично (внутреннее решение).

Это решение находится из уравнения бюджетной линии и условия касания кривой безразличия и бюджетной линии. При этом нужно иметь в виду, что решение должно лежать правее точки первоначального запаса, и левее точки полной застрахованности:

'( )

1 (1 ) '( )

1 1

L

NL

L NL

L

NL

pv X

p v X

X X w L w

w L X w L

w L X w

0 XL

XNL

w

w –γL

w – L w – γL

Тип 3: Ущерб страхуется полностью.

Это решение имеет место, если тангенс угла наклона бюджетной линии меньше тангенса угла наклона кривой безразличия в точке полной застрахованности, (w – γL, w – γL):

1 1

L

NL

X w L

X w L

p

p

А каковы возможные типы решения задачи страхователя-рискофила? Риск-нейтрала?

Отношение к риску: CE(L) и RP(L) в пространстве контингентных благ

0

XA

XB

Набор контингентных благ, соответствующий лотерее L

CE(L)

X’B

E(L)

X’A

1) Лотерея L в состоянии мира А приносит Х’A рублей, в состоянии мира B – Х’B рублей.

2) Розовые линии – кривые безразличия для функции ожидаемой полезности

3) Синяя линия –

множество

лотерей с таким же ожидаемым

выигрышем, как у L. Она же –

кривая

безразличия риск-нейтрала.

RP(L)

«Безрисковый» набор, эквивалентный E(L)

«Безрисковый» набор, эквивалентный лотерее L