אחד ) בממד תנועה האחרונים הפרקים של בחומר נשתמש. ממדית( רב בתנועה לדון ווקטורים

וההעתק וההעתק מיקום .מיקום

כדי למקם חלקיק משתמשים בוקטור המקום המתחיל ( x, y, zבנקודת יחוס מסוימת. אם החלקיק נמצא בנקודה )

אז וקטור המקום יהיה

r = x i +y j + z k

x

y

z

(x, y, z)

נניח שהגוף בתנועה ונע (. x2, y2, z2לנקודה )( x1, y1, z1מנקודה )

r = r2 – r1 = ( x2 - x1 ) i + ( y2 - y1 ) j + ( z2 – z1 ) k

r = x i + y j + z k

וקטור ההעתק יהיה

דוגמהדוגמה . חניה מגרש לאורך רץ שפן

" י ע ניתן רגע כל מיקומוx = -0.3 t2 + 7.2 t + 28

y = 0.22 t2 - 9.1 t + 30

אחרי. 1 מיקומו שניות 15מהוx = 66 m y = -57 m

r = 66i – 57j r = (662 + 572)½ = 87m = tan –1(-57/66) = -41°

השפן. 2 של מסלולו מהו

txy

02830556.5-10

1566-57

ורגעית ממוצעת ורגעית מהירות ממוצעת מהירותמהירות ממוצעת מוגדרת

vavg = r / t

מקבלים r מהגדרת וקטור ההעתק

vavg = (x i + y j + z k )/ t

כאשר מוגדרת הרגעית המהירותהנקודות שתי בין הזמן מרווח . בו המקרה זהו לאפס שואף

. למשיק שואף המיתר

y

xr2

r1

r משיק

מסלול

v = (dx/dt) i + (dy/dt) j + (dz/dt) k = vxi +vyj + vzk

המהירות הרגעית משיקה למסלול.

v = dr / dt

x

yvx

vyv

החניה במגרש שרץ השפן מהירות לאחר 15מהי שניות. תנועתו תחילת

vx = dx / dt = d ( -0.3t2 + 7.2t + 28 ) /dt = -0.6t + 7.2vy = dy / dt = d (0.22t2 – 9.1t + 30 ) /dt = 0.44t - 9.1

vx = -2.1 m/s vy = -2.5 m/s

v = -2.1 i – 2.5 j

v = ( vx 2 + vy

2 )½ = 3.3 m/s

= tan -1 ( 2.5 /2.1) = -130°

תאוצהתאוצהכאמור, תאוצה היא קצב השתנות המהירות. כמו במקרים

2 ובמיקום v1 הוא 1הקודמים, אם מהירות הגוף במיקום אזיv2הוא

aavg = (v2 – v1) / tוכרגיל, התאוצה הרגעית תהיה

a = dv /dt

a = d (vx i + vy j + vz k ) / dt

a = dvx/dt i + dvy/dt j + dvz/dt k

ax = dvx/dt ay = dvy/dt az = dvz/dt

a = axi + ayj + azkx

y

aya

ax

מסלול

בליסטית בליסטית תנועה תנועהזוהי תנועה דו – ממדית

שבה חלקיק נע במישור אנכי במהירות התחלתית

v ובתאוצה אנכית g .

התנועה את לפרק אפשרתנועות לשתי המסובכת

צירים בשני פשוטותבעת המתבצעות מאונכים

. אחת ובעונה

פשוטות תנועות לשתי התנועה להפרדת נוספת דוגמה. הבא במקרה ניתנת

G המטרה אויר. רובה הוא בעזרת התלויה קופסה היא

הרובה Mמגנט של הקנה .מכוון ישר לקופסה.

מסלול g = 0ברגע הירייה המגנט משחרר את הקופסה. אם שתישאר כיון בקופסה יפגע והוא ישר קו יהיה הכדור

מרחק תיפול הקופסה במציאות תנועת hבמקומה. במשך מהקו הישר.hהכדור. הכדור גם הוא נופל מרחק

! בקופסה: יפגע הכדור מסקנה

התנועה התנועה ניתוח ניתוח

ההתחלה v0 = v0xi + v0yjתנאי

vx = v0cos 0 vy= v0sin 0

תנועה אופקית

vx = v0cos 0

x = x0 + (v0cos 0) t

תנועה אנכית

vy = v0sin 0 – gt

y = y0 + (v0sin 0)t - ½ g t2

t = x / (v0cos 0)

y = ( tan 0 ) x –

- g x2 / 2 (v0cos

0)2

כדי למצוא את טווח הגוף הנזרק בתנועה בליסטית, מציבים . y = 0במשואת המסלול את הגובה

0 = x tan 0 – g x2/ 2(v0cos 0 )2

0 = x [ tan 0 – g x / 2(v0cos 0 )2]

x = 0הוא פתרון טריביאלי של נקודת הזריקה

0 = tan 0 – gx / 2 (v0 cos 0 )2

x = R = tan 0 2 (v0 cos 0 )2 / g

R = v0 2 sin 20 / g

הגובה בשיא שהמהירות כיון למצוא ניתן המקסימלי הגובה את. בלבד אופקי רכיב בעלת היא

vy2 = (v0sin 0)2 –2gymax = 0 ymax = (v0sin 0)2 / 2g

האוויר האוויר השפעת השפעת מסלול

III מסלול

177 m98.5 mטווח76.8 m53 m גובה

מקסימלי7.9 s6.6 s מעוף זמן

הביא לא הבעיה ניתוחהשפעת את בחשבון

מתנגד. האוויר האווירכך ועקב לתנועה

הגובה ושיא הטווחהאוויר. השפעת קטנים

) " ניתנת) חשובים י עהבאה בטבלה

אותם על ומבוססת . התחלה תנאי

26.5נחזור למקרה הלוליין. הוא נורה מהתותח במהירות של m/s 18. גובה גלגלי הענק הוא °53 ובזווית של m .

מעל. 1 יעבור גובה באיזה? הראשון הגלגל

מעל. 2 יהיה גובה באיזהשם אם המרכזי הגלגל

. הגובה שיא y = tan 53 x 23 – 9.8 x 23 2 / 2x (26.5 cos 53 )2 = 20.3

מעל הגלגל כיון שהוא נורה 5.3mהוא עובר בגובה של מעל האדמה. 3mמגובה של

ymax = (26.5 sin 53)2 / (2 x 9.8) = 22.9 m

מעליו.7.9mהוא יהיה בגובה של

? אותו שתקלוט כדי הביטחון רשת את לפרוס צריך הוא היכן

R = 26.5 2 sin 2(53) / 9.8 = 69

. " במקרה האוויר התנגדות את בחשבון הביא לא ל הנ החישובכדי, גדולה רשת לפרוס ועליו יקטנו הגובה ושיא הטווח כזה

. האישי בטחונו את להבטיח

מנקודת הירייה. 69mהוא צריך לפרוס את הרשת במרחק

תנועה מעגלית אחידהתנועה מעגלית אחידה

קשת או מעגל פני על נע הגוף אחידה מעגלית בתנועה . כיון קבועה מהירותו כי אומרת זאת אין קבוע בקצב מעגלית

. שינוי הזמן כל משתנה וכיוונה וקטורי גודל היא שמהירות , " מכוונת התאוצה מעגלית ובתנועה תאוצה י ע נגרם המהירות

שפירושה צנטריפטלית תאוצה וקרויה המעגל מרכז כלפי . . המהירות לכוון מאונכת תמיד התאוצה המרכז את מחפשת

v

v

v

a

aa

גודל התאוצה

T = 2r / v זמן המחזור

זהו הזמן הדרוש לגוף להשלים סבוב אחד. התדירות היא מספר הסיבובים לשניה

f = 1 / T = v / 2r

a = v2/r

v

x

y

r

xp

yp

p

v= vx i + vy j = -v sin i + v cos j

v = -vyp/r i + vxp/r j

a = dv /dt = (-v /r) ( dyp /dt ) i + ( v /r) (dxp /dt ) j

a = (-v2/r cos ) i + (v2/r sin ) j

dyp /dt = vy dxp /dt = vx

a = ( ax2 +ay

2 )½ = v2/r ( cos2 + sin2 )½ = v2/r

טייסי קרב מכירים את השפעת התאוצה הצנטריפטלית בזמן סבוב מהיר כאשר הראש בכיוון מרכז הסיבוב. לחץ הדם

במוח יורד עד כדי חוסר תפקוד. קיימים סימני אזהרה. כאשר הטייס 4g הטייס מרגיש כבדות. ב - 3g או 2gהתאוצה היא

רואה בשחור – לבן ושדה הראיה קטן. אם התאוצה נמשכת g - LOCאו גדלה, הטייס מאבד את הכרתו. זהו מצב הנקרא

(g – induced Loss Of Consciousness .)

/ km 2500 הטס במהירות של F-22מהי התאוצה של טייס h 5.8 ורדיוס סיבוב של km?

a = v2 / r = 694 2 / 5800 = 83 m / s2 = 8.5g

בקרב אוויר הטייס יאבד מיד את הכרתו.

- ממדית חד יחסית -מהירות ממדית חד יחסית מהירות

של במהירות הנוסעת מכונית רואה שאתה . 100נניח " ש קמ , , המכונית כיוון ובאותו מהירות באותה הנוסעת שניה למכונית

. במנוחה נראית הראשונה

הצופה: של הייחוס במערכת תלויה גוף של מהירות מסקנה . המהירות את המודד

מערכת אליו שמצרפים פיסיקלי עצם היא הייחוס מערכתהיא. מהירות בדוח הרשומה המהירות לדוגמה קואורדינטות

. הדוח את הרושם השוטר אם אחרת הייתה היא לאדמה יחסית. בתנועה היה

נניח שאמנון, בראשית הצירים של , חונה לצד הכביש ורואה Aמערכת

(. ברוך, בראשית Pמכונית חולפת ) , נוסע במהירות Bהצירים של מערכת

קבועה על הכביש וצופה במכונית. xPA = xPB + xBAשניהם מודדים את מיקום המכונית.

xPB

xPA vBA

PA B

xBA

dxPA / dt = dxPB / dt + dxBA / dtvPA = vPB + vBA

שווה למהירות A יחסית ל –Pחוק חיבור המהירויות: מהירות . A יחסית ל –B פלוס מהירות של B יחסית ל – Pשל

מאיצהPואם מכונית dvPA /dt = dvPB /dt +dvBA /dt

aPA = aPB

ממדים בשני יחסית תנועה

אחד ממימד ביותר יחסית בתנועההאופי את בחשבון להביא צורך יש

. והמהירות ההעתק של הוקטוריrBA

P

rPA

vBA

rPB

rPA = rPB + rBA

vPA = vPB + vBA

aPA = aPB